清單01 有理數(shù)（13個(gè)題型解讀）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages4343頁清單01有理數(shù)（13個(gè)題型解讀）【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)的分類例1：（24-25七年級上·廣東茂名·期中）在下列數(shù)，，，，0，中，負(fù)有理數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，與0比較，負(fù)有理數(shù)小于0是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)有理數(shù)是小于0的有理數(shù)，可判斷負(fù)有理數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：在數(shù)13，，，，0，中，負(fù)有理數(shù)有，，一共2個(gè)．故選：A．【變式1-1】（24-25七年級上·江蘇連云港·期中）下列關(guān)于有理數(shù)的描述：（

）①有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；②0是非負(fù)有理數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，由此可知0不是有理數(shù)；④一個(gè)有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分?jǐn)?shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的相關(guān)概念和分類．根據(jù)有理數(shù)分為：整數(shù)和分?jǐn)?shù)或者分為：正有理數(shù)，0，負(fù)有理數(shù)解答即可，熟記這些內(nèi)容是解題關(guān)鍵．【詳解】解：有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，故①正確；0是非負(fù)有理數(shù)，故②正確；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；一個(gè)有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分?jǐn)?shù)，故④正確．綜上可知正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選C．【變式1-2】（24-25七年級上·福建泉州·期中）如圖，下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，(1)請你把下列各數(shù)填入它所在的數(shù)集的圈里；2016，，，，，，，，(2)如圖，這兩個(gè)圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合？【答案】(1)見解析(2)這兩個(gè)圈的重疊部分表示負(fù)分?jǐn)?shù)集合【分析】此題考查了有理數(shù)的分類．（1）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的定義填表即可；（2）根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意如圖：（2）解：這兩個(gè)圈的重疊部分表示既是負(fù)數(shù)又是分?jǐn)?shù)，也就是負(fù)分?jǐn)?shù)集合．【變式1-3】（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：．正分?jǐn)?shù)集合：______；整數(shù)集合：______；正有理數(shù)集合：______．【答案】；；【分析】本題考查有理數(shù)的分類，分別根據(jù)正分?jǐn)?shù)、整數(shù)、正有理數(shù)的定義進(jìn)行分類即可【詳解】解：正分?jǐn)?shù)集合：；整數(shù)集合：；正有理數(shù)集合：．故答案為：；；．【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)的大小比較例2：（24-25七年級上·四川廣安·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)，得出，則，即可作答．【詳解】解：由數(shù)軸得，∴，∴，故選：C【變式2-1】（24-25七年級上·江蘇徐州·期中）有理數(shù)大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時(shí)期，下列各組有理數(shù)大小比較，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，化簡絕對值和多重符號(hào)，先化簡各個(gè)數(shù)字，再比較大小即可．【詳解】解：A．∵，∴，故不正確；B．∵，∴，故不正確；C．∵，∴，故正確；

D．∵，∴，故不正確；故選C．【變式2-2】（24-25七年級上·山西朔州·期中）如圖，檢測排球的質(zhì)量，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記作正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記作負(fù)數(shù)．下列已經(jīng)檢測出的4個(gè)排球的質(zhì)量中，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，絕對值，有理數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中表示的實(shí)際意義．求出超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)和低于標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)的絕對值，絕對值小的則是最接近標(biāo)準(zhǔn)的球．【詳解】解：通過求4個(gè)排球的絕對值得：，．的絕對值最小．所以這個(gè)球是最接近標(biāo)準(zhǔn)的球．故選：B．【變式2-3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）液體沸騰時(shí)的溫度叫作沸點(diǎn)，下表是幾種物質(zhì)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的沸點(diǎn)：物質(zhì)液態(tài)一氧化碳液態(tài)甲醛酒精食用油沸點(diǎn)則沸點(diǎn)最低的物質(zhì)是（

