專題15純函數(shù)的計算推理綜合問題（解析版）

專題15純函數(shù)的計算推理綜合問題

【例1】（2021·北京·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bx(a0)，其對稱軸為直線x=t．

（1）當(dāng)a=1，b=4時，t=________；

（2）當(dāng)a<0時，若點A(1，m)，B(5，n)在此二次函數(shù)圖象上，且m<n，則t的取值范圍是________；

（3）已知點C(0，a)，D(2，3a2b)，若此二次函數(shù)圖象與線段CD有且僅有一個公共點，求t的

取值范圍．

1

【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤

8

【解析】

【分析】

（1）利用對稱軸公式，即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖像開口向下，點A(1，m)，B(5，n)在此二次函數(shù)圖象上，且m<n，可得點B離對稱

軸更近，進而即可求解；

（3）分兩種情況①當(dāng)a＞0時，得到y(tǒng)a222b3a2b，②當(dāng)a＜0時，得到y(tǒng)a222b3a2b，

進而即可求解．

【詳解】

解：（1）∵當(dāng)a=1，b=4時，二次函數(shù)yx24x，

∴對稱軸為直線x=-2，即：t=-2，

故答案是：-2；

（2）∵當(dāng)a<0時，二次函數(shù)yax2bx(a0)的圖像開口向下，

又∵點A(1，m)，B(5，n)在此二次函數(shù)圖象上，且m<n，

∴點B離對稱軸更近，即：|5-t|＜|t-1|，

∴t＞3，

故答案是：t＞3；

（3）①當(dāng)a＞0時，

∵C(0，a)在y軸的正半軸，yax2bx(a0)的圖像過原點，開口向上，此二次函數(shù)圖象與線段CD有且

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僅有一個公共點，

∴只要ya222b3a2b即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，

b1b1

∴≤，即：t=≤，

2a82a8

②當(dāng)a＜0時，同理可得：只要ya222b3a2b，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，

b1b1

∴≤，即：t=≤，

2a82a8

1

綜上所述：t≤．

8

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸方程，二次函數(shù)圖像的對稱性，是解題的關(guān)鍵．

【例2】（2021·江蘇泰州·中考真題）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點在y軸右側(cè)．

（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）該二次函數(shù)表達式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；

（3）若點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象

的交點在x軸下方，求a的范圍．

a1

【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜a2．

2

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式即可得答案；

（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；

（3）利用（2）的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)頂點在y軸右側(cè)，過點（m+3，0）作y軸的平

行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得答案．

【詳解】

（1）∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+（a﹣1）x+a，

a1a1

∴頂點橫坐標(biāo)為=．

2(1)2

（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=(x1)(xa)=﹣（x﹣p）（x﹣a），

∴p=-1．

（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=(x1)(xa)，

∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-1，0），（a，0），

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∵-1＜0，

∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，

∵圖象的頂點在y軸右側(cè)，

a1

∴＞0，

2

∴a1，

∵點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，

∴-1＜m＜a，

∵過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，

∴a(1)≤3，

解得：a2，

∴a的范圍為1＜a≤2．

【點睛】

本題考查二次函數(shù)、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數(shù)頂點坐標(biāo)公式是解題關(guān)鍵．

【例3】（2021·山東威海·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22mx2m2m的頂點為A．

（1）求頂點A的坐標(biāo)（用含有字母m的代數(shù)式表示）；

（2）若點B2,yB，C5,yC在拋物線上，且yByC，則m的取值范圍是；（直接寫出結(jié)果即

可）

（3）當(dāng)1x3時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．

27141

【答案】(1)頂點A的坐標(biāo)為(-m,m-m)；(2)m；(3)m或2

24

【解析】

【分析】

(1)將拋物線解析式化成y(xm)2m2m的形式，即可求得頂點A的坐標(biāo)；

(2)將B2,yB，C5,yC代入拋物線中求得yB和yC的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小

