期末復(fù)習(xí)之選擇壓軸題十六大題型總結(jié)（蘇科版）（解析版）

期末復(fù)習(xí)之選擇壓軸題十六大題型總結(jié)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1格點(diǎn)中的全等三角形】 1【題型2利用全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】 5【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 10【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 16【題型5線段長(zhǎng)度最值問題】 21【題型6使組成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 26【題型7勾股定理】 30【題型8勾股定理的逆定理】 35【題型9勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 39【題型10實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 43【題型11點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律】 44【題型12坐標(biāo)與圖形性質(zhì)】 48【題型13函數(shù)的圖象】 54【題型14一次函數(shù)的應(yīng)用】 57【題型15新定義問題】 62【題型16多結(jié)論問題】 66【題型1格點(diǎn)中的全等三角形】【例1】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，連接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（

）A．80° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】取格點(diǎn)E，F(xiàn)，M，連接MD，MB，先證明ΔDFM?ΔMEB，得出MD=MB，∠DMF=∠MBE，再證明AC//【詳解】解：取格點(diǎn)E，F(xiàn)，由已知條件可知：MF=BE，∴ΔDFM?ΔMEB，∴MD=MB，同理可得：ΔACB?ΔBME，∴∠CAB=∠MBE，∴AC//∴∠APB=∠PBM，∵∠BME+∠MBE=90°，∴∠BME+∠DMF=90°,∴∠DMB=90°,∴ΔDMB是等腰直角三角形，∴∠DBM=45°,即∠APB=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，所求角轉(zhuǎn)換成容易求出度數(shù)的角，合理的添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明在正方形網(wǎng)格中一筆畫成了一個(gè)“8字圖”，如圖所示的圖形，則∠A+∠C的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角．根據(jù)在△AED和△DBC在正方形網(wǎng)格中的位置可以證明△AED≌△DBC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可證∠C=∠ADB，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可以得到∠C+∠BAD=45°．【詳解】解：如下圖所示，在△AED和△DBC中AE=DB∠AEB=∠DBC=90°∴△AED≌△DBC，∴∠C=∠ADB，又∠EAB是△ABD的外角，∴∠EAB=∠ADB+∠BAD=45°，∴∠C+∠BAD=45°．故選：B．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·福建南平·期末）如圖，在5×5格的正方形網(wǎng)格中，與△ABC有一條公共邊且全等（不與△ABC重合）的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形）共有（）

A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】可以以AB和BC為公共邊分別畫出3個(gè)，AC不可以，故可求出結(jié)果．【詳解】解：以BC為公共邊可畫出△BDC，△BEC，△BFC三個(gè)三角形和原三角形全等．以AB為公共邊可畫出三個(gè)三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．以AC為公共邊不可以畫出一個(gè)三角形和原三角形全等，所以可畫出6個(gè)．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及格點(diǎn)的概念，熟練掌握三條對(duì)應(yīng)邊分別相等的三角形是全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在如圖所示的3×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，在網(wǎng)格中與△ABC全等（△ABC本身除外）的格點(diǎn)三角形最多可以畫（

）

A．5個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．15個(gè)【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理畫出符合的三角形，再得出選項(xiàng)即可．【詳解】解：設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，如圖可知△ABC是以小方格的對(duì)角線為底邊的等腰三角形，據(jù)此特征，在如圖所示的3×3的正方形網(wǎng)格中，

綜上，在網(wǎng)格中與△ABC全等（△ABC本身除外）的格點(diǎn)三角形最多可以畫15個(gè)，故選：D．【題型2利用全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】【例2】（23-24八年級(jí)·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一點(diǎn)D，且AD＝BC，過點(diǎn)D作DE∥BC且DE＝AB，連接EC，則∠DCE的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．60° D．45°【答案】B【分析】連接AE．根據(jù)ASA可證△ADE≌△CBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根據(jù)等邊三角形的判定可得△ACE是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】如圖所示，連接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE與△CBA中，∠DAE＝∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等邊三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故選B．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·黑龍江雞西·期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，且DE＝DG，則∠AED＋∠AGD和是（

）A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【分析】過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DH，則可根據(jù)“HL”判斷Rt△DFE?Rt△DHG，所以∠DEF=∠DGH，然后利用∠AED+∠DEF=180°得到∠AED+∠AGD=180°．【詳解】解：過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△DFE和Rt△DHG中，DE=DGDF=DH∴Rt△DFE?Rt△DHG(HL∴∠DEF=∠DGH，∵∠AED+∠DEF=180°，∴∠AED+∠AGD=180°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．利用角平分線性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期中）題目：“在△ABC和△A'B'C'中，兩個(gè)三角形的高線分別為AD和A'D'，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'，AC=AA．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題要分兩種情況求出，一種情況是△ABC?△A'B'C'，此時(shí)可得：∠C'=n°【詳解】解：如下圖所示，當(dāng)△ABC?△A'B如下圖所示，當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部，A'D'∵AC=A'C△ACD?△A∴∠A∴∠A∴要把甲和丙的答案合在一起才完整．故選：B．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·重慶北碚·期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．連接DE，DF，若∠BAE=α，則∠EDF一定等于（

）A．2α B．45°-α C．45°+α D．90°-α【答案】C【分析】取AB的中點(diǎn)G，連接EG，過點(diǎn)F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥CD．先證明△AGE≌△ECF得AE=EF，再證明Rt△ABE≌Rt△EMF得BE=FM，得△DNF為等腰直角三角形，求出∠NDF=45°，再證明Rt△ABE≌Rt△DCE得【詳解】取AB的中點(diǎn)G，連接EG，過點(diǎn)F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥CD．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=∠DCM=90°．∵點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AG=BG=12AB∴AG=EC，BG=BE．∵∠AEF=90°，∠B=∠BCD=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEM，∴∠BAE=∠MEF．∵BG=BE，CF平分∠DCM∴∠BGE=∠FCM=45°，∴∠AGE=∠ECF=135°．在△AGE和△ECF中∠EAG=∠FEC∴△AGE≌△ECF∴AE=EF在Rt△ABE和Rt∠EAB=∠FEM∠B=∠FME∴Rt△ABE≌∴FM=BE=1又∵CF平分∠DCM，F(xiàn)M⊥BC，F(xiàn)N⊥CD∴FN=FM=∵FM⊥BC，F(xiàn)N⊥CD，∠DCM=90°，F(xiàn)N=FM∴四邊形FMCN是正方形FMCN，∴FM=CN，∴FN=DN，∴∠NDF=45°．在Rt△ABE和RtAB=DC∠B=∠DCE∴Rt△ABE≌∴∠BAE=∠CDE=α∴∠EDF=∠CDE+∠FDC=45°+α．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是取AB的中點(diǎn)G后證明△AGE≌△ECF．【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB+∠ABC=90°，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且分別平分∠DAB和∠ABC，若BO=4OD，則AOOC的值為（

