第八章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析

基本要求1.明確一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)、主應(yīng)力和主平面、單元體等基本概念，熟練掌握單元體的截取方法及其各微面上應(yīng)力分量的計(jì)算方法。2.掌握用解析法和圖解法計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力和主平面的方位。3.掌握廣義胡克定律及其應(yīng)用。第八章應(yīng)力狀態(tài)分析§8.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析§8.4應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系§8.3三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓§8.5平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力目錄§8.6三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度§8-1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)及其分類§8-1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)及其分類為了研究a點(diǎn)處各個(gè)方向的應(yīng)力，圍繞a點(diǎn)用如下方法截取單元體。引例：試分析圖a所示受杻圓軸表面上a點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力。da(a)a橫截面上a點(diǎn)的切應(yīng)力dxdyO2O1aadxdydzO2O1dxdydz周向面橫截面徑向截面單元體(b)

單元體每個(gè)截面的應(yīng)力均勻分布，相互平行面上的應(yīng)力，其大小和性質(zhì)分別相同。圖b所示單元體的右側(cè)截面上的應(yīng)力，為橫截面上a點(diǎn)的切應(yīng)力，由切應(yīng)力互等定理畫出其它三個(gè)截面上的切應(yīng)力。圖b所示單元體的平面圖如圖c，取其左下角為分離體(圖d)，(c)(d)由得

由（3-5）式和（3-6）式，可以求出各個(gè)截面上的應(yīng)力。構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各個(gè)方向上的應(yīng)力集合，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由(3-5)式和(3-6)式，可得(e)x

單元體的最大正應(yīng)力及最大切應(yīng)力，如圖e所示。由此可分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞的原因。(f)低碳鋼(f)鑄鐵

由于低碳鋼的抗剪切能力較差，橫截面上切應(yīng)力最大，所以沿橫截面斷開。鑄鐵的抗拉能力低于抗剪能力，所以沿截面拉斷。

通過應(yīng)力狀態(tài)分析確定最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力及其所在截面方位，由此可以分析發(fā)生強(qiáng)度破壞的原因。由（3-5）式和（3-6）式得：切應(yīng)力等于零的平面——主平面；主平面上的正應(yīng)力——主應(yīng)力。純切應(yīng)力狀，的斜截面均為主平面，均為主應(yīng)力。

當(dāng)單元體各個(gè)面上均有正應(yīng)力和切應(yīng)力時(shí)(圖h)，彈性力學(xué)可以證明，單元體上有三個(gè)主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列為，三個(gè)主應(yīng)力的方向互相垂直，即(圖i)。(h)(i)(j)(e)x

圓軸受扭時(shí)a點(diǎn)的主應(yīng)力為，主平面的方位如圖j所示。

通過以上對(duì)純剪切應(yīng)力狀態(tài)的分析，我們初步了解了一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的概念及其分析方法，當(dāng)單元體上應(yīng)力比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)的分析方法和以上基本相同，希望認(rèn)真掌握以上概念及分析方法。應(yīng)力狀態(tài)的分類（按主應(yīng)力情況分類）1．有兩個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。例如或2．有一個(gè)主應(yīng)力等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)。例如3．三個(gè)主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)。例如火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處。例如火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處。二向和三向應(yīng)力狀態(tài)也稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)§8-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、解析法(a)x面y面(b)bacdef(c)fe

圖a為從受力物體某點(diǎn)處取出的單元體，x面(外法線與x軸平行的截面)上作用有sx、tx；y面(外法線與y軸平行的截面)上作用有sy、ty

；前后兩個(gè)面上的應(yīng)力等于零。這種應(yīng)力狀態(tài)一般為平面應(yīng)力狀態(tài)。其平面圖如圖b所示。

求與z軸垂直的ef斜截面上的應(yīng)力。ef截面的外法線為n，x與n的夾角為a，ef截面亦稱a面。s以拉為＋，壓力－；t以對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為＋，逆時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為－。圖a中，。(d)

由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n時(shí)的為，反之為負(fù)。如圖d。取部分單元體efb(圖c)為分離體(c)feb(b)(a)注意到和的大小相等，其指向已畫在圖中，以代替，并利用三角公式，將(a)和(b)式簡(jiǎn)化為(8—1)(8—2)

當(dāng)，已知時(shí)，可由（8-1）和（8-2）式求出，這種方法稱為解析法。dc(a)c(b)c例8-1

圖a中，d=100mm,F=500kN,Me=7kN.m,求C點(diǎn)處單元體上x面上的應(yīng)力，并求和。解：C點(diǎn)所在橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖b所示，其值為(c)圍繞C點(diǎn)，用橫截面、徑向截面和周向截面，截取單元體如圖c所示。圖中，。