值，進而求出m的值．

【詳解】

解：(1)由題意可知：

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拋物線yx22mx2m2m(xm)2m2m，

∴頂點A的坐標(biāo)為(-m,m2-m)；

22

(2)將B2,yB代入yx2mx2mm中，

222

得到y(tǒng)B22m22mm2m3m4，

22

將C5,yC代入yx2mx2mm中，

222

得到y(tǒng)C52m52mm2m9m25，

由已知條件知：yByC，

∴2m29m252m23m4，

整理得到：6m21，

7

解得：m，

2

7

故m的取值范圍是：m；

2

(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對稱軸為xm，

分類討論：

①當(dāng)m1，即m1時，

x1時二次函數(shù)取得最小值為y122m2m2m2m2m1，

又已知二次函數(shù)最小值為6，

141141

∴2m2m16，解得m或m，

44

141

又m1，故m符合題意；

4

②當(dāng)m3，即m3時，

x3時二次函數(shù)取得最小值為y322m32m2m2m25m9，

又已知二次函數(shù)最小值為6，

3

∴2m25m96，解得m或m1，

2

3

又m3，故m或m1都不符合題意；

2

③當(dāng)1￡-m￡3，即3m1時，

第4頁共59頁.

xm時二次函數(shù)取得最小值為ym22m22m2mm2m，

又已知二次函數(shù)最小值為6，

∴m2m6，解得m3或m2，

又3m1，故m2符合題意；

141

綜上所述，m或2．

4

【點睛】

本題考查待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，不等式的解法等，計算過程中細(xì)心，熟練

掌握二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

【例4】（2021·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc的圖像經(jīng)過2,1,2,3兩點．

（1）求b的值．

（2）當(dāng)c1時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是________．

（3）設(shè)m,0是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點，當(dāng)1m3時，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范

圍．

4

【答案】（1）b1；（2）1；（3）a0或a．

5

【解析】

【分析】

（1）將點2,1,2,3代入求解即可得；

（2）先求出二次函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；

（3）分a0和a0兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．

【詳解】

4a2bc1

解：（1）將點2,1,2,3代入yax2bxc得：，

4a2bc3

兩式相減得：4b4，

解得b1；

（2）由題意得：a0，

11

由（1）得：yax2xca(x)2c，

2a4a

1

則此函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)為c，

4a

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將點2,3代入yax2xc得：4a2c3，

解得4ac1，

11

則cc，

4ac1

下面證明對于任意的兩個正數(shù)x0,y0，都有x0y02x0y0，

2

(x0y0)x0y02x0y00，

x0y02x0y0（當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時，等號成立），

當(dāng)c1時，c10，

1111

則cc112(c1)11（當(dāng)且僅當(dāng)c1，即c=0時，等號成立），

c1c1c1c1

1

即c1，

4a

故當(dāng)c1時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是1；

（3）由4a2c3得：c4a1，

則二次函數(shù)的解析式為yax2x4a1(a0)，

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)a0時，則當(dāng)x1時，y0；當(dāng)x3時，y0，

a14a10

即，

9a34a10

解得a0；

②如圖，當(dāng)a0時，

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當(dāng)x1時，ya14a13a0，

當(dāng)x3時，y9a34a10，

4

解得a，

5

4

綜上，a的取值范圍為a0或a．

5

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．

【例5】（2021·浙江杭州·中考真題）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)yax2bx1（a，b是常數(shù)，a0）．

（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過1,0和2,1兩點，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．

（2）寫出一組a，b的值，使函數(shù)yax2bx1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由．

（3）已知ab1，當(dāng)xp,q（p，q是實數(shù)，pq）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若pq2，

求證PQ6．

【答案】（1）yx22x1，頂點坐標(biāo)是1,0；（2）a1，b3，理由見解析；（3）見解析．

【解析】

【分析】

（1）把點1,0和2,1代入二次函數(shù)解析式進行求解，然后把一般式化為頂點式即可求解頂點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可直接進行求解；

