期末復(fù)習(xí)壓軸題13個必考點(diǎn)（90題）（解析版）

七上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)壓軸題13個必考點(diǎn)（90題）【蘇科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1與絕對值有關(guān)的壓軸題】 1【考點(diǎn)2與整式的加減有關(guān)的壓軸題】 5【考點(diǎn)3與一元一次方程的解有關(guān)的壓軸題】 9【考點(diǎn)4一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用壓軸題】 13【考點(diǎn)5與線段有關(guān)的計算壓軸題】 19【考點(diǎn)6數(shù)軸、線段中的動點(diǎn)壓軸題】 26【考點(diǎn)7與角度有關(guān)的計算壓軸題】 38【考點(diǎn)8角的旋轉(zhuǎn)壓軸題】 46【考點(diǎn)9平行線性質(zhì)綜合探究題】 62【考點(diǎn)10新定義問題】 75【考點(diǎn)11日歷與幻方問題】 81【考點(diǎn)12數(shù)字規(guī)律問題】 86【考點(diǎn)13圖形規(guī)律問題】 90

【考點(diǎn)1與絕對值有關(guān)的壓軸題】1．（2023秋?光山縣校級期末）若1＜x＜2，則|x-2|x-2-|x-1|1-x+A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【分析】在解絕對值時要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的正負(fù)性，再去掉絕對值符號．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故選：D．2．（2023秋?荔灣區(qū)期末）在數(shù)軸上表示有理數(shù)a，b，c的點(diǎn)如圖所示，若a+b＜0，ac＜0，則下面四個結(jié)論：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的結(jié)論個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用有理數(shù)的加法，乘法法則判斷即可．【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，∴abc＞0或abc＜0，選項(xiàng)①錯誤；b+c＞0或b+c＜0，選項(xiàng)②錯誤；|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，選項(xiàng)③正確；|a﹣c|＞|a|，選項(xiàng)④錯誤，其中一定成立的結(jié)論個數(shù)為1．故選：A．3．（2023秋?潮南區(qū)校級期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖，則|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（）A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c【分析】首先根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分別可以得到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用絕對值的性質(zhì)即可化簡．【解答】解：依題意得﹣1＜c＜0＜a＜b，∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b．故選：C．4．（2023秋?撫州期末）適合|a+5|+|a﹣3|＝8的整數(shù)a的值有（）A．4個 B．5個 C．7個 D．9個【分析】此方程可理解為a到﹣5和3的距離的和，由此可得出a的值，繼而可得出答案．【解答】解：|a+5|表示a到﹣5點(diǎn)的距離，|a﹣3|表示a到3點(diǎn)的距離，因?yàn)椹?到3點(diǎn)的距離為8，故﹣5到3之間的所有點(diǎn)均滿足條件，又由a為整數(shù)，故滿足條件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9個，故選：D．5．（2023秋?忠縣期末）如果有理數(shù)a，b，c滿足|a+b+c|＝a+b﹣c，對于以下結(jié)論：①c＝0；②（a+b）c＝0；③當(dāng)a，b互為相反數(shù)時，c不可能是正數(shù)；④當(dāng)c≠0時，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，得出c＝0或a+b＝0，逐個判斷出正確錯誤即可．【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c，∴c＝0或a+b＝0，∴（a+b）c＝0故①不正確，②正確，當(dāng)a，b互為相反數(shù)時，∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c，∴c≤0，∴③正確，當(dāng)c≠0時，a+b＝0，c≤0，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3，故④正確，故選：C．6．（2023秋?渝中區(qū)期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x=|b+c|a+A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24【分析】根據(jù)abc＜0，a+b+c＝0判斷出a、b、c只能是一負(fù)兩正，然后分情況討論：當(dāng)a、b為正，c為負(fù)時；當(dāng)a、c為正，b為負(fù)時；當(dāng)b、c為正，a為負(fù)時；分別計算x的值，即可得出答案．【解答】解：∵abc＜0，∴a、b、c中一負(fù)兩正或三負(fù)，∵a+b+c＝0，∴a、b、c不可能三負(fù)，只能是一負(fù)兩正，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，當(dāng)a、b為正，c為負(fù)時，x=|b+c|=|-a|=a＝1+2+3＝6；當(dāng)a、c為正，b為負(fù)時，x=|b+c|=|-a|=a＝1﹣2﹣3＝﹣4；當(dāng)b、c為正，a為負(fù)時，x=|b+c|=|-a|=-a＝﹣1+2﹣3＝﹣2；則x的最大值與最小值的乘積為6×（﹣4）＝﹣24，故選：A．7．（2023秋?