第七章 梁的位移及簡單超靜定粱

基本要求1.明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立過程。2.掌握計(jì)算梁變形的積分法和疊加法。3.了解梁的剛度條件和提高梁剛度的主要措施。第七章彎曲應(yīng)力§7.1概述§7.2撓曲線近似微分方程及其積分§7.4梁的剛度條件提高粱剛度的措施§7.3用疊加法求梁的位移§7.5彎曲應(yīng)變能目錄§7.6簡單超靜定梁的解法§7.1概述車床主軸疊板彈簧在本章中，研究梁彎曲變形的主要目的是：（1）對梁作剛度校核§7.4；（2）解超靜定梁§7.6。xyzBACxl撓曲線zyC

圖中，yz軸為橫截面的形心主軸，xy面為形心主慣性平面。荷載F作用在xy平面內(nèi)，梁的軸線彎曲成位于xy平面內(nèi)的一條平坦曲線——撓曲線。

x橫截面的形心C沿y方向的位移，稱為該截面的撓度。

x橫截面相對于原方位的轉(zhuǎn)角（橫截面繞中性軸z的轉(zhuǎn)角），稱為該截面的轉(zhuǎn)角。細(xì)長梁一般不計(jì)剪力對位移的影響，平面假設(shè)依然成立，變形后的橫截面仍垂直于撓曲線，所以也是x軸和撓曲線在點(diǎn)處切線的夾角。

很小，（0.001rad~0.005rad）xyzBACxl撓曲線

撓曲線上任一點(diǎn)處的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。

小變形時，任意橫截面在水平方向的位移都可略去，所以B截面的水平位移

位移為矢量，其正、負(fù)號與選取的坐標(biāo)系有關(guān)。在圖示坐標(biāo)系中，為正（與y的指向一致），為正，反之為負(fù)。

（）lBAlBA

圖示二梁的EI、l、Me分別相同，它們的變形程度（中性層的曲率）相同，但位移不同。變形與Me、EI有關(guān)，位移不僅與Me、EI有關(guān)還與約束有關(guān)，用位移表示梁的變形情況更為恰當(dāng)。§7.2撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲時梁中性層的曲率為

橫力彎曲時，梁的內(nèi)力有剪力和彎矩，細(xì)長梁不計(jì)剪力對位移的影響。但注意M和ρ均為x的函數(shù)。將上式改寫為在高等數(shù)學(xué)中，

小變形時

于是

由上兩式，得

如何確定上式右端的正、負(fù)號？

yxOyxO確定上式右端的正、負(fù)號

（EI為常量）M與的正、負(fù)相反。于是左式為梁的撓曲線近似微分方程

近似原因不計(jì)剪力FS對位移的影響將上式改寫為積分一次再積分一次為積分常數(shù)，由已知的位移條件確定。例7-1

求，并確定和。EI為常數(shù)。lBAEIxxy

解：1.列彎矩方程2.建立撓曲線近似微分方程，并對其積分3.確定積分常數(shù)位移邊界條件由轉(zhuǎn)角邊界條件由位移邊界條件4.轉(zhuǎn)角方程和撓度方程5.求和

撓曲線的大致形狀如圖中虛線所示，可見和均發(fā)生在B截面。把x=l，代入轉(zhuǎn)角和位移式，得lBAEIxxy（）討論：C1，C2的物理意義本例中，因?yàn)樽蠖斯潭?/p>

例7-2

求，并確定和。EI為常數(shù)。xyBACxlabxⅡⅠ解：該梁的AC和CB段的彎矩方程不同，必須分段列M(x)，分段建立撓曲線的微分方程，并積分AC(I)段()

CB(Ⅱ)段()

(以x左邊為分離體，F(xiàn)(x-a)不展開)

以(x-a)為積分變量1.位移邊界條件

C點(diǎn)的位移連續(xù)條件四個條件確定四個常數(shù)C1、C2、D1、D2四個積分常數(shù)簡化為兩個

第I、Ⅱ兩段均以x左邊為分離體列M(x)方程，第Ⅱ段M2(x)方程中的F(x-a)不展開，并以(x-a)為變量進(jìn)行積分，利用位移連續(xù)條件將積分常數(shù)歸結(jié)兩個，由位移邊界條件確定這兩個積分常數(shù)。否則確定4個積分常數(shù)，成為聯(lián)立求解關(guān)于C1、C2、D1、D2的方程組。2.把四個積分常數(shù)代回(1)、、(2)、式得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為(I)段()(Ⅱ)段()3.求和xyBACxlabxⅡⅠ由撓曲線大致形可見，可能為或。當(dāng)a>b