2

（3）由題意，得Pp2p1，Qq2q1，則有PQ2q16，進而問題可求解．

【詳解】

ab10

解：（1）把點1,0和2,1代入得：，

4a2b11

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a1

解得，

b2

2

∴yx22x1，則化為頂點式為yx1，

∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是1,0；

（2）例如a1，b3，此時yx23x1；

因為b24ac50，

所以函數(shù)yx23x1圖象與x軸有兩個不同的交點；

（3）由題意，得Pp2p1，Qq2q1，

∵pq2，

∴PQp2p1q2q1

p2q24

2

2qq24

2

2q166，

由題意，知q1，

所以PQ6．

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【例6】（2021·天津·中考真題）已知拋物線yax22axc（a，c為常數(shù)，a0）經(jīng)過點C0,1，頂點

為D．

（Ⅰ）當(dāng)a1時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

（Ⅱ）當(dāng)a0時，點E0,1a，若DE22DC，求該拋物線的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)a1時，點F0,1a，過點C作直線l平行于x軸，Mm,0是x軸上的動點，Nm3,1是

直線l上的動點．當(dāng)a為何值時，F(xiàn)MDN的最小值為210，并求此時點M，N的坐標(biāo)．

12327

【答案】（Ⅰ）拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,2)；（Ⅱ）yxx1或yx3x1；（Ⅲ）點M的坐標(biāo)為,0，

226

11

點N的坐標(biāo)為,1

6

第8頁共59頁.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）結(jié)合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點式，即可得

到答案

（Ⅱ）根據(jù)題意，得拋物線的解析式為yax22ax1；根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，計算得點D的坐標(biāo)為

13

(1,a1)；過點D作DGy軸于點G，根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，得a，a，從而得

1222

到答案；

（Ⅲ）當(dāng)a1時，將點D(1,a1)向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得D(2,a)；作點F

關(guān)于x軸的對稱點F，當(dāng)滿足條件的點M落在線段FD上時，根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)，得FMDN

5

最小，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì)，得a1，從而得直線FD的解析式，通過計算即

2

可得到答案．

【詳解】

（Ⅰ）當(dāng)a1時，拋物線的解析式為yx22xc．

∵拋物線經(jīng)過點C(0,1)

∴00c1

解得：c1

∴拋物線的解析式為yx22x1

∵yx22x1(x1)22

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,2)；

（Ⅱ）當(dāng)a0時，由拋物線yax22axc經(jīng)過點C(0,1)，可知c1

∴拋物線的解析式為yax22ax1

∴拋物線的對稱軸為：x1

當(dāng)x1時，ya1

∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)為(1,a1)；

過點D作DGy軸于點G

第9頁共59頁.

在Rt△DEG中，DG1，EG1a(a1)2a2，

∴DE2DG2EG21(2a2)2

在RtDCG中，DG1，CG1(a1)a，

∴DC2DG2CG21a2．

∵DE22DC，即DE28DC2，

∴1(2a2)281a2

13

解得：a，a

1222

13

∴拋物線的解析式為yx2x1或yx23x1．

22

（Ⅲ）當(dāng)a1時，將點D(1,a1)向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得D(2,a)．

作點F關(guān)于x軸的對稱點F，得點F的坐標(biāo)為(0,a1)

當(dāng)滿足條件的點M落在線段FD上時，F(xiàn)MDN最小，

此時，F(xiàn)MDNFD210．

過點D￠作DHy軸于點H

第10頁共59頁.

在RtFDH中，DH2，F(xiàn)Ha(a1)12a，

∴FD2F2H2DH2(12a)24．

又FD240，即(12a)2440．

57

解得：a，a（舍）

1222

75

∴點F的坐標(biāo)為0,，點D￠的坐標(biāo)為2,．

22

7

∴直線FD的解析式為y3x．

2

7

當(dāng)y0時，x．

6

711

∴m，m3

66

711

∴點M的坐標(biāo)為,0，點N的坐標(biāo)為,1．

66

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、兩點之間線段最短的知識；解題

的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、勾股定理、一元二次方程、平移的性質(zhì)，從而完成求解．

【例7】（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二次函數(shù)yx26x5．

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；

（2）當(dāng)1x4時，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

（3）當(dāng)t≤x≤t3時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，m-n=3求t的值．

【答案】（1）3,4；（2）函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）t33或3．

第11頁共59頁.

