人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《3.10直線與雙曲線的位置關系》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《3.10直線與雙曲線的位置關系》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·全國·高二專題練習）在直線與雙曲線位置關系中，“公共點只有一個”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（3分）（2022·河南洛陽·高二期末（文））已知雙曲線x2?y22=1，過點P1,1A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）（2022·江西·高二期末（理））雙曲線C:x24?y2=1的左,右頂點分別是A1,A2，P是C上任意一點（P點異于A．1 B．3 C．2 D．34．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知點A，B在雙曲線x2?y2=4上，線段AB的中點MA．2 B．22 C．5 D．5．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，與直線2x+y=0交于A，B兩點，若AB=215，則該雙曲線的方程為（A．y2?x2=25 B．y26．（3分）（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知直線l：y=kxk≠0與雙曲線C：x24?y2=1交于P，Q兩點，QH⊥x軸于點H，直線PH與雙曲線CA．14 B．12 C．17．（3分）（2022·吉林市模擬預測（理））已知直線l:y=kx(k≠0)與雙曲線C:x24?y2=1交于P，Q兩點，QH⊥x軸于點H，直線PHA．?12<k<12且k≠0 B．kPT=k8．（3分）（2021·四川·高二階段練習（理））已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx交于A,B兩點，點P為C上一動點，記直線PA,PB的斜率分別為kPA,A．a(chǎn)=4B．曲線C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021·遼寧·高二期中）在平面直角坐標系xoy中，已知點P(x0,y0)和曲線A．若x0=12，y0=1B．若x0=12，y0=1，C．若x0=12，y0=6D．直線l與曲線C的位置關系和P在哪里無關10．（4分）（2022·河北唐山·高二期末）已知雙曲線C:x2?y23=1，過其右焦點F的直線lA．若A在雙曲線右支上，則AF的最短長度為1B．若A，B同在雙曲線右支上，則l的斜率大于3C．AB的最短長度為6D．滿足AB=8的直線l11．（4分）（2022·湖南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，且雙曲線C的右焦點在直線3x+2y?35=0上，A、B分別是雙曲線CA．雙曲線C的漸近線方程為y=±12x B．雙曲線C．k1k2為定值12 12．（4分）（2021·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．該雙曲線的方程為x2?y23=1 C．F1P?F1三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二課時練習）若過點P（0，1）作直線l，使l與雙曲線x2?y2414．（4分）（2020·上海靜安·高三階段練習）一個水平放置的等軸雙曲線型的拱橋橋洞如圖所示，已知當前拱橋的最高點離水面5米時，量得水面寬度AB=30米，則當水面升高1米后，水面寬度為米(精確到0.1米).15．（4分）（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x29?y27=1，A3,0，F(xiàn)4,0，O是坐標原點，過點F的直線l交雙曲線C于M，N兩點，若直線16．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線C：x24?y25=1的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于P，Q兩點，當|PQ|最小時，四邊形F1PF四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知雙曲線C:x23?y2=118．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知雙曲線x2?y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)(1)AB的長；(2)△F19．（8分）（2022·上?！つM預測）設A、B是雙曲線x2?y23(1)求直線AB的方程；(2)若線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，則A、B、C、D四點是否共圓？判斷并說明理由．20．（8分）（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中xOy中，已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l與雙曲線C交于兩點A,B，且OA⊥OB，若△OAB的面積為325，求直線21．（8分）（2022·全國·高二課時練習）某飛船返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6km；C在B的北偏西30°方向，相距4km；P為航天員的著陸點．