A．95 B．53 C．32【答案】B【分析】如圖，在AB上截取AE=AD，BF=BC，連接OE，OF．根據(jù)題意易證△AOD≌△AOE(SAS)，△BOC≌△BOF(SAS)．即得出∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．繼而求出∠AOD=∠BOC=∠AOE=∠BOF=∠EOF=45°，再由題意可知，ABAD=OBOD=4，即又可推出AE=14AB，BE=34AB．由OF【詳解】解：如圖，在AB上截取AE=AD，BF=BC，連接OE，OF．根據(jù)題意可知∠OAB=∠OAD=12∠DAB又∵AD=AE，BC=BF，∴△AOD≌△AOE(SAS)，∴∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．∵∠DAB+∠ABC=90°，∴∠OAB+∠OBA=45°，∴∠AOD=∠BOC=45°，∴∠AOE=∠BOF=45°，∴∠EOF=180°-(∠OAB+∠OBA)-∠AOE-∠BOF=180°-45°-45°-45°=45°，∵AO平分∠BAD，∴O到AD、AB的距離相等，∴S△AOBS△AOD=∴AE=14AB又∵∠EOF=∠BOF=45°，即OF平分∠BOE．同理可得：EFBF=OEOB∴BF=4∴BF=4∵BO平分∠ABC，∴OAOC故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．推理論證過程較難，作出輔助線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形的角平分線分對(duì)邊成兩條線段，那么這兩條線段的比等于對(duì)應(yīng)相鄰的兩邊的比是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，則線段EFA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】在BE上截取BG＝DF，先證△ADF≌△ABG，再證△AEG≌△AEF即可解答．【詳解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF與△ABG中AB=∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG與△AEF中AG=∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·江蘇無錫·期中）如圖，AO⊥OM，OA=8，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度是(

)A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的長(zhǎng)度隨B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化【答案】B【分析】作輔助線，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進(jìn)而證明△BPF≌△MPE，即可解決問題．【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO與△BEN中，∠BAO∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF與△NPE中，∠FBP∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=12BN；而BN=AO∴BP=12AO=12故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析或解答．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·浙江湖州·期中）如圖，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，AE=AC，過A作AF⊥DE，垂足為F，DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AG．四邊形DGBA的面積為64，AF=8．則FG的長(zhǎng)是（

）A．8 B．152 C．203 D【答案】A【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，利用SAS可證得△ABC≌△ADE，于是可得AD=AB，利用三角形的面積公式可得AF=AH，利用HL可證得Rt△AFG≌Rt△AHG，于是可得S△AFG=S△AHG，同理可證得Rt【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在△ABC和△ADE中，AC=AE∠C=∠E∴△ABC≌∴AD=AB，又∵AF⊥DE，∴1∴AF=AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG=∠AHG=90°，在Rt△AFG和RtAF=AHAG=AG∴Rt∴S同理：Rt△AFD∴S∴====2=2=64，∴S∴FG=32×2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)（SAS和HL），三角形的面積公式，等式的性質(zhì)2，垂線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例4】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB=3，CE=CD，點(diǎn)A在DE上，若AE:AD=1:2，則Rt△ABC和

A．32 B．94 C．3 D【答案】C【分析】設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，連接BD，作OM⊥DE于點(diǎn)M，ON⊥BD于點(diǎn)N，先證明OM=ON，根據(jù)條件算出△ABC的面積，再求出OA與OB的比值即可解決問題．【詳解】設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，連接BD，作OM⊥DE于點(diǎn)M，ON⊥BD于點(diǎn)N，如圖所示：

∵∠ECD=∠ACB=90°∴∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，∵CE=CD∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠E=∠CDB=45°，∵∠EDC=45∴∠CDB=∠EDC，∴OD平分∠ADB，又∵OM⊥DE，ON⊥BD，∴OM=ON，∵AE:AD＝∴BD:AD＝在Rt△ADB∵CA=CB=3，∴S△ABC∵S△AOD∴AOAB∴S△AOC=23S△ABC=故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法確定線段之間的關(guān)系．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于點(diǎn)P，若△BPC的面積為4cm2，則△ABC的面積（A．7cm2 B．8cm2 C．【答案】B【分析】題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線的性質(zhì)，熟知等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AP交BC于E，根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AP交BC于E，∵BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP，∴∠ABP=∠EBP，又∵BP=BP，∴△ABP≌△EBPASA∴AP=PE，∴S△ABP∴S△PBC∴S△ABC故選B．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·湖北鄂州·期中）如圖，在四邊形ABDC中，AD平分∠BAC，AD⊥DC，AC-AB=2，BC=8，則△BDC面積的最大值為（

）

A．6 B．8 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，分別延長(zhǎng)CD與AB交于點(diǎn)G，作GH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，可證明△ADG≌△ADCASA，得到BG=2，求面積最大值轉(zhuǎn)化成求線段GH【詳解】分別延長(zhǎng)CD與AB交于點(diǎn)G，作GH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵AD平分∠BAC，AD⊥DC，∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=ADC=90°，又∵AD=AD，∴△ADG≌△ADCASA∴AC=AG，CD=GD，∵AC-AB=2，∴BG=2，∴S△BDC∵GH⊥BC，∴當(dāng)點(diǎn)B、H重合時(shí)，GH最大，最大值為∴S△BDC故選：D．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于點(diǎn)E，連接BE，AB=6，AC=8，BC=10，則△ABE的面積是（