【解析】

【分析】

（1）把二次函數(shù)yx26x5配成頂點式即可得出結(jié)論；

（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定函數(shù)的最大值和最小值．

（3）分t＜0；0t3；t3三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和m-n=3列出關(guān)于t的方程，解之即可．

【詳解】

2

（1）∵yx26x5x34，∴頂點坐標(biāo)為3,4．

（2）∵頂點坐標(biāo)為3,4，∴當(dāng)x3時，y最大值4，

∵當(dāng)1x3時，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x1時，y最小值0．

∵當(dāng)3x4時，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x4時，y最小值3．

∴當(dāng)1x4時，函數(shù)的最大值為4，最小值為0．

（3）當(dāng)t≤x≤t3時，對t進行分類討論．

①當(dāng)t33時，即，t0，y隨著x的增大而增大．

當(dāng)xt時，nt26t5．

∴mnt24t26t56t9．

∴6t93，解得t1（不合題意，舍去）．

②當(dāng)0t3時，頂點的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴m4．

3

i）當(dāng)0t時，在xt時，nt26t5，

2

∴mn4t26t5t26t9．

2

∴t6t93，解得t133，t233（不合題意，舍去）．

3

ii）當(dāng)t3時在xt3時，nt24，

2

∴mn4t24t2．

∴2，解得，，（不合題意舍去）．

t3t13t23

③當(dāng)t3時，y隨著x的增大而減小，

當(dāng)xt時，mt26t5，

第12頁共59頁.

2

當(dāng)xt3時，nt36t35t24，

∴mnt26t5t246t9

∴6t93，解得t2（不合題意，舍去）．

綜上所述，t33或3．

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查拋物線的性質(zhì)以及最值問題，有難度，并學(xué)會利用參數(shù)解決問題是解題的關(guān)

鍵，屬于中考?？碱}型．

【例8】（2021·安徽·中考真題）已知拋物線yax22x1(a0)的對稱軸為直線x1．

（1）求a的值；

（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且1x10，1x22．比較y1與y2的大小，并說

明理由；

（3）設(shè)直線ym(m0)與拋物線yax22x1交于點A、B，與拋物線y3(x1)2交于點C，D，求線段

AB與線段CD的長度之比．

【答案】（1）a1；（2）y1y2，見解析；（3）3

【解析】

【分析】

b

（1）根據(jù)對稱軸x，代值計算即可

2a

（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果

23m

（3）先根據(jù)求根公式計算出x1m，再表示出AB|m1(m1)|，CDx1x2=，即可

3

得出結(jié)論

【詳解】

2

解：（1）由題意得：x1

2a

\a=1

（2）拋物線對稱軸為直線x1，且a10

當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小，

當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大．

第13頁共59頁.

當(dāng)1x11時，y1隨x1的增大而減小，

x1時，y4，x0時，y1

1y14

同理：1x22時，y2隨x2的增大而增大

x1時，y0．

x2時，y1

0y21

y1y2

（3）令x22x1m

x22x(1m)0

(2)241(1m)

4m

24m

x1m

21

x1m1x2m1

AB|m1(m1)|

2m

令3(x1)2m

第14頁共59頁.

m

(x1)2

3

3m3m

x1x1

1323

23m

CDx1x2

3

AB2m

3

CD23m

3

AB與CD的比值為3

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)

鍵，利用交點的特點解題是重點

一、解答題

2

1．（2021·廣東·廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)二模）設(shè)拋物線G1：y＝ax+bx+c（a＞0，c＞1），當(dāng)x＝c時，y＝0；

當(dāng)0＜x＜c時，y＞0．

(1)試用含a，c的式子表示b；

(2)請比較ac和1的大小，并說明理由；

(3)若c＝2，點A（x，y1）在拋物線G1上，點B（x，y2）在另一條拋物線G2上，點C（x，x）為平面內(nèi)一

點，若對于任意實數(shù)x點A、B到點C的距離都相等，設(shè)拋物線G2的頂點為點D，拋物線G1的對稱軸與拋

物線G2的交點為F，直線DF解析式為y＝mx+n，請求出m的值．

【答案】(1)b＝﹣1﹣ac

(2)ac≤1，理由見解析

(3)1

【解析】

【分析】

（1）將xc，y0代入解析式可求解；

（2）由0xc時，y0可確定對稱軸和c之間關(guān)系，即可確定ac和1的大?。?/p>

第15頁共59頁.

