專題14圓與相似三角函數(shù)綜合問題（解析版）

專題14圓與相似三角函數(shù)綜合問題

【例1】（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，AB是O的直徑，C、D是O上兩點(diǎn)，且BDCD，過點(diǎn)D

的直線DEAC交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，連接AD、OE交于點(diǎn)G．

（1）求證：DE是O的切線；

DG2

（2）若，O的半徑為2，求陰影部分的面積；

AG3

（3）連結(jié)BE，在（2）的條件下，求BE的長．

第1頁共70頁.

2

【答案】（1）見解析；（2）23；（3）13

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對等角得到∠DAB=∠ODA，則∠

CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；

（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=23，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，

∠DOB=60°，DF=23，再根據(jù)S陰影=SDOF-S扇形DOB即可得解；

△3335

（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾

222

股定理求解即可．

【詳解】

解：（1）證明：如圖，連接OD，

BDCD，

CADDAB，

OAOD，

DABODA，

CADODA，

OD//AE，

DEAC，

ODDE，

OD是O的半徑，

DE是O的切線；

（2）解：OD//AE，

第2頁共70頁.

OGD∽EGA，

DGOD

，

AGAE

DG2

，O的半徑為2，

AG3

22

，

3AE

AE3，

如圖，連接BD，

QAB是O的直徑，DEAE，

AEDADB90，

CADDAB，

AED∽ADB，

AEAD

，

ADAB

3AD

即，

AD4

AD23，

AD3

在RtADB中，cosDAB，

AB2

DAB30，

EAF60，DOB60，

F30，

OD2，

22

DF23

tan303，

3

160222

S陰影SS扇形22323；

DOFDOB23603

第3頁共70頁.

（3）如圖，過點(diǎn)E作EMAB于點(diǎn)M，連接BE，

1333

在RtAEM中，AMAEcos603，EMAEsin60，

222

35

MBABAM4，

22

335

BEEM2MB2()2()213．

22

【點(diǎn)睛】

此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，

熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．

【例2】（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，A△B是O的直徑，E為AB上一點(diǎn)，BEBC，

延長CE交AD于點(diǎn)D，ADAC．

（1）求證：AD是O的切線；

1

（2）若tanACE，OE3，求BC的長．

3

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)BEBC，可得BECBCE，根據(jù)對頂角相等可得AEDBEC，進(jìn)而可得BCEAED，

根據(jù)ADAC，可得ADCACE，結(jié)合ACB90，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得AEDD90，進(jìn)而即可

證明AD是O的切線；

第4頁共70頁.

EA1

（2）根據(jù)ADCACE，可得tanDtanACE，設(shè)AEx，則ACAD3x，分別求得

DA3

AC,AB,BC，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得x，進(jìn)而根據(jù)BCx6即可求得．

【詳解】

（1）BEBC，

BECBCE，

AEDBEC，

BCEAED，

ADAC，

ADCACE，

AB是直徑，

ACB90，

DAEDACDBCEACB90，

AD是O的切線；

（2）ADAC，

ADCACE，

EA1

tanDtanACE，

DA3

設(shè)AEx，則ACAD3x，

OBOAAEOE3x,BCBEOEOB3x36x，AB2OA2x6，

在RtABC中，AC2BC2AB2，

222

即3xx62x6，

解得x12,x20（舍去），

BCx68．

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)

化是解題的關(guān)鍵．

【例3】（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，過點(diǎn)A的切線與CD的延長線

交于點(diǎn)M，連接OM與AD交于點(diǎn)E，AD1，CD1．

第5頁共70頁.

（1）求證：△DBC△AMD；

（2）設(shè)ADx，求VCOM的面積（用x的式子表示）；

（3）若AOECOD，求OE的長．

x3x33

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

410

【解析】

【分析】

（1）由矩形性質(zhì)可得ADMDCB90,然后證明DMADBC即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得出ACx21，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出MDx2，則

x21

OAONODOCOB，根據(jù)勾股定理得出MA的值，運(yùn)用三角形面積公式表示即可；

2

x2ND

2

（3）記OM與圓弧交于點(diǎn)N，連接DN，證明△MND△MOC，即可得出12，求出ND

ADx1x1

2

x

的值，過D作DGAC于G，過O作OHDN于H．運(yùn)用等面積法得出HODG，根據(jù)勾股定

x21

x233

理得出DN2DH2OD2HD2，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立ND的值，解方程得出ND，OA，

2x2132

3

設(shè)OEt，則NEt，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論．

2

【詳解】

解：（1）∵四邊形ABCD為O的內(nèi)接矩形，

∴AC，BD過圓心O，且ADCDCB90．

∵ADM90,

第6頁共70頁.