A．95 B．2 C．125 D【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的證明與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，作AM⊥BC與點(diǎn)M，利用角平分線的定義可證△AEC≌△FECASA，可推出AE=EF，F(xiàn)C=AC=8，再根據(jù)三角形面積可求得AM，從而得到S△ABF，最后利用三角形中線的性質(zhì)可知【詳解】解：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，作AM⊥BC與點(diǎn)M，如圖所示，∵AE⊥CD，CD是△ABC的角平分線∴∠AEC=∠FEC=90°，∠ACE=∠FCE在△AEC和△FEC中∠AEC=∠FEC∴△AEC≌△FEC∴AE=EF，F(xiàn)C=AC∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10∴BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2∵∴AM=∴∵AE=EF∴故選：C．【題型5線段長(zhǎng)度最值問題】【例5】（2024·江蘇·一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當(dāng)M、F、【詳解】解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M，作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠∴∠MCD+∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當(dāng)M、F、E、N共線時(shí)，且CD⊥AB時(shí)，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴12·AB·CD=∴CD=BC·ACAB=125∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短問題、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·浙江臺(tái)州·期中）如圖所示，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP=4，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P'P″與OA、OB分別交于M、N，則P'P″的長(zhǎng)即為【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P'P″與OA則PM=P″△PMN周長(zhǎng)為PM+MN+PN=則P'P″連接OP'、OP

由對(duì)稱定可得：OP'=OP∵∠AOB=60°∴∠∵OP'∴∠OCP'∴∠∴OC=故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用軸對(duì)稱求最短距離，通過軸對(duì)稱確定△PMN周長(zhǎng)最小值的位置是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·安徽馬鞍山·期末）如圖，已知Rt△ABC，AB=AC，D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BD=AC，E為BD上一點(diǎn)，BE=2DE，AB上兩點(diǎn)F，G，BF=FG=GA．下面能表示CD+AE最小值的線段是（

A．線段CA B．線段CG C．線段CF D．線段CB【答案】B【分析】連接DG，根據(jù)BE=2DE，BF=FG=GA，AB=AC，BD=AC，證明BE=BG，結(jié)合∠ABE=∠DBG，證明△ABE≌△DBGSAS，得到AE=DG，根據(jù)DG+CD≥CG，得到AE+CG的最小值為CG本題主要考查了全等三角形，線段和的最小值．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，連接DG，∵BE=2DE，∴BE=2∵BF=FG=GA，∴BG=2∵AB=AC，BD=AC，∴AB=∴BE=BG，∵∠ABE=∠DBG，∴△ABE≌△DBGSAS∴AE=DG，∵DG+CD≥CG，∴AE+CG≥CG，∴AE+CG的最小值為CG的長(zhǎng)．故選：B．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山東臨沂·期末）如圖，在等腰△ABC中，在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP=AQ．再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)R，作射線AR，交BC于點(diǎn)D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若點(diǎn)M、N分別是線段AD和線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為（

）A．10 B．12.8 C．12 D．9.6【答案】D【分析】過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)M'，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AC，然后根據(jù)S△ABC=12BC?AD=12AC?BH，可得BH=485．作點(diǎn)H關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N'，連接M'【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)M'，由作圖可知，AD平分∠BAC，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=CD=1∵AD=8，AC=10，BC=12，S△ABC∴BH=BC?AD∵AB=AC，AD⊥BC，作點(diǎn)H關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N'，連接M∴M∴BH=BM當(dāng)點(diǎn)M、M分別在M'、N'位置時(shí)，則BM+MN的最小值為BH的長(zhǎng)485故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作-作角平分線，利用軸對(duì)稱求最短距離問題，垂線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型6使組成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例6】（23-24八年級(jí)·河南周口·期末）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三種情況討論．【詳解】∵直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，∴當(dāng)OB=OA時(shí)，有兩個(gè)B點(diǎn)是B1、B2，OB1=OA時(shí)，∠OB1A=∠OAB1=12∠1=25°，OB2=OA時(shí)，∠OB2A=∠OAB2=12（180°-∠1）當(dāng)AO=AB時(shí)，有一個(gè)B點(diǎn)是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；當(dāng)BO=BA時(shí)，有一個(gè)B點(diǎn)是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題，解決問題的關(guān)鍵是三角形的三邊兩兩相等都有可能，有三種可能情況，分類討論．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P的位置有（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據(jù)等角對(duì)等邊，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-75°-30°=75°，當(dāng)∠CAP=∠CPA=12×75°=37.5°當(dāng)∠BAP=∠BPA=12×當(dāng)∠PAB=∠PBA=75°時(shí)，△PAB為等腰三角形；當(dāng)P與C重合時(shí)，△ABP為等腰三角形；當(dāng)P與B重合時(shí)，△ACP為等腰三角形；當(dāng)∠PAC=∠PCA=75°時(shí)，△PAC為等腰三角形；當(dāng)∠CAP=∠CPA=12×當(dāng)∠BAP=∠BPA=37.5°時(shí)，△BAP為等腰三角形；綜上，滿足條件的點(diǎn)P的位置有8個(gè)．故選：C．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·北京東城·期末）如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)稱軸l上找點(diǎn)P，使得△PAB、△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．無數(shù)多個(gè)【答案】C【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個(gè)符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長(zhǎng)方形內(nèi)部，在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，AB=PB；三是如圖，在長(zhǎng)方形外l上作點(diǎn)P，使AB=BP，DC=PC，同理，在長(zhǎng)方形外l上作點(diǎn)P，使AP=AB，PD=DC．【詳解】如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，如圖，在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，AB=PB，如圖，在長(zhǎng)方形外l上作點(diǎn)P，使AB=BP，DC=PC，同理，在長(zhǎng)方形外l上作點(diǎn)P，使AP=AB，PD=DC，故答案為5．故選C【變式6-3】（23-24八年級(jí)·浙江嘉興·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC≠AC，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】①以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形；②以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI和△ACI都是等腰三角形．⑦作AC的垂直平分線交AB于M，則△ACM和△BCM都是等腰三角形．【詳解】解：作圖如下故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是理解能力和動(dòng)手操作能力．【題型7勾股定理】【例7】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，△ABC的角平分線AF,BE相交于點(diǎn)P，若AB=AC=13,BC=10，則APPF的值為（

