專題33 中考命題核心元素一次函數(shù)的K值妙用（解析版）

專題33中考命題核心元素一次函數(shù)的K值妙用（解析版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

類型1k與特殊角

3

k值與特殊角角的關(guān)系：當(dāng)k＝±1時(shí)與x軸的夾角為45°；當(dāng)k＝±時(shí)與x軸的夾角為30°；當(dāng)

3

k＝±3時(shí)與x軸的夾角為60°.??

1．（2020??堯都區(qū)模擬）如圖所示，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），直線y＝x+b（b＞0）與y軸交于點(diǎn)B，連接

AB，∠＝75°，則b的值為（）

α

A．2B．3C．3D．6

思路引3領(lǐng)：根據(jù)直線y＝x+b3可以求得∠BCO的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的外3角和不相鄰內(nèi)角的關(guān)系可以

求得∠BAO的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得b的值．

解：設(shè)直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)C，

將y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，

將x＝0代入y＝x+b，得y＝b，

∴OB＝OC＝b，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵∠＝75°，∠＝∠OCB+∠BAC，

∴∠BαAC＝30°，α

即∠BAO＝30°，

∵點(diǎn)A（6，0），∠BOA＝90°，點(diǎn)B（0，b），

∴OA＝6，OB＝b，

∴tan30°，

?

解得，b＝=26，

故選：A．3

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總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)

和數(shù)形結(jié)合的思想解答．

針對訓(xùn)練

1．（2022?高新區(qū)二模）如圖，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線AB繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長為2．

思路引領(lǐng)：根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點(diǎn)

C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD＝AD＝x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方

法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．

解：∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

令x＝0，則y＝2．2

令y＝0，則x＝﹣22，

則A（﹣2，0），B2（0，2），

則△OAB為2等腰直角三角形，2∠ABO＝45°，

∴AB，

22

過點(diǎn)=C作(2CD2⊥)A+B，(2垂2足)為=D4，

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∵∠CAD＝∠OAB＝45°，

∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD＝AD＝x，

∴AC，

22

由旋轉(zhuǎn)=的?性?質(zhì)+可?知?∠=ABC2＝?30°，

∴BC＝2CD＝2x，

∴BD，

22

又BD=＝A?B?+A?D＝??4+x=，3?

∴4+xx，

解得：=x＝322，

∴ACx3+（22）＝22，

故答案=是2：=2223．+6+2

總結(jié)提升：本題6+考查2了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．

2．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中，P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y＝x

的圖象被P截得的弦AB的長為，則a的值是⊙．

⊙23

思路引領(lǐng)：過P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，

相加即可．

解：過P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．

∵AB＝2，

∴AE3，PA＝2，

∴PE=＝1．3

∵點(diǎn)D在直線y＝x上，

∴∠AOC＝45°，

∵∠DCO＝90°，

∴∠ODC＝45°，

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∴∠PDE＝∠ODC＝45°，

∴∠DPE＝∠PDE＝45°，

∴DE＝PE＝1，

∴PD．

∵P=的圓2心是（2，a），

∴⊙點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，

∴OC＝2，

∴DC＝OC＝2，

∴a＝PD+DC＝2．

故答案為：2+．2

+2

總結(jié)提升：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知

識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y＝x與x軸的夾角是45°．

類型2k與平移

直線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．

典例2（2022?通州區(qū)二模）一次函數(shù)yx+3與yx+n的圖象之間的距離等于4，則n的值為（）

33

A．﹣8或2B．8或﹣2=4C．=54或﹣5D．﹣1或7

思路引領(lǐng)：設(shè)直線yx+3與坐標(biāo)軸交于A（0，3），B（﹣4，0），直線yx+n與y軸交于點(diǎn)P，作

33

=4=4

PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得，因?yàn)锳B5，所以，推出PA＝5，

????224??

==3+4==

推出點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣2），n＝﹣2，根?據(jù)?對稱??性可知，當(dāng)n＝8時(shí)，也滿足條件4．5

解：如圖，

∵不妨設(shè)直線yx+3與坐標(biāo)軸交于A（0，3），B（﹣4，0），直線yx+n與y軸交于點(diǎn)P，作PM⊥

33

AB于M．=4=4

∵△ABO∽△APM，

∴，

????

=

????

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∵AB5，

22

∴=3，+4=

4??