某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4s后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號．已知該信號的傳播速度為1km/s，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．22．（8分）（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x24?y22=1的右頂點為A，(1)設直線PQ與直線OM的斜率分別為k1，k2，求(2)若AMPQ=1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·全國·高二專題練習）在直線與雙曲線位置關系中，“公共點只有一個”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線和雙曲線的位置關系結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答過程】解：當“直線與雙曲線有且只有一個公共點”成立時有可能是直線與雙曲線的漸近線平行，此時，“直線與雙曲線相切”不成立反之，“直線與雙曲線相切”成立，一定能推出“直線與雙曲線有且只有一個公共點”所以“直線與雙曲線有且只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件故選：C．2．（3分）（2022·河南洛陽·高二期末（文））已知雙曲線x2?y22=1，過點P1,1A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先確定雙曲線的右頂點，再分l垂直x軸、l與x軸不垂直兩種情況討論，當l與x軸不垂直時，可設直線方程為y?1=k(x?1)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分2?k2=0【解答過程】解：根據(jù)雙曲線方程可知a=1∴右頂點為(1,0)，使l與C有且只有一個公共點的情況為：①當l垂直x軸時，此時過點P(1,1)的直線方程為x=1，與雙曲線C只有一個公共點，②當l與x軸不垂直時，可設直線方程為y?1=k(x?1)聯(lián)立方程y?1=k(x?1)x2(i)當2?k2=0(ii)當2?k2≠0時，Δ=4故選：D.3．（3分）（2022·江西·高二期末（理））雙曲線C:x24?y2=1的左,右頂點分別是A1,A2，P是C上任意一點（P點異于A．1 B．3 C．2 D．3【解題思路】求出直線PA1,PA2的方程，令x=1求得M,N【解答過程】設Px0,y0，y0≠0,x0>2，則x02?4y02=4，x02=4y02+4.依題意A1?2,0,A22,0，所以lPA1:y=y0x0+2x+2，lPA2:y=y0x故選：B.4．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知點A，B在雙曲線x2?y2=4上，線段AB的中點MA．2 B．22 C．5 D．【解題思路】先根據(jù)中點弦定理求出直線AB的斜率，然后求出直線AB的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解AB的長.【解答過程】設Ax1,y1，Bx2,y2，則可得方程組：x12?y12=4x22?y22=4，兩式相減得：x1+x故選：D.5．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，與直線2x+y=0交于A，B兩點，若AB=215，則該雙曲線的方程為（A．y2?x2=25 B．y2【解題思路】設出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點坐標，即可求解【解答過程】由題意可設雙曲線方程為y2?x由y2?x2=m2x+y=0得不妨假設xA=m由圖象的對稱性可知，AB=215可化為即m3+4×m故雙曲線方程為：y2故選：C.6．（3分）（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知直線l：y=kxk≠0與雙曲線C：x24?y2=1交于P，Q兩點，QH⊥x軸于點H，直線PH與雙曲線CA．14 B．12 C．1【解題思路】利用點差法，能得到kPT·kQT的值，則通過kPT【解答過程】設Px1,y1，Q?x由x24?則y12=∵kPH=kPT=y故選：B.7．（3分）（2022·吉林市模擬預測（理））已知直線l:y=kx(k≠0)與雙曲線C:x24?y2=1交于P，Q兩點，QH⊥x軸于點H，直線PHA．?12<k<12且k≠0 B．kPT=k【解題思路】由已知，可由雙曲線方程推導結論kPTkQT=b2a2，選項A，根據(jù)雙曲線方程，可以求得漸近線方程，然后直線與雙曲線交于P，Q兩點，即可求解出k的取值范圍；選項B，利用坐標表示出kPT，從而找到kPT與【解答過程】參考結論：已知雙曲線方程為：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)推導：由x2a2則y12=k解析：Px1,y1，Q?選項A，雙曲線C:x24?y2=1，所以漸近線方程為y=±12選項B，kPH選項C，kPTkQT=b2a選項D，因為kPQkQT故選：D.8．（3分）（2021·四川·高二階段練習（理））已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx交于A,B兩點，點P為C上一動點，記直線PA,PB的斜率分別為kPA,A．a(chǎn)=4B．