專題17 解答題壓軸題新定義題型（解析版）

專題17解答題壓軸題新定義題型（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一函數(shù)中的新定義問(wèn)題

1．（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階

方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，1）是函數(shù)y圖象的“2階方點(diǎn)”．

1112

=

（1）在①（﹣2，3）3；②（﹣1，﹣1）；③（21，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y?圖象的“1階方點(diǎn)”

11

的有②③（填?序2號(hào)）；=?

（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；

（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值

范圍．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

（2）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2

階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求a的值即可；

（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．

解：（1）①（﹣2，）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2，，

11

?

∵2＞1，＜1，22

1

∴（﹣2，2）不是反比例函數(shù)y圖象的“1階方點(diǎn)”；

11

②（﹣1，?﹣21）到兩坐標(biāo)軸的距離=分?別是1，1，

∵≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y圖象的“1階方點(diǎn)”；

1

③（1，1）到兩坐標(biāo)軸的距離分=別?是1，1

∵1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函數(shù)y圖象的“1階方點(diǎn)”；

1

故答案為：②③；=?

（2）∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，

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∴函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），

如圖1，在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2

階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，a＝﹣1，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，a＝3，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

綜上所述：a的值為3或﹣1；

（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y

＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，

如圖2，當(dāng)n＞0時(shí)，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，n＝1；

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，n＝﹣1（舍）或n；

1

=4

∴n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點(diǎn)”；

1

≤

綜上4所述：當(dāng)n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在．

1

≤

4

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總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)背景下新定義問(wèn)題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)，理解定義，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

2．（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱

22

為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月

牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交

點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．

（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN

與線段DM的長(zhǎng)度的比值．

（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG

是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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思路引領(lǐng)：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可；

12

+

（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x3，0），3分兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時(shí)，2，

2

可得F（2，0）或（2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2，F(xiàn)點(diǎn)不存2在=．(?+2)+1

2

解：（1）將7A?（﹣3，0）、?H（70?，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，2=9+?

∴，

9??6?+?=0

解得?=?1，

1

?=3

∴y?x=2?1x﹣1，

12

在y=＝3x2++2x3﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，

∴G（0，﹣3）；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2t﹣1），N（t，0），

12

+

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t﹣1﹣3（t32+2t﹣3）t2t+2，

1224

=3+3=?3?3

∴；

2

???(?+2??3)3

=22=

???3(?+2??3)2

（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，

∴E（﹣2，﹣1），

設(shè)F（x，0），

①當(dāng)EG＝EF時(shí)，

∵G（0，﹣3），

∴EG＝2，

∴22，

2

解得2x=(?2+或2)x+12，

∴F（=72?，0）或=（?7?2，0）；

②當(dāng)EG7＝?FG時(shí)，2?7?，

2

此時(shí)x無(wú)實(shí)數(shù)根；2=9+?

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綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（2，0）．

總結(jié)提升：本題考查二次函7數(shù)?的圖象及性?質(zhì)，7熟?練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分

類討論是解題的關(guān)鍵．

3．（2022?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a，b）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1和k2兩個(gè)

??

值中的最大值叫做點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k．=?=?

（1）求點(diǎn)P（6，2）的“傾斜系數(shù)”k的值；

（2）①若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，請(qǐng)寫(xiě)出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，且a+b＝3，求OP的長(zhǎng)；

（3）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿直線AC：y＝x運(yùn)動(dòng)，P（a，b）是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，

且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．

3

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義直接計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義分情況得出結(jié)論即可；

②根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出OP的值即可；

（3）根據(jù)k的取值，分情況求出a的取值范圍即可．

解：（1）由題意知，k3，

6

即點(diǎn)P（6，2）的“傾=斜2系=數(shù)”k的值為3；

（2）①∵點(diǎn)P（a，b）的“傾斜系數(shù)”k＝2，

∴2或2，

??

==

即?a＝2b或?b＝2a，

∴a和b的數(shù)量關(guān)系為a＝2b或b＝2a；

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②由①知，a＝2b或b＝2a

∵a+b＝3，

∴或，

?=1?=2

∴O?P=2?=1；

22

=1+2=5

（3）由題意知，滿足條件的P點(diǎn)在直線yx和直線yx之間，

3

①當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，且k時(shí)，P=點(diǎn)在3直線y=x上3，a有最小臨界值，

如圖：此時(shí)a＜b，=3=3

連接OD，延長(zhǎng)DA交x軸于E，

此時(shí)，

?