=

∴4PA＝55，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣2），

∴n＝﹣2，

根據(jù)對稱性可知，當(dāng)n＝8時(shí)，也滿足條件．

故選：B．

總結(jié)提升：本題考查兩條直線平行問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是求出PA的長．

針對訓(xùn)練

1．（2021?朝陽區(qū)二模）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象可以由y＝2x的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn)（0，

1），則這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為．

思路引領(lǐng)：根據(jù)一次函數(shù)平移時(shí)k不變可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．

解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象可以由y＝2x的圖象平移得到，

∴k＝2，

∵一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），

∴b＝1，

∴一次函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+1．

故答案為y＝2x+1．

總結(jié)提升：本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知一次函數(shù)平移的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

2．（2017?易縣模擬）如圖，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A為邊在x軸的下方作等

邊三角形OAC，將點(diǎn)C向上平移m個(gè)單位長度，使其對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在直線AB上，則m＝（）

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A．2B．2C．4D．4

思路引?領(lǐng)3：由一次函數(shù)圖象+上點(diǎn)3的坐標(biāo)特征可求出?點(diǎn)A3的坐標(biāo)，結(jié)合等邊+三角3形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)C的

坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入直線AB中可求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，由點(diǎn)C、C′的坐標(biāo)可得出m的值．

解：當(dāng)y＝2x+4＝0時(shí)，x＝﹣2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

∵△OAC為以O(shè)A為邊的等邊三角形，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，）．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2x+4＝?2，3

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣1，2），

∴m＝2﹣（）＝2．

故選：B．?3+3

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)以及平移，根據(jù)一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)C、C′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

類型3k與折疊

典例3（2014秋?溫江區(qū)校級期中）如圖，直線yx與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，

若把△AOB沿著直線AB翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)C=處?，則3點(diǎn)+C3的坐標(biāo)是．

思路引領(lǐng)：如圖，作輔助線，首先求出OA、OB、OC的長，進(jìn)而證明△OAB∽△ECO，求出OE、CE

的長即可解決問題．

解：如圖，連接OC，交AB于點(diǎn)D；過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E；

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由題意得：OD＝CD，OD⊥AB；

對于直線yx，當(dāng)x＝0時(shí)，y；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，

∴OA＝1，=O?B3+；A3B=3

22

由面積公式：=3=??+??，=2

11

?????=?????

∴OD，O2C＝2OD2；

3

方法①=：2∵OD⊥AB，=OA⊥3OB，

∴∠OBA＝∠COE，而∠BOA＝∠OEC，

∴△OAB∽△ECO，

∴，而OA＝1，OB，AB＝2，OC

??????

===3=3

∴O??E?，?CE??，

33

方法②=：2可得=OB2，OA＝1，

則∠OBA＝30°，=3

則∠OBC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠EOC＝30°，

∴CE，OE，

33

=2=2

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）．

33

故答案為：（，）2．2

33

22

總結(jié)提升：該題以直角坐標(biāo)系為載體，以翻折變換為方法，以相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為考查

的核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．

針對訓(xùn)練

1．（2020?黑河一模）如圖，直線y＝kx+4與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)B為邊在y軸左側(cè)作等邊三

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角形OBC，將△OBC沿y軸翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在直線y＝kx+4上，則k的值為（）

A．3B．﹣1C．D．

3

思路引領(lǐng)：由等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出?∠3ABO＝∠OBC＝60°?，3由三角函數(shù)求出OA，得出點(diǎn)

A的坐標(biāo)，代入直線y＝kx+4求出k即可．

法一、解：∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°，

∵直線y＝kx+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

由折疊的性質(zhì)得：∠ABO＝∠OBC＝60°，

∵∠AOB＝90°，

∴OAOB＝4，

∴A（=43，0），3

把點(diǎn)A（34，0）代入直線y＝kx+4得：

4k+4＝0，3

3

解得：k．

3

故選：C=．?3

法二、解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，

∵△OBC是等邊三角形，

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∴∠OBC＝60°，CD平分∠BCO，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，

∴∠BCD＝∠OCD＝30°，

∵直線y＝kx+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，OD＝2，

∴CDOD＝2，

∴C（=﹣23，2），3

∵點(diǎn)C和點(diǎn)3C′關(guān)于y軸對稱，

∴C′（2，2），

把點(diǎn)C′（32，2）代入直線y＝kx+4得：

2k+4＝2，3

3

解得：k．

3

故選：C=．?3

總結(jié)提升：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、三角函數(shù)、求一次函數(shù)的解析式；熟練掌

