工程力學(xué)I課件：應(yīng)力狀態(tài)分析

應(yīng)力狀態(tài)分析6.1應(yīng)力狀態(tài)6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法6.4三向應(yīng)力狀態(tài)簡介6.5廣義胡克定律6.1應(yīng)力狀態(tài)一、應(yīng)力狀態(tài)的概念橫截面上的正應(yīng)力分析橫截面上的切應(yīng)力分析橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一截面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。橫截面上的應(yīng)力分析斜截面上的應(yīng)力分析

過同一點(diǎn)的不同方向的截面上的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的面的概念。所以，講到應(yīng)力，必須指明是哪一點(diǎn)在哪一方向面上的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)：受力構(gòu)件內(nèi)的某點(diǎn)在不同方位截面上的應(yīng)力的集合，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個方向面？指明二.一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述1、單元體當(dāng)各邊邊長充分小時(shí)，六面體便趨于宏觀上的“點(diǎn)”。這種六面體稱為“微單元體”，簡稱“單元體”。2.單元體性質(zhì)（1）單元體內(nèi)每一個面上，應(yīng)力均勻分布。（2）單元體內(nèi)相互平行的截面上應(yīng)力相同，且同等于過該

點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。3、單元體的取法為了確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，需要確定代表這一點(diǎn)的單元體的三對互相垂直的面上的應(yīng)力。因此，在取單元體時(shí)，應(yīng)盡量使其三對面上的應(yīng)力容易確定。三對面中，一對面為桿的橫截面，另外兩對面為平行于桿表面的縱截面，三對面之間的間距分別為

dx、dy

、dz。矩形截面桿例1：例2：思考：4、5兩點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何表示？圓截面桿三對面中，一對為橫截面（間距為dx

），一對為同軸圓柱面（間距為dr

），另一對為過桿軸線的縱截面（夾角為dθ

）。例3：按上述方法取得單元體后，即可由桿件橫截面上應(yīng)力分析的知識及切應(yīng)力互等定理確定單元體各個面上的應(yīng)力。當(dāng)單元體三對面上的應(yīng)力已知時(shí)，就可以應(yīng)用截面法和平衡條件，求得過該點(diǎn)的任意方位面上的應(yīng)力。因此，通過單元體及三對互相垂直的面上的應(yīng)力，可以描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。思考：上述三例中，若已知每一例子中桿件的幾何尺寸，試確

定相應(yīng)單元體中的應(yīng)力分量。三.主平面與主應(yīng)力1、主平面單元體中切應(yīng)力為零的平面。2、主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力。3、主應(yīng)力排序規(guī)定：按代數(shù)值大小排序。可以證明：過受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)均可找到三個相互垂直的

主平面，因而受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)都一定存在著

三個主應(yīng)力，分別記作σ1、σ2

、σ3。四.應(yīng)力狀態(tài)的分類1、單向應(yīng)力狀態(tài)

——三個主應(yīng)力中僅有一個主應(yīng)力不為零。2、二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)

——三個主應(yīng)力中僅有一個主應(yīng)力為零。純剪切應(yīng)力狀態(tài)3、三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)

——三個主應(yīng)力均不為零。簡單應(yīng)力狀態(tài)——單向應(yīng)力狀態(tài)。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)——二向和三向應(yīng)力狀態(tài)。6.2二向應(yīng)力狀態(tài)的分析的解析法1、應(yīng)力符號的規(guī)定切應(yīng)力的下標(biāo)作用面的法線切應(yīng)力的方向一、斜截面應(yīng)力的一般公式正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)2、截面方位角正負(fù)號的規(guī)定yx由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到截面的外法線n的正向的