）A．液態(tài)一氧化碳 B．液態(tài)甲醛 C．酒精 D．食用油【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，比較出各數(shù)的大小即可判斷求解，掌握有理數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴液態(tài)一氧化碳沸點(diǎn)最低，故選：．【變式2-4】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期中）比較大?。海ㄕ?jiān)跈M線上填入“>”、“<”、或“=”）【答案】<【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大的負(fù)數(shù)反而越小，據(jù)此即可作答．【詳解】解：依題意，，∵，∴，故答案為：<．【變式2-5】（24-25七年級上·廣東茂名·期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把下列各數(shù)用“”號(hào)連接起來．，，，，0．【答案】見解析，【分析】本題考查了絕對值、數(shù)軸和比較有理數(shù)的大小等知識(shí)，熟練掌握有理數(shù)的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先化簡，再在數(shù)軸上表示，然后即可比較大?。驹斀狻拷猓海鐖D：．大小關(guān)系如下：．【考點(diǎn)題型三】相反數(shù)與相反數(shù)的應(yīng)用例3：（23-24七年級上·湖南衡陽·期末）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上一個(gè)負(fù)號(hào)即可．【詳解】解：的相反數(shù)是；故選：B．【變式3-1】（24-25七年級上·福建泉州·期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此判斷即可．【詳解】解：A、，，不互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，，不互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、與不互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，，互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式3-2】（24-25七年級上·廣東肇慶·期中）數(shù)軸上表示a，b的點(diǎn)如圖所示，把，，，按照從小到大的順序排列為．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，相反數(shù)的意義，利用數(shù)軸比較大?。仍跀?shù)軸上表示出，，然后根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)越向右越大得出答案即可．【詳解】解：將，在數(shù)軸上表示出來，如圖，由數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，得．故答案為：．【變式3-3】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期中）若m、n為相反數(shù)，且滿足，則m的值為．【答案】3【分析】由、為相反數(shù)得出，再根據(jù)即可求出的值．本題考查了相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、為相反數(shù)，則，，∴解得，故答案為：3．【變式3-4】（24-25七年級上·浙江紹興·期中）如圖，點(diǎn)Q、P、R、S、T在數(shù)軸上（單位長度為1）．(1)如果點(diǎn)R表示原點(diǎn)，點(diǎn)P表示的數(shù)是______，點(diǎn)S表示的數(shù)是______，點(diǎn)T表示的數(shù)是______；(2)如果點(diǎn)R、T表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R到原點(diǎn)的距離的和．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、相反數(shù)的定義，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)R表示原點(diǎn)并結(jié)合數(shù)軸即可得解；（2）由相反數(shù)的定義結(jié)合數(shù)軸得出點(diǎn)R表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，從而得出點(diǎn)Q表示的數(shù)為，即可得解．【詳解】（1）解：如果點(diǎn)R表示原點(diǎn)，點(diǎn)P表示的數(shù)是，點(diǎn)S表示的數(shù)是，點(diǎn)T表示的數(shù)是；（2）解：∵點(diǎn)R、T表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)R、T之間的距離為6，∴點(diǎn)R表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為，∴點(diǎn)Q和點(diǎn)R到原點(diǎn)的距離的和．【考點(diǎn)題型四】絕對值及其應(yīng)用例4：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）的絕對值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：的絕對值是，，故選：C．【變式4-1】（24-25七年級上·福建泉州·期中）如果為有理數(shù)，式子存在最大值，這個(gè)最大值是（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】A【分析】本題考查的是絕對值的非負(fù)性的含義，理解是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的非負(fù)性得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵為有理數(shù)，式子存在最大值，∵∴∴∴的最大值是2024．故選：A．【變式4-2】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)比較大小的方法，掌握絕對值的性質(zhì)化簡，有理數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分別化簡得出具體數(shù)值，再比較大小的方法“正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)”進(jìn)行判定即可．【詳解】解：，，，∴，故選：A．【變式4-3】（23-24七年級下·河北保定·期中）如圖所示，四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別是，且點(diǎn)與點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最小的數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查了相反數(shù)的意義和絕對值的意義，掌握相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，確定原點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間，再結(jié)合數(shù)軸觀察哪一個(gè)點(diǎn)距離原點(diǎn)最近來求解．【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，原點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間．距離原點(diǎn)最近，圖中表示絕對值最小的數(shù)的點(diǎn)是點(diǎn)．故選：C．【變式4-4】（24-25七年級上·河南安陽·期中）如果，那么．【答案】【分析】本題主要查了求一個(gè)數(shù)的絕對值．根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：【變式4-5】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）把下列各數(shù)表示的點(diǎn)畫在數(shù)軸上，并用“”把這些數(shù)連接起來，，0，，【答案】數(shù)軸表示見解析，【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，計(jì)算絕對值和化簡多重符號(hào)，先計(jì)算絕對值和化簡多重符號(hào)，再在數(shù)軸上表示出各數(shù)，最后根據(jù)正方向向右的數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用大于號(hào)將各數(shù)連接起來即可．【詳解】解：，，數(shù)軸表示如下所示：∴．【考點(diǎn)題型五】有理數(shù)加法例5：（24-25七年級上·廣西玉林·期中）在古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了利用算籌實(shí)施“正負(fù)術(shù)”的方法．圖1表示的是計(jì)算的過程．按照這種方法，圖2表示的過程應(yīng)是在計(jì)算（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，由圖1可以看出白色表示負(fù)數(shù)，黑色表示正數(shù)是解題的關(guān)鍵．先由圖1可得白色表示負(fù)數(shù)，黑色表示正數(shù)，然后觀察圖2列式即可．【詳解】解：由圖1知：白色表示負(fù)數(shù)，黑色表示正數(shù)，∴圖2表示的過程是在計(jì)算．故選A．【變式5-1】（24-25七年級上·天津北辰·期中）計(jì)算的結(jié)果等于（）A．2 B． C．8 D．1【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算法則，掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：B．【變式5-2】（24-25七年級上·吉林松原·階段練習(xí)）某地一天早晨的氣溫是，到了中午，氣溫上升了，則中午的氣溫是（