∴DAMDMA90,

又∵AM是O的切線，故DAMDAO90，

由此可得DMADAC，

又∵DAC與DBC都是圓弧DC所對的圓周角，

∴DACDBC，

∴DMADBC，

又∵M(jìn)DABCD90，

∴△DBC△AMD；

（2）解：由ADx，CD1，則ACx21，

x21

由題意OAONODOCOB．

2

DCAD

由（1）知△DBC△AMD，則，

BCMD

代入DC1，BCx，ADx，

1x

可得，解得MDx2．

xMD

在直角△MAD中，MADM2DA2x2x4，

3

112412xx

所以S△MAOCxxx1；

COM2224

（3）解：記OM與圓弧AD交于點(diǎn)N，連接DN．

11

∵AOECOD，ADNAON，DBCDOC，

22

∴ADNDBC．

第7頁共70頁.

又DACDBC，所以∠DAC∠ADN，

∴ND//AC．

MDND

∴△MND△MOC，故．

MCOC

由（2）知，由ADx，CD1，則ACx21，

x21

由題意可得OAONODOCOB，

2

12

代入數(shù)據(jù)MDx2，MCMDDCx21，OCx1，

2

2

xND2

x

得到2，解得①．

x112ND

x12x21

2

過D作DGAC于G，過O作OHDN于H．

易知HODG．

11

由等面積法可得S△DADCACDG，

ADC22

DADCxx

代入數(shù)據(jù)得DG，即HODG．

ACx21x21

在直角三角形HOD中，DN2DH2OD2HD2

1x24x2x21

22．②

2x12x12

4x1x1x21

x2x21

由①②可得，得x22x22，

2x21x21

解得x12，x22（舍去）．

x233

所以ND，OA．

2x2132

NDNE

由ND//AC，故△NED△OEA，故．

AOOE

33

t

33

設(shè)OEt，則NEt，代入得2，

23t

2

3333

解得t，即OE的長為．

1010

【點(diǎn)睛】

第8頁共70頁.

本題考查了圓的綜合問題，相似三角形判定與性質(zhì)，圓切線的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識點(diǎn)，

熟練運(yùn)用相似三角形性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．

【例4】（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，

P三點(diǎn)．

（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．

51

【答案】（1）相切，見解析；（2）

2

【解析】

【分析】

（1）如圖1中，連接AP，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的長，與半徑半徑，可得結(jié)論．

（2）如圖2中，延長AE交BC的延長線于T，連接PQ．利用面積法求出BP，可得結(jié)論．

【詳解】

解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，

∴AP＝AB2BP2＝4232＝5，

第9頁共70頁.

∵OH⊥AB，

∴AH＝HB，

∵OA＝OP，AH＝HB，

13

∴OH＝PB＝，

22

∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，

∴四邊形AHED是矩形，

∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，

35

∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，

22

∴OE＝OP，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）如圖2中，延長AE交BC的延長線于T，連接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，

∴△ADE≌△TCE（ASA），

∴AD＝CT＝4，

∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，

∵∠ABT＝90°，

∴AT＝AB2BT2＝4282＝45，

∵AP是直徑，

∴∠AQP＝90°，

第10頁共70頁.

∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，

∴PB＝PQ，

設(shè)PB＝PQ＝x，

∵SABT＝SABP+SAPT，

△△△

111

∴×4×8＝×4×x+×4×x，

2252

∴x＝25﹣2，

PB51

∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．

AB2

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是掌握切線的證明方法：已知垂直證半徑，已知半徑證垂直，利用三角形面積不同的表示方法構(gòu)建方

程解決問題是難點(diǎn)．

【例5】（2021·遼寧朝陽·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，且∠AOD＝90°，點(diǎn)C是⊙O

外一點(diǎn)，分別連接CA，CB、CD，CA交⊙O于點(diǎn)M，交OD于點(diǎn)N，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，

ME，且∠ACD＝∠E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

1

（2）連接DM，若⊙O的半徑為6，tanE＝，求DM的長．

3

125

【答案】（1）見解析；（2）

5

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理和等量代換可得∠BAC＝∠ACD，進(jìn)而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，

從而得出結(jié)論；

11

（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)可求出ON、

33

第11頁共70頁.

DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面積公式求出DF，再根據(jù)圓周角定理可求出∠AMD＝45°，進(jìn)

而根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系求出DM即可．

【詳解】

解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴AB∥CD，

∴∠ODC＝∠AOD＝90°，

即OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，

1

∵⊙O的半徑為6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，

3

11

∴ON＝OA＝×6＝2，

33

∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，

∴CD＝3DN＝12，

在RtCDN中，

△

CN＝DN2CD2＝42122＝410，

由三角形的面積公式可得，

CN?DF＝DN?CD，

即410DF＝4×12，

610

∴DF＝，

5

11

又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，

22

∴在RtDFM中，

△

第12頁共70頁.

610125

DM＝2DF＝2×＝．

55

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理，掌握銳角三角函數(shù)以及勾股定理是解

決問題的前提．

【例6】（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)

D，BC于點(diǎn)E，直線EFAC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)H．

（1）求證：HF是O的切線；

1

（2）當(dāng)EB6,cosABE時(shí)，求tanH的值．

3

7

【答案】（1）見詳解；（2）2

8

【解析】

【分析】

（1）連接OE，先證明∠C=∠OEB，可得OE∥AC，從而得HF⊥OE，進(jìn)而即可得到答案；

1

（2）連接AE，由EB6,cosABE，可得AB=18，AE=122，再證明HBE∽HEA，設(shè)HA=x，則

3

2

HE=x，OH=x-9，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解．

4

【詳解】

（1）證明：連接OE，

第13頁共70頁.

∵ABAC，

∴∠C=∠ABC，

∵OB=OE，

∴∠ABC=∠OEB，

∴∠C=∠OEB，

∴OE∥AC，

∵EFAC，

∴EF⊥OE，即：HF⊥OE，

∴HF是O的切線；

（2）連接AE，

∵AB是O的直徑，

∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，

1

∵EB6,cosABE，

3

第14頁共70頁.

1

∴AB=EB÷cosABE=6÷=18，AE=18262122，

3

1

∴OA=OE=AB9，

2

∵OE⊥HF，∠AEB=90°，

∴∠HEB+∠BEO=∠AEO+∠BEO，即：∠HEB=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠AEO=∠EAO，

∴∠HEB=∠EAO，

又∵∠H=∠H，

∴HBE∽HEA，

HBHEBE62

∴，

HEHAAE1224

2

設(shè)HA=x，則HE=x，OH=x-9，

4

2144

∴在Rt△OHE中，HE2+OE2=OH2，即：(x)2+92=(x-9)2，解得：x或x=0（舍去），

47

214436

∴HE=×=2，

477

OE97

tanH2

∴36．

HE28

7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)

造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．

【題組一】

1．（2021·廣東·深圳市龍園外語實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，ACCD，

AD與BC相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，與BC延長線相交于點(diǎn)F．

第15頁共70頁.

(1)求證：AE＝AF．

3

(2)若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半徑．

5

【答案】(1)見解析

20

(2)

3

【解析】

【分析】

（1）由切線的性質(zhì)得出∠FAB=90°，由圓周角定理得出∠CAE=∠D，∠D=∠B，證得∠F=∠CEA，則可得

出結(jié)論；

CE63

（2）由銳角三角函數(shù)的定義得出，求出AE=10，由勾股定理求出AC，則可求出AB的長．

AEAE5

(1)

證明：∵AF與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴FA⊥AB，

∴∠FAB=90°，

∴∠F+∠B=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵ACCD，

∴∠CAE=∠D，

∴∠D+∠CEA=90°，

∵∠D=∠B，

∴∠B+∠CEA=90°，

第16頁共70頁.