=3

則?，

?+2

=3

解得?a，

此時(shí)B=點(diǎn)的3坐+標(biāo)1為（，），

3+33+1

且k

3+3

==3

∴a＞3+11；

3+

②當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，且k時(shí)，P點(diǎn)在直線yx上，a有最小臨界值，

3

如圖：此時(shí)a＞b，=3=3

連接OB，延長(zhǎng)CB交x軸于F，

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此時(shí)，

?

=3

則?，

?

=3

解得??2a＝3，

此時(shí)D（+3，），

3+13+3

且k，

3+3

==3

∴a＞3+13；

綜上所述3+，若點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k＜，則a＞3．

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的圖象3和性質(zhì)，熟3+練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解“傾斜系數(shù)”的

定義是解題的關(guān)鍵．

4．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y＝bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物

222

線”．例如：拋物線y＝2x+3x+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y＝3x+2x+1．已知拋物線C1：y＝4ax+ax+4a﹣

3（a≠0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2．

（1）寫(xiě)出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若a＞0，過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N．

①當(dāng)MN＝6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)a﹣4≤x≤a﹣2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2a，求a的值．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出

C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可表達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)MN的長(zhǎng)，列

出方程，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②分情況討論，當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時(shí)，當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時(shí)，當(dāng)a﹣4≤a﹣2≤﹣2時(shí)，分別得出C2

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的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出a的值．

2

解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y＝ax+4ax+4a﹣3，

∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，

∴C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；

（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∵過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N，

∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），

∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，

∵M(jìn)N＝6a，

∴|3am2﹣3am|＝6a，

解得m＝﹣1或m＝2，

∴P（﹣1，0）或（2，0）．

2

②∵C2的解析式為：y＝a（x+2）﹣3，

∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣3，

當(dāng)x＝a﹣4時(shí)，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，

當(dāng)x＝a﹣2時(shí)，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，

Ⅰ、當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時(shí)，0＜a≤2，

且當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)的最大值為a（a﹣2）2﹣3；函數(shù)的最小值為﹣3，

∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）；

當(dāng)1≤a≤2時(shí)，函數(shù)的最大值為a3﹣3；函數(shù)?的最2小值為+﹣3，2

∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）；

Ⅱ、當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時(shí)，a≥=2，2=?2

函數(shù)的最大值為a3﹣3，函數(shù)的最小值為a（a﹣2）2﹣3；

∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，

解得a（舍）；

3

Ⅲ、當(dāng)=a﹣24≤a﹣2≤﹣2時(shí)，a≤0，不符合題意，舍去；

綜上，a的值為2或．

總結(jié)提升：本題屬?于二2次函2數(shù)背景下新定義類問(wèn)題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由

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“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出C2的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

5．（2022?赤峰）閱讀下列材料

定義運(yùn)算：min|a，b|，當(dāng)a≥b時(shí)，min|a，b|＝b；當(dāng)a＜b時(shí)，min|a，b|＝a．

例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．

完成下列任務(wù)

（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；

②min|，﹣4|＝﹣4．

?14

（2）如圖，已知反比例函數(shù)y1和一次函數(shù)y2＝﹣2x+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，min|，

??

2=

﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x，求?這兩個(gè)函數(shù)的解析式．?

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義運(yùn)算的法則解答即可；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)解答即可．

解：（1）由題意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，

②min|，﹣4|＝﹣4；

故答案為?：114，﹣4．

（2）當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，

?

∵一次函數(shù)y2＝﹣2x+b，?

∴b＝﹣3，

∴y2＝﹣2x﹣3，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝1，

∴A（﹣2，1）

將A點(diǎn)代入y1中，得k＝﹣2，

?

=?

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∴y1．

2

總結(jié)=提?升?：本題主要考查了新定義運(yùn)算和反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握新定義運(yùn)算的法則和反比例

函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

6．（2022?泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數(shù)y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc

≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”．

（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數(shù)y＝5x+2是否為函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)函數(shù)y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．

①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；

②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任

意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

思路引領(lǐng)：（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組

合函數(shù)”；

（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當(dāng)x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）

?=????2

＝（p﹣1）（?m=+n?），?+根3據(jù)?點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而

m+n＞1，可得p＜1；

②由函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p

﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p

﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可

得m時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．

3

=

解：（14）函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，理由如下：

∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，

∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），

∴函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；

（2）①由得，

?=????2?=2?+1

∴P（2p+1，?p=﹣?1）?，+3??=??1

∵y1、y2的“組合函數(shù)”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），

∴x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），

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∵點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，

∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，

∵m+n＞1，

∴1﹣m﹣n＜0，

∴p﹣1＜0，

∴p＜1；

②存在m時(shí)，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，

3

0），理由如=下4：

由①知，P（2p+1，p﹣1），

∵函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，

∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），

∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，

∵p≠1，

∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，

∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，

令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，

變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，

∴當(dāng)3﹣4m＝0，即m時(shí)，x0，

313

=?=

∴x＝3，422

∴m時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．

3

總結(jié)=提4升：本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)與一次方程

的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)“的定義．

類型二幾何圖形中的新定義問(wèn)題

7．（2022?青島）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC

和△A'B'C'是等高三角形．

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【性質(zhì)探究】

如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，

則S△ABCBC?AD，S△A'B'C′B′C′?A′D′，

11

∵AD＝A=′2D′=2

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．

【性質(zhì)應(yīng)用】

（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝3：4；

（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S

△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；

11

（3）如圖③，在△ABC2中，D，E分別6是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S

△ABC＝a，則S△CDE＝．

?

??

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案．

解：（1）∵BD＝3，DC＝4，

∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，

故答案為：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，

∵S△ABC＝1，

∴S△BEC；

1

∵CD：B=C2＝1：3，

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∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，

∴S△CDES△BEC；

1111

==×=

故答案為：3，；326

11

26

（3）∵BE：AB＝1：m，

∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，

∵S△ABC＝a，

∴S△BECS△ABC；

1?

∵CD：B=C?＝1：n，=?

∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，

∴S△CDES△BEC?，

11??

===

故答案為：?．????

?

總結(jié)提升：?此?題主要考查了三角形的面積公式，理解等高的兩三角形的面積比等于底的比是解本題的關(guān)

鍵．

8．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N．

對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上（b≥0）或向

下（b＜0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

（1）如圖，點(diǎn)M（1，1），點(diǎn)N在線段OM的延長(zhǎng)線上．若點(diǎn)P（﹣2，0），點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

①在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q；

②連接PQ，交線段ON于點(diǎn)T，求證：NTOM；

1

=2

（2）O的半徑為1，M是O上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P為O外一點(diǎn)，

1

⊙⊙⊙

點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)M在O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出PQ2長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用

含t的式子表示）．⊙

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思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)定義，先求出P'的坐標(biāo)，從而得出Q的位置；

②連接PP'，利用三角形中位線定理得NTPP'，從而證明結(jié)論；

1

=

（2）連接PO，并延長(zhǎng)至S，使OP＝OS，延長(zhǎng)2SQ到T，使ST＝OM，由題意知，PP1∥OM，PP1＝OM，

P1N＝NQ，利用三角形中位線定理得QT的長(zhǎng)，從而求出SQ的長(zhǎng)，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，則

PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，從而解決問(wèn)題．

解：（1）①由題意知，P'（﹣2+1，0+1），

∴P'（﹣1，1），

如圖，點(diǎn)Q即為所求；

②連接PP'，

∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，

∴PP'∥ON，

∵P'N＝QN，

∴PT＝QT，

∴NTPP'，

1

∵PP'=＝2OM，

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∴NTOM；

1

（2）=如2圖，連接PO，并延長(zhǎng)至S，使OP＝OS，延長(zhǎng)SQ到T，使ST＝OM，

由題意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，

∴TQ＝2MN，

∵M(jìn)N＝OM﹣ON＝1﹣t，

∴TQ＝2﹣2t，

∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，

∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，

∴PQ的最小值為PS﹣QS，PQ的最大值為PS+QS，

∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差為（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．

總結(jié)提升：本題是圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形中位線定理，三角形三邊

關(guān)系，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解定義，畫(huà)出圖形，利用三角形中位線定理求出QT的長(zhǎng)是

解題的關(guān)鍵．

模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

9．（2023?義烏市校級(jí)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)

自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一

個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1

的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為

?=

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，也可以寫(xiě)成y＝|x|+1．

＜

?+1(?≥0)

??+1(?0)

（1）在圖③中畫(huà)出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．

（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關(guān)于直線

x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫(huà)出函數(shù)y＝﹣2x+1的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；

（2）分直線y＝﹣x+m過(guò)“鏡面函數(shù)”圖象與直線x＝﹣1的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可；

（3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“鏡面函數(shù)”解析式，再分x＝﹣1以及頂點(diǎn)在y＝﹣2上的情況和

x＝3時(shí)，列出不等式求解即可．

解：（1）如圖，即為函數(shù)函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象，

（2）如圖，

對(duì)于y＝x2﹣2x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴函數(shù)y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，5）時(shí)，m＝4；

此時(shí)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)直線y＝﹣x+m與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，

整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，

此時(shí)，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，

解得，m，

7

=4

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綜上，m的值為4或；

7

（3）函數(shù)y＝x2﹣2n4x+2（n＞0）的“鏡面函數(shù)”解析式為y＝x2+2nx+2（n＞0），

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴1﹣2n+2＜0，

解得，＞；

3

?2

當(dāng)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的頂點(diǎn)在CD上時(shí)，，

2

8?4?