握翻折變換和等邊三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

2．（2014?濟(jì)南）如圖，直線yx+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB沿直線AB翻折后得

3

到△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)=?是（3）

A．（，3）B．（，）C．（2，2）D．（2，4）

33333

思路引領(lǐng)：作O′M⊥y軸，交y于點(diǎn)M，O′N⊥x軸，交x于點(diǎn)N，由直線yx+2與x軸、y軸分

3

別交于A、B兩點(diǎn)，求出B（0，2），A（2，0），和∠BAO＝30°，運(yùn)用直角三=?角形3求出MB和MO′，

再求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)．3

解：如圖，作O′M⊥y軸，交y于點(diǎn)M，O′N⊥x軸，交x于點(diǎn)N，

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∵直線yx+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

3

∴B（0，=2?），3A（2，0），

∴∠BAO＝30°，3

由折疊的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，

∴MB＝1，MO′，

∴OM＝3，ON＝O=′M3，

∴O′（，3），=3

故選：A．3

總結(jié)提升：本題主要考查了折疊問題及一次函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用折疊的特性得出相等的角與線

段．

類型4k與旋轉(zhuǎn)

典例4（2021?寬城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

把△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1O1B，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（）

A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）

思路引領(lǐng)：先根據(jù)函數(shù)圖象分別求出OA、OB的長度，再通過旋轉(zhuǎn)之后對應(yīng)邊相等可求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．

解：由函數(shù)圖象得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），

將y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，

故A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴OA＝2，OB＝4，

∴BO1＝OB＝4，

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故A1的橫坐標(biāo)為4，

又∵A1O1＝OA＝2，

故A1的縱坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（4，2）．

故選：B．

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合在一起的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊長度不變是解題的關(guān)

鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2019?自貢模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，2），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，連接PC，線

段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于

點(diǎn)A，且BD＝4AD，直線CD與直線OP交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．首先證明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE

＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，

5），利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，利用方程組即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：過點(diǎn)P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．

∵AB⊥OB，

∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，

∴四邊形EOBF是矩形，

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∵P（2，2），

∴OE＝PE＝BF＝2，

∵∠CPD＝90°，

∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，

∴∠ECP＝∠DPF，

在△CPE和△PDF中，

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴?△?=CP?E?≌△PDF（AAS），

∴DF＝PE＝2，

∴BD＝BF+DF＝4，

∵BD＝4AD，

∴AD＝1，AB＝OB＝5，

∴CE＝PF＝3，

∴D（5，4），C（0，5），

設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b則有，解得，

1

?=5

?=?5

∴直線CD的解析式為yx+5，5?+?=4?=5

1

=?5

由解得，

25

?=??=

16

?=??+525

5?=

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）6．

2525

當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的6上方6時(shí)，同法可得C（0，3），D（3，4），

∴直線CD的解析式為yx+3，

1

=3

由，解得，

9

?=??=

12

?=?+39

3?=

∴Q（，），2

99

綜上所2述，2滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）或（，）．

252599

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、待定6系數(shù)6法、全等2三2角形的判定和性質(zhì)、二元一次方程組等知識，

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解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求交點(diǎn)

坐標(biāo)，屬于中考填空題中的壓軸題．

2．（2021?南崗區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+b分別交x、y軸于B、A兩點(diǎn)，且AB

＝8．

（1）2求直線AB的解析式；

（2）點(diǎn)C是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為d，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為t，d與t的函數(shù)關(guān)系為

d＝t+4，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，求E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，線段CD交x軸于點(diǎn)M，CE交x軸于點(diǎn)P，G為點(diǎn)P右側(cè)x軸上一點(diǎn)，連接

GE并延長交直線AB于F，N是線段CE上一點(diǎn)，連接MN，過點(diǎn)E作EK⊥EC交過點(diǎn)A且平行于x軸

的直線于點(diǎn)K，連接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）由直線關(guān)系式表示出OA，OB的長，再利用勾股定理求出b即可；

（2）點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為t，表示出D的坐標(biāo)，求出CF的長，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°通過構(gòu)造△DCF和△CEG全等，得出E的坐標(biāo)；

（3）連接DE，得DE⊥GF，設(shè)BD，則AF，AD，AE；在Rt△DEF

=32?=42?=82?32?=42

中，根據(jù)射影定理AE2＝AB?AF，可得a（2舍去），OC＝2；可證四邊形DCEK是正方形，根據(jù)半角

2

結(jié)論，可知DM+EN＝MN，在Rt△MCN=中3，利用勾股定理可得CN長度，從而得出N點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）直線y＝x+b，令x＝0時(shí)，則y＝b，