∴∠F=∠CEA，

∴AE=AF；

(2)

解：∵AE=AF，∠ACB=90°，

1

∴CF=CE=EF=6，

2

∵∠ABF=∠D=∠CAE，

3

∴sin∠ABF=sin∠CAE=，

5

CE63

∴，

AEAE5

∴AE=10，

∴AC=AE2CE210262=8，

AC83

∵sin∠ABC=，

ABAB5

40

∴AB=，

3

120

∴OA=AB=．

23

20

即⊙O的半徑為．

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練

掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．（2021·廣東韶關(guān)·一模）如圖，AC為⊙O的直徑，B為AC延長線上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC

＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．

(1)求證：直線BD是⊙O的切線；

(2)求⊙O的半徑OD的長；

(3)求線段BM的長．

第17頁共70頁.

【答案】(1)見解析

(2)1；

37

(3)

7

【解析】

【分析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求得∠ODB＝90°，按照切線的判定定理可得答案；

（2）利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及圓的半徑相等可得答案；

（3）先由勾股定理求得BE的長，再連接DM，利用有兩個(gè)角相等的三角形相似可判定BMD∽△BDE，

然后利用相似三角形的性質(zhì)可得比例式，從而求得答案．△

(1)

證明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠ADO＝30°，

∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，

∵OD為⊙O的半徑，

∴直線BD是⊙O的切線；

(2)

∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，

1

∴OD＝OB，

2

∵OC＝OD，

∴BC＝OC＝1，

∴⊙O的半徑OD的長為1；

(3)

∵OD＝1，

∴DE＝2，BD＝22123，

∴BE＝BD2DE2＝7，

如圖，連接DM，

第18頁共70頁.

∵DE為⊙O的直徑，

∴∠DME＝90°，

∴∠DMB＝90°，

∵∠EDB＝90°，

∴∠EDB＝∠DME，

又∵∠DBM＝∠EBD，

∴△BMD∽△BDE，

BMBD

∴，

BDBE

BD2337

∴BM＝．

BE77

37

∴線段BM的長為．

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌

握切線的性質(zhì)，三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．

3．（2021·廣東花都·二模）如圖，⊙O是ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑．

(1)尺規(guī)作圖：作∠ABD＝∠ABC，與⊙O△交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)在（1）的條件下，連接CD交AB于點(diǎn)E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半徑長．

【答案】(1)見解析

45

(2)

2

第19頁共70頁.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等，只需作弦AD=AC即可．

（2）連接OA，交DC于H，可得AO∥BD，O是BC中點(diǎn)，可知OH是BD的一半，可得BDE∽△AHE，

利用性質(zhì)可求AH長，最后可得半徑長．△

(1)

解：如圖，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧與圓O交于點(diǎn)D，連接BD，

則∠ABD即所求．

(2)

解：如圖，連接OA，交DC于H，

在⊙O中：設(shè)OB＝OA＝OC＝r，

∴∠OBA＝∠OAB，r＝OH+HA，

∵∠ABD＝∠ABC，

∴∠ABD＝∠OAB，

∴BD∥OA，

∴∠BDC＝∠OHC，

∵BC是直徑，

∴∠BDC＝∠OHC=90°，

第20頁共70頁.

連接OD，

∵OD=OC，OH⊥CD，

∴DH=CH，

∴H是CD的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，

∴OH是BCD的中位線，

1△35

∴OH＝BD＝，

22

∵BE＝7AE，

AE1

∴，

BE7

∵BD∥OA，

∴△BDE∽△AHE，

AEAH1AH

∴，

BEBD735

∴AH＝5，

3545

∴r＝OH+HA＝+5＝．

22

45

∴⊙O的半徑長是．

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的基本性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，靈活運(yùn)用

相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4．（2021·廣東深圳·三模）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延長線

相交于點(diǎn)C，DF是⊙O的切線．

(1)求證：FD＝FC；

(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的長．

第21頁共70頁.

【答案】(1)見解析

85

(2)

3

【解析】

【分析】

（1）連接BD，根據(jù)半圓所對的圓周角是直角得到BD是O的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BDF90，

求得1290，由等腰三角形的性質(zhì)得到ABE3，求得2ABE，根據(jù)等腰三角形的判定定理

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到DFCFDE2EF25，DCDE2CE2428245，根據(jù)余角的性質(zhì)得到

DEEF16

DBEEDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BE，又根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

BEDE3

論．

(1)

解：證明：連接BD，

QBAD90，

BD是O的直徑，

DF是O的切線，

BDF90，

1290，

ABAE，

ABE3，

23，

2ABE，

QABCC90，

2C90，

第22頁共70頁.