角為正;反之為負(fù)。3.斜截面上的應(yīng)力已知平面應(yīng)力狀態(tài)單元體上的應(yīng)力

x、

y、

xy、

yx。求任意

截面上的應(yīng)力

、

。

平衡方程——參加平衡的量——應(yīng)力乘以其作用的面積σxσyτxyτyxxy

znαxσαταdAα

n

t平衡對象——用

斜截面截取的微元楔形體根據(jù)切應(yīng)力互等定理,txy和tyx在數(shù)值上相等，化簡得：二.應(yīng)力極值與主應(yīng)力根據(jù)數(shù)學(xué)中關(guān)于求函數(shù)極值的方法，將上式對a求導(dǎo)：若a=a0時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)。1、正應(yīng)力的極值及其所在截面的方位則在a0所確定的截面上正應(yīng)力為最大值或最小值。求出相差p/2的兩個角度a0和a'0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在平面。正應(yīng)力極值思考：如何確定a0和a'0與σmax和σmin的對應(yīng)關(guān)系？結(jié)論主應(yīng)力即為正應(yīng)力極值；(2)主平面即為正應(yīng)力極值所在截面。思考：如何確定三個主應(yīng)力σ1、σ2和σ3與σmax和σmin的對應(yīng)關(guān)系？2、主應(yīng)力的值及主平面的方位3.切應(yīng)力極值及其所在截面根據(jù)數(shù)學(xué)中關(guān)于求函數(shù)極值的方法，將上式對a求導(dǎo)：若a=a1時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)。則在a1所確定的截面上切應(yīng)力為最大值或最小值。求出相差p/2的兩個角度a1和a'1，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個是最小切應(yīng)力所在平面。正應(yīng)力極值所在的平面:即：切應(yīng)力極值所在的平面與主平面的夾角為45°切應(yīng)力極值所在的平面:三.兩相互垂直平面上應(yīng)力的關(guān)系若以代換上式中的a，化簡后可得：結(jié)論：通過受力物體內(nèi)一點(diǎn)任意兩相互垂直平面上的正應(yīng)

力之和為一常量。故有：例6-1單元體各面上的應(yīng)力如圖(a)所示(應(yīng)力單位為MPa)。試求：(1)ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；(2)主應(yīng)力的值；(3)主平面的方位并標(biāo)示于圖中；(4)切應(yīng)力的極值。解：1.求ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。取水平軸為x軸，豎直軸為y軸。則根據(jù)應(yīng)力正負(fù)號規(guī)定可知：故ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：故ab斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的方向分別如圖所示。2.求主應(yīng)力的值。根據(jù)主應(yīng)力的定義可知，該應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力分別為：3.求主平面的方位角。經(jīng)驗(yàn)算：故主平面的方位及主應(yīng)力的方向如圖(b)所示。4.求切應(yīng)力的極值。例6-2直徑為D的圓軸兩端受一對大小為M的力偶作用，如圖所示，計(jì)算圓軸表面上點(diǎn)A的主應(yīng)力及其方向。解：1.分析點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)。圓軸的外表面沒有應(yīng)力，橫截面上有切應(yīng)力2.求主應(yīng)力的值。根據(jù)主應(yīng)力的定義可知，該應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力分別為：3.求主平面的方位角。，

6.3二向應(yīng)力狀態(tài)的分析的圖解法一.應(yīng)力圓的概念兩式平方求和若以sa，ta

為變量，則為上式圓方程圓心:半徑:

圓周上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別代表所研究單元體內(nèi)某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，故稱應(yīng)力圓，或莫爾圓。二、應(yīng)力圓與單元體的對應(yīng)關(guān)系由應(yīng)力圓的概念及應(yīng)力圓方程可推測：應(yīng)力圓上某點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與單元體中某斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力相對應(yīng)，即點(diǎn)與面相對應(yīng)；應(yīng)力圓上圓心角為2a的兩個點(diǎn)，分別與單元體中夾角為的兩個斜截面相對應(yīng)，即二倍角對應(yīng)；若應(yīng)力圓上從點(diǎn)A順時(shí)針（逆時(shí)針）轉(zhuǎn)過圓心角2a到點(diǎn)B，則在單元體上，點(diǎn)A對應(yīng)的截面也順時(shí)針（逆時(shí)針）經(jīng)過a角轉(zhuǎn)到與點(diǎn)B對應(yīng)的截面位置，即轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)。三、圓的畫法1.確定點(diǎn)D1

(sx,txy)2.確定點(diǎn)D2

(sy,tyx)tyx=－txy3.連接D1D2與s

軸交于點(diǎn)C4.以C為圓心，CD1（CD2）為半徑畫圓。圓心:半徑:即證明了以D1D2為直徑所作的圓即為原單元體所對應(yīng)的應(yīng)力圓。確定單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓后，則只需在應(yīng)力圓中將半徑

CD1繞圓心旋轉(zhuǎn)2α角（與α角同轉(zhuǎn)向），得點(diǎn)E，記點(diǎn)E的坐標(biāo)為（σE，τE）。則只需證明：按前述推測：要求單元體中α斜截面上的應(yīng)力，?同理：結(jié)論：應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)和單元體中斜截面上的應(yīng)力之間有著一一對應(yīng)的關(guān)