（3）先求出拋物線G2的解析式，再求出點D，點F的坐標(biāo)代入直線解析式可求解．

(1)

解：當(dāng)xc時，y0，

ac2bcc0，

c1，

acb10，

b1ac；

(2)

解：ac?1，

理由如下：當(dāng)0xc時，y0，當(dāng)xc時，y0，

b

二次函數(shù)yax2bxc的對稱軸為直線x?c，即b?2ac

2a

bac1?2ac，

ac?1；

(3)

2

解：當(dāng)c2，則拋物線G1的解析式為yax(12a)x2，

點A、B到點C的距離都相等，

y1xxy2，

2

y22xy1ax(32a)x2，

2

拋物線G2的解析式為yax(32a)x2，

32a4a24a9

點D(，)，

2a4a

12a

拋物線G的對稱軸為直線x，

12a

12a4a24a5

點F(，)，

2a4a

直線DF解析式為ymxn，

4a24a932a

mn

4a2a

，

4a24a512a

mn

4a2a

解得：m1，

m的值為1．

第16頁共59頁.

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是求出拋物線G2的解

析式．

9

2．（2022·福建三明·一模）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（-4，0）和點B（5，）

4

1

（1）求證:a+b=；

4

（2）若拋物線經(jīng)過點C（4，0）

①點D在拋物線上，且點D在第二象限，并滿足∠ABD=2∠BAC，求點D的坐標(biāo)；

②直線y=kx-2（k≠0）與拋物線交于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），點P是直線MN下方的拋物線上

的一點，點Q在y軸上，且四邊形MPNQ是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)

【答案】（1）證明見解析；（2）①（-6,5）；②（0，0）

【解析】

【分析】

9

（1）把A（-4，0）和點B（5，）代入函數(shù)解析式計算即可；

4

（2）先求出拋物線和直線AB的解析式，求出直線AB關(guān)于x軸的對稱直線AE，則∠BAE=2∠BAC，再過

B作AE的平行線與拋物線的交點即為D點；

（3）根據(jù)四邊形對角線互相平分結(jié)合中點公式計算即可．

【詳解】

9

（1）把A（-4，0）和點B（5，）代入函數(shù)解析式得：

4

16a4bc0

9

25a5bc

4

9

兩個方程相減得：9a9b，

4

1

即a+b=

4

（2）∵拋物線經(jīng)過點C（4，0）

16a4bc0

∴16a4bc0

9

25a5bc

4

第17頁共59頁.

1

解得：a,b0,c4

4

1

∴拋物線解析式為yx24

4

9

①∵A（-4，0）和點B（5，）

4

1

∴直線AB的解析式為yx1

4

∴直線AB與y軸的交點F坐標(biāo)為（0,1）

∴點F關(guān)于x軸的對稱點E坐標(biāo)為（0，-1）

1

∴∠EAC=∠BAC，直線AE的解析式為yx1

4

∴∠BAE=2∠BAC

B作AE的平行線與拋物線的交點為D點

∴∠ABD=∠BAE=2∠BAC

1

∵直線AE的解析式為yx1

4

1

∴設(shè)BD解析式為yxb

41

917

代入B（5，）得BD解析式為yx

442

聯(lián)立BD與拋物線解析式得：

第18頁共59頁.