武漢期末）數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離可表示為線段AB＝|a﹣b|，如：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)﹣1的點(diǎn)之間的距離為|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代數(shù)式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于．【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三種情況進(jìn)行討論，然后比較作答．【解答】解：當(dāng)x≤﹣3時，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5．當(dāng)﹣3＜x≤2時，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，當(dāng)x＝2時，有最大值5，當(dāng)x＞2時，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5．綜上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值為5，故答案為：5．【考點(diǎn)2與整式的加減有關(guān)的壓軸題】1．（2024?寧波校級期末）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為mcm，寬為ncm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（）A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm【分析】本題需先設(shè)小長方形卡片的長為a，寬為b，再結(jié)合圖形得出上面的陰影周長和下面的陰影周長，再把它們加起來即可求出答案．【解答】解：設(shè)小長方形卡片的長為a，寬為b，∴L上面的陰影＝2（n﹣a+m﹣a），L下面的陰影＝2（m﹣2b+n﹣2b），∴L總的陰影＝L上面的陰影+L下面的陰影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），又∵a+2b＝m，∴4m+4n﹣4（a+2b），＝4n．故選：B．2．（2023秋?儋州校級期末）三張大小不一的正方形紙片按如圖①和圖②方式分別放置于相同的大長方形中，它們既不重疊也無空隙，記圖①陰影部分周長為m，圖②陰影部分周長之和為n，則m與n的差（）A．與正方形A的邊長有關(guān) B．與正方形B的邊長有關(guān) C．與正方形C的邊長有關(guān) D．與A，B，C的邊長均無關(guān)【分析】認(rèn)真讀懂題意，根據(jù)題意列代數(shù)式，化簡整理代數(shù)式，判斷正誤．【解答】解：設(shè)正方形A、B、C的邊長分別為a、b、c，大矩形的面積為d，根據(jù)題意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b，n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b，∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0，∴m與n的差和正方形A，B，C的邊長無關(guān)．故選：D．3．（2023秋?越秀區(qū)期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值與x的取值無關(guān)．若B＝5，則A的值是（）A．﹣4 B．2 C．6 D．10【分析】計算A﹣2B后根據(jù)題意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值．【解答】解：A﹣2B＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y）＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y＝xy﹣2x﹣2y＝（y﹣2）x﹣2y，∵A﹣2B的值與x的取值無關(guān)，∴y﹣2＝0，∴y＝2，∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4，∵B＝5，∴A﹣10＝﹣4，∴A＝6，故選：C．4．（2023秋?沂源縣期末）已知無論x，y取什么值，多項(xiàng)式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，則m+n等于（）A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8【分析】直接去括號、合并同類項(xiàng)，進(jìn)而得出3﹣n＝0，m+5＝0，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12，∵多項(xiàng)式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，∴3﹣n＝0，m+5＝0，解得：n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故選：B．5．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，則式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（）A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15【分析】幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項(xiàng)．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，結(jié)合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，去括號、合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6，∴2x2﹣3xy＝﹣3，又∵3y2﹣2xy＝12，∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15，故選：D．6．（2023秋?襄城區(qū)期末）若多項(xiàng)式2x3﹣8x2+mx﹣1與多項(xiàng)式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次項(xiàng)，則它們的和等于．