09《有理數(shù)、整式、一元一次方程的新定義問題》三大考點題型（原卷版）

【題型1有理數(shù)中的新定義問題】1．（2023秋?錦江區(qū)校級期末）定義一種新的運(yùn)算：當(dāng)m≤n時，m*n＝m+n2；當(dāng)m＞n時，m*n＝3m﹣n，則（﹣4*3）*（﹣2）的值為（）A．17 B．13 C．﹣17 D．﹣112．定義一種新運(yùn)算：m⊕n＝m2﹣mn，則（﹣3）⊕2的結(jié)果為（）A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣153．用“☆”定義一種新運(yùn)算：對于任何不為零的整數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝a2﹣b2，如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，則（﹣3）☆（﹣1）的值為（）A．﹣8 B．8 C．38 D．4．（2024秋?鹿泉區(qū)期中）定義一種新運(yùn)算：a※b＝b2﹣ab，則2※（﹣1）的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．3 D．15．（2024?杭錦后旗模擬）我們規(guī)定：x?y＝（x+2）2﹣y，例如：3?5＝（3+2）2﹣5＝20，則1?（﹣2）的值為（）A．4 B．7 C．8 D．116．A．-23 B．2 C．3 D7．符號“f”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6，f（4）＝8…；（2）f(1利用以上規(guī)律計算：f(2024)-f(1A．12023 B．12024 C．2023 D8．（2023秋?萬州區(qū)期末）對于有理數(shù)a，b規(guī)定一種新運(yùn)算：a☆b＝ab﹣b2，例如：（﹣1）☆6＝（﹣1）×6﹣62＝﹣42，則：5☆[（﹣2）☆3]＝．9．（2024秋?澗西區(qū)期中）在有理數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個新運(yùn)算“※”如下：a≤b時，a※b＝a2；a＞b時，a※b＝b．則當(dāng)c＝﹣4時，代數(shù)式（﹣3※c）×（﹣5※c）的值為．10．（2023秋?保定期末）規(guī)定一種新運(yùn)算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因為23＝8，所以2※8＝3．根據(jù)上述運(yùn)算填空：（1）2※14=（2）4※14+4※64=11．若a，b為有理數(shù)，我們定義新運(yùn)算“※”使得a※b＝a2﹣ab，如（﹣2）※3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10．（1）求3※（﹣4）的值；（2）求（﹣2）※（5※4）的值．12．定義一種新運(yùn)算“∩”，規(guī)則為：m?n＝mn+mn﹣n，例如：2?3＝23+2×3﹣3＝11，據(jù)此解答下列問題：（1）求（﹣1）?4的值；（2）求（﹣1）?[（﹣3）?2]的值．13．定義☆運(yùn)算，觀察下列運(yùn)算：（+3）☆（+15）＝+18，（﹣14）☆（﹣7）＝+21，（﹣2）☆（+14）＝﹣16，（+15）☆（﹣8）＝﹣23，0☆（﹣15）＝+15，（+13）☆0＝+13．（1）兩數(shù)進(jìn)行☆運(yùn)算時，同號，異號．并把它們的絕對值．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行☆運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行☆運(yùn)算，結(jié)果都等于這個數(shù)的．（2）計算：[0☆（﹣12）]＝；（+11）☆[0☆（﹣12）]．（3）若|a|＝1，b2＝4，且a＞b，求a☆b的值．【題型2整式中的新定義問題】1．（2023秋?曲陽縣期末）定義一種新運(yùn)算：a?b＝a﹣2b．例如2?3＝2﹣2×3＝﹣4，則x?（﹣y）化簡后的結(jié)果是（）A．x+2y B．2x﹣y C．x﹣2y D．2x+y2．（2024?淮濱縣開學(xué)）規(guī)定符號（a，b）表示a，b兩個數(shù)中較小的一個，規(guī)定符號[a，b]表示a，b兩個數(shù)中較大的一個．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．則化簡（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m3．（2024?民勤縣三模）對于任意實數(shù)a和b，如果滿足a3+b4=a+b3+4+23×4那么我們稱這一對數(shù)a，b為“友好數(shù)對”，記為（a，b）．若（x，y）是“友好數(shù)對”，則2x﹣3[6A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．（2024春?