A．135 B．125 C．52【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)AB=AC=13,BC=10，AF平分∠BAC，利用勾股定理求出AF，如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB交AB于點(diǎn)D，證明Rt△BPD≌Rt△BPFHL，得到BD=BF=5，AD=AB-BD=8，設(shè)PD=x，則【詳解】解：∵AB=AC=13,BC=10，AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF,AF⊥BC,BF=CF=1∴∠AFB=90°，∴AF=A如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB交AB于點(diǎn)D，∵△ABC的角平分線AF,BE相交于點(diǎn)P，PD⊥AB，AF⊥BC，∴PF=PD，∵BP=BP，∴Rt∴BD=BF=5，AD=AB-BD=8，設(shè)PD=x，則AP=12-x，在Rt△ADP中，A∴12-x解得：x=10∴PD=PF=10∴APPF故選：A．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，AC=a,BD=b．以AC為底向下作等腰直角三角形ACE，以BD為底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=56BD．連接AF,DE，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，則a與bA．a(chǎn)=43b B．a(chǎn)=65b【答案】A【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EM=12AC=a2，BN=12BD=b2，利用勾股定理可得FN=23b，再利用三角形的面積公式可得△ABF【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，∵△ACE是等腰直角三角形，且AC=a，∴EM=1∵△BDF是等腰三角形，且BD=b，∴BN=1∵FB=FD=5∴FN=F∴△ABF與△CDE的面積之差為1===1∵當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，∴a∴a=4故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，連接AE，BE，則線段BE的長(zhǎng)等于（

）A．75 B．32 C．53【答案】D【分析】延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)H，作CF⊥AB，垂足為F．首先證明DC垂直平分線段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的長(zhǎng)，在Rt△ABE【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)H，作CF⊥AB，垂足為F．在Rt△ABC中，BC=6，AC=8∴AB=A∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=DC=1∵S∴12解得CF=24由翻折的性質(zhì)可知AC=CE，AD=DE，∴CH⊥AE，∴AH=HE．

∵DC=AD，S△ADC∴HE=CF=24∴AE=2HE=48根據(jù)折疊的性質(zhì)有：AD=DE，∴AD=DE=BD，∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，∴∠AEB=90°，∴△ABE為直角三角形．∴BE=A故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC外一點(diǎn)，O到三邊的垂線段分別為OD，OE，OF，且OD:OE:OF=1:4:4，則AO的長(zhǎng)度為（

）

A．7 B．5 C．16017 D．【答案】D【分析】連接OA，OB，OC，由OD:OE:OF=1:4:4，設(shè)OD=x，OE=4x，OE=4x，證明Rt△AOF≌Rt△AOE，得到AO為∠BAC的角平分線，再根據(jù)AB=AC，得到AO⊥BC，根據(jù)三線合一及勾股定理求出AD=4【詳解】解：連接OA，OB，OC，如圖，

由OD:OE:OF=1:4:4，設(shè)OD=x，OE=4x，OE=4x，∵OE=OF，AB⊥OF，AC⊥OE，AO=AO，∴Rt△AOF≌Rt△AOE∴AO為∠BAC的角平分線，又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD為△ABC的中線，∵BC⊥OD，∴A、D、O三點(diǎn)共線，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，AD=∴S∴12=10x+10x-3x，∴x=12∴AO=AD+DO=4+12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判定及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【題型8勾股定理的逆定理】【例8】（23-24八年級(jí)·安徽蚌埠·期中）如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直角三角形．現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積，分別計(jì)算出幾個(gè)較大的正方形紙片圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【詳解】解：∵五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，∴五種正方形紙片的邊長(zhǎng)分別是1，2，3，4，5，由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時(shí)，1＋4＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是12當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，2＋3＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是12當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時(shí)，2＋2＝4，圍成的三角形是直角三角形，面積是12∵62＞1∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期中）如圖已知△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，BC邊上的中線AD=12cm，則△ABC的面積為（

A．30 B．130 C．60 D．120【答案】C【分析】根據(jù)中線，得到BD=13cm，再根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△BAD是直角三角形，進(jìn)而得到SABD=30cm2【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴D為BC中點(diǎn)，∵BC=26cm∴BD=CD=1∴BD∵AB=5cm，AD=12∴AB∴BD∴∠BAD=90°，∴S∵D為BC中點(diǎn)，∴S∴S故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·山東德州·期中）如圖，將三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的△ABC沿最長(zhǎng)邊翻轉(zhuǎn)180°成△ABC1，則

A．125 B．512 C．56【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據(jù)翻轉(zhuǎn)得出AB垂直平分CC1，根據(jù)三角形面積公式求出【詳解】連接CC1，交AB于點(diǎn)

∵AC=3，BC=4，AB=5，∴BC∴△ABC是直角三角形．∵△ABC沿最長(zhǎng)邊翻轉(zhuǎn)180°成△ABC∴AB垂直平分CC∴CD=AC?BC∴CC故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式8-3】（2024八年級(jí)·浙江杭州·專題練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB，則△ABD的面積為（

）A．14 B．15 C．16 D．352【答案】B【分析】過D作DP⊥AB于P，證明△ABC為直角三角形，再利用角平分線的性質(zhì)定理得出CD=DP，然后利用等面積法求出DP，即可求得△ABD的面積．【詳解】解：如圖，作DP⊥AB于P．∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，即DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，∴DC=DP，設(shè)DC=DP=x，∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，∴12?AC?BC=∴6×8=6x+10x，∴x=3，∴S故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理的逆定理．能根據(jù)角平分線性質(zhì)和等面積法求出CD=DE=3是解此題的關(guān)鍵．【題型9勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例9】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）某航空公司經(jīng)營(yíng)中有A、B、C、D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù)．它的部分機(jī)票價(jià)格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機(jī)票價(jià)格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距離，則由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一條直線上，利用勾股定理即可解出BD的長(zhǎng)，即是B﹣D的機(jī)票價(jià)格．【詳解】把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距離，則AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一條直線上，∴∠BCD是直角，∴BD=BC2+CD2即B﹣D的機(jī)票價(jià)格為1500元.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵.【變式9-1】（23-24八年級(jí)·云南昆明·期中）如圖，教室墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA=17米，AB=2米，點(diǎn)P到AF的距離是4米，一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

A．22 B．23 C．5 D．26【答案】C【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題及勾股定理的應(yīng)用，可將教室的墻面ADEF與地面ABCD展開，連接PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．正確利用立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來進(jìn)行解決是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過P作PG⊥BF于G，連接PB，此時(shí)PB的長(zhǎng)為這只螞蟻從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B的最短行程，∵PA=17米，AB=2米，點(diǎn)P到AF的距離是4∴PG=4米，∴AG=P∴BG=GA+AB=1+2=3（米），∴PB=G∴這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是5米．故選：C．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知圓柱的底面直徑BC=6π，高AB=3，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為（A．18 B．48 C．120 D．72【答案】D【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A，C的最短距離為線段AC的長(zhǎng).∵已知圓柱的底面直徑BC=6∴AD=π?6在RtΔADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，∴AC∴從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為2AC2故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·廣東梅州·期中）如題圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm、高為12cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是（