=?2

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

此時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊有5個(gè)交點(diǎn)，不

合題意，

∴＜＜，

3

?2

當(dāng)2x＝3時(shí)，y＜﹣2，

∴9﹣6n+2＜﹣2，

解得，＞；

13

?6

綜上，n的取值范圍為＜＜或＞．

313

?2?

26

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總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)

的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．

10．（2023?秦皇島一模）定義：如果二次函數(shù)，（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與

22

1112

a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1?+a=2＝?0?，b+1＝?b?2，+c?1+c2＝0，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)?函=數(shù)?”?．例+

2222

?如?：+求?函數(shù)y＝2x﹣3x+1的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)y＝2x﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根據(jù)a1+a2

＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請(qǐng)思考并解決下面問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2023的值；

（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原

點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋

轉(zhuǎn)函數(shù)”．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個(gè)函數(shù)的a、b、c的值，從而得出函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)定義得出m和n的二元一次方程組，從而得出答案；

（3）首先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義

進(jìn)行判定．

解：（1）根據(jù)題意得，

1+?=0

?=?4

3+?=0

解得，

?=?1

?=?4

故解析?式=?為3：y＝﹣x2﹣4x﹣3．

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（2）根據(jù)題意得，

??1=??

∴，??3=0

?=?2

∴（?m=+3n）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1．

（3）根據(jù)題意得A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），

∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6），

又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

2

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)為y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x+4x+6，

∵，

?1+?2=2+(?2)=0

?1=?2=4

∴兩?1個(gè)+函?2數(shù)=互?為6“+旋6=轉(zhuǎn)0函數(shù)”．

總結(jié)提升：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，正

確理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

11．（2022?濱?？h校級(jí)三模）定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)

函數(shù)圖象的“好點(diǎn)”，例如，點(diǎn)（﹣1，1）是函數(shù)y＝x+2的圖象的“好點(diǎn)”．

（1）在函數(shù)①y＝﹣x+5，②，③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點(diǎn)”的函數(shù)是③（填序

6

號(hào)）．?=?

（2）設(shè)函數(shù)＜與y＝kx﹣1的圖象的“好點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)

4

△ABC為等腰?=三角?(形?時(shí)0，)求k的值；

（3）若將函數(shù)y＝2x2+4x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余

部分組成了一個(gè)新的圖象．當(dāng)該圖象上恰有3個(gè)“好點(diǎn)”時(shí)，求m的值．

思路引領(lǐng)：（1）判斷y＝﹣x與各個(gè)函數(shù)圖像是否有公共點(diǎn)即可；

（2）先得出y的“好點(diǎn)”，從而得出AC的長(zhǎng)，在y＝﹣x上的點(diǎn)B，使得AB＝AC，從而求得點(diǎn)B

4

坐標(biāo)，將B點(diǎn)坐=?標(biāo)?代入y＝kx+3求得k的值；

（3）折疊前的拋物線上有兩個(gè)“好點(diǎn)”，所以折疊后的拋物線上有一個(gè)“好點(diǎn)”即可，即y＝﹣x與折疊

后拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而求得折疊后的拋物線解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果．

解：（1）∵y＝﹣x+5，

∴y+x＝5，

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∴①不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，

∵y，x＞0，

3

∴xy=＝?3＞0

∴x+y≠0，

∴②不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，

∵，

2

?=?+2?+1

∴x?2++3x?+1=＝00，

∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，

∴方程組有解，

∴③是“好點(diǎn)”的函數(shù)，

故答案為：③；

（2）∵，x＜0，

4

?=??

