工程控制原理（現代部分）課件：線性系統(tǒng)理論

《工程控制原理》（現代部分）

線性系統(tǒng)理論

《現代控制理論》線性系統(tǒng)統(tǒng)一描述等價、互質等分析方法通用控制器設計方法本章重點5.1多項式矩陣描述與分析工具多項式矩陣描述等價變換與規(guī)范型因式分解與互質分析部分狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量:會出現復合變量、虛擬變量部分狀態(tài)多項式矩陣多項式矩陣描述無需刻意選擇狀態(tài)變量多項式矩陣描述（1）狀態(tài)空間描述（2）左分式描述（3）右分式描述統(tǒng)一描述左分式右分式多項式矩陣描述統(tǒng)一描述需要構建多項式矩陣的分析工具；狀態(tài)空間描述、左右分式描述、部分狀態(tài)方程描述相互等價轉換的工具。由于多項式矩陣描述不需要描述矩陣為常數，使得系統(tǒng)的描述直接了，但分析系統(tǒng)不如常數矩陣的狀態(tài)空間描述便利了多項式矩陣的初等變換（3）行（列）乘以多項式加到另一行（列）（2）行（列）乘以常數（1）行（列）對換行變換左乘列變換右乘逆變換還是同類型初等變換逆陣仍然是多項式矩陣，就稱為單模陣初等變換矩陣是單模陣多項式矩陣的初等變換2階子式1階子式

r階子式不恒為0而(r+1)階子式恒為0初等變換不改變多項式矩陣的秩初等變換不改變各階子式的最大公因子行變換列變換初等變換將化簡矩陣但保留特性多項式矩陣的初等變換初等變換將化簡矩陣但保留特性初等變換的三個基本應用（1）（2）（3）階次至少降低1階是單模陣，即多個初等矩陣的連乘埃爾米特規(guī)范型初等變換將化簡矩陣但保留特性列埃爾米特規(guī)范型后行一定是全0行埃爾米特規(guī)范型初等變換將化簡矩陣但保留特性行埃爾米特規(guī)范型后列一定是全0列史密斯規(guī)范型初等變換將化簡矩陣但保留特性初等因子不變因子史密斯規(guī)范型初等變換將化簡矩陣但保留特性初等因子不變因子史密斯規(guī)范型初等變換將化簡矩陣但保留特性初等因子不變因子只有一個不變因子狀態(tài)空間類似變換等價矩陣與準等價矩陣（1）維數一致，（2）維數不一致，等價準等價有相同的史密斯規(guī)范型有相同不變因子（初等因子）狀態(tài)空間的相似變換與多項式矩陣的等價變換有類同的結果多項式矩陣因式分解行滿秩列滿秩左因子右因子其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子如何計算最大因子？其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子行埃爾米特規(guī)范型是左因子是最大左因子多項式矩陣因式分解行滿秩列滿秩左因子右因子其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子如何計算最大因子？其它左因子，也是的左因子，就是最大左因子行埃爾米特規(guī)范型列埃爾米特規(guī)范型最大左（右）因子不是唯一的，但它們只相差一個單模陣最大公因子與互質矩陣左公因子左因子矩陣對的最大左公因子是矩陣的最大左因子矩陣對最大左公因子是單模陣，稱矩陣對為左互質矩陣（1）（2）嚴格行滿秩行埃爾米特規(guī)范型最大公因子與互質矩陣左公因子左因子矩陣對的最大左公因子是矩陣的最大左因子矩陣對最大左公因子是單模陣，稱矩陣對為左互質矩陣（2）單模陣單模陣行埃爾米特規(guī)范型最大公因子與互質矩陣右公因子右因子矩陣對的最大右公因子是矩陣的最大右因子矩陣對最大左公因子是單模陣，稱矩陣對為右互質矩陣（1）（2）嚴格列滿秩列埃爾米特規(guī)范型矩陣分式與約分左分式右分式若是的最大左公因子，則約分后的矩陣對一定是左互質矩陣若是的最大右公因子，則約分后的矩陣對一定是右互質矩陣比照特恒等式左、右互質兩邊右乘重要橋梁工具多項式矩陣的階次與除法行次各行最高次的系數矩陣若是行滿秩的，稱矩陣是行既約的嚴格真？X不滿秩，不既約，階次“虛高”例5-1-2方陣多項式矩陣的階次與除法行次各行最高次的系數矩陣若是行滿秩的，稱矩陣是行既約的例5-1-2既約矩陣的階次才有意義可假定已行既約通過初等變換做到行既約方陣多項式矩陣的階次與除法行次各行最高次的系數矩陣若是行滿秩的，稱矩陣是行既約的通過初等變換做到行既約列次各列最高次的系數矩陣若是列滿秩的，稱矩陣是列既約的通過初等變換做到列既約既約矩陣的階次才有意義方陣多項式矩陣的階次與除法既約矩陣的階次才有意義與單變量情況一致多項式矩陣的階次與除法除法可以降低階次“分子”除以“分母”嚴格真左分式中“分子”的行次大于等于“分母”的行次右分式中“分子”的行次大于等于“分母”的行次“分子”除以“分母”嚴格真多項式矩陣的分析工具（1）利用行（列）埃爾米特規(guī)范型，可求解多項式矩陣的（最大）左（右）因子，進一步可判斷多項式矩陣對是否互質。多項式矩陣的互質性、比照特恒等式是系統(tǒng)特性分析的重要橋梁。