）A．13cm B．241cm C．193cm D【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理-最短路徑問題，先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再由勾股定理求解即可，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1:AB=16如圖2:AB=15如圖3:AB=12∵265>∴它所行的最短路線的長(zhǎng)是193cm故選：C．【題型10實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例10】（2024·河北邯鄲·三模）在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為230﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長(zhǎng)，從而求得空白部分的長(zhǎng)；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長(zhǎng)方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長(zhǎng)即可求出面積．【詳解】∵觀察可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為230﹣6，∴一個(gè)空白長(zhǎng)方形面積=30-3∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長(zhǎng)=12=23，重疊部分邊長(zhǎng)=∴空白部分的長(zhǎng)=23設(shè)空白部分寬為x，可得：3x=30-3，解得：x∴小正方形的邊長(zhǎng)=空白部分的寬+陰影部分邊長(zhǎng)=(10∴小正方形面積=(10)故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，觀察圖形得到各個(gè)正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2024·浙江杭州·二模）無理數(shù)2+3+37A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3【答案】D【詳解】試題分析：由題意分析可知，本題中主要考查37與相鄰數(shù)字的知識(shí)，由題知，49=7>37>36=6，所以3>2+【變式10-2】（23-24八年級(jí)·河南周口·期中）已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、e、f，且a、b互為倒數(shù)，c、dA．92+2 B．132-2【答案】D【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)倒數(shù)、相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根的定義得出ab、c+d、e2及f【詳解】解：由題意得，ab=1，c+d=0，e2=2，∴12故選：D．【變式10-3】（23-24八年級(jí)·福建莆田·期中）設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，則1×2+2×3+A．5151 B．5150 C．5050 D．5049【答案】C【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)條件可得每一項(xiàng)都是xx+1組成，判斷出x<xx+1【詳解】解：∵x2∴x<x∴xx+1∴原式=1+2+3+?+100=5050；故選：C．【題型11點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律】【例11】（23-24八年級(jí)·安徽馬鞍山·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如1,0，2,0，(2,1)，(3,2)，(3,1)，3,0，4,0?，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．(64,7) B．(63,7) C．(64,6) D．(63,6)【答案】A【分析】本題考查了圖形的坐標(biāo)變化規(guī)律，由圖可知橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)有1個(gè)，橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)有2個(gè)，橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)有3個(gè)，縱坐標(biāo)分別是0，1，2?，橫坐標(biāo)為奇數(shù)，縱坐標(biāo)從大數(shù)開始數(shù)，橫坐標(biāo)為偶數(shù)，則從0開始數(shù)，據(jù)此解答即可求解，由圖形得到坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把第一個(gè)點(diǎn)1,0作為第一列，2,1和2,0作為第二列，依此類推，則第一列有1個(gè)數(shù)，第二列有2個(gè)數(shù)，第n列有n

個(gè)數(shù)，則n列共有nn+1∵1+2+3+?+63=2016，∴第2024個(gè)數(shù)一定在第64列，由下到上是第8個(gè)數(shù)，∴第2024個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是64,7，故選：A．【變式11-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)點(diǎn)自P01,0處向上運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度至P11,1．然后向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度至P2處，再向下運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至P3處，再向右運(yùn)動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度至P4處，再向上運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度至P5處，…A．-1011,1011 B．1011,-1012C．-1011,-1012 D．-1012,-1013【答案】C【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形、點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律型問題等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知條件歸納出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坐標(biāo)系確定前面的一些點(diǎn)，然后歸納規(guī)律，最后利用規(guī)律即可解答．【詳解】解：∵2023÷4=505??3，∴點(diǎn)P2023由題意P01,0，P11,1，P2-1,-1，P3-1,-2，P43,-2，P53,3，∴P4n-1∵P2023，即n=506∴P2023故選：C．【變式11-2】（2024·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9…都是等邊三角形，且點(diǎn)A．509,0 B．508,0 C．-503,0 D．-505,0【答案】C【分析】本題是一道關(guān)于等邊三角形性質(zhì)及探索規(guī)律的題目，找出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．觀察圖形可以得到A1~A4,A5~A8,…，每4個(gè)為一組，據(jù)此可以得到A2023在x軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為【詳解】解：觀察圖形可以看出A1~A∵2023÷4=505……3，∴A2023在x軸負(fù)半軸上，縱坐標(biāo)為0∵A32,0，A∴當(dāng)3=4×0+3時(shí)，A3的橫坐標(biāo)為2當(dāng)7=4×1+3時(shí)，A7的橫坐標(biāo)為1當(dāng)11=4×2+3時(shí)，A7的橫坐標(biāo)為0……當(dāng)4n+3時(shí)，A4n+3橫坐標(biāo)為2-n∵4n+3=2023，∴n=505，則2-505=-503∴A2023的坐標(biāo)是-503,0故選：C【變式11-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x和y=-x的圖象分別為直線l1，l2，過點(diǎn)1,0作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A1，過A1點(diǎn)作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作yA．2024,-2024 B．4028,-4028C．21012,-2【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的圖象以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“A4n+122n,22n+1【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，y=2，∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,2)當(dāng)y=-x=2時(shí)，x=-2，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為-2,2同理可得：A3-2,-4，A44,-4，A54,8，A6-8,8，A∴A4n+122n,22n+1，A4n+2∵2024=505×4+4，∴點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為2505×2+2,-故選：C．【題型12坐標(biāo)與圖形性質(zhì)】【例12】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABO的O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是-8,0，直角頂點(diǎn)B在第二象限，等腰Rt△BCD的C點(diǎn)在y軸上移動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨之在一條直線上移動(dòng)，這條直線的解析式是（

A．y=-2x+2 B．y=-12x+4 C．y=-3x-4【答案】D【分析】當(dāng)BC∥x軸平行時(shí)，過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，DF交BC于點(diǎn)G，根據(jù)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是-8,0，得到AO=8，推出EO=GF=4，OF=DG=2，推出DF=DG+GF=6，推出D-2,6；當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，D在y軸上，推出D0,4，設(shè)所求直線解析式為y=kx+b，將兩位置D坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與【詳解】當(dāng)BC∥x軸時(shí)，過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，DF交BC于點(diǎn)G，如圖1所示．∵等腰直角△ABO的O點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是-8,0，∴AO=8，∴BC=BE=AE=EO=GF=12OA=4，OF=DG=BG=CG=∴D坐標(biāo)為-2,6；當(dāng)C與原點(diǎn)O重合時(shí)，D在y軸上，如圖2所示．此時(shí)OD=BE=4，即D0,4設(shè)所求直線解析式為y=kx+bk≠0將點(diǎn)D兩位置坐標(biāo)代入得：-2k+b=6b=4，解得k=-1則這條直線解析式為y=-x+4．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形，一次函數(shù)．熟練掌握待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A2,-6，B6,-1，Cm,0，D0,n，當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，