?+?=0

∴，

?=?2

∴A?（=﹣22，2），

如圖，

當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，AB＝AC＝2或BA＝BC，

當(dāng)AB＝AC時(shí)，

∵y＝﹣x，

∴B（x，﹣x），

∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，

∴x12，x22，

當(dāng)x=2?2時(shí)，=y?2?2，

=2?=?2+

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∴（2）k+32，

2?=?2+

∴k，

32?4

當(dāng)x=22時(shí)，y2，

∴（=?2?2）k+3=2+2，

?2?=2+

∴k，

32?4

當(dāng)A=B?＝BC2時(shí)，點(diǎn)B（﹣1，1），

∴﹣k﹣1＝1，

∴k＝﹣2，

綜上所述：k或k＝﹣2；

32?4

（3）設(shè)翻折=后±的拋2物線解析式為y＝﹣2x2﹣4x+k，

∵y＝2x2+4x的圖像上有兩個(gè)“好點(diǎn)”：（0，0）和（﹣3，3），

當(dāng)y＝﹣2x2﹣4x+k上有一個(gè)“好點(diǎn)”時(shí)，

把y＝﹣x代入得，

﹣x＝﹣2x2﹣4x+k，

化簡(jiǎn)整理得，

x2xk＝0，

31

+?

∵Δ222k＝0，

9

=+

∴k4，

9

=?

∴y＝﹣82x2﹣4x，

9

?8

由2得，

?=2?+4?

29

?=?2??4??8

2y，

9

=?

∴y8，

9

=?

∴m16．

1

當(dāng)（=0?，80）在y＝﹣2x2﹣4x+k上時(shí)，

此時(shí)﹣x2﹣2x＝﹣x，

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x＝0或x＝﹣1，

這時(shí)也有三個(gè)“好點(diǎn)”：（﹣3，3），（0，0），（﹣1﹣1），

∴m或0．

1

總結(jié)=提?升8：本題考查了結(jié)合一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)知識(shí)，考查了對(duì)“好點(diǎn)”的理解，等腰三

角形知識(shí)，坐標(biāo)系中線段的長(zhǎng)，兩個(gè)圖像的交點(diǎn)與方程組之間的關(guān)系等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題

意，轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)．

12．（2022?婺城區(qū)模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關(guān)于y

軸的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)y軸的交點(diǎn)及y軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做

原函數(shù)的“新生函數(shù)“例如：圖①是函數(shù)y＝x+l的圖象，則它的“新生函數(shù)“的圖象如圖②所示，且

它的“新生函數(shù)“的解析式為y，也可以寫(xiě)成y＝|x|+1．

＜

?+1(?≥0)

=

（1）在圖③中畫(huà)出函數(shù)y＝﹣2x+l?的?“+新1(生?函0數(shù))“的圖象．

（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．

（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生

函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義畫(huà)出函數(shù)圖象即可；

（2）畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過(guò)（0，2）時(shí)，有3個(gè)公共點(diǎn)；函數(shù)y＝x2﹣

2x+2（x＞0）與直線y＝﹣x+m有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即m時(shí)有3個(gè)公共點(diǎn)；根據(jù)臨界情況可知，m＝2或

7

=

m時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣4x+m有三個(gè)公共點(diǎn)；

7

=

（3）4畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)y＝x2+2nx+2經(jīng)個(gè)點(diǎn)A時(shí)，n，此時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)y＝x2﹣

3

=2

2nx+2的頂點(diǎn)在CD上時(shí)，n＝2，此時(shí)有5個(gè)交點(diǎn)；根據(jù)臨界情況可得＜n＜2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2

3

2

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（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊有4個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)y＝x2﹣2nx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，n，此

13

=

時(shí)有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)臨界情況可得n＞時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形6ABCD

13

的邊有4個(gè)交點(diǎn)．6

解：（1）如圖：

（2）如圖：y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)為（0，2），

當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過(guò)（0，2）時(shí)，m＝2，此時(shí)函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有3

個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)x2﹣2x+2＝﹣x+m時(shí)，x2﹣x+2﹣m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＝1﹣8+4m＝0，

解得m，

7

此時(shí)函=數(shù)4y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有3個(gè)公共點(diǎn)；

∴m或m＝2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x+2的“新生函數(shù)“與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)；

7

（3）=如4圖3，當(dāng)y＝x2+2nx+2經(jīng)個(gè)點(diǎn)A時(shí)，1﹣2n+2＝0，

解得n，

3

=2

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當(dāng)n時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊有3個(gè)交點(diǎn)；

3

=2

當(dāng)y＝x2﹣2nx+2的頂點(diǎn)在CD上時(shí)，2，

2

8?4?

=?

解得n＝2或n＝﹣2（舍），4

當(dāng)n＝2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形ABCD的邊有5個(gè)交點(diǎn)；

∴＜n＜2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函數(shù)“圖象與矩形