桃源縣期末）定義一種新運(yùn)算“※”的計算規(guī)則是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理數(shù)）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的個數(shù)是（）①a※b＝b※a②（a※b）※c＝a※（b※c）③a※（b+c）＝a※b+a※cA．3 B．2 C．1 D．05．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，則＝．6．現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算：abcd=ad﹣cb，則xy-3x7．（2023秋?臨汾月考）閱讀材料：對于任何數(shù)，我們規(guī)定符號abcd的意義是ab例如：3645=3×5﹣4×6＝15﹣（1）按照這個規(guī)定，請你計算58（2）按照這個規(guī)定，當(dāng)x＝5，y＝﹣3時，求23xy-4x8．（2023秋?于洪區(qū)期末）在教科書第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》中，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的五種運(yùn)算，學(xué)會了研究運(yùn)算的方法，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：a⊕b＝■，定義的內(nèi)容被遮蓋住了，觀察各式，并回答下列問題：2⊕4＝2×3+4＝10；3⊕（﹣1）＝3×3﹣1＝8；（﹣9）⊕5＝（﹣9）×3+5＝﹣22；（﹣4）⊕（﹣6）＝（﹣4）×3﹣6＝﹣18．（1）請你補(bǔ)全定義內(nèi)容：a⊕b＝；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）先計算（﹣7）⊕2和2⊕（﹣7），再說明新定義的運(yùn)算“⊕”是否滿足交換律，即a⊕b＝b⊕a是否成立；（3）若m⊕（﹣8）＝11⊕m，求m的值．9．（2023秋?東城區(qū)校級期中）我們規(guī)定：使得a﹣b＝ab成立的一對數(shù)a，b為“積差等數(shù)對”，記為（a，b）．例如，因為1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以數(shù)對（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“積差等數(shù)對”．（1）下列數(shù)對中，是“積差等數(shù)對”的是；①(2，23)；②（1.5，3（2）若（k，﹣4）是“積差等數(shù)對”，求k的值；（3）若（m，n）是“積差等數(shù)對”，求代數(shù)式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．10．（2023秋?常州期中）【閱讀】對于數(shù)對（a，b），若a+b＝ab，則（a，b）稱為“天寧數(shù)對”．如：因為2+2＝2×2，﹣3+34=-3×34，所以（2【理解】（1）下列數(shù)對中，是“天寧數(shù)對”的是；（填序號）①（3，1.5）；②(3③(-1【運(yùn)用】（2）若（﹣5，x）是“天寧數(shù)對”，求x的值；（3）若（m，n）是“天寧數(shù)對”，求代數(shù)式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．【題型3一元一次方程中的新定義問題】1．（2023秋?雨花區(qū)校級月考）若定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，則m的值是（）A．9 B．﹣9 C．12 D．﹣122．定義：對于兩個不相等的有理數(shù)m，n，max{m，n}表示m，n中最大的數(shù)，如：max{3，5}＝5．已知一元一次方程max{﹣4，2}+x＝3x﹣a的解為x＝﹣2，則a的值為（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣63．（2023秋?東平縣期末）用“★”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a★b＝ab2+2ab+a，若x+12★（﹣3）＝8，則xA．﹣1 B．0 C．1 D．34．（2023秋?慈溪市期末）規(guī)定新運(yùn)算“*”：對于任意實數(shù)a、b都有a*b＝ab2﹣a﹣b2，例如：2*5＝2×52﹣2﹣52＝23，若（1﹣2x）*3＝15，則x的值為（）A．-45 B．45 C．﹣1 5．定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”．若關(guān)于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，則m＝．6．定義：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解滿足x＝2b﹣a，則稱該方程為“倍差”方程．例如：方程2x=43的解是x=23，且滿足23=2×43-2，所以方程2x=43是“倍差”方程．若關(guān)于x的一元一次方程﹣37．