時，（）時有極值當(dāng)a>b

時，當(dāng)x＝a

時，所以，x0位于AC段，由(3)式

（）（）(5)式代入(4)式得(5)的近似值

由（5）式可見，，當(dāng)F力十分接近B支座時，由（6）式得，,由(4)式得，略去b2項(xiàng)，△在工程中，只要簡支梁撓曲線上無拐點(diǎn),就可用代替最△積分法求位移注意事項(xiàng)是以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，x向右為正，1．y以下為正導(dǎo)出的?！嘧黝}時坐標(biāo)系必須如上所述。2．當(dāng)需分段列M(x)方程時，應(yīng)按例7-2方法進(jìn)行計(jì)算。例7-3

畫圖示梁撓曲線的大致形狀。xMFaFaB1CDD1C1EE1E1點(diǎn)為枴點(diǎn)解：撓曲線的大致形狀，是根據(jù)梁的約束情況(位移條件)和M圖畫出的。A為固定端，BACDEIaaaED1點(diǎn)可在D點(diǎn)以上或在D點(diǎn)以下，也可和D點(diǎn)重合，但應(yīng)注意D1點(diǎn)處的位移連續(xù)條件。AE段M為負(fù)，撓曲線為上凸；ED段M為正，撓曲線為下凸曲線，E1處為撓曲線的拐點(diǎn)；DB段M=0，撓曲線為斜直線；BA§7.3用疊加法求梁的位移

疊加法：小變形且材料在線彈性范圍內(nèi)作用時，梁在幾種荷載同時作用下的位移，等于梁在各種荷載單獨(dú)作用下的位移之和。

積分法是求梁位移的基本方法，由轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，可以求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度，但計(jì)算過程冗長。

實(shí)用應(yīng)用中，常常只需確定某些指定截面的位移值，為此可將梁在簡單荷載作用下的位移值列成表格(見表7-1，P155頁)，利用疊加法求在幾種荷載同時作用下梁的位移。BACDEIlll例如求D點(diǎn)的撓度例7-4

用疊加法求，EI為常量。qBACBAC解：由表7-1查得將相應(yīng)的位移疊加，得（）（）（）（）（）（）＝qBACxy練習(xí)：求圖示簡支梁的BAC＝BACxyFBACF解：由表7-1查得將相應(yīng)的位移疊加，得（）（）（）（）（）（）例7-5

用疊加法求，EI為常量。(b)aaBAC(c)aaBAC＝圖b梁的CB段的撓曲線為斜直線，所以解：將圖a所示梁分解為圖b和圖c兩種情況，其撓曲線的大致形狀如圖所示。(小變形時)(1)由表7-1查得（）(2)aaBAC(a)xy(b)aaBAC(c)aaBAC將(1)式代入(2)式，得

（）(3)由表7-1查得，在圖c中

（）將相應(yīng)位移疊加，可得（）圖b中，CB段的彎矩等于零，其撓曲線為斜直線是該題的重點(diǎn)。練習(xí)用疊加法求，EI為常量。(b)aaBAC＝aaBAC(a)xy(c)aaBAC（）（）（）例7-6

用疊加法求，EI為常量。＝qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)

圖a所示梁上雖然只有一種荷載，但表7-1中沒有這種情況，為了能利用表7-1求解。把圖a所示梁分解成圖b和圖c兩種情況。解：

由于梁的兩端均為鉸支座，所以梁是關(guān)于C截面對稱的，稱為對稱梁。圖b中荷載也是對稱的，其撓度為對稱的，轉(zhuǎn)角為反對稱的。由表7-1查得（）（）BAC(c)＝A(d)C(e)BC+圖

c中荷載為反對稱的轉(zhuǎn)角為對稱的梁的彎矩為反對稱的

這些條件和C截處有一支座約束是相當(dāng)?shù)模谑前褕Dc梁中的AC、CB段視為兩個簡支梁（圖d、e）。由表7-1查得

（）（）其撓度為反對稱的＝qBACxy(a)BAC(c)BAC(b)將相應(yīng)的位移疊加，得

（）（）（）（）（）（）討論，利用對稱性解題簡便，要能靈活運(yùn)用。例如qBACxy＝＝qBACxyBACqBACqBACqBACq利用對稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度利用對稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度12＝BAC+ACBC3（）利用對稱性易得分解后的C點(diǎn)的撓度對稱梁的結(jié)構(gòu)例7-7

用疊加法求，EI為常量。BACDaaaxy(a)D2B(c)BACDC1D1(b)解:將力F向B截面平移,得到作用于B截面的力F和力偶矩(圖b),圖a和圖b所示梁的AB段受力相同,約束相同,故二者的位移相同。F力作用在支座上，它不會使梁產(chǎn)生位移，查表7-1（4）得（）D2B(c)BACDC1D1(b)（）因?yàn)锽D1為斜直線