1C，

DFCF；

(2)

解：QBAD90，

DEF90，

在Rt△DEF中，EF3，ED4，

DFCFDE2EF25，

在Rt△DEC中，DCDE2CE2428245，

BEDDEFBDF90，

BDEDBEBDEEDF90，

DBEEDF，

DEF∽BED，

DEEF

，

BEDE

16

BE，

3

BACCED90，CC，

CDE∽CBA，

DEDC

，

ABBC

445

16，

AB8

3

85

AB．

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確的識別圖

形．

【題組二】

5．（2022·遼寧·東北育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在ABC中，點(diǎn)O為BC邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A、B兩

點(diǎn)，與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BE下方半圓弧上一點(diǎn)，△FE⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．

第23頁共70頁.

(1)求證：AC為⊙O切線．

(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．

【答案】(1)證明見解析

25

(2)

8

【解析】

【分析】

（1）連接OA，根據(jù)已知條件得到∠AOE＝∠BEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OA⊥AC，于是得到結(jié)論；

（2）連接OF，設(shè)∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠

AFO＝∠OAF＝α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝AF2-DF2=3，根據(jù)

圓周角定理得到∠BAE＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

(1)

證明：連接OA，

∴∠AOE＝2∠F，

∵∠BEF＝2∠F，

∴∠AOE＝∠BEF，

∴AO∥DF，

∵DF⊥AC，

∴OA⊥AC，

∴AC為⊙O切線；

第24頁共70頁.

(2)

解：連接OF，

∵∠BEF＝2DAFE，

∴設(shè)∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，

∴∠BAF＝∠BEF＝2α，

∵∠B＝∠AFE＝α，

∴∠BAO＝∠B＝α，

∴∠OAF＝∠BAO＝α，

∵OA＝OF，

∴∠AFO＝∠OAF＝α，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴AB＝AF＝5，

∵DF＝4，

∴AD＝AF2-DF2=3，

∵BE是⊙O的直徑，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FDA，

∵∠B＝∠AFD，

∴△ABE∽△DFA，

ABBE

∴，

DFAF

5BE

∴，

45

25

∴BE＝，

4

25

∴⊙O半徑＝．

8

第25頁共70頁.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔

助線是解本題的關(guān)鍵．

6．（2021·云南·昆明市第三中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB

的延長線交于點(diǎn)P，∠COB＝2∠PCB．

（1）求證：CP是⊙O的切線；

（2）若M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝6，求MC?MN的值．

【答案】（1）見解析；（2）18

【解析】

【分析】

（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可，根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC

⊥CP即可；

（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ABM＝∠BCM，進(jìn)而可得MBN∽△MCB，故BM2=MN?MC，根

據(jù)銳角三角函數(shù)求出BM，代入數(shù)據(jù)可得MN?MC=BM2=18．△

【詳解】

（1）證明：∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO．

又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，

∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB＝90°．

∴∠PCB+∠OCB＝90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．

第26頁共70頁.

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：連接MA，MB，

∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，

?

∴AMB?M，

∴∠ACM＝∠BCM．

∵∠ACM＝∠ABM，

∴∠BCM＝∠ABM．

∵∠BMN＝∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

BMMN

∴，

MCBM

∴BM2＝MN?MC．

?

∵AB是⊙O的直徑，AMB?M，

∴∠AMB＝90°，AM＝BM．

∴∠ABM=∠BAM=45°，

∵AB＝6，

2

∴BM＝ABsin45°=6=32，

2

∴MN?MC＝BM2＝18．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，等腰直角三角形的

判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．

7．（2021·福建·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABAD．

（1）如圖1，求證：點(diǎn)A到C兩邊的距離相等；

（2）如圖2，已知BD與AC相交于點(diǎn)E，BD為O的直徑．

第27頁共70頁.

DE

①求證：tanCAD；

BE

②若CBD30，AD32，求AE的長．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②AE3632

【解析】

【分析】

（1）連接AC，由等弦對等弧，等弧對等角得ACB∠ACD，即可得證；

BD

（2）①由，得到CADCBD，由直徑所對的圓周角是直角，可推得tanCADtanCBD；

CDCDBC

DECQ

過點(diǎn)D作DQ//EC，交BC延長線于點(diǎn)Q，根據(jù)角的關(guān)系證明CDCQ，又由DQ//EC，得到，進(jìn)

BEBC

DECD

一步等量代換得，即可得證；

BEBC

DE3

（2）②由第一小問知CADCBD30，tanCAD，設(shè)DEa，則BE3a，由條件求出

BE3

DECD

BD的值，建立等量關(guān)系，分別求出DE的值，再證明BAE∽CDE，根據(jù)相似三角形線段成比例得，

AEAB

代入相關(guān)數(shù)值求解即可．

【詳解】

證明：（1）如圖1，連接AC，

ABAD，

ABAD，

第28頁共70頁.