）A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃【答案】C【分析】本題主要考查正負(fù)數(shù)的定義，熟練掌握正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義進(jìn)行解題即可．【詳解】解：，故某地一天早晨的氣溫是℃，到了中午，氣溫上升了10℃，則中午的氣溫是8℃．故選C．【變式5-3】（24-25七年級上·安徽阜陽·期中）若數(shù)軸上點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，將點(diǎn)向右移動(dòng)個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加法，計(jì)算即可求解．【詳解】解：依題意，故答案為：．【變式5-4】（24-25七年級上·湖北襄陽·期中）溫度由上升是．【答案】3【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，用原來的溫度加上上升的溫度即可得到答案．【詳解】解：，∴溫度由上升是，故答案為：3．【變式5-5】（24-25七年級上·重慶·期中）在抗洪搶險(xiǎn)中，搶險(xiǎn)隊(duì)員駕駛的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從地出發(fā)，晚上到達(dá)地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．(1)救災(zāi)過程中，沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)處距離地______千米．(2)請你幫忙確定地相對于地的方位，距離地多少千米．(3)若沖鋒舟每千米耗油升，油箱容量為升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過程中至少還需補(bǔ)充多少升油．【答案】(1)(2)地在地的東邊，距離地千米，過程見解析(3)升，過程見解析【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）分別算出每次航行后離出發(fā)點(diǎn)的位置即可得到答案；（2）將所給的路程記錄相加；（3）先求出總路程，再求出總油耗即可得到答案．【詳解】（1）解：路程記錄中各點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離分別為：千米，千米，千米，千米，千米，千米，千米，千米，救災(zāi)過程中，沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)處有千米；（2）解：，，；地在地的東邊，距離地千米；（3）解：，，，，若沖鋒舟每千米耗油升，油箱容量為升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過程中至少還需補(bǔ)充升油．【考點(diǎn)題型六】加法運(yùn)算律例6：（2024七年級上·黑龍江·專題練習(xí)）小磊在解題時(shí)，將式子先變成，再計(jì)算結(jié)果，則小磊運(yùn)用了（

