高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：函數(shù)無窮小與極限

函數(shù)無窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點(diǎn)極限

在數(shù)軸上,常量對應(yīng)于定點(diǎn),變量對應(yīng)于動點(diǎn).我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點(diǎn)x到定點(diǎn)的距離無限接近0.考察函數(shù)和

當(dāng)時(shí),

無限接近0,無限接近1,我們說當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是

0,是無窮小,也稱當(dāng)時(shí)而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作顯然,

即當(dāng)時(shí),是無窮小.由可得其中

C為常數(shù).例2.5證明證因而所以例2.6證明證因由有例2.7設(shè)證因由

有

證明我們用表示點(diǎn)x從的右側(cè)無限接近但不等于的過程.我們用表示點(diǎn)x從的左側(cè)無限接近但不等于的過程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義,

分別稱為f(x)在點(diǎn)的左極限與右極限.定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.8證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以

不存在.2.2.2函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限考察函數(shù)

我們用表示x無限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn),即無限增大的過程.

當(dāng)時(shí),無限增大,因此無限接近0,

我們說當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是0,也稱當(dāng)時(shí)是無窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶形區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時(shí)由可得其中

C為常數(shù).例2.9證明證有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當(dāng)時(shí),因由例2.10證明證由有練習(xí)：證明證由有當(dāng)時(shí),不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義.

例2.11因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證(1)不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)與A同號.(2)如果在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)2.2.4

無窮大考察函數(shù)

當(dāng)時(shí)的變化趨勢.

任意給定的正數(shù)M,無論M多么大,

就有

我們稱當(dāng)時(shí)是無窮大量,簡稱無窮大.定義2.4有記作設(shè)則稱當(dāng)時(shí)是無窮大,

不會和任意一在內(nèi)有定義個(gè)固定的常數(shù)無限接近,因而極限不存在.注意:當(dāng)時(shí)是無窮大,

分別稱