導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025新高考數(shù)學(xué)

二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0αxα-1cos

x－sin

xaxln

aex

知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸

知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸解題方法總結(jié)

知識(shí)梳理·基礎(chǔ)回歸解題方法總結(jié)

練基礎(chǔ)1.(人A選必二5.2節(jié)習(xí)題改編)余弦曲線y=cosx在點(diǎn)

處的切線方程為

.

2.(人A選必二5.2節(jié)習(xí)題改編)設(shè)曲線y=e2ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x-y+1=0垂直,則a=

.

3.(人A選必二第五章習(xí)題改編)若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c=

.

6解析

因?yàn)閒(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,所以f'(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c).當(dāng)f'(x)=0,即x=,或x=c時(shí),函數(shù)f(x)可能有極值.由題意,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,所以c>0.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:4.(人A選必二5.3節(jié)習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=48x-x3,x∈[-3,5]的最大值為

,最小值為

.

128-117解析

f'(x)=48-3x2,令f'(x)=0,得x=-4(舍去)或x=4,f(-3)=-117,f(5)=115,f(4)=128,所以f(x)最大值為128,最小值為-117.真題體驗(yàn)1.(2022·全國(guó)乙,文11)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為(

)D2.(2021·全國(guó)乙,文12)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則(

)A.a<b B.a>b

C.ab<a2 D.ab>a2D3.(2022·新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為

,

.

練考點(diǎn)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、幾何意義C(2)(2024·北京海淀一模)已知

函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,過(guò)點(diǎn)(0,2)與曲線y=f(x)相切的直線的條數(shù)為n,則m,n的值分別為(

)A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2B解析

令f(x)=0,即當(dāng)x≤0時(shí),x3=0,解得x=0,當(dāng)x>0時(shí),lg(x+1)=0,無(wú)解,故m=1.令g(x)=(2+lg

e)x+2-(x+1)lg(x+1)(x>0),則g'(x)=2-lg(x+1),令g'(x)=0,可得x=99,故當(dāng)x∈(0,99)時(shí),g'(x)>0,即g(x)在(0,99)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(99,+∞)時(shí),g'(x)<0,即g(x)在(99,+∞)上單調(diào)遞減,由g(99)=(2+lg

e)×99+2-200=99lg

e>0,g(0)=2-0=2>0,故g(x)在x∈(0,99)上沒(méi)有零點(diǎn),又g(999)=(2+lg

e)×999+2-1

000×3=999lg

e-1

000<0,故g(x)在(99,999)上必有唯一零點(diǎn),即當(dāng)x0>0時(shí),亦可有一條切線符合要求,故n=2.故選B.A(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線f(x)=ex(x2-2x+2)的切線,則切線共有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條A考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1討論函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間例2(2024·山東聯(lián)合模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=x(1-lnkx).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線y=x垂直,求實(shí)數(shù)k的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.解

(1)因?yàn)閒(x)=x(1-ln

kx),k≠0,所以f'(x)=-ln(kx),曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線y=x垂直,所以f'(e)=-ln(ke)=-1,解得k=1.(2)由f(x)=x(1-ln

kx),得k≠0且f'(x)=-ln(kx),當(dāng)k>0時(shí),f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·江西九江二模)已知曲線y=f(x)=(2x-a)ln(x-1)+b(a,b∈R)在(2,f(2))處的切線方程為3x-y-2=0.(1)求a,b的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性.考向2已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.(方法二)令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,則g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴l(xiāng)n(x+1)>0.當(dāng)a≤0時(shí),g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,∴f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,∴g'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴g'(x)>0-ln

1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴g(x)>0+0-0=0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,符合題意.知識(shí)提煉根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的類型1已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),f(x)中含參數(shù)轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到2已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),I中含參數(shù)先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,再令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,建立不等式組求解3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)區(qū)間轉(zhuǎn)化為f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I上不單調(diào)(方法一)轉(zhuǎn)化為f'(x)=0在I上有解求解,注意驗(yàn)證;(方法二)運(yùn)用補(bǔ)集思想,先求f(x)在區(qū)間I上單調(diào)時(shí)參數(shù)的取值范圍,再取其補(bǔ)集[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·江蘇徐州一模)已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函數(shù)y=f(x)-2x2在(0,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;(2)若直線y=ex與y=f(x)的圖象相切,求a的值.解