17

yxx5

42x6

，解得9或

12yy5

yx44

4

∴D點坐標(biāo)為（-6,5）

②∵M、N、P三個點在拋物線上，點Q在y軸上

111

∴設(shè)M(m,m24),N(n,n24),P(p,p24),Q(0,q)，

444

mnm2n2

∴MN中點坐標(biāo)為(,4)

28

p11

PQ中點坐標(biāo)為(,p2q2)

282

∵直線y=kx-2（k≠0）與拋物線交于設(shè)M，N兩點

ykx2

1

∴，整理得2

12xkx20

yx44

4

∴mn4k,mn8

m2n21

∴4(mn)22mn42k22

88

∴MN中點坐標(biāo)為(2k,2k22)

∵四邊形MPNQ是平行四邊形

∴MN和PQ互相平分，即MN、PQ的中點是同一個點

1

2kp

2

∴

11

2k22p2q2

82

11

整理得2k22(4k)2q2，解得q0

82

∴Q點坐標(biāo)為（0，0）．

【點睛】

本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合題，涉及到直線的對稱與平行、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，與到兩倍角

問題通過對稱構(gòu)造倍角是解題的關(guān)鍵．

3．（2020·北京通州·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax24ax4a0與y軸交于點A．

（1）求點A的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

（2）過點B0,3作y軸的垂線l，若拋物線yax24ax4a0與直線l有兩個交點，設(shè)其中靠近y軸的

第19頁共59頁.

交點的橫坐標(biāo)為m，且m1，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a得取值范圍．

11

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（0，4），拋物線的對稱軸為直線x=2；（2）a＜?或a＞．

53

【解析】

【分析】

（1）由拋物線解析式可求出A的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

（2）分a＞0和a＜0畫出圖形，求出a的值，由圖象可得a的取值范圍．

【詳解】

解：（1）y=ax2-4ax+4=a（x-2）2+4-4a．

∴點A的坐標(biāo)為（0，4），拋物線的對稱軸為直線x=2．

（2）當(dāng)a＞0時，臨界位置如圖所示：

∵靠近y軸的交點的橫坐標(biāo)為m，且|m|＜1，

11

∴將點（1，3）代入拋物線解析式得：ax24ax10，x24(a),

a4

∵|m|＜1，

1

∴241，

a

1

∴a>．

3

當(dāng)a＜0時，臨界位置如圖所示：

第20頁共59頁.

1

將點（-1，3）代入拋物線解析式得ax24ax43，x24，

a

∵|m|＜1，

1

∴-1<240，

a

1

∴a＜?．

5

11

∴a的取值范圍為a＜?或a＞．

53

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及拋物線與y軸的交點．

4．（2021·福建·重慶實驗外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知拋物線yax2bx2與x軸交于A(1,0)和B兩點，與y

?

軸交于C點，且AB5．對于該拋物線上的任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，當(dāng)x1x21時，總有y1y2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若過點A的直線l:ykxb1與該拋物線交于另一點E，與線段BC交于點F．作EG//AC，EG與BC

交于G點，求EG的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)；

（3）若直線yk1x4k13與拋物線交于P，Q兩點(P，Q不與A，B重合），直線AP，AQ分別與y軸交

于點M，N，設(shè)M，N兩點的縱坐標(biāo)分別為m，n，試探究m、n之間的數(shù)量關(guān)系．

123453

【答案】（1）yxx2；（2）EG有最大值，此時E(2,3)；（3）mn

2252

【解析】

【分析】

（1）求得B點坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求解即可；

第21頁共59頁.

（2）求得直線l和BC的解析式，分別聯(lián)立直線l和BC，直線l和拋物線，求得E、F兩點，再根據(jù)相似三

角形表示出EG，即可求解；

（3）分別聯(lián)立直線AP與拋物線，直線AQ與拋物線，求得P、Q兩點，再根據(jù)P、Q兩點和點(4,3)共線，

斜率相等，即可求解．

【詳解】

解：（1）A(1,0)，AB5，

B(4,0)或B(6,0)，

當(dāng)B(4,0)時，ax2bx20的兩個根為x4或x1，

2b

4，3，

aa

13

a，b，

22

13

yx2x2，

22

3

函數(shù)的對稱軸為直線x，

2

?

