職教高考 集合的概念及表示法含答案

1．1.1集合的概念及表示法[知識整合]基礎知識1．集合的基本概念(1)集合：把具有某種屬性的一些能夠確定的對象看成一個整體，就構(gòu)成一個集合．集合通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示，集合中的每一個對象叫作這個集合的元素．元素通常用小寫英文字母a，b，c，…來表示．(2)集合中元素的性質(zhì)：①確定性；②互異性；③無序性．(3)元素與集合的關系：若a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；若a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.(4)數(shù)集：以數(shù)作為元素的集合．常見數(shù)集的符號表示：①自然數(shù)集N；②正整數(shù)集N＋或N*；③整數(shù)集Z；④有理數(shù)集Q；⑤實數(shù)集R.(5)集合的分類：①有限集：含有有限個元素的集合；②無限集：含有無限個元素的集合；③空集：不含任何元素的集合，記做?.2．集合的表示法(1)列舉法：把集合的元素列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法．集合的元素不多時可一一列舉，集合的元素較多或無限集，在不發(fā)生誤解的情況下，只列出幾個代表元素，其他元素用省略號表示．(2)性質(zhì)描述法：把集合的特征性質(zhì)描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法．①特征性質(zhì)：集合A的特征性質(zhì)p，是指屬于集合A的元素具有性質(zhì)p，而不屬于集合A的元素不具有性質(zhì)p.②性質(zhì)描述法的一般形式：A＝{x∈U|p(x)}，豎線左邊的x代表集合的任一元素及元素的取值范圍，右邊表示集合中的元素所具有的性質(zhì)．③簡略形式：{元素名稱}，如{平行四邊形}等．注意：“{}”表示“全體”的意思，一般情況下實數(shù)集記為R，不能寫成{全體實數(shù)}或{R}．(3)文氏圖示法：用平面內(nèi)的一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合的方法，如圓、橢圓、平面多邊形等．基礎訓練1．集合A＝{－1，0，7，9}中的元素個數(shù)為()A．1B．2C．3D．42．下列關系正確的是()A．0∈?B．0??C．0＝?D．?∈03．填空(用列舉法表示集合)(1)大于3且小于10的偶數(shù)的全體________．(2)絕對值等于1的實數(shù)的全體________．(3)小于100的正偶數(shù)的全體________．(4)一年中有31天的月份的全體________．4．填空(用性質(zhì)描述法表示集合)(1)絕對值等于2的實數(shù)的全體________．(2)方程x2－x－2＝0的解構(gòu)成的集合________．(3)偶數(shù)的全體構(gòu)成的集合________．(4)兩邊長分別為3，5的三角形中，第三邊可取的整數(shù)的集合________．5．用符號“∈”或“?”填空(1)x________{x，y，z}；(2)π________Q；(3)3________{x||x|<4}．[重難點突破]考點1集合與元素例1下列語句可以構(gòu)成一個集合的個數(shù)為()①班上很瘦的同學；②方程x2＝9的所有的實數(shù)根；③某次期末考試前10名的學生；④全國著名學者的全體．A．1B．2C．3D．4【解析】根據(jù)集合的概念，由某些確定的對象組成的整體，才能構(gòu)成集合，所以只有②是正確的，故選A.【變式訓練】下列語句中，哪個可確定一個集合()A．與1接近的實數(shù)全體B．某班性格好的同學C．無窮大的所有整數(shù)D．大于2小于15的奇數(shù)的全體例2設集合A＝{x|x≤4}，a＝eq\r(13)，則正確的關系是()A．a(chǎn)?AB．a(chǎn)∈AC．{a}∈AD．a(chǎn)?A【解析】∵a＝eq\r(13)<eq\r(16)＝4，∴a∈A，故選B.反思提煉：要正確理解集合與元素、集合與集合之間的關系，準確讀懂∈、?、?、這些符號的含義．【變式訓練】用適當?shù)姆?∈，?，＝，)填空(1)x______{x，y，z}(2)0______N＋(3)1______N(4)0______?(5)0______{0}例3已知集合A＝{x|ax2＋3x＋1＝0}中有且只有一個元素，求由實數(shù)a組成的集合．【解】有且只有一個元素，可知ax2＋3x＋1＝0的根只有一個，當a＝0時滿足，b2－4ac＝9－4a＝0，得a＝eq\f(9,4)，綜上所述得a組成的集合為{0，eq\f(9,4)}．反思提煉：因為集合A中元素的個數(shù)是方程解的個數(shù)，所以求集合中元素的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為求方程解的個數(shù)問題．【變式訓練】已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R}，且集合A中元素至多有一個，求實數(shù)a的取值范圍．例4已知x2∈{0，1，x}，求實數(shù)x的值．【解】∵x2∈{0，1，x}，∴x2必是0，1，x中的一個．(1)若x2＝0，則x＝0，與元素的互異性矛盾；(2)若x2＝1，則x＝±1，x＝1與元素的互異性矛盾，舍去，則x＝－1；(3)若x2＝x，則x＝0或x＝1，都不合題意，舍去．故x＝－1.反思提煉：含參數(shù)的集合問題多采用分類討論思想解決，同時要注意集合中元素的互異性．【變式訓練】已知x∈R，則集合{1，3，x}中的元素x應滿足什么條件？