）A．加法交換律 B．加法交換律和加法結(jié)合律 C．加法結(jié)合律 D．無法判斷【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算律，根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律即可求解，熟練掌握加法交換律和加法結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將式子先變成，再計(jì)算結(jié)果，則小磊運(yùn)用了加法交換律和加法結(jié)合律，故選：．【變式6-1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C．49 D．50【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)加法運(yùn)算，利用結(jié)合律恒等變形，逐個(gè)求解即可得到簡便運(yùn)算方法，熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則及運(yùn)算律是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：A．【變式6-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）根據(jù)加法的交換律，式子（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查加法交換律．根據(jù)題意利用加法交換律可得，繼而得到本題答案．【詳解】解：∵，故選：A．【變式6-3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)加法運(yùn)算，涉及加法運(yùn)算律，先由有理數(shù)加法交換律及結(jié)合律恒等變形，再由有理數(shù)加法運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【變式6-4】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)加法運(yùn)算，涉及加法運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）先由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，再由有理數(shù)加法運(yùn)算法則求解即可得到答案；（2）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，最后由有理數(shù)加法運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【考點(diǎn)題型七】有理數(shù)的減法運(yùn)算例7：（24-25七年級上·江蘇徐州·期中）點(diǎn)A是數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，若將點(diǎn)A先向左移動(dòng)8個(gè)單位，再向右移動(dòng)10個(gè)單位，終點(diǎn)恰好是原點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離計(jì)算，有理數(shù)的加減計(jì)算，根據(jù)向右移動(dòng)為加，向左移動(dòng)為減列式求解即可．【詳解】解：，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是，故答案為：．【變式7-1】（24-25七年級上·陜西寶雞·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，直接根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：．【變式7-2】（24-25七年級上·河南鄭州·期中）下表列出了國外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)網(wǎng)球女單決賽時(shí)間為當(dāng)?shù)貢r(shí)間8月3日，小紅在北京觀看電視直播的時(shí)間為．（甲城市與乙城市的時(shí)差為兩城市同一時(shí)刻的時(shí)數(shù)之差，如當(dāng)北京時(shí)間為，東京時(shí)間為，那么東京與北京的時(shí)差為）城市紐約巴黎東京芝加哥時(shí)差/h【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，理解時(shí)差的含義是解題關(guān)鍵．根據(jù)巴黎與北京的時(shí)差為，即可求解．【詳解】解：2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)網(wǎng)球女單決賽時(shí)間為當(dāng)?shù)貢r(shí)間8月3日，巴黎與北京的時(shí)差為，則小紅在北京觀看電視直播的時(shí)間為時(shí)分時(shí)時(shí)分，即北京時(shí)間，故答案為：．【變式7-3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)，，，其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為8，設(shè)點(diǎn)，，所表示的數(shù)的和是．(1)若以為原點(diǎn)，則數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是________；若以為原點(diǎn)，則________；(2)若點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4，求的值．【答案】(1)3，5(2)或17【分析】本題主要數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算，掌握數(shù)軸上點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，分類討論：當(dāng)原點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)；當(dāng)原點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)；結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，∴點(diǎn)所表示的數(shù)是3，以為原點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為8，∴點(diǎn)表示的數(shù)是8，∵點(diǎn)，，所表示的數(shù)的和是，∴，故答案為3；5．（2）解：當(dāng)原點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離為8，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，∴；當(dāng)原點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，∴，，三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為，，4，∴；綜上所述，的值為或17．【考點(diǎn)題型八】有理數(shù)的乘法例8：（24-25七年級上·福建福州·期中）．【答案】/【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法．根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【變式8-1】（16-17七年級上·湖南長沙·期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．按照有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算并判斷即可．【詳解】解：A.，計(jì)算正確，故選項(xiàng)不符合題意；B.，原計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；C.，計(jì)算正確，故選項(xiàng)不符合題意；D.，計(jì)算正確，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．【變式8-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下面各組式子的積在和之間的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的乘法，比較有理數(shù)的大小，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．先依據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，然后再比較大小即可．【詳解】解：A、，，故A錯(cuò)誤；B、，，故B正確；C、，，故C錯(cuò)誤；D、，，故D錯(cuò)誤；故選：B【變式8-3】（24-25七年級上·廣西南寧·期中）若為有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下計(jì)算正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的四則運(yùn)算，先根據(jù)數(shù)軸得到，再根據(jù)有理數(shù)四則運(yùn)算法則求解判斷即可．【詳解】解：由題意得，，∴，，，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；故選：A．【變式8-4】（24-25七年級上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）年月日至年月日期間購買的新能源汽車免征車輛購置稅，每輛新能源車最高免稅額是萬元．車輛購置稅車輛計(jì)稅價(jià)格，陽陽家購買了一輛新能源車，計(jì)稅價(jià)格為萬元，應(yīng)繳納（）元購置稅．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)乘法、減法的應(yīng)用，根據(jù)題意，可以列出算式，然后計(jì)算即可，明確題意，列出相應(yīng)的算式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，陽陽家購買的新能源車應(yīng)繳納購置稅為：（元），故選：．【變式8-5】（24-25七年級上·浙江溫州·期中）小溫與小周在玩數(shù)字游戲，現(xiàn)有5張寫著不同數(shù)字的卡片，小溫請小周按要求抽出卡片，完成下列各問題：