當(dāng)x1x21時，總有y1y2，

13

函數(shù)的解析式為yx2x2；

22

當(dāng)B(6,0)時，ax2bx20的兩個根為x6或x1，

2b

6，7，

aa

17

a，b，

33

17

yx2x2，

33

7

函數(shù)的對稱軸為直線x，

2

7

當(dāng)?xx?1時，總有yy，

21212

17

yx2x2不符合題意；

33

13

綜上所述：函數(shù)的解析式為yx2x2；

22

（2）分別過點E、F作ENAB，F(xiàn)MAB，如下圖：

第22頁共59頁.

則EN//FM，∴△AFM∽△AEN，

AFAM

∴，

AEAN

AFAM

∴

EFMN

由題意可得，kb10，

∴b1k，

∴直線l解析式為ykxk，

∵C(0,2)，

設(shè)直線BC的解析式為yk2xb2，

1

b22k21

∴，解得2，即yx2，

4k2b202

b22

聯(lián)立直線l和BC得：

42k

x

2k142k5k

解得，解得F(，)

5k2k12k1

y

2k1

聯(lián)立直線l和拋物線得：

13

yx2x2

22，

ykxk

化簡得：x2(2k3)x2k40，

∴xAxE32k，

∴xE42k，

EG//AC，

第23頁共59頁.

EGF∽ACF，

EGEFMN

，

ACAFMA

AC5，

42k

42k

EG

2k1，

42k

51

2k1

4545

EG(k1)2，

55

拋物線開口向下，對稱軸為k1，

45

當(dāng)k1時，EG有最大值，此時E(2,3)；

5

（3）直線AP經(jīng)過點A(1,0)，M(0,m)，

直線AP的解析式為ymxm，

13

yx2x2

聯(lián)立22，

ymxm

x42m

解得2，

y2m5m

P(42m,2m25m)，

直線AQ經(jīng)過A(1,0)，Q(0,n)，

直線AQ的解析式為ynxn，

13

yx2x2

聯(lián)立22，

ynxn

x42n

解得2，

y2n5n

Q(42n,2n25n)，

直線yk1x4k13經(jīng)過定點K(4,3)，P、Q在直線上，

kPKkKQ，

2m25m32n25n3

，化簡得：(2mn3)(mn)0

2m2n

∵M，N兩點不重合，∴mn

3

∴mn

2

【點睛】

第24頁共59頁.

此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性

質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模）已知，二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)

（1）當(dāng)a為何值時，該函數(shù)圖象的頂點在x軸上，并寫出頂點的坐標(biāo)；

1

（2）已知點(3，-)，(1，0)，(2，－3)，該函數(shù)圖象過其中的兩點，求此函數(shù)的解析式；

2

（3）已知a＞0，若點A（b，m)，B(b＋3，n)是該函數(shù)圖象上的兩點，且m＞n，求b的取值范圍．

15

【答案】（1）a＝1時，頂點坐標(biāo)為（-1，0）；（2）yx2x1；（3）b

22

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)一般式頂點坐標(biāo)的公式求解即可．

（2）根據(jù)解析式特征，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性來判斷求解．

（3）根據(jù)函數(shù)的增減性，結(jié)合圖像判斷求解．

【詳解】

（1）∵函數(shù)頂點在x軸上

4acb24a1(2a)2

∴0即0

4a4a

，

解得：a11a20（舍去）

b2a

當(dāng)a1時，1

2a2a

∴a＝1時，頂點在x軸上，坐標(biāo)為（-1，0）

（2）∵yax22ax1

b2a

∴對稱軸為：x1

2a2a

1

∵如果函數(shù)過點（1，0），其對稱點為（-3，0），與(3，-)沖突

2

∴函數(shù)圖象必過（2，-3）

∴4a4a13

1

解得：a

2

1

∴函數(shù)的解析式為：yx2x1

2

（3）當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)開口向上，距離對稱軸越遠(yuǎn)的點，縱坐標(biāo)值越大

第25頁共59頁.

∵m＞n，對稱軸為：x1

∴b(1)b3(1)，即b1b4

①當(dāng)b