專題09 二次函數(shù)-將軍飲馬求最小值（對(duì)稱）（解析版）

第九講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（對(duì)稱）

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn).....................................................................................................................................2

考點(diǎn)二一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn).....................................................................................................................................7

考點(diǎn)三兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)...................................................................................................................................11

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；

（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：

A、A’是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：

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（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：

（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的

四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最

短.

考點(diǎn)一兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)

1．如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+1過B、

C兩點(diǎn)，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M（3，1）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE

⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM

的最小值．

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【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+1過B、C兩點(diǎn)，

當(dāng)x＝0時(shí)，得y＝1，

∴C（0，1），

當(dāng)y＝0時(shí)，代入y＝﹣x+1，得x＝4，

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，1）分別代入y＝﹣x2+bx+c，

得，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+1；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣+x+1），

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，﹣x+1），

∴DE＝﹣+x+1﹣（﹣x+1）＝﹣+x+1+x﹣1＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，DE有最大值，最大值為1，

此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），

∵C（0，1），M（3，1），

∴點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

連接CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PM最小，如圖所示：

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連接CM交直線DE于點(diǎn)F，則∠DFC＝90°，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1），

∴CD＝＝，

∵PD+PM＝PC+PD＝CD，

∴PD+PM的最小值為．

2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c

（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；

（2）當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP周長(zhǎng)的最小值；

【解答】解：（1）直線y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，

∴B（0，﹣2），

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣2＝0，

∴x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，

，

∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；

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（2）如圖1，當(dāng)a＝時(shí)，2×﹣b＝1，

∴b＝﹣，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，

∴拋物線的對(duì)稱軸是：x＝1，

由對(duì)稱性可得C（4，0），

要使△ABP的周長(zhǎng)最小，只需AP+BP最小即可，

如圖1，連接BC交直線x＝1于點(diǎn)P，

因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，由對(duì)稱性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，

此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)最小，所以△ABP的周長(zhǎng)為AB+BC，

Rt△AOB中，AB＝＝＝2，

Rt△BOC中，BC＝＝＝2，

∴△ABP周長(zhǎng)的最小值為2+2；

2

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝﹣x+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，若點(diǎn)E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線的對(duì)稱軸上，求使得

△ECD面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)EF+CF的最小值；

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【解答】解：（1）將A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

∴，

∴y＝﹣x2+x+8；

（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，

∴對(duì)稱軸為直線x＝2，

令y＝0，則﹣x2+x+8＝0，

∴x＝﹣4或x＝8，

∴C（8，0），

設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+4，

過點(diǎn)E作EH⊥x軸交CD于點(diǎn)H，

設(shè)E（m，﹣m2+m+8），F(xiàn)（2，n），則H（m，﹣m+4），

∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，

222

∴S△ECD＝×8×（﹣m+m+4）＝﹣m+6m+16＝﹣（m﹣3）+25，

∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△ECD的面積有最大值25，

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此時(shí)E（3，），

連接BE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，連接CF，

∵B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，

∴BF＝CF，

∴CF+EF＝BF+EF≥BE，

當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF+CF有最小值，最小值為BE，

∴BE＝＝；

考點(diǎn)二一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

4．如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5

交于B，C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M，N分別是直線BC和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，

并寫出△DMN周長(zhǎng)的最小值；

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【解答】解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝5，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（5，0）、（0，5），

則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+5，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：b＝4，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x+5…①；

（2）過點(diǎn)D分別作x軸和直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣3）、D″，

令y＝0，則x＝﹣1或5，

故點(diǎn)A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°，

∵∠OCB＝45°，則CD″∥x軸，則點(diǎn)D″（2，5），

連接D′D″交x軸、直線BC于點(diǎn)N、M，此時(shí)△DMN的周長(zhǎng)最小，

將點(diǎn)D′、D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n并解得：

m＝4，n＝﹣3，故：直線D′D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝4x﹣3，

則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，）、（，0），

△DMN周長(zhǎng)的最小值＝DM+DN+MN＝D′D″＝＝2；

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），求

△DEF周長(zhǎng)的最小值；

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【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，﹣3）．

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，D2為D關(guān)于ZX直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接D1E，

D2F，D1D2．

由對(duì)稱性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周長(zhǎng)＝D1E+EF+D2F，