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，請列式計(jì)算出最大值．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，請列式計(jì)算出最大值．【答案】(1)11；(2)14．【分析】本題考查了有理數(shù)減法法則和有理數(shù)乘法的計(jì)算，熟練掌握有理數(shù)減法法則和乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩數(shù)相減，用最大的數(shù)減去最小的數(shù)差最大，找出并計(jì)算即可；（2）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)抽取計(jì)算即可；．【詳解】（1）解：抽取卡片上的數(shù)字分別為4和這2張，2張卡片上數(shù)字差的最大值為；（2）解：抽取卡片上的數(shù)字分別為和這2張，2張卡片上數(shù)字積的最大值為；【考點(diǎn)題型九】有理數(shù)的乘法運(yùn)算律例9：（23-24七年級上·江蘇連云港·開學(xué)考試）觀察下圖，它的計(jì)算過程可以解釋（

）這一運(yùn)算規(guī)律．

A．加法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法交換律 D．乘法分配律【答案】D【分析】本題考查了乘法運(yùn)算律，根據(jù)圖形得出，即可得解．【詳解】解：由圖可得：，故它的計(jì)算過程可以解釋乘法分配律這一運(yùn)算過程，故選：D．【變式9-1】（24-25七年級上·河北石家莊·期中）若，則的值可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是乘法的分配律，利用乘法的分配律把原式化為，再展開代入即可得到答案.【詳解】解：故選：B．【變式9-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，乘法運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵；將化為，然后乘以，即可求解；【詳解】解：，，故答案為：【變式9-3】（22-23六年級下·上海虹口·期中）計(jì)算：【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．利用乘法分配律進(jìn)行展開計(jì)算即可．【詳解】解：【變式9-4】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）簡便計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）先變形，然后根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可；（2）先把減法轉(zhuǎn)化為加法，再逆用乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（2）解：．【考點(diǎn)題型十】倒數(shù)例10：（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·期中）的倒數(shù)是（

）A． B．-2 C． D．2【答案】C【分析】主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握．需要注意的是倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù)．倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．根據(jù)倒數(shù)的概念求解．【詳解】解：的倒數(shù)是．故選：C．【變式10-1】（24-25六年級上·山東淄博·期中）若數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)為，則數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵的相反數(shù)為，的倒數(shù)為，∴，故選：A．【變式10-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列各對數(shù)中，互為倒數(shù)的一對是（

）A．4和 B．和 C．和 D．0和0【答案】B【分析】本題主要考查倒數(shù)，倒數(shù)的定義：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)和相反數(shù)的定義逐一判斷可得．【詳解】解：A、4和互為相反數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B、和互為倒數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；C、和不是互為倒數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；D、0沒有倒數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式10-3】（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，則的值是．【答案】【分析】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，有理數(shù)加減運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，直接利用相反數(shù)以及互為倒數(shù)的性質(zhì)得出x+y=0，，然后代入即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，∴，，∴，故答案為：．【考點(diǎn)題型十一】有理數(shù)的乘方運(yùn)算例11：（24-25七年級上·云南昭通·期中）下列說法正確的是（

