高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：不定積分

例5.1不定積分的概念和性質(zhì)

不定積分定義5.1

如果在區(qū)間I上,則稱或上的一個原函數(shù).是

的一個原函數(shù)定理5.1

(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)區(qū)間I上連續(xù),即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).

存在可導(dǎo)函數(shù)那么在區(qū)間I上都有使得關(guān)于原函數(shù)的說明(2)若

(3)若

和

都是

的原函數(shù),則(C為常數(shù)

)都是

的原函數(shù).則對于任意常數(shù)C,而且和

所在的區(qū)間有關(guān).(1)

的原函數(shù)不僅和有關(guān),積分變量被積函數(shù)定義5.2

被積表達式稱為

f(x)在區(qū)間I上的不定積分,記為積分號積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)被積表達式簡記為積分號注(1)

不定積分是一個集合,也稱函數(shù)族.(2)

不定積分與區(qū)間I有關(guān).在區(qū)間在區(qū)間(3)

不定積分與求導(dǎo)數(shù)是“互逆”的運算.例5.1

求解故解例5.2

求故例5.3

設(shè)曲線通過點

且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為由題意所求曲線方程為由曲線通過點即

是2x的一個原函數(shù).顯然,求不定積分得到一積分曲線族.練習(xí)求積分解函數(shù)

的原函數(shù)的圖形,稱為

的積分曲線.不定積分基本公式:

由求導(dǎo)公式可得出,性質(zhì)5.1

性質(zhì)5.2

證因所以例5.4

求不定積分解解原式練習(xí)

求不定積分解原式練習(xí)

求不定積分例5.5

求不定積分解解原式練習(xí)

求不定積分解原式例5.6

求不定積分解說明:以上例題中的被積函數(shù)都需要進行恒等例5.7

求不定積分變形,才能使用基本積分表.解例5.8

求不定積分解原式練習(xí)求不定積分解原式練習(xí)

求不定積分練習(xí)

求積分解故其中故即問題5.2換元積分法第一換元法也稱“湊微分法”.則定理5.2(不定積分的第一類換元積分法)解原式例5.9

計算解原式例5.10

計算練習(xí)

計算解1解2解3解原式例5.11

求不定積分類似地可得解練習(xí)

計算解原式例5.12

求不定積分類似地可得解原式例5.13

計算解原式例5.14

計算解原式原式解練習(xí)計算練習(xí)計算解1例5.15

計算解2類似地可得解說明:

當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時,拆開奇例5.16

計算次項去湊微分.練習(xí)

求解解原式例5.17

求解例5.18

計算解原式例5.19

計算解練習(xí)

計算解練習(xí)計算練習(xí)求原式解解例5.20

設(shè)

求令所以自測題則定理5.3(不定積分的第二類換元積分法)且有反函數(shù)

如果證明第二換元積分法的基本思路:可作適當變換

化為不定積分計算積分后,得再將代入.若積分不易計算,例5.21

求解令例5.22

求解令則例5.23

求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換,三角代換的目的是去掉根式.一般規(guī)律如下:可令可令可令當被積函數(shù)中含有例5.24

求解令說明(2)當分母的次數(shù)較高時,可采用倒代換例5.25

求令解積分表做如下補充(其中常數(shù)a>0)利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則分部積分公式5.3分部積分法設(shè)函數(shù)

具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),等式兩邊取不定積分解例5.26計算解例5.27計算解練習(xí)

計算解練習(xí)

計算例5.28

求積分解解練習(xí)

計算例5.29計算解解例5.30計算解練習(xí)

計算解練習(xí)

計算解例5.31計算于是,得遞推公式故

利用遞推公式,及例如,就可以求出每個積分解例5.32計算原式=解例5.33已知

是的原函數(shù),求因所以解令則于是練習(xí)設(shè)求曾用換元積分做過,現(xiàn)可用分部積分做!

前面例題中所求的不定積分,都得到了原函5.4

幾種特殊類型函數(shù)的不定積分

但有相當多的初等函數(shù)雖然存在原函數(shù),原函例如

等不定積分都“積不出來”.數(shù)的解析表達式,因而都是初等函數(shù).數(shù)卻不是初等函數(shù).兩個多項式之商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).即5.4.1有理函數(shù)的積分其中

m、n都是非負整數(shù);及

下面我們介紹幾類原函數(shù)一定是初等函數(shù)的不定積分.都是實數(shù),并且假定分子與分母之間沒有公因式.稱為有理真分式；稱為有理假分式.

利用多項式除法,假分式可以化成一個多例如,難點:將有理函數(shù)化為部分分式之和.項式與一個真分式之和.(1)分母中若有因式

則可以分解為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).(2)分母中若有因式，其中則可以分解為特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).真分式化為部分分式之和的方法為待定系數(shù)法.任意有理真分式的不定積分都歸納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),分別討論上述幾種類型的不定積分.并且四種典型部分分式的積分之和.k為大于1的正整數(shù).用遞推公式綜上所述,所有有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

例5.34

計算

解比較等式兩端x項系數(shù)得代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將

值代入解例5.35

計算

故整理得解例5.36

計算

故所以解作變換原式練習(xí)

計算

常見類型解決方法

作代換去掉根號.5.4.2簡單無理函數(shù)的積分

某些無理函數(shù)的積分,通過適當?shù)淖兞看鷵Q,分別令可以化為有理函數(shù)的積分.

解

令例5.37

計算

解

令原式=例5.38

計算

解

令例5.39

計算

三角有理式是指：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)5.4.3三角函數(shù)有理式的積分化為的有理函數(shù)的積分.

三角函數(shù)有理式可以通過萬能代換:成的函數(shù)．記為令(萬能代換公式)解

設(shè)例5.40

計算

解1

設(shè)例5.41

計算

解2修改萬能代換公式令解3

可以不用萬能代換公式結(jié)論:比較以上解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,

故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.常見湊微分類型第五章不定積分習(xí)題課例1求解原式解原式例2求解1原式例3求解2原式例3求解1例4求解2解3解1原式例5求解2原式例5求解原式例6求解原式例8求解原式例7求解原式例10求解原式例9求例11

求解解例12

求原式解例13

求原式解例14

求解1原式例15