系，應(yīng)力圓上兩點(diǎn)沿圓弧所對圓心角2α，對應(yīng)著單元體兩截面外法線

之間的夾角α，且基準(zhǔn)一致、轉(zhuǎn)向相同。四.應(yīng)力圓的應(yīng)用1、利用應(yīng)力圓求單元體中任一斜截面上的應(yīng)力利用應(yīng)力圓求任一斜截面上的應(yīng)力的方法，在上述關(guān)于應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)和單元體中斜截面上的應(yīng)力之間的對應(yīng)關(guān)系的證明中已經(jīng)有詳細(xì)的說明，在此不再贅述。在實(shí)際應(yīng)用中，如果按比例作圖，則單元體中任一斜截面上的應(yīng)力可以直接從圖中量得結(jié)果。2、利用應(yīng)力圓求正應(yīng)力的極值（主應(yīng)力）注意A1,A2兩點(diǎn)這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即分別為最大、最小正應(yīng)力。這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也代表單元體的主應(yīng)力（兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)皆為零）。注意：主應(yīng)力的序號與正應(yīng)力極值之間的關(guān)系需由應(yīng)力圓與坐

標(biāo)原點(diǎn)之間的位置關(guān)系確定。3、利用應(yīng)力圓主平面的方位根據(jù)轉(zhuǎn)角兩倍關(guān)系確定主平面所在的位置。顯然：4、利用應(yīng)力圓求面內(nèi)最大切應(yīng)力注意G1,G2兩點(diǎn)這兩點(diǎn)的切應(yīng)力為極值切應(yīng)力極值所在的方位和主應(yīng)力所在的方位成45°角。注意：這里切應(yīng)力極值表示的是垂直于xy平面的截面上的最大切應(yīng)力，并不

代表整個單元體在空間任意截面上的最大切應(yīng)力（參見7.4節(jié)）。例6-4單元體各面上的應(yīng)力如圖(a)所示(應(yīng)力單位為MPa)。試求：(1)斜截面上的應(yīng)力；(2)主應(yīng)力的值；(3)主平面的方位并標(biāo)示于圖中；(4)切應(yīng)力的最大值。選定比例尺(1)斜截面上的應(yīng)力解：按比例畫出圖示單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓。由選定比例尺量得：故斜截面上的應(yīng)力如圖所示。(2)主應(yīng)力的值(3)主平面的方位故主平面的方向如圖所示。(3)最大切應(yīng)力的值五.特殊應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1、單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓:2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓:3、二向等拉（壓）應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓6.4三向應(yīng)力狀態(tài)簡介1、三向應(yīng)力狀態(tài)三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。yxz2、三向應(yīng)力狀態(tài)主單元體中三組特殊截面上的應(yīng)力?三向應(yīng)力圓平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面平行于s1的截面平行于s1的截面所對應(yīng)的應(yīng)力圓平行于s2的截面平行于s2的截面所對應(yīng)的應(yīng)力圓平行于s3的截面所對應(yīng)的應(yīng)力圓平行于s3的截面三組特殊截面上的應(yīng)力都與相應(yīng)的應(yīng)力圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)相對應(yīng)。對于不平行于任一主應(yīng)力的任意截面，其截面上的應(yīng)力都落在三個應(yīng)力圓之間的部分（圖示陰影區(qū)域）。圖示應(yīng)力圓稱為三向應(yīng)力圓。3、三向狀態(tài)的應(yīng)力極值平行于主應(yīng)力s1的一類截面：平行于主應(yīng)力s3的一類截面：可見，三向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力正應(yīng)力極值切應(yīng)力極值平行于主應(yīng)力s2的一類截面：思考：三向應(yīng)力圓中的G1、G2、G3三點(diǎn)各自對應(yīng)的單元體中的截面位置。6.5廣義胡克定律

x——軸向（x方向）線應(yīng)變

y——橫向（y方向）線應(yīng)變

z——橫向（z方向）線應(yīng)變實(shí)驗(yàn)研究表明：

各向同性材料、單向應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)桿件的變形在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，其軸向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系：其中：

——泊松比。泊松比是一個與材料相關(guān)的無量綱的彈性常數(shù)。拉（壓）胡克定律：橫向與縱向應(yīng)變間的關(guān)系:剪切胡克定律:最一般情況下，描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要九個應(yīng)力分量，如圖所示:根據(jù)切應(yīng)力互等定理數(shù)值上相等則獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個。一、知識回顧三向應(yīng)力狀態(tài)的一般單元體：對于各向同性材料，小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只和正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)；而切應(yīng)變只和切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)。二、知識準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果：因此，三向應(yīng)力狀態(tài)可看作是三組單向應(yīng)力狀態(tài)和三組純剪切的組合。疊加原理的實(shí)用條件：(1)各向同性材料；(2)小變形；(3)變形在線彈性范圍內(nèi)。三、廣義胡克定律三向應(yīng)力狀態(tài)（非主單元體）=++++

利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應(yīng)變。最后可得:切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，與正應(yīng)力無關(guān)，因此:以上被稱為一般應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。三向應(yīng)力狀態(tài)（主單元體）55/95

對于三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體，三個主應(yīng)力方向上的線應(yīng)變分別為：e1