ACBACD，

點(diǎn)A到C兩邊的距離相等；

（2）①CDCD，

CADCBD，

QBD為直徑，

BCD90，

BD

tanCADtanCBD，

BC

如圖2，過點(diǎn)D作DQ//EC，交BC延長線于點(diǎn)Q，

ACBQ，ACDCDQ，

又由（1）知：ACB∠ACD，

CDQQ，

CDCQ，

CE//DQ，

DECQ

BEBC

DECD

，

BEBC

DE

tanCAD，

BE

②如圖，

由（2）①得：CADCBD30，

第29頁共70頁.

DE3

則tanCAD，

BE3

設(shè)DEa，則BE3a，

QBD為直徑，

BAD90，

ABAD32，

∴BD6，

a3a6，

解得：a333，

DE333，BE933，

又BCD90，

CDBDsinCBD3，

BDCBAC，ABDACD，

BAE∽CDE，

DECD

，

AEAB

32

AE(333)3632．

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的相似的性質(zhì)和判定，等弦對等弧，等弧對等角，平行線分線段成比例等相關(guān)知識點(diǎn)，牢

記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

8．（2021·浙江·杭州市采荷中學(xué)二模）在ABC中，ACB90，以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)D．

第30頁共70頁.

（1）如圖①，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點(diǎn)M，連結(jié)CM，若ABC66，求ACM；

（2）如圖②，過點(diǎn)D作O的切線DE交AC于點(diǎn)E，求證：AEEC；

3

（3）如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA，求S△:S△的值．

4ADEACM

4

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

5

【解析】

【分析】

（1）由三角形內(nèi)角和角的計(jì)算問題；

（2）證明EDOECO(SAS)，則DECE，得到AADE，即可求解；

1

（3）設(shè)BC3x，AC4x，AB5x，則EDECACAE2x，由AMH∽ABC，得到

2

11612114848

SACMH4xxx2，同理可得：SAEDI2xxx2，即可求解．

ACM2255ADE222525

【詳解】

解：（1）由題意知，BCBM，

ABC66，

BMCBCM67，又ACB90，

ACMACBBCM906733；

（2）如圖2，DE為圓O的切線，連接OE，

第31頁共70頁.

則EDOECO90，ODOC，OEOE，

EDOECO(SAS)，

DECE，

BDOADE90，DBCA90，且DBOBDO．

AADE．

AEDE，

AECE；

（3）過M作AC的垂線交AC于H，過D作AC的垂線交AC于I，連接CD，

ACDA90，ACDDCB90，

3

tanDCBtanA，

4

1

設(shè)BC3x，AC4x，AB5x，則EDECACAE2x，

2

而AMABMBABBC5x3x2x，

第32頁共70頁.

MH//BC，

則AMH∽ABC，

6

MHx，

5

11612

則SACMH4xxx2，

ACM2255

DI//BC，

ADI∽ABC，

48

同理可得：DIx，

25

114848

則SAEDI2xxx2，

ADE222525

4

所以S:S．

ADEACM5

【點(diǎn)睛】

本題為圓的綜合題，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)以及圓中切線性質(zhì)的應(yīng)用，題目難度不大．

【題組三】

9．（2021·廣東·西南中學(xué)三模）如圖，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以點(diǎn)D為圓心、DA為

半徑作圓弧交半圓O于點(diǎn)P．連結(jié)DP并延長交AB于點(diǎn)E．

求證：（1）DP＝AB；

（2）DE為半圓O的切線；

（3）連結(jié)OE，求tan∠BOE的值．

1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

2

【解析】

【分析】

（1）由正方形和圓的性質(zhì)可知DC＝AB，又DC＝DP，即AB＝DP；

（2）通過SSS證明ODP≌△OCD，得∠DPO＝∠C＝90°即可證明；

△

第33頁共70頁