令y＝0時(shí)，則x＝﹣b，

∴OA＝OB＝b，

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在Rt△OAB中，AB2＝OB2+OA2，

則2b2＝（8）2，解得b＝8，

∴直線AB的解2析式為：y＝x+8；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DF∥x軸交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作GE⊥y軸于點(diǎn)G，

∵D在直線AB上，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，

∴D的縱坐標(biāo)yD＝t+8，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t+8），

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，t+4），

∴CF＝t+8﹣（t+4）＝4，

在Rt△DFC中，∠FDC+∠DCF＝90°，

∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，

∴∠ECG+∠DCF＝90°，CD＝CE，

∴∠FDC＝∠GCE，

在△DCF和△CEG中，

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴??△=DC?F?≌△CEG（AAS），

∴EG＝CF＝4，CG＝DF＝﹣t，

∵OC＝﹣（t+4），

∴OG＝CG﹣OC＝﹣t+（t+4）＝4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4）．

（3）如圖，連接DE，DK，KN，過D點(diǎn)作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

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由第（2）小問知，E（4，4），CD＝CE，CD⊥CE，

∴∠CED＝45°，

∵∠PEG＝45°，

∴∠DEG＝∠PEG+∠CED＝90°，即DE⊥FG，

設(shè)BD，AF，則AD，AE，

根據(jù)A=（30，28?），E（=44，24?）易證△A=O8E是2?等3腰直2?角三角=形4，2∠EAO＝45°，

又∵△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°，

∴∠EAB＝90°，即EA⊥DF，

在Rt△DEF中，根據(jù)射影定理AE2＝AB?AF，可得a（2舍去），

2

∴BD，DH＝BH＝2，OC＝2，D（﹣6，2），C=（30，﹣2），DC，

由DH=＝2CO2，∠DHM＝∠COM，∠DMH＝∠CMO得，=213

△MDH≌△MCO（AAS），

∴DM＝CM，

由AE＝OE，=∠1E3AK＝∠EOC＝135°，∠AEK＝∠OEC，

得△EAK≌△EOC（AAS），

∴EK＝EC，AK＝OC＝2，K（﹣2，8），

根據(jù)D（﹣6，2），K（﹣2，8），E（4，4）可得DK＝KE，

∵CD＝CE＝EK＝KD，CD⊥CE，=213

∴四邊形DCEK是正方形，

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過點(diǎn)K作KQ⊥MN于Q，

在Rt△KDM和Rt△KQM中，∠KDM＝∠KQM＝90°，∠KMD＝∠KMQ，AM＝AM，

∴△KDM≌△KQM（AAS），

∴KD＝KQ，DM＝QM，

∵KD＝KE，

∴KE＝KQ，

在Rt△KEN和Rt△KQN中，KN＝KN，KE＝KQ得，

Rt△KEN≌Rt△KQN（HL），

∴EN＝QN．

在Rt△MCN中，MN＝QM+QN＝DM+EN（EC﹣CN）CN，CM，

=13+=313?=13

由勾股定理MN2＝CM2+CN2，可得CN，

4

=13

根據(jù)C（0，﹣2），E（4，4）可得直線C3E：，

3

?=2??2

設(shè)N（m，），可得m，

38

??2=

∴N的坐標(biāo)2為（，2）．3

8

總結(jié)提升：本題3考查了求一次函數(shù)解析式的方法，三角形全等的判定及性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)

和判斷等，在第三問中，關(guān)鍵之處在于發(fā)現(xiàn)四邊形DCEK是正方形，根據(jù)半角模型，可得DM+EN＝MN

這個(gè)數(shù)量關(guān)系，從而求解的，題目綜合性較強(qiáng)．

類型5隱含的k

典例5已知點(diǎn)A（4m，3m），且m＞0，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP＝5，則△PAB

周長的最小值為．

思路引領(lǐng)：作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接EF，由軸對稱的性質(zhì)可得OE＝OP＝

OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，由△PAB周長＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB，

可得當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF，由銳角三角函數(shù)可求EH

的長，即可求解．

解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)O作OH⊥EF于H，

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∵點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，點(diǎn)F，