曲線C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為【解題思路】由題意可求得雙曲線的離心率以及求得a,b的值，故可判斷A,B;根據(jù)PF1⊥PF2，求得焦半徑|PF1|，|PF【解答過程】設點A(x1，y1)，B(?x1，則x12a2?y1因為kPA?kPB=(y故雙曲線C的漸近線方程為y=±1因為焦點(c,0)到漸近線y=12x的距離為1，所以c即有a2+b2=5，所以a=2對于C，不妨設P在C的右支上，記|PF2|=t，則|PF1解得t=6?2或所以△PF1F2的面積為對于D，設P(x0，y0)，因為將|y0|=2代入C:x2由對稱性，不妨取P的坐標為(25,2)，則|P因為cos所以∠PF2F1為鈍角，所以故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021·遼寧·高二期中）在平面直角坐標系xoy中，已知點P(x0,y0)和曲線A．若x0=12，y0=1B．若x0=12，y0=1，C．若x0=12，y0=6D．直線l與曲線C的位置關系和P在哪里無關【解題思路】通過x0、y0、【解答過程】當x0=12，y0=12，m=1時，曲線C:x2+y2當x0=12，y0=1，m=?1時，則曲線C:x2?y2=1，直線l:x?2y=2，聯(lián)立方程組當x0=12，y0=62，m=12時，直線l:2x+6y=4與曲線C:x由B、C選項，可知直線l與曲線C的位置關系和P在哪里有關，所以D不正確．故選：ABC．10．（4分）（2022·河北唐山·高二期末）已知雙曲線C:x2?y23=1，過其右焦點F的直線lA．若A在雙曲線右支上，則AF的最短長度為1B．若A，B同在雙曲線右支上，則l的斜率大于3C．AB的最短長度為6D．滿足AB=8的直線l【解題思路】由雙曲線的方程求出a,b,c的值，A在雙曲線右支上，則AF的最短長度為c?a可判斷A；求出雙曲線的漸近線方程，由直線l的斜率與漸近線斜率的關系可判斷B，討論l的斜率不存在和斜率為0時弦長AB，即可得AB的最短長度可判斷C，由l的斜率不存在和斜率為0時弦長AB，結合雙曲線的對稱性可判斷D，進而可得正確選項.【解答過程】由雙曲線C:x2?y23=1對于A：若A在雙曲線右支上，則AF的最短長度為c?a=2?1=1，故選項A正確；對于B：雙曲線的漸近線方程為：y=±bax=±3x，若A，B同在雙曲線右支上，則l對于C：當A，B同在雙曲線右支上時，AB⊥x軸時，AB最短，將x=2代入x2?y23=1可得y=±3，此時AB=6，當A，B在雙曲線兩支上時，AB對于D：當A，B同在雙曲線右支上時，ABmin=6<8，當A，B在雙曲線兩支上時，ABmin=2<8，根據(jù)雙曲線對稱性可知：滿足故選：AD.11．（4分）（2022·湖南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，且雙曲線C的右焦點在直線3x+2y?35=0上，A、B分別是雙曲線CA．雙曲線C的漸近線方程為y=±12x B．雙曲線C．k1k2為定值12 【解題思路】對于AB，利用雙曲線的概念及幾何性質(zhì)可以容易判斷；對于C，利用點P在雙曲線C上得到m2?4=4n2，進而直接化簡k1k【解答過程】因為雙曲線C的右焦點在直線3x+2y?35=0上，易得右焦點坐標為5,0由于離心率為52，則e=ca=52，所以易得雙曲線C漸近線方程為y=±1設點Pm,n，又A?2,0、B2,0，則m24因為Pm,n在第一象限，則0<kOP<12，即0<nm<12故選：ABD.12．（4分）（2021·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．該雙曲線的方程為x2?y23=1 C．F1P?F1【解題思路】由題知2b2a=6，c=2a，進而可求得雙曲線的方程判斷A；設直線PQ:x=my+2，由已知可知【解答過程】對于A，依題意可知，PQmin=2b2a=6，c=2a，結合a對于B，易知F22,0，拋物線漸近線的斜率為k=3，設P直線PQ:x=my+2，由直線PQ與雙曲線的右支交于兩點，所以kPQ2>3聯(lián)立x=my+2x2?y23=1，得3若OP⊥OQ，則x1x2+y1y對于C，由F1?2,0，則F1所以F=36m因為0≤m2<對于D，S△設t=1+m2，則t∈1,233，S△F故D正確，故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二課時練習）若過點P（0，1）作直線l，使l與雙曲線x2?y24=1有且僅有一個公共點，則直線l的方程為2x－y＋1＝0，2x＋y【解題思路】當直線l斜率不存在時，直線與雙曲線沒有交點.當直線l斜率存在時，設出直線l的方程，聯(lián)立直線l的方程和雙曲線的方程，消去y得到4?k2x【解答過程】當直線l斜率不存在時，顯然不合題意所以可設直線l方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1x2?①當4?k2=0，即k=2或k=?2直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，此時，直線l方程為y=±2x+1，②當4?k2≠0，即k≠±2，要使直線l則Δ=(?2k)2此時，直線l方程為y=±5綜上所述，直線l的方程為y=±5x+1或故答案為：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，5x?y+1=0，514．（4分）（2020·上海靜安·高三階段練習）一個水平放置的等軸雙曲線型的拱橋橋洞如圖所示，已知當前拱橋的最高點離水面5米時，量得水面寬度AB=30米，則當水面升高1米后，水面寬度為26.5米(精確到0.1米).【解題思路】建立坐標系，設出雙曲線的方程y2?x2=k【解答過程】以雙曲線的實軸為y軸，雙曲線的對稱中心為原點建立平面直角坐標系，設等軸雙曲線的方程為y2?x2=kk>0，則點15，?k?5在雙曲線上，所以?k?故答案為：26.5.15．（4分）（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x29?y27=1，A3,0，F(xiàn)4,0，O是坐標原點，過點F的直線l交雙曲線C于M，N兩點，若直線【解題思路】設OA的中點為N,根據(jù)已知條件，利用向量的加法的模的幾何意義可得N到直線l的距離小于等于2.