為由產(chǎn)生的位移。

求BD段在F力作用下產(chǎn)生的位移時，可把BD段視為固定端的懸臂梁(圖c)。(小變形時，把B截面轉(zhuǎn)動固定，BD段位移相同)。查表7-1(2)得后固定，和B截面在原方位（）將相應(yīng)的位移疊加，得

（）練習(xí)：畫求的分解圖式。

qaaBACBACqBCqBACBAC

當(dāng)不能直接引用表7-1的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算時，可用等效力系代替原荷載，使其成為可利用表7-1的結(jié)果。如例7-6，例7-7中求。

或利用分段分析法將外伸梁的位移轉(zhuǎn)化為簡支梁和懸臂梁位移的疊加。如例7-7中求

通過大量的練習(xí)才能真正掌握。

。用疊加法求位移為本章的難點(diǎn)，只有討論：a2aaBACDq(a)ADqaBCDqqaqa(b)(d)BCDq例7-8

AD、DB段的彎曲剛度均為EI，求。解：主梁AD和副梁DB的受力圖如圖b所示。由于主梁AD的位移，被D點(diǎn)移到D1點(diǎn)，暫不計(jì)DB梁由q產(chǎn)生的位移時(即把DB段視剛體)，D1B為斜直線，此即為由主梁的位移產(chǎn)生的副梁的位移(圖c)。副梁DB由q產(chǎn)生的位移如圖d所示。（）BACD1(c)D查表7-1，得(d)BCDq由圖c可見

BACD1(c)D（）查表7-1，得（）（）將相應(yīng)的位移疊加，得（）（）（）討論：1.對多跨靜定梁進(jìn)行受力分析時，是先分析副梁，再分析主梁，即先副后主。2.對多跨靜定梁進(jìn)行位移分析時，是先主梁后副梁，副梁的位移是由主梁的位移產(chǎn)生的副梁的位移和副梁由荷載產(chǎn)生的位移的疊加?！?-4梁的剛度條件提高梁剛度的措施一、剛度條件梁的位移過大時，將影響梁的正常工作，例如，鐵路橋梁的撓度過大，火車經(jīng)過時，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，且引起很大振動。車床主軸的位移過大，影響齒輪的嚙合，造成軸和軸承的磨損，影響加工質(zhì)量。所以必須把梁的位移限制在一定范圍內(nèi)。剛度條件為二、提高梁剛度的措施

由表7-1可見，ω和θ均與EI成反比，與l的n次方成正比。1.增加EI。各類鋼材的E值相差不大，所以選用高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)鋼并不能增加鋼梁的彎曲剛度。中性軸使I增加，例如2.減小l或增加支承。qBAqBAqBAC例7-8[σ]=170MPa，[τ]=170MPa，E=200GPa，選擇工字鋼的型號。80kN80kNBA4m0.4m0.4m2m8890890888(kN)(kN.m)35.635.642解：梁必須同時滿足時，才能正常工作。一般起控制作用。所以先按選擇截面，然后校核及條件時，再增加截面尺寸。

。若不滿足切應(yīng)力或剛度查型鋼表,20b號工字鋼1.正應(yīng)力強(qiáng)度2.校核切應(yīng)力強(qiáng)度3.校核剛度∴可選20b號工字鋼。80kN80kNBA4m0.4m0.4m2m8890890888(kN)§7-5彎曲應(yīng)變能利用求彎曲應(yīng)變能一、純彎曲M=Me(常量)EIlO二、橫力彎曲

細(xì)長梁可不計(jì)剪切應(yīng)變能。M(x)為x的函數(shù)，取dx段研究彎曲應(yīng)變能。利用求梁的位移，將在第十二章能量方法中研究?！?-6簡單超靜定梁的解法1．超靜定梁的概念超靜定次數(shù)也是“多余”約束或“多余”未知力個數(shù)。2．超靜梁的解法基本系統(tǒng)——解除多余約束后的靜定梁（圖b）相當(dāng)系統(tǒng)——在基本系統(tǒng)上加上荷載及多余未知力，并滿足原結(jié)構(gòu)變形相容條件。(圖c)根據(jù)變形相容條件，用疊加法求冗力。qBA相當(dāng)系統(tǒng)(c)qBAlEI(a)BA基本系統(tǒng)(b)利用相當(dāng)系統(tǒng)畫FS、M圖(圖d、e)。qBAlM(e)(f)qBAC利用相當(dāng)系統(tǒng)求位移(圖f)。用積分法求得3．超靜梁與靜定梁的比較靜定梁（無B支座）超靜定梁FS(d)超靜定梁提高了梁的強(qiáng)度和剛度。

只