∴OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，

∵△PAB周長＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB

∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF，

∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，

∴∠EOF＝2∠AOB，

∵OE＝OF＝5，OH⊥EF，

∴EH＝FH，∠EOH∠EOF＝∠AOB，

1

∵點(diǎn)A（4m，3m），=2

∴tan∠AOB

3

=

∴tan∠EOH4，且OE＝5，

??3

∴EH＝3=??=4

∴EF＝6，

即△PAB周長的最小值為6

故答案為：6

總結(jié)提升：本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，確定當(dāng)△PAB周長的最小時(shí)點(diǎn)A，點(diǎn)B的位置是本題的

關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2019秋?和平區(qū)校級月考）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)P（4，2）與Q（a，a+2），當(dāng)PQ的長最小

時(shí)，a的值為．

思路引領(lǐng)：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離可直接套用兩點(diǎn)間的距離公式，再根據(jù)配方法可求PQ的

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最小值．

解：∵直角平面坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，2）與點(diǎn)Q（a，a+2），

∴PQ，

222

∴當(dāng)a=＝2(時(shí)??，4P)Q+的(最?+小2值?為2)2=．2(??2)+8

故答案為：2．2

總結(jié)提升：考查了勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距

離為AB．

22

2．（2021春=?臨(潼?1區(qū)?期?2末)）+如(?圖1?，?平2)面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)

A（5，0），B（0，5），動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a﹣1）．

（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接AP，若直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把點(diǎn)A（5，0），B（0，5）代入可得，求出

5?+?=0

k、b的值即可得出答案；?=5

（2）由題意可知直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，則直線AP經(jīng)過OB的中點(diǎn)（0，），設(shè)直

5

線AP的解析式為y＝mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直線AP的解析式，再把P（2a，a﹣1）

5

代入即可得求出a的值，即可得出答案．2

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

把點(diǎn)A（5，0），B（0，5）代入上式，

得，

5?+?=0

解得?：=5，

?=?1

∴直線A?B=的5函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+5；

（2）∵直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，

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∴直線AP經(jīng)過OB的中點(diǎn)（0，），

5

設(shè)直線AP的解析式為y＝mx+n，2

把A（5，0），（0，）代入上式，

5

得，2

5?+?=0

5

?=

解得2，

1

?=?2

5

?=

∴直線AP2的解析式為y，

15

=??+

把p（a，a﹣1）代入y22中，

15

=??+

得，22

15

??+=??1

解得2：a2，

7

=3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

74

總結(jié)提升：本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求出函數(shù)系數(shù)的值是解決

33

本題的關(guān)鍵．

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一次函數(shù)k

參考答案與試題解析

一．選擇題（共5小題）

1．（2022春?德化縣期中）若一次函數(shù)y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，7），則k的值為

（）

A．2B．﹣2C．D．

22

?

思路引領(lǐng)：利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即3可得出關(guān)于k的一元一次3方程，解之即可求出k的值．

解：∵一次函數(shù)y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，7），

∴7＝﹣2（k﹣3）+（3k﹣1），

解得：k＝2，

∴k的值為2．

故選：A．

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)

＝kx+b是解題的關(guān)鍵．

2．（2022?海拉爾區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，線

4

=?3

段AB上有一點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)C的直線y＝kx+b與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)D，則不等

6

式kx+b≥0的所有負(fù)整數(shù)解的和是（5）

A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1

思路引領(lǐng)：先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)CD⊥AB，可得CD的解析式：yx+b，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，可得b

3

的值，然后解不等式即可．=4

解：將點(diǎn)C橫坐標(biāo)代入直線yx+4，

4

=?3

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得y4，

4612

=?3×5+=5

∴C（，），

612

根據(jù)題5意，5得CD的解析式：yx+b，

3

=4

代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得，

3612

×+?=

解得b，455

3

=

∴CD的解2析式：yx，

33

=4+2

當(dāng)x0時(shí)，得x≥﹣2，

33

+≥

∴4負(fù)整2數(shù)解有﹣2，﹣1，

∴不等式kx+b≥0的所有負(fù)整數(shù)解的和為﹣2+（﹣1）＝﹣3，

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)的解析式，熟練掌握兩直線垂直與一次函數(shù)系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)與

一元一次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．如圖，在等邊三角形ABO中，邊OA在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣m，0），直線yx+2與x軸交

3

于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，將△ABO沿x軸向右平移3個(gè)單位，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'恰=好?落2在直線3CD上，

則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）

A．（2，）B．（3，）C．（2，2）D．（2，2）

333

思路引領(lǐng)：根據(jù)等邊三角形表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)得出B'（，），代入一

13

次函數(shù)解析式，求得m的值即可求解．?2?+32?