A．-87 B．-78 C．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱，一次函數(shù)．熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱路徑最短，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，是解決問題的關(guān)鍵．作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，根據(jù)點(diǎn)C，D在A'B'上時(shí)BC+CD+AD最小，得到四邊形ABCD周長(zhǎng)最?。鶕?jù)點(diǎn)A'，B【詳解】解：如圖，分別作點(diǎn)A2,-6關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'(-2,-6)，點(diǎn)B6,-1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'(6,1)，連接

則AD=A'D∴BC+CD+AD=當(dāng)點(diǎn)C，D在A'B'上時(shí)，BC+CD+AD此時(shí)四邊形ABCD周長(zhǎng)就最小，設(shè)直線A'B'則-2k+b=-66k+b=1解得，k=7∴y=7當(dāng)y=0時(shí)，78解得，x=34當(dāng)x=0時(shí)，y=-17∴C347,0∴m=347，∴mn故選：A．【變式12-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，x軸上有一點(diǎn)C-1,0，P，Q分別為直線y=x+2和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別是（

A．P-54,34，C．P-52,34，【答案】A【分析】本題考待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用對(duì)稱的方法確定△CEF周長(zhǎng)最小時(shí)，E、F的位置．作C點(diǎn)關(guān)于直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C'和關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，由y=x+2可得A-2,0，B0,2，所以△AOB是等腰直角三角形，求得C″-2,1，C'-1,0，待定系數(shù)法求出直線C'C″的解析式為y=-【詳解】解：作C點(diǎn)關(guān)于直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C'和關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C則C″1,0，C'∴CP+CQ+PQ=C當(dāng)C',C∵一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A-2,0，B則△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵C、C'關(guān)于AB∴∠PAC∴∠OAC∵C-1,0∴AC=OA-OC=1=AC∴C'設(shè)直線C'C″0=k+b1=-2k+b，解得k=-則直線C'C″則點(diǎn)Q0,聯(lián)立y=x+2y=-13則P故選：A．【變式12-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的兩個(gè)頂點(diǎn)A6,0，B6,6，點(diǎn)D在邊AB上，AD=5BD，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，則使四邊形PCAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)

A．3,3 B．72,72 C．【答案】C【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短路線問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)已知條件得到AB=OA=6，∠AOB=45°，求得AD=5，OC=AC=3，得到C3,0，D6,5，在y軸正半軸取點(diǎn)E，使OE=OC，連接EC交OB于點(diǎn)F，連接ED交OB于P'，連接CP'，EP，推出OB垂直平分EC，則點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)E于直線OB對(duì)稱，此時(shí)四邊形P'DAC周長(zhǎng)最小，E0,2，求得直線OB的解析式【詳解】解：∵A6,0，B∴AB=OA=6，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵AD=5BD，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，∴AD=5，OC=AC=3，∴C3,0，D在y軸正半軸取點(diǎn)E，使OE=OC，連接EC交OB于點(diǎn)F，連接ED交OB于P'，連接CP'∴OE=OC=3，∴E0,3∵∠EOC=90°，∠AOB=45°，∴∠EOB=90°-∠AOB=45°=∠AOB，即OB平分∠EOC，∴OB⊥CE，CF=EF，∴OB垂直平分EC，則點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)E于直線OB對(duì)稱，∴CP'=E∴AC+AD+CP+PD=AC+AD+EP+PD≥AC+AD+ED，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時(shí)，取“=”號(hào)，此時(shí)四邊形P設(shè)直線OB的解析式為y=kx，過點(diǎn)B∴6=6k，解得：k=1，∴直線OB的解析式為y=x直線ED的解析式為y=k1x+b1∴b1解得：k1∴直線ED的解析式為y=1解方程組y=xy=13∴P'故選：C．

【題型13函數(shù)的圖象】【例13】（2024·湖北黃石·中考真題）如圖所示，向一個(gè)半徑為R、容積為V的球形容器內(nèi)注水，則能夠反映容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（

）B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：觀察可得，只有選項(xiàng)A符合實(shí)際，故答案選A.【變式13-1】（23-24八年級(jí)·貴州畢節(jié)·期中）如圖，一輛貨車勻速通過一條隧道（隧道長(zhǎng)大于貨車長(zhǎng)），從貨車頭剛進(jìn)入隧道開始，貨車在隧道內(nèi)的長(zhǎng)度與行駛的時(shí)間之間的關(guān)系用圖象描述大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查長(zhǎng)度和時(shí)間之間的圖象描述，根據(jù)題意可知貨車進(jìn)入隧道的長(zhǎng)度和時(shí)間的關(guān)系具體可描述為：貨車前期進(jìn)入、完全進(jìn)入和駛離隧道三個(gè)階段，第一階段隨時(shí)間的增加長(zhǎng)度逐漸增加，第二間階段隨時(shí)間增加但是長(zhǎng)度不變，第三階段隨時(shí)間的增加長(zhǎng)度逐漸減小，由題意知貨車勻速通過一條隧道，則增加或減小的長(zhǎng)度隨時(shí)間均勻變化．【詳解】解：當(dāng)貨車開始進(jìn)入時(shí)c長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)，當(dāng)貨車完全進(jìn)入隧道，由于隧道長(zhǎng)大于貨車長(zhǎng)，此時(shí)長(zhǎng)度達(dá)到最大，當(dāng)貨車開始出來時(shí)長(zhǎng)度逐漸變小．另外是勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)度隨時(shí)間的均勻變化而均勻變化，故圖象呈直線型．故選：C．【變式13-2】（23-24八年級(jí)·安徽淮北·期中）透明玻璃水槽內(nèi)有一個(gè)籃球，均勻地向容器內(nèi)注水，最后把水注滿．在注水的過程中，水面的高度h隨時(shí)間t的變化而變化的過程，更像下面哪個(gè)圖象（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在注水的過程中，分兩個(gè)階段：①籃球沒浮起來之前，由于籃球的橫截面越來越大，排開水的體積越來越大，所以上升速度越來越快；②籃球浮起來之后，水位勻速上升．【詳解】解：在注水的過程中，分兩個(gè)階段：①籃球沒浮起來之前，由于籃球的橫截面越來越大，排開水的體積越來越大，所以上升速度越來越快；②籃球浮起來之后，水位勻速上升．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的圖象，用到的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的應(yīng)用，需注意勻速地向一個(gè)容器內(nèi)注水，籃球的橫截面的大小與水面高度變化的關(guān)聯(lián)情況．【變式13-3】（2024·河北唐山·三模）如圖1是一個(gè)圓底燒瓶，李老師在做化學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)向空瓶?jī)?nèi)勻速加水至圖2狀態(tài)停止．記加水時(shí)長(zhǎng)為ts，圓底燒瓶里水面的高度為ycm，則y與t關(guān)系的圖象大致是（