定義：如果一個一元一次方程的一次項系數(shù)與常數(shù)項的差剛好是這個方程的解的2倍，則稱這個方程為妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解為x＝﹣3，則方程3x+9＝0為妙解方程．請根據(jù)上述定義解答：若關(guān)于x的一元一次方程3（x﹣a）﹣2（1+x）＝0是妙解方程，則a的值為．8．定義：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“差解方程”．例如：2x＝4的解為x＝2，且2＝4﹣2，則該方程2x＝4是“差解方程”．若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，則m＝．9．定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0為“美好方程”．若關(guān)于x方程12022x﹣1＝0與12022x+1＝3x+k是“美好方程”，則關(guān)于y的方程12022（y+2）+1＝3y+k+6的解是10．綜觀中國傳統(tǒng)文化和西方文化中，”7”的含義都是代表吉祥和吉利、尊貴與博大，它蘊(yùn)含著古代自然科技與人文科學(xué)的一種結(jié)合，我們約定：如果任意兩個有理數(shù)a，b滿足a+b＝7，則稱a，b互為吉祥數(shù)．如9+（﹣2）＝7，則9與﹣2互為吉祥數(shù)．（1）填空：2024與互為吉祥數(shù)；（2）若M＝2x2﹣3x+1，N＝5x﹣2x2+3，當(dāng)M與N互為吉祥數(shù)時，求x的值．11．（2023秋?和平區(qū)期末）2022年12月4日，神舟十四號載人飛船成功返回地球結(jié)合這么具有紀(jì)念意義的歷史時刻，王老師給出一個新定義：A，B是兩個整式，如果2A+3B＝124，那么A叫做B的“神舟式”．（1）若A＝﹣3x+5，B＝﹣5x﹣4，當(dāng)x＝﹣6時，求A，B的值，請你判斷此時A是否為B的“神舟式”；（2）若A＝﹣x2﹣3x+5，A是B的“神舟式”，求整式B；（3）若A=13(2x+2)，B=1212．（2024春?越秀區(qū)校級期末）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，以上哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是．（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x-2x-2a3=a+1（3）如關(guān)于y的方程2m|y﹣49|+m(y-1)45=m+n是關(guān)于x的一元一次方程mx+45n＝54m1．（2024秋?集寧區(qū)校級月考）定義一種新的運(yùn)算“*”：對于任何有理數(shù)a，b，a*b＝4a（a﹣b），如2*3＝4×2×（2﹣3），則3*（﹣2）的值為（）A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣602．（2024秋?江夏區(qū)月考）定義新運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．則（﹣9）*（﹣15）的值為（）A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．643．（2024秋?萬州區(qū)期中）定義一種新的運(yùn)算：a*b=ab+ab(b≠0)，如-4*2=(-4)4．定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定a?b＝ab﹣a2+b3，則（﹣2）?（﹣3）的值為．5．規(guī)定一種新運(yùn)算：abcd=ad-bc，如2143=2×3-1×4=2．若1x6．定義：關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0的解為a﹣b，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x+4＝0的解為﹣2，且2﹣4＝﹣2，則該方程2x+4＝0是差解方程，若關(guān)于x的一元一次方程3x﹣m+1＝0是差解方程，則m＝．7．對于有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算，規(guī)定“※”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，例a※b＝ab﹣2a如：1※2＝1×2﹣2＝0．（1）求2※1（2）求（﹣3）※[1※（﹣2）]的值．8．在學(xué)習(xí)完有理數(shù)的混合運(yùn)算后，小奇對運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣．他利用所學(xué)知識定義了一種新運(yùn)算“?”，規(guī)則如下：a?b＝ab+a2﹣1．請你利用該運(yùn)算規(guī)則解答下面的問題：（1）求3?（﹣1）的值；（2）求-2?(-6?19．（2023秋?興化市期末）用“⊕”定義一種新的運(yùn)算：對于任意有理數(shù)x和y，規(guī)定：x⊕y＝x2y﹣3xy+y．