解：∵在等邊三角形ABO中，邊OA在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣m，0），

∴B（，），

13

?2?2?

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將△ABO沿x軸向右平移3個(gè)單位，得到B'（，），

13

∵點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在直線CD上，?2?+32?

∴，

331

?=?(??+3)+23

解得2m＝2，22

∴B'（2，），

故選：A．3

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換﹣平移，表

示出B'的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

4．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，直線yx+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB沿直線AB

3

翻折后得到△AO'B，則點(diǎn)O'的坐標(biāo)是（=?3）

A．（，）B．（，2）C．（1，）D．（1，）

3333

3

思路引2領(lǐng)：2作O′M⊥y軸，2交y軸于點(diǎn)M，O′N⊥x2軸，交x軸于點(diǎn)N，由直線yx+1與x軸、y

3

軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出B（0，1），A（，0），和∠BAO＝30°，運(yùn)用直角三角形=求?出3MB和MO′，

再求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)．3

解：如圖，作O′M⊥y軸，交y軸于點(diǎn)M，O′N⊥x軸，交x軸于點(diǎn)N，

∵直線yx+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

3

∴B（0，=1?），3A（，0），

∴∠BAO＝30°，3

由折疊的特性得，O′B＝OB＝1，∠ABO＝∠ABO′＝60°，

∴MB，MO′，

13

==

∴OM2，ON＝O′2M，

33

=2=2

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∴O′（，），

33

故選：A．22

總結(jié)提升：本題主要考查了折疊問題及一次函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用折疊的特性得出相等的角與線

段．

5．（2021?深圳模擬）如圖，直線AB：y＝﹣3x+9交y軸于A，交x軸于B，x軸上一點(diǎn)C（﹣1，0），D為

y軸上一動點(diǎn)，把線段BD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接CE，CD，則當(dāng)CE長度最小時(shí)，

線段CD的長為（）

A．B．C．5D．2

思路引10領(lǐng)：如圖，設(shè)D（0，17m）．由題意得到B（3，0），求得OD＝m，O7B＝3，過E作EH⊥x于H，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE＝90°，BD＝BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，

根據(jù)勾股定理得到CE，于是得到當(dāng)m＝4時(shí)，CE長

22222

度最小，求得D（0，4=），?根?據(jù)+勾?股?定=理即(可4?得?到)結(jié)+論3．=(??4)+9

解：如圖，設(shè)D（0，m）．由題意：B（3，0），

∴OD＝m，OB＝3，過E作EH⊥x于H，

∴∠EHB＝∠BOD＝90°，

∵把線段BD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE∴∠DBE＝90°，BD＝BE，

∴∠ODB+∠OBD＝∠OBD+∠EBH＝90°，

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∴∠BDO＝∠EBH，

∴△BOD≌△EHB（AAS），

∴EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，

∵點(diǎn)C（﹣1，0），

∴OC＝1，

∴CH＝4﹣m，

∴CE，

22222

∴當(dāng)m=＝?4?時(shí)，+C?E?長=度最(4小?，?)+3=(??4)+9

∴D（0，4），

∴OD＝4，

∴CD，

2222

故選：=B．??+??=1+4=17

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，坐標(biāo)與圖形的變化，旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形等知識，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．

二．填空題（共6小題）

6．（2021秋?潤州區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1），

點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，P的坐標(biāo)是．

思路引領(lǐng)：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交y軸于P，連接PA，點(diǎn)P即為所求．求

出直線BA′的解析式即可解決問題．

解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交y軸于P，連接PA，點(diǎn)P即為所求．

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設(shè)直線BA′的解析式為y＝kx+b，

∵A′（﹣1，2），B（2，﹣1），

則有：，

??+?=2

解得2?+，?=?1

?=?1

∴直線?=BA1′的解析式為y＝﹣x+1，

∴P（0，1），

故答案為：（0，1）．

總結(jié)提升：本題考查軸對稱最短問題，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短

問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問題．

7．（2022?南京模擬）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離的最

小值為．

思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可以表示出兩點(diǎn)之間的距離，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到這

兩點(diǎn)之間的距離的最小值．

解：∵A（2，5），B（m，0），

∴AB，

22