、的指向如圖c所示。dc(a)二、應(yīng)力圓(d)(c)(e)和對(duì)比，可知(e)式表示，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)的圓的方程圓心為，半徑為，如圖所示。該圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓。單元體上各截面上的應(yīng)力和應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。O應(yīng)力圓的畫法已知單元體上，，設(shè)，畫應(yīng)力圓。1．用比例尺(該處為文字題未畫比例尺)量取，確定點(diǎn)；量取，確定點(diǎn)；2．連接和兩點(diǎn)其連線交軸于C點(diǎn)；3．以C為圓心，（或）為半徑畫圓。(a)efOB1B2C只需證明，，即圓心坐標(biāo)為，。即圓半徑為。用上述方法畫的圓即為應(yīng)力圓。EOB1B2C利用應(yīng)力圓求sa、ta?！?8-1)和(8-2)式是為圓的參數(shù)方程，∴單元體和應(yīng)力圓有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元體截面上的應(yīng)力和應(yīng)力圓的點(diǎn)的坐標(biāo)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元體兩截面的夾角為a，應(yīng)力圓上相應(yīng)兩點(diǎn)的圓心角為2a，且二者轉(zhuǎn)向一致。簡(jiǎn)稱為面、點(diǎn)對(duì)應(yīng)，兩倍角轉(zhuǎn)向一致。EOB1B2C∵單元體上由x軸逆時(shí)轉(zhuǎn)角到ef截面的法線n，∴在應(yīng)力圓上由逆時(shí)針轉(zhuǎn)角到，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。只需在應(yīng)力圓上證明：即可證明以上作圖方法正確。dc(a)例8-1

圖a中，d=100mm,F=500kN,Me=7kN.m,求C點(diǎn)處單元體上x面上的應(yīng)力，并求和。利用應(yīng)力圓求解。(c)OCE

確定Dy點(diǎn)。連接Dx和Dy，其連線交σ軸與C點(diǎn)，以C為圓心，為半徑畫出應(yīng)力圓(圖b)。解：1.選取比例尺如圖,由

確定Dx點(diǎn)；由2．在應(yīng)力圓上由順時(shí)針轉(zhuǎn)到60°確定點(diǎn)，量取OCE

用比例尺量得的結(jié)果不夠精確，可以大致按比例畫出應(yīng)力圓，再借助應(yīng)力圓所示的幾何關(guān)系，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，這種方法稱為圖解解析法。由圖b可得，三、主平面和主應(yīng)力(a)OB1B2CA2A1(b)圖a所示單元體的應(yīng)力圓如圖b所示，在應(yīng)力圓中，A1

和A2

點(diǎn)位于軸上，其切應(yīng)力等于零，正應(yīng)力為主應(yīng)力，即。

A1

和A2位于應(yīng)力圓同一直徑的兩端，因而在單元體上這兩個(gè)主應(yīng)力是互相垂直的。由順時(shí)針轉(zhuǎn)到。在單元體上由x軸順時(shí)針量取,確定所在主平面，所在主平面與所在主平面垂直（圖a）。也可以由應(yīng)力圓所示的幾何關(guān)系，得出計(jì)算主應(yīng)力和主平面的公式(8-3)(8-4)得(8-5)

（8-5）右端的負(fù)號(hào)放在分子上，是和為負(fù)值一致的，因?yàn)?，，所以?-5）右端的分子為負(fù)，分母為正。為第四象限角即為負(fù)銳角。在應(yīng)用（8-5）式時(shí)，必須根據(jù)該式右端分子和分母的正、負(fù)號(hào)，來確定為第幾象限角。例8-3

求C偏左橫截面上a、b兩點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主平面方位。Iz＝

88×106mm4。1.6m0.4mBAC27015159120解：1.C偏左橫截面正應(yīng)力和切應(yīng)力分布規(guī)律如圖b所示。a點(diǎn)處的應(yīng)力為27015159120b點(diǎn)的應(yīng)力為其中2．a(chǎn)點(diǎn)的單元體如圖(e)所示，應(yīng)力圓如圖f所示，由應(yīng)力圓，得(e)OC(f)主平面方位示于圖e中。(從應(yīng)圓上可看出為負(fù)角)。(g)O(h)3．b點(diǎn)的單元體如圖g，應(yīng)力圓如圖h主平面方位示于圖g。例8-4圖a所示單元體已知，，求主應(yīng)力的值及主平面方位。解：按選定的比例尺，確定兩點(diǎn)，畫主應(yīng)力圖如圖b所示。C(b)由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)18.5°確定的方向。主平面如圖a所示。(a)試用應(yīng)力圓求該點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面方位。OC應(yīng)力圓中D1到D2應(yīng)該轉(zhuǎn)240°§8-3

三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓abcd(a)abcd(b)A1A2A3CO(c)

圖a中s1、s2

、s3均為已知。確定該主單體的最大正應(yīng)力及最大切應(yīng)力。

首先考察與s2垂直的任一斜截面abcd上的應(yīng)力，其分離體如圖b所示。∵s2所在的兩個(gè)平面上的力是自相平衡力系，∴abcd斜截面的應(yīng)力s和t與無關(guān)，僅由s1和s3確定?？捎糜珊退_定的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示（圖c）。(d)

同理，與垂直的任一斜截面的應(yīng)力,可用和所確定的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示。與垂直的任一斜截面的應(yīng)力，可用和所確定的應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示(圖c)。A1A2A3CO(c)