（2）利用史密斯規(guī)范型，可得到多項式矩陣的初等因子、不變因子，將凸顯出系統(tǒng)的結構特征。

（3）通過（準）等價變換，將結構特征相同的多項式矩陣聯系到一起。

（4）通過多項式矩陣的除法，可降低多項式矩陣的階次。5.2等價系統(tǒng)與傳遞函數矩陣實現構造等價系統(tǒng)等價系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性與能觀性傳遞函數矩陣的最小實現史密斯——麥克米蘭規(guī)范型系統(tǒng)矩陣與幾個重要的等價關系系統(tǒng)矩陣等價系統(tǒng)單模陣單模陣擴維狀態(tài)矩陣輸出矩陣輸入矩陣擴維的系統(tǒng)矩陣相互等價系統(tǒng)矩陣與幾個重要的等價關系系統(tǒng)矩陣等價系統(tǒng)單模陣單模陣擴維狀態(tài)矩陣輸出矩陣輸入矩陣構造等價系統(tǒng)已知，以及單模陣求，使得兩個系統(tǒng)等價（1）構造等價的系統(tǒng)矩陣（2）除法階次高嚴格真兩個系統(tǒng)等價構造等價系統(tǒng)已知，以及單模陣求，使得兩個系統(tǒng)等價（1）構造等價的系統(tǒng)矩陣（2）除法階次高構造等價系統(tǒng)已知，以及單模陣求，使得兩個系統(tǒng)等價（1）構造等價的系統(tǒng)矩陣（2）除法階次高狀態(tài)空間描述構造等價系統(tǒng)狀態(tài)空間描述（1）求狀態(tài)矩陣以及相同的不變因子史密斯規(guī)范型構造等價系統(tǒng)狀態(tài)空間描述（2）構造等價的系統(tǒng)矩陣構造等價系統(tǒng)狀態(tài)空間描述（2）構造等價的系統(tǒng)矩陣（3）除法降低階次構造等價系統(tǒng)狀態(tài)空間描述（4）求直通矩陣（5）傳遞函數矩陣任何一個多項式矩陣描述，都可以通過等價變換和矩陣除法，得到與它等價的狀態(tài)空間描述關鍵相似系統(tǒng)與等價系統(tǒng)（1）（2）能否找到相似變換陣T？滿足等價系統(tǒng)相似系統(tǒng)與等價系統(tǒng)（2）要證明T是非奇異矩陣？嚴格真多項式代入只能兩邊為0除法得到常數等價系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性與能觀性（2）除法得到常數相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)就是等價系統(tǒng)，相似系統(tǒng)的性質都可以轉到等價系統(tǒng)中等價系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性與能觀性穩(wěn)定性能控性能觀性系統(tǒng)性能統(tǒng)一到了系統(tǒng)矩陣傳遞函數矩陣與最小實現定理5-2-2如果系統(tǒng)與系統(tǒng)都是完全能控且完全能觀，它們的傳遞函數矩陣分別為、，那么定理5-2-3系統(tǒng)是傳遞函數矩陣的最小實現當且僅當它是完全能控且完全能觀的。最小實現分式描述簡單，通過等價可得到其他描述史密斯——麥克米蘭規(guī)范型右互質最小實現傳遞函數矩陣的零極點的（傳遞）零點的（傳遞）極點降秩可以分出每個通道的零極點例5-2-3多變量系統(tǒng)：不同通道有相同的零極點，不會對消（2）通過等價系統(tǒng)的引入，將狀態(tài)空間理論中的穩(wěn)定性、能控性、能觀性、傳遞函數矩陣的零極點等結構特征分析統(tǒng)一到了系統(tǒng)矩陣之上。其中，能控性與能觀性的判斷轉化為多項式矩陣的互質判斷。