考點2集合的表示法例5用適當方法表示下列集合：(1)兩邊長分別為4，5的三角形中，第三邊取整數(shù)的集合；(2)坐標平面內(nèi)第三象限內(nèi)的點組成的集合；(3)所有正方形構(gòu)成的集合．【解】(1){2，3，4，5，6，7，8}；(2){(x，y)|x<0且y<0}；(3){正方形}．反思提煉：表示集合的方法，依據(jù)對象的特點或個數(shù)多少采用不同的方法，有時不止一種．(1)中集合的個數(shù)較少，適合采用列舉法，而(2)(3)都是無限集，適合采用描述法．【變式訓練】按要求表示下列集合．(1)用描述法表示集合{1，3，5，7，9}；(2)用列舉法表示小于8的質(zhì)數(shù)；(3)分別用兩種方法表示不超過10的非負偶數(shù)的集合．[課堂訓練]1．下列語句能構(gòu)成集合的是()A．與0接近的實數(shù)B．十分可愛的熊貓的全體C．全校所有女老師D．π的近似值2．以下集合中是有限集的是()A．{x∈N|x>1}B．{x|x＝2n，n∈Z}C．{四邊形}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x2－2x＋1＝0))3．下列五個關系式：①eq\r(2)∈R；②|－1|?N*；③eq\f(5,2)?Q；④π∈Z；⑤0∈N中，不正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．44．用列舉法表示集合{x|x2＋5x＋6＝0}，結(jié)果是()A．{－2，－3}B．{－6，1}C．{6，－1}D．{2，3}5．若集合A＝{x∈N|－3<x<2}，則A為()A．{1}B．{0，1}C．{－2，－1，0，1}D．以上均不對6．用適當?shù)姆柼羁?“∈”、“?”、“＝”)：1______N；e______Q；π______R；{1，2，3}______{3，2，1}；0______{x|x2＝1}．7．如果集合A＝{x|x≤5，x∈N}，那么用列舉法表示A＝____________．8．集合{1，4，9，16，25}用性質(zhì)描述法表示為____________．9．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集．(2)在自然數(shù)集中，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合．10．設集合B＝{x∈N|eq\f(6,2＋x)∈N}．(1)試判斷元素1和2與集合B的關系．(2)用列舉法表示集合B.集合的概念及表示法答案知識整合基礎訓練1．D【解析】觀察集合A，得出A中的元素有4個，故選D.2．B【解析】0是一個元素，?是不含任何元素的集合，故0??，選B.3．(1){4，6，8}(2){－1，1}(3){2，4，6，…，98}(4){1，3，5，7，8，10，12}4．(1){x||x|＝2}(2){x|x＝2或x＝－1}(3){x|x＝2k，k∈Z}(4){x|2<x<8，x∈Z}【解析】(1)由題意知|x|＝2，∴x＝2或x＝－2.(2)解方程x2－x－2＝0得x＝2或x＝－1，故此空填{x|x＝2或x＝－1}．(3)偶數(shù)的全體構(gòu)成的集合為{x|x＝2k，k∈Z}．(4)由三角形的邊的和與差的關系，設第三邊為x，則x＋3>5，5＋3>x，5－x<3，x－3<5，5－3<x.解上述不等式可得2<x<8，故第三邊可取的整數(shù)集合為{x|2<x<8，x∈Z}．5．(1)∈(2)?(3)∈【解析】(3)∵{x||x|<4}＝{x|－4<x<4}，∴3∈{x||x|<4}．重難點突破【例1】【變式訓練】D【解析】構(gòu)成集合的元素應當具有“確定性”，由于“與1接近的實數(shù)全體”、“某班性格好的同學”、“無窮大的所有整數(shù)”都無法確定其元素，所以不能構(gòu)成集合，故“大于2小于15的奇數(shù)的全體”能確定，選擇D.【例2】【變式訓練】(1)∈(2)?(3)∈(4)?(5)∈【例3】【變式訓練】【解】當a＝0時，方程為－3x＋2＝0，方程有唯一解x＝eq\f(2,3)，符合題意；當a≠0時，Δ＝9－8a≤0，解得a≥eq\f(9,8)；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．【例4】【變式訓練】x≠1且x≠3.【例5】【變式訓練】【解】(1){x|x＝2n＋1，0≤n≤4，n∈N}；(2){2，3，5，7}；(3){0，2，4，6，8，10}或{x|x＝2n，0≤n≤5，n∈N}．課堂訓練1．C【解析】四個選項中，只有C選項具有“確定性”，故選C.2．D【解析】∵{x∈Req\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2)))－2x＋1＝0}＝{1}，由有限集的概念可知，該集合為有限集，A、B、C均為無限集，故選D.3．C【解析】①⑤正確，②③④錯誤，故選C.4．A【解析】x2＋5x＋6＝0?(x＋2)(x＋3)＝0，解得x1＝－2，x2＝－3，用列舉法表示成{－2，－3}，故答案選A.5．B【解析】大于－3小于2的自然數(shù)有0，1，故選B.6．∈，?，∈，＝，?【解析】1是自然數(shù)，e是無理數(shù)，π是實數(shù)，{1，2，3}和{3，2，1}相等，x2＝1?x＝±1，故0?{x|x2＝1}．7．{0，1，2，3，4，5}【解析】小于等于5的自然數(shù)有0，1，2，3，4，5，故A＝{0，1，2，3，4，5}．8．{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}【解析】由題可看出1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，故可表示為{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}．9．【解】(1)因為方程x(x2＋2x＋