(1)記y=f(x)-2x2=ax-ln

x-x2=g(x),因?yàn)間(x)在(0,2]上單調(diào)遞減,考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值考向1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值例4(1)(多選題)(2023·新高考Ⅱ,11)若函數(shù)

(a≠0)既有極大值也有極小值,則(

)A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<0BCD因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即一元二次方程ax2-bx-2c=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根,所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正確,B,C,D正確.故選BCD.(2)(2024·新高考Ⅱ,16)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.①當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;②若f(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.解

①當(dāng)a=1時(shí),則f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e-2),切線斜率k=e-1,所以切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0.②(方法一)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=ex-a,若a≤0,則f'(x)>0對(duì)任意的x∈R恒成立,可知f(x)在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值,不合題意;若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a,可知f(x)在(-∞,ln

a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)有極小值f(ln

a)=a-aln

a-a3,無(wú)極大值,由題意可得f(ln

a)=a-aln

a-a3<0,即a2+ln

a-1>0,令g(a)=a2+ln

a-1,a>0,則g'(a)=2a+>0,可知g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,不等式a2+ln

a-1>0等價(jià)于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范圍為(1,+∞).(方法二)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=ex-a,若f(x)有極小值,則f'(x)=ex-a有零點(diǎn),令f'(x)=ex-a=0,解得ex=a,可知y=ex與y=a有交點(diǎn),則a>0.若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln

a;令f'(x)<0,解得x<ln

a.所以f(x)在(-∞,ln

a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)有極小值f(ln

a)=a-aln

a-a3,無(wú)極大值,符合題意,由題意可得f(ln

a)=a-aln

a-a3<0,即a2+ln

a-1>0,令g(a)=a2+ln

a-1,a>0,因?yàn)閥=a2,y=ln

a-1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可知g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(1)=0,不等式a2+ln

a-1>0?g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范圍為(1,+∞).[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](1)(2024·寧夏銀川一模)若函數(shù)f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2處取得極大值,則f(x)的極小值為(

)A.-6e2

B.-4e C.-2e2

D.-eC解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2處取得極大值,則f'(x)=[x2+(2-a)x-2-a]ex,x∈R且f'(-2)=0,即4-2(2-a)-2-a=0,所以a=2.所以f(x)=(x2-2x-2)ex,f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex,令f'(x)=0,則x=2或x=-2,當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值,所以a=2,f(x)的極小值為f(2)=-2e2.故選C.(2)(2024·陜西咸陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=cosx+x2,若x=0是函數(shù)f(x)的唯一極小值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.[1,+∞) B.(-1,1)C.[-1,+∞) D.(-∞,1]A解析

f'(x)=-sin

x+ax,令g(x)=f'(x)=-sin

x+ax,則g'(x)=-cos

x+a,當(dāng)a≥1時(shí),g'(x)=-cos

x+a≥0,故g(x)單調(diào)遞增,又g(0)=-sin

0+0=0,所以當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),g(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故x=0是函數(shù)f(x)的唯一極小值點(diǎn),符合題意;當(dāng)a<1時(shí),g'(0)=-cos

0+a=-1+a<0,故一定存在m>0,使g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減,此時(shí)x=0不是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),故a<1時(shí)不符合題意.綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).故選A.考向2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值例5(1)(2024·廣東三模)在半徑為R的半球內(nèi)放入一個(gè)正四棱柱,使得正四棱柱上底面的四個(gè)頂點(diǎn)位于半球面上,下底面與半球的大圓面重合,則正四棱柱體積的最大值為(

)D解析

顯然正四棱柱上底面正方形為與半球底面平行的截面圓的內(nèi)接正方形,(2)(2024·河南南陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)=3x2-2lnx+(a-1)x+3在區(qū)間(1,2)內(nèi)有最小值,則整數(shù)a的一個(gè)取值可以是

.

4(答案不唯一,a∈{a∈Z|-10<a<-3}中的任意整數(shù)均可