（1）多項矩陣描述將狀態(tài)空間描述、左分式描述、右分式描述歸結到部分狀態(tài)方程描述中，建立了線性（定常）系統(tǒng)一個統(tǒng)一的描述框架，并且通過多項式矩陣的等價變換，給出了它們之間等價轉換的方法。（4）由于左（右）分式描述既能很好地呈現多變量系統(tǒng)的內部特征，又將傳遞函數矩陣顯現為“分母”與“分子”形式，便于融合經典控制理論的方法，因而在多變量系統(tǒng)的理論分析中得到廣泛應用。（3）由于任何一個多項式矩陣描述，都會與一個狀態(tài)空間描述等價，因此，基于狀態(tài)空間理論的各種控制器設計方法都可沿用其上，下節(jié)還會展開討論。5.3線性系統(tǒng)的綜合模型匹配與系統(tǒng)解耦模態(tài)嵌入與伺服控制全饋控制器及其控制系統(tǒng)全饋控制器觀測器特例被控對象，能控能觀全饋控制器及其控制系統(tǒng)全饋控制器被控對象，能控能觀全饋控制器及其控制系統(tǒng)全饋控制器被控對象，能控能觀閉環(huán)傳遞函數矩陣右分式左分式簡潔不可設計可以設計任意配置閉環(huán)特征多項式矩陣定理5-3-1對于任意給定的維數相容的閉環(huán)特征多項式矩陣，如果系統(tǒng)完全能控且完全能觀，即被控對象可用右互質的右分式描述，則一定存在全饋控制器，使得式（5-3-5）成立。簡言之，如果系統(tǒng)完全能控且完全能觀，則可任意配置閉環(huán)特征多項式矩陣。除法降階（1）對任意的，設計穩(wěn)定的能控能觀兩邊左乘（2）任意配置閉環(huán)特征多項式矩陣塞爾維斯特矩陣模型匹配與系統(tǒng)解耦如何設計：受到被控對象零點制約（1）保留：（2）保留：：全部不穩(wěn)定零點在只需設計：零極點對消（4）靜態(tài)解耦：是對角陣若是對角陣若是對角陣（3）動態(tài)解耦：是對角陣模態(tài)嵌入與伺服控制（1）穩(wěn)態(tài)伺服器右互質模態(tài)嵌入與伺服控制（1）穩(wěn)態(tài)伺服器模態(tài)嵌入穩(wěn)定右互質模態(tài)嵌入與伺服控制嚴格行滿秩？能控能觀（1）穩(wěn)態(tài)伺服器模態(tài)嵌入右互質左互質不穩(wěn)定？模態(tài)嵌入與伺服控制（2）鎮(zhèn)定控制器綜上所述，多項式矩陣描述為線性系統(tǒng)的理論分析建立了一個統(tǒng)一的描述框架，在此基礎上，給出了全饋控制器這種更一般性的控制器結構，使得模型匹配、伺服控制、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等問題有了通用的解決方案。前面的討論更多注重理論分析的一般性，而且又是針對線性系統(tǒng)，因此，要特別注意在理論分析之后，還要進一步通過計算機仿真，在考慮各種模型殘差、變量值域等工程限制因素下，對理論分析結果的適用范圍進行修正。5.4有理分式矩陣描述與鎮(zhèn)定控制器設計有理分式矩陣描述通用鎮(zhèn)定控制器設計有理分式矩陣描述分式描述有理分式{所有真的穩(wěn)定實有理分式傳遞函數矩陣}為穩(wěn)定多項式矩陣上的史密斯規(guī)范型上的比照特恒等式多項式矩陣描述上的結論可推廣狀態(tài)空間描述與有理分式矩陣描述怎樣求？定義：實現狀態(tài)空間描述與有理分式矩陣描述有理分式怎樣求？定義：實現對偶實現狀態(tài)空間描述與有理分式矩陣描述（1）（2）（3）鎮(zhèn)定控制器設計閉環(huán)系統(tǒng)內部穩(wěn)定怎樣設計比照特鎮(zhèn)定控制器設計閉環(huán)系統(tǒng)內部穩(wěn)定怎樣設計比照特自由參數矩陣鎮(zhèn)定控制器的狀態(tài)