）A．的底數(shù)是 B．表示5個(gè)2相加C．與意義相同 D．的指數(shù)是3【答案】D【分析】根據(jù)乘方的意義，底數(shù)，指數(shù)的意義解答即可．本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.的底數(shù)是，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.表示5個(gè)2相乘，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C.表示3個(gè)相乘，表示3個(gè)3相乘的相反數(shù)，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D.的指數(shù)是3，原說法正確，符合題意；故選：D．【變式11-1】（24-25七年級上·山東淄博·期中）下列各對數(shù)中，相等的一對數(shù)是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，以及化簡多重符號(hào)，化簡絕對值，正確的化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算，以及化簡多重符號(hào)，化簡絕對值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：A、與，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、與，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、，，則與相等，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D、與，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：C．【變式11-2】（24-25七年級上·湖北恩施·期中）已知有理數(shù)a，b滿足，則．【答案】1【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性及完全平方的非負(fù)性，根據(jù)非負(fù)式子和為0，它們分別等于0求解即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，，∴，，∴，故答案為：1．【變式11-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）［傳統(tǒng)文化］《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半．若按此方式截一根長為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是．【答案】/【分析】本題主要考查分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用以及乘方的意義，熟練掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求得剩下的長度即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，第一次截取后剩余長度為，第二次截取后剩余長度為，第三次截取后剩余長度為，第次截取后剩余長度為，故第5天截取后木棍剩余的長度是．故答案為：．【變式11-3】（23-24七年級上·浙江湖州·期中）如圖，有4張寫著數(shù)字的卡片：，將這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，結(jié)果為24（要求每個(gè)數(shù)字只能用一次，例如：），請寫出另一個(gè)符合條件的算式：．【答案】【分析】此題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．利用“”，再寫出符合要求的式子即可．【詳解】解：由題意可得，符合要求的運(yùn)算式子為：，故答案為：.【變式11-4】（24-25七年級上·湖南永州·期中）計(jì)算題：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．（1）利用乘法分配律展開，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減即可；（3）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減即可．【詳解】（1）解：

；（2）；（3）原式．【考點(diǎn)題型十二】有理數(shù)的除法運(yùn)算例12：（重慶市巴蜀中學(xué)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年七年級上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的加減乘除的運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可．【詳解】解：A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；D、，正確，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式12-1】（24-25七年級上·甘肅金昌·期中）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．0 B．2024 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查有理數(shù)的除法，根據(jù)“零除以零以外的任何數(shù)都得零”解答即可．【詳解】解：故選：A．【變式12-2】（24-25七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）計(jì)算：的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】此題考查有理數(shù)的乘除運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的除法和乘法法則計(jì)算．根據(jù)有理數(shù)的除法和乘法計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：B．【變式12-3】（24-25七年級上·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，小天有5張寫著不同數(shù)的卡片，從中抽出2張卡片，使卡片上的數(shù)相除，所得到的商最小，最小的商是．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法計(jì)算，要使兩張卡片上的數(shù)字的商最小，在保證兩個(gè)數(shù)的為一正一負(fù)數(shù)的情況下要保證這兩個(gè)數(shù)的絕對值是5個(gè)數(shù)中除0外最大和最小的，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵要使兩張卡片上的數(shù)字的商最小，∴在保證兩個(gè)數(shù)的為一正一負(fù)數(shù)的情況下要保證這兩個(gè)數(shù)的絕對值是5個(gè)數(shù)中除0外最大和最小的，∴根據(jù)題意可選擇一正一負(fù)，∴當(dāng)選擇這兩張卡片時(shí)，商最小為，故答案為：．【變式12-4】（2024七年級上·遼寧·專題練習(xí)）閱讀下面解題過程并解答問題：計(jì)算：．解：原式（第一步）（第二步）．（第三步）(1)上面解題過程有兩處錯(cuò)誤：第一處錯(cuò)誤是第______步，錯(cuò)誤原因是______；第二處錯(cuò)誤是第______步，錯(cuò)誤原因是______；(2)請寫出正確的結(jié)果：______．【答案】(1)二，沒有按照同級運(yùn)算從左至右運(yùn)算，三，符號(hào)弄錯(cuò)(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)