當直線l與雙曲線的左右支各交于一個交點時，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可得到|MN|的最小值為2a=6,接下來驗證在當直線l與雙曲線的右支交于兩點時，且在N到直線l的距離小于等于2時，|MN|的長度大于6即可.【解答過程】設OA的中點為N,則N的坐標為32由已知可得直線l上存在點P,使得AP即使得|PN|=2，即N到直線l的距離小于等于2.當直線l與雙曲線的左右支各交于一個交點時，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得弦長|MN|的最小值為2a=6,此時直線l即為x軸，N到l的距離為0，符合題意.當直線l與雙曲線的右支交于兩點時，弦越短，直線的斜率的絕對值越大，當斜率不存在時，即MN為通徑時，|MN|的長度取得最小值2b2a=143<6,當直線的斜率存在時，直線的斜率的取值范圍k>ba=7由N到直線l的距離小于等于2，即：k32?4∴k2∈79,△=8×9易得9k2?7>0,設M,N的橫坐標分別為xMN=k2?7綜上所述，|MN|的最小值為6，故答案為：6.16．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線C：x24?y25=1的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于P，Q兩點，當|PQ|最小時，四邊形F1PF【解題思路】聯(lián)立直線y=x+m與雙曲線的方程，運用判別式大于0和韋達定理，由弦長公式求得|PQ|，求出|PQ|的最小值，再由四邊形F1PF2Q為平行四邊形，結合點到直線的距離公式，計算四邊形F1PF2Q的面積即可.【解答過程】由{y=x+m5x則Δ=64設P，Q的橫坐標分別為x1，x2，可得x1則|PQ|==2當且僅當m=0時，|PQ|取得最小值410，當|PQ|最小時，四邊形F1PF2Q為平行四邊形，由F2（3，0）到直線y=x的距離為d=3所以四邊形F1PF2Q的面積為d|PQ|=3故答案為：125.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知雙曲線C:x23?y2=1【解題思路】由x?3【解答過程】直線l與雙曲線C的公共點的坐標就是方程組x?3解之得，x=2y=∴直線l與雙曲線C的公共點的坐標為2,318．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知雙曲線x2?y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)(1)AB的長；(2)△F【解題思路】（1）設A(x1，y1)，B(x2，（2）求出A，B的坐標，由兩點的距離，即可得到△F2【解答過程】(1)解：∵雙曲線的左焦點為F1(?2,0)，設A(x1，y1則直線AB的方程為y=3代入方程x2?y∴x1+∴|AB|=1+(2)解：F2(2,0)，不妨設由（1）可得A(1+334，3+334則△F2AB19．（8分）（2022·上?！つM預測）設A、B是雙曲線x2?y23(1)求直線AB的方程；(2)若線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，則A、B、C、D四點是否共圓？判斷并說明理由．【解題思路】（1）點差法求解中點弦的斜率及方程；（2）求出AB兩點坐標，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立后求出CD點的坐標，得到CD的中點M的坐標，計算得到MC=【解答過程】(1)設Ax1,由題意得：3x兩式相減得：3x即y1因為點M(1,3)是線段AB的中點，所以y1所以y1即直線AB的斜率為1，所以直線AB的方程為y?3=x?1，整理得：x?y+2=0(2)聯(lián)立x?y+2=0與x22x解得：x=1±322，當x=1+當x=1?322不妨設A1+直線AB的垂直平分線為y=?x+4，與x2?y解得：x=?2±362，當x=?2+當x=?2?362不妨設C?2+則CD的中點為M?2,6又MA=3+3MC=所以MC=故A、B、C、D四點共圓，圓心為M?2,6，半徑為320．（8分）（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中xOy中，已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l與雙曲線C交于兩點A,B，且OA⊥OB，若△OAB的面積為325，求直線【解題思路】（1）由已知得2b2a=6，（2）分析設直線OA的方程為y=kx0<k2<3，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結合S再分類討論直線OA、OB的斜率為5+12、－5?12和直線OA、OB【解答過程】（1）過C的焦點垂直于實軸的弦長為6，將x=c代入雙曲線，得y=±b2a，則2又C的一條漸近線方程為y=3x，則b由①②解得a=1，b=3所以雙曲線C的方程為x2（2）顯然，當直線OA斜率為0或不存在時均不符合題意．當直線OA斜率存在且不為0時，設直線OA的斜率為k，則方程為y=kx0<k聯(lián)立x2?y2則OA2=因為S整理得k4?3k2即k=±5+12或k=±考慮到5+1①當OA、OB的斜率為5+12、結合3x2?y2同理可得B115?于是由點A1、B1，據(jù)直線的兩點式方程并化簡可得AB方程同理可得AB的方程為3x?y+15=0或x?y?3②同理，當OA、OB的斜率為?5+12直線AB的方程為3x+y?15=0，或3x+y+15=0或綜上，直線AB的方程為3x±y±15=0或21．（