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查函數(shù)的圖象，根據(jù)空瓶的形狀，隨著加水時(shí)長(zhǎng)的增加，水面的高度上升的快慢，即可求解．【詳解】解：根據(jù)空瓶的形狀，隨著加水時(shí)長(zhǎng)的增加，單位時(shí)間內(nèi)，圓底燒瓶里水面的高度上升先快后慢，再由慢變快，最后均勻上升，∴選項(xiàng)B中圖象符合題意，故選：B．【題型14一次函數(shù)的應(yīng)用】【例14】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）甲、乙兩人登山過程中，甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時(shí)間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到達(dá)山頂，根據(jù)圖象所提供的信息，甲、乙兩人距地面的高度差為36米的時(shí)刻不可能是（

）A．5分鐘 B．9分鐘 C．11分鐘 D．17分鐘【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值方程，一元一次方程等知識(shí)．從圖像中獲取正確的信息，正確的表示函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖像與題意求甲的函數(shù)關(guān)系式為y甲=12x+600≤x≤20，乙的函數(shù)關(guān)系式為y【詳解】解：由圖像可知，甲的速度為300-6020=12米/分鐘，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，乙的速度為604=15米/分鐘，當(dāng)4≤x≤14時(shí)，乙的速度為∴甲的函數(shù)關(guān)系式為y甲=12x+600≤x≤20令y甲當(dāng)0≤x≤4時(shí)，12x+60-15x=36解得x=8（舍去）；當(dāng)4≤x≤14時(shí)，12x+60-當(dāng)12x+60-24x-36=36當(dāng)12x+60-24x-36=-36當(dāng)14≤x≤20時(shí)，可得300-12x+60解得x=17；綜上，x的值可能為5或11或17，不可能為9，故選：B【變式14-1】（23-24八年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期末）小冬和小天沿同一條筆直的公路相向而行，小冬從甲地前往乙地，小天從乙地前往甲地，兩人同時(shí)發(fā)出，當(dāng)行駛5分鐘時(shí)小冬發(fā)現(xiàn)重要物品忘帶，立刻掉頭提速返回甲地，用時(shí)4分鐘，拿到物品后以提速后的速度繼續(xù)前往乙地（掉頭和拿物品的時(shí)間忽略不計(jì)），小天始終以一個(gè)速度保持行駛，二人相距的路程y（米）與小冬出發(fā)時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．小冬返回甲地的速度與小天行駛速度相同；B．小冬和小天出發(fā)時(shí)的速度分別為160米/分鐘和200米/分鐘；C．小天出發(fā)14.5分鐘兩人相遇；D．小冬最終達(dá)到乙地的時(shí)間是20分鐘．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，采用數(shù)形結(jié)合的思想．由圖象可知前5分鐘，兩人共行駛了4000-2200米，故兩人速度和為4000-2200÷5=360米/分鐘，再根據(jù)小東提速返回的路程，小天用4分鐘的時(shí)間，可知小天的速度是小東的54倍，即可算出兩人開始的速度；然后根據(jù)總路程和小東繼續(xù)去乙地的速度，分別求出小天和小東用的相遇時(shí)間即可；小東在加上開始5分鐘和返回【詳解】A．當(dāng)行駛5分鐘時(shí)小冬發(fā)現(xiàn)重要物品忘帶發(fā)現(xiàn)重要物品沒帶，立刻掉頭提速返回甲地甲地，此時(shí)由圖CD∥x軸可知，小東和小天相距的路程不變，∴所以小冬返回甲地的速度與小天行駛速度相同，此選項(xiàng)不符合題意B．∵小東掉頭提速返回甲地，用時(shí)4分鐘，且小東和小天相距的路程不變∴小東提速前5分鐘的路程，相當(dāng)于小天只需4分鐘就可走完，∴小天速度是小東提速前的速度的54∵設(shè)小東原速度為v米/分鐘,則提速后為54v米/分鐘，小天的速度為545∴小冬和小天出發(fā)時(shí)的速度分別為160米/分鐘和200米/分鐘，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵兩人同時(shí)發(fā)出，當(dāng)行駛5分鐘到達(dá)B點(diǎn)，小東掉頭提速返回甲地，用時(shí)4分鐘，且小東和小天相距的路程不變，∴此時(shí)兩人相距2200米，∵拿到物品后以提速后的速度繼續(xù)前往乙地，∴小東提速后速度為200米/分鐘，兩人繼續(xù)行駛2200÷200+200∴小天一共行駛了5+4+5.5=15.5分鐘故此選項(xiàng)不符合題意；D．小東行駛時(shí)間為開始5分鐘，返回甲地4分鐘，重新返回乙地4000÷200=20分鐘，∴小冬最終達(dá)到乙地的時(shí)間是29分鐘，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：D【變式14-2】（23-24八年級(jí)·重慶·開學(xué)考試）周末老張和小勝相約從各自的家出發(fā)去體育館打羽毛球，且老張家，小勝家，體育館順次在同一直線上，老張先從家出發(fā)4分鐘后來到小勝家和小勝匯合，匯合時(shí)間忽略不計(jì)，兩人以老張的速度一起走了4分鐘后，小勝發(fā)現(xiàn)自己裝備帶錯(cuò)了需回家換裝備，于是立即加速回家用了少許時(shí)間取了裝備后又以加速后的速度趕往體育館，老張仍以原速前行，結(jié)果小勝比老張?zhí)崆?分鐘到達(dá)體育館．若老張與小勝兩人和體育館之間的距離y（米）與小勝出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．則以下說法錯(cuò)誤的是（