∴當(dāng)D1，E．F．D2共線時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為D1D2的長(zhǎng)，

令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或3，

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∴B（3，0），

∴OB＝OC＝3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），

∴D2（1，﹣3），

∵D，D1關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D1（0，2），

∴D1D2＝＝＝，

∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值為．

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物

線為．點(diǎn)C為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，交拋

物線于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)DE＝2時(shí)，求四邊形CAEB的面積；

（2）若直線CE移動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸位置，點(diǎn)P、Q分別為直線CE和x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求△

BPQ周長(zhǎng)的最小值；

【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，

由CD⊥x軸得：xE＝xD＝m．

2

則有yE＝﹣m﹣m+2，yD＝m+2．

2

則DE＝y(tǒng)E﹣yD＝（﹣m﹣m+2）﹣（m+2）＝2．

解得：m1＝m2＝﹣2．

2

則yE＝﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）+2＝3．

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由x+2＝0得x＝﹣4，則A（﹣4，0），OA＝4．

則S四邊形CAEB＝S△ACE+S△BCE

＝CE?AO＝×3×4＝6．

（2）過點(diǎn)B作CE的對(duì)稱點(diǎn)B′，作x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接PB′、QB″、B′B″，如圖2，

則點(diǎn)B′必在拋物線上，且yB′＝y(tǒng)B，OB″＝OB，PB′＝PB，QB″＝QB．

則△BPQ的周長(zhǎng)＝PB+PQ+QB＝PB′+PQ+QB″．

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得：

當(dāng)B′、P、Q、B″共線時(shí)，△BPQ的周長(zhǎng)最小，最小值等于B′B″的長(zhǎng)．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝×0+2＝2，則點(diǎn)B（0，2）．

則有OB″＝2．

2

解方程﹣x﹣x+2＝2得：x1＝0，x2＝﹣3．

則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣3，2）．

在Rt△BB′B″中，

∵∠B′BB″＝90°，BB′＝3，BB″＝2+2＝4，

∴B′B″＝5．

∴△BPQ的周長(zhǎng)的最小值為5．

考點(diǎn)三兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)

7．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，4），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，

其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）

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（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線

PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D，G，H，

F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G，H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)為（1，4）

∴設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+4

∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線上

∴a（3﹣1）2+4＝0

解得：a＝﹣1

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）x軸上存在點(diǎn)H使D，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小．

如圖，作點(diǎn)F關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接EF'

∵x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3

∴D（0，3）

∵當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0

解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴A（﹣1，0）

∵點(diǎn)E在拋物線上且橫坐標(biāo)為2

2

∴yE＝﹣2+2×2+3＝3

∴E（2，3）

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∴點(diǎn)D、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴DG＝EG

設(shè)直線AE解析式為y＝kx+e

∴解得：

∴直線AE：y＝x+1

∴F（0，1）

∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2

∴C四邊形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H

∴當(dāng)點(diǎn)E、G、H、F'在同一直線上時(shí)，C四邊形DGHF＝DF+EF'最小

∵EF'＝

∴C四邊形DGHF＝2+2

設(shè)直線EF'解析式為y＝mx﹣1

∴2m﹣1＝3

∴m＝2

∴直線EF'：y＝2x﹣1

當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝

∴H（，0）

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2﹣1＝1

∴G（1，1）

∴四邊形DGHF周長(zhǎng)最小值為2+2，點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0）．

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8．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為D（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（2，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，M為線段O、B之間一動(dòng)點(diǎn)，N為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在使M、C、D、N

四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出這個(gè)最小值及M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）2+4，

將C（2，3）代入，解得：a＝﹣1

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3．

（2）作D（1，4）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)G（﹣1，4），

C（2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)H（2，﹣3），

∵CD是一個(gè)定值，∴要使四邊形MCDN的周長(zhǎng)最小，

只要使DN+MN+MC最小即可

由圖形的對(duì)稱性，可知，

DN+MN+MC＝GN+NM+HM，

只有當(dāng)GH為一條直線段時(shí)，

可求得：CD＝，GH＝，

∴四邊形MCDN的周長(zhǎng)最小為+，

此時(shí)直線GH為y＝﹣x+，

∴點(diǎn)N（0，），點(diǎn)M（，0）．

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9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩

點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如