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文檔簡介

極限的運算法則證設且于是

定理2.6兩個無窮小之和為無窮小.即有

定理2.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.定理2.7其實是比較法的直接推論.都是無窮小.例如,當例2.13求解由有界,有練習計算解由有界,有幾個極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運算法則)

則有

證(2)設

故由

再由定理2.6

是無窮小.

所以是無窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.有,都是無窮小,且在附近有界.有利用極限的運算法則及我們可以求解一些簡單的極限問題:

例如,對任意的多項式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個函數(shù).

例2.14

求

解由函數(shù)商的極限法則,有一般地,設

則商的法則不能使用.則當時,有解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得

練習求

解消去零因子法時,分子、分母的極限都是零.例2.15

求

解時,分子、分母的極限都是無窮大,例2.16

求

分子、分母同時除以

x的最高次冪.一般地,當為非負整數(shù)時,有解根式有理化

原式例2.17

求

解原式練習求

解先作恒等變形,使和式的項數(shù)固定,再求極限.和式的項數(shù)隨著n在變化,原式不能用運算法則.方法:練習求

定理2.9(復合函數(shù)的極限運算法則)則根據(jù)復合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設復合函數(shù)在的某個空心鄰域內有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.18

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關系)則

且

例2.19證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設

矛盾。

由于數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),因此復合函數(shù)的極限法則對數(shù)列同樣適用.抽取無限多項并保持它們在原數(shù)列中的先后次序,

在數(shù)列中任意得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列(簡稱子列).

設在數(shù)列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子數(shù)列

第三次在后抽取注意:

嚴格單調遞增，顯然有

無休止地如果數(shù)列收斂于A,

則它的任意子數(shù)列定理2.11(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系)也收斂于A.有因例2.11考察數(shù)列的斂散性.

解由所以數(shù)列

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