）．A．小勝加速后的速度為250米/分鐘B．老張用了24分鐘到達(dá)體育館C．小勝回家后用了0.6分鐘取裝備D．小勝取了裝備后追上老張時(shí)距離老張家3025米【答案】D【分析】根據(jù)題意可以在圖上分辨出老張和小勝的函數(shù)圖像，根據(jù)6.4分鐘后的圖像曲線可以計(jì)算出小張加速后的速度，從而判斷出A選項(xiàng)；再根據(jù)共行4分鐘，可以計(jì)算出老張的速度，從而算出老張的總用時(shí)，判斷出B選項(xiàng)；根據(jù)老張總共用時(shí)，可以計(jì)算出小勝趕往體育館用時(shí)，從而可以判斷出C選項(xiàng)；再通過設(shè)方程求出小勝追上老張所用時(shí)間，可以計(jì)算出老張從家到被小勝追上所用時(shí)間，最后即可計(jì)算出最后答案．【詳解】A、小勝加速后用6.4-4=2.4min走了3000-2400=600m，速度為600÷2.4=250m/min，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；B、老張全程速度不變，和小勝一起用4分鐘走了3000-2400=600m，速度為600÷4=150m/min，由圖可知小勝家到體育館距離為3000m，老張用時(shí)3000÷150=20min，再加上之前找小勝家用的4分鐘，總共用時(shí)24分鐘，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；C、因老張用20分鐘到體育館，所以小勝花19分鐘到，所以小勝趕往體育館用時(shí)3000÷250=12min，所以圖中他逗留家中的時(shí)間為19-6.4-12=0.6min，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；D、6.4分鐘時(shí)，老張走了150×6.4=960m，距離體育館還剩3000-960=2040m，小勝開始返回體育館，設(shè)t分鐘時(shí)小勝追上老張，得2040-150t=3000-250t，解得t=9.6，此時(shí)從家開始老張總共用了4+6.4+9.6=20分鐘，距離老張家150×20=3000m，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的實(shí)際運(yùn)用，行程問題的基本關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是計(jì)算出兩個(gè)人的速度．【變式14-3】（23-24八年級(jí)·遼寧丹東·期中）甲、乙兩車從A地出發(fā)，勻速駛往B地．乙車出發(fā)1h后，甲車才沿相同的路線開始行駛．甲車先到達(dá)B地并停留30分鐘后，又以原速按原路線返回，直至與乙車相遇．圖中的折線段表示從開始到相遇止，兩車之間的距離ykm與甲車行駛的時(shí)間xh

A．甲車速度是100km/h B．A、B兩地的距離是C．乙車出發(fā)4.5h時(shí)甲車到達(dá)B地 D．甲車出發(fā)4.5【答案】D【分析】分析兩車之間的距離ykm與甲車行駛的時(shí)間x【詳解】解：點(diǎn)(0,60)中可知，乙1小時(shí)行駛了60km，可求乙的速度60km/h點(diǎn)(1.5,0)中可知，1.5h60×1+1.5由點(diǎn)b,80可知，甲到B地，且甲乙相差80kmb=80點(diǎn)c,a可知，休息30分鐘，∴c=3.5+0.5=4，a=80-60×0.5=50；點(diǎn)d,0可知，甲乙再次相遇，d=4+50A．甲車的速度是100km/h，故AB．由以上分析已知甲出發(fā)3.5h后到達(dá)B地，且甲速度為100km/h，所以A，B兩地為100×3.5=350kmC．甲車3.5h到達(dá)B地，乙車比甲車早出發(fā)1h，所以乙車出發(fā)4.5h時(shí)甲車到達(dá)BD．從上中1.5,0和d,0可知，甲出發(fā)1.5h和4516h故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象中獲得信息，兩車相遇問題，最大的難點(diǎn)在于會(huì)識(shí)圖，從圖中找到關(guān)鍵信息點(diǎn)．【題型15新定義問題】【例15】（23-24八年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點(diǎn)A為“和二點(diǎn)”．例如：點(diǎn)B(-1.2,0.8)到x軸、y軸距離和為2，則點(diǎn)B是“和二點(diǎn)”，點(diǎn)C(1，1),D(-0.5，-1.5)也是“和二點(diǎn)”．一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象l經(jīng)過點(diǎn)E(-3,-4)，且圖象l上存在“和二點(diǎn)”，則A．23≤k≤2 B．45≤k≤2 C．【答案】D【分析】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)．取E-2,0，F(xiàn)2,0，G0,-2連EG，F(xiàn)G,EG取點(diǎn)P，PM⊥x軸PN⊥y軸，垂直分別為M,N,PN=OM，可得△OEG，△OFG均為等腰直角三角形，從而得△PEM為等腰直角三角形進(jìn)而得PM+PN=OE=2，繼而得到線EG上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，線FG上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，可得到當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與線EG或線FG有交點(diǎn)時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象l上存在“成雙點(diǎn)”，再分別求出當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E【詳解】解：取E-2,0，F(xiàn)2,0，G0,-2連EG，F(xiàn)G,EG取點(diǎn)P，PM⊥x∵OE=OF=OG=2，∴△OEG，∴∠OEG=45°，∴△PEM為等腰直角三角形，∴PM=EM，∴PM+PN=OE=2，∴點(diǎn)P是“成雙點(diǎn)”，即線EG上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，同理線FG上的點(diǎn)為“成雙點(diǎn)”，∴當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與線EG或線FG有交點(diǎn)時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象l上存在“成雙點(diǎn)”，∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象l經(jīng)過點(diǎn)E(-3,-4)，∴-3k+b=-4，解得：b=3k-4，∴一次函數(shù)解析式為b=kx+3k-4，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，∴-2k+3k-4=0，解得：k=4，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象l經(jīng)過點(diǎn)G時(shí)，∴3k-4=-2，解得：k=2∴k的取值范圍：23故選：D．【變式15-1】（2024·河北保定·一模）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，則它的特征值k為（A．85或14 B．58或14 C．85或4【答案】A【分析】分∠A為頂角和底角兩種情況,利用等腰三角形的兩底角相等求出底角或頂角，然后根據(jù)k的定義求解即可．【詳解】解：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：12（180°-80°）∴k=80②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°-80°-80°=20°.∴特征值k=20綜上所述，k為85或1故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性