與三個(gè)主平面都相交的任一斜截面efg上的應(yīng)力所確定的D點(diǎn)位于三個(gè)應(yīng)力圓所包圍的陰影線部分內(nèi)。

綜上所述：圖a所示主單體上任一斜截面的應(yīng)力，可由上述三個(gè)應(yīng)力圓上和三個(gè)應(yīng)力圓所包圍的陰影線內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示。于是(8-7)(8-6)

的作用面與垂直，與成，與成。(圖d)（8-6）和（8-7）式同樣適用于平面和單向應(yīng)力狀態(tài)。例8-4求下列各單元體的最大切應(yīng)力及其作用面方位。A2COC1

作用面位置如圖。當(dāng)用應(yīng)力圓求時(shí)，不可由和所決定的應(yīng)力圓求。因由該應(yīng)力圓求出的是，該切應(yīng)力是垂直于的斜截面上的最大切應(yīng)力，不是單元體的最大切應(yīng)力。求時(shí)必須由再畫一個(gè)應(yīng)力圓，由該圓得。例8-5求下列各單元體的最大切應(yīng)力及其作用面方位。CO解：

作用面位置如圖。

它們的作用面上均有正應(yīng)力。單元體abcd形式上為平面應(yīng)力狀態(tài)實(shí)為單向應(yīng)力狀態(tài)。例8-5求主應(yīng)力、主平面；最大切應(yīng)力及其作用面。COA1A3解：這是特殊情況的三向應(yīng)力狀態(tài),z面上切應(yīng)力等于零，是已知的一個(gè)主應(yīng)力。另外兩個(gè)主應(yīng)力由x面和y面上的應(yīng)力決定的應(yīng)力圓確定，并按主應(yīng)力的代數(shù)值排定其順序。

由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)確定所在的主平面，主平面與主平面垂直。作用面位置如圖所示。§8-4

應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系一、廣義胡克定律首先復(fù)習(xí)單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律

在作用下，單元體沿x方向伸長(zhǎng)，沿y和z方向均縮短，當(dāng)時(shí)

在小變形時(shí)，不產(chǎn)生x和y方向的線應(yīng)變，只產(chǎn)生。＋＝＋三向應(yīng)力狀態(tài),小變形時(shí)，各向同性材料，可用疊加法求主應(yīng)變。主應(yīng)變(8—8a)用主應(yīng)變表示主應(yīng)力的形式為(8—8b)公式(8—8)稱為廣義胡克定律。二向應(yīng)力狀態(tài)a)主應(yīng)力形式，設(shè)。(8—9a)(8—9b)b)非主應(yīng)力形式＝＋(8—11a)(8—11b)不會(huì)產(chǎn)生

不會(huì)產(chǎn)生x、y方向的線應(yīng)變(要產(chǎn)生其它方向的線應(yīng)變)三向和兩向應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律，統(tǒng)稱為廣義胡克定律。

二向應(yīng)力狀態(tài)是工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)用應(yīng)力表示應(yīng)變或用應(yīng)變表示應(yīng)力兩種形式的胡克定律均應(yīng)熟記。兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，某一個(gè)方向的線應(yīng)變不僅與該方向的正應(yīng)力有關(guān)，且還與垂直于該方向的正應(yīng)力有關(guān)。即例如，當(dāng)二、體應(yīng)變單位體積的體積比改稱為體應(yīng)變?cè)w積變形后的體積略把（8-8a）式代入上式表明：，與主應(yīng)力比值有關(guān)。(8—10)(b)(a)(c)例：各單元體應(yīng)力單位均為MPa，材料相同，比較其體積應(yīng)變§8-5

平面應(yīng)力狀態(tài)下由測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變求應(yīng)力一、主應(yīng)力方向已知

當(dāng)測(cè)點(diǎn)處的兩個(gè)主應(yīng)力方向已知時(shí)，用電測(cè)法測(cè)出兩個(gè)主應(yīng)變，然后用廣義胡克定律求主應(yīng)力。例8－6d=40mm,測(cè)得C點(diǎn)，求外扭矩Me。CC解：C點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為主應(yīng)力方向與x軸成，其值為帶入具體數(shù)據(jù)，得C點(diǎn)的單元體如圖所示。例8-7

圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變

1

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，v=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。pppxs1s2lpODxABy圖a1、軸向應(yīng)力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程psmsmxD圖b用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應(yīng)力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）

1

2外表面yps1s1Dqdqz圖cO二、主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài)圖a為主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài)(c)(a)(b)OC(d)

但測(cè)定很困難。通常采用圖b所示的兩種應(yīng)變花，第一種是測(cè)定，稱為應(yīng)變花；第二種是測(cè)定?，F(xiàn)以應(yīng)變花為例說明如何由線應(yīng)變求切應(yīng)力。由廣義胡克定律，可知(a)由圖d所示的應(yīng)力圓，可知(b)(b)式代入（a）式，得解得同理(8-12b)(8-12a)求出后，可求出主應(yīng)力。課堂練習(xí)1．已知σ、E、v，求。COCO(C)O2．已知σ、τ、E、v，求。CO(C)OCO(C)O§8-6