【分析】先計算兩個多項(xiàng)式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根據(jù)題意得出8+（3m+1）＝0，即可求出m的值，從而求出這兩個多項(xiàng)式的和．【解答】解：由題意得，（2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7]＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，∵多項(xiàng)式2x3﹣8x2+mx﹣1與多項(xiàng)式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次項(xiàng)，∴8+（3m+1）＝0，解得m＝﹣3，∴多項(xiàng)式2x3﹣8x2+mx﹣1為2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多項(xiàng)式x3+（3m+1）x2﹣5x+7為x3﹣8x2﹣5x+7，∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7＝3x3﹣16x2﹣8x+6，故答案為：3x3﹣16x2﹣8x+6．7．（2023秋?廣州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，則代數(shù)式x2-32x+3的值是【分析】把A與B代入3A﹣B＝﹣2中，去括號合并求出2x2﹣3x的值，原式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9，∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2，即2x2﹣3x＝﹣1，則原式=12（2x2﹣3x）+3=-12+故答案為：212【考點(diǎn)3與一元一次方程的解有關(guān)的壓軸題】1．（2023秋?鄭州期末）若關(guān)于x的方程2x+1=12023x+a的解為x＝﹣3，則關(guān)于y的方程2（y﹣2）A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能確定【分析】令y﹣2＝x，根據(jù)2x+1=12023x+a的解為x【解答】解：令y﹣2＝x，則2(y-2)+1=12023(y-2)+a∵關(guān)于x的方程2x+1=12023x+a的解為x∴y﹣2＝﹣3，解得y＝﹣1，故選：A．2．（2023秋?隴縣期末）已知關(guān)于x的方程x-2-ax6=A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19【分析】先根據(jù)解方程的一般步驟解方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義將a的值算出，最后相加即可得出答案．【解答】解：x-2-ax去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6，去括號，得6x﹣2+ax＝2x﹣6，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得（4+a）x＝﹣4，將系數(shù)化為1，得x=-4∵x=-4∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4，∴a＝﹣5或﹣6，﹣8時，x的解都是非負(fù)整數(shù)，則﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19，故選：D．3．（2023秋?廣州期末）已知x＝3是關(guān)于x的方程(x3+1)+m(x-1)2=1的解，n滿足關(guān)系式|m+n|＝2，則mn【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再將m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，從而求出mn的值．【解答】解：∵x＝3是關(guān)于x的方程(x∴(3∴2+m＝1，解得m＝﹣1，∵|m+n|＝2，∴|﹣1+n|＝2，解得n＝﹣1或3，∴mn＝1或﹣3，故答案為：1或﹣3．4．（2023秋?烏魯木齊期末）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程kx+a3=1-2x+bk6，無論k為何值，它的解總是1，則a+b＝【分析】把x＝1代入方程kx+a3=1-2x+bk6，得：k+a3=1-2+bk6，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根據(jù)題意可得2+b＝0，2a﹣【解答】解：把x＝1代入方程kx+a3=1k+a3=12（k+a）＝6﹣（2+bk），2k+2a＝6﹣2﹣bk，2k+bk+2a﹣4＝0，（2+b）k+2a﹣4＝0，∵無論k為何值，它的解總是1，∴2+b＝0，2a﹣4＝0，解得：b＝﹣2，a＝2．則a+b＝0．故答案為：0．5．（2023秋?赤坎區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程3x2+ax+23=b有無數(shù)解，則2a+3b的值為【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根據(jù)方程有無數(shù)解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，據(jù)此求出2a＝﹣9，3b＝2，然后代值計算即可．【解答】解：3x2去分母得：9x+2（ax+2）＝6b，去括號得：9x+2ax+4＝6b，移項(xiàng)得：9x+2ax＝6b﹣4，合并同類項(xiàng)得：（9+2a）x＝6b﹣4，∵關(guān)于x的方程3x2∴關(guān)于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有無數(shù)解，∴9+2a＝0，6b﹣4＝0，∴2a＝﹣9，3b＝2，∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7，故答案為：﹣7．6．（2023秋?龍泉驛區(qū)期末）已知關(guān)于y的方程2+5y＝（b+5）y無解，關(guān)于x的方程5+ax＝2a有唯一解，則關(guān)于z的方程az＝b的解為．【分析】根據(jù)題意，化簡關(guān)于x、y的方程，推斷出a、b情況，將條件代入關(guān)于z的方程，得出結(jié)果．【解答】解：關(guān)于x的方程5+ax＝2a可以簡化為：x=2a-5∵關(guān)于x的方程5+ax＝2a有唯一解，∴a≠0，∵2+5y＝（b+5）y，∴2+5y＝by+5y，∴by＝2，∴y=2∵關(guān)于y的方程2+5y＝（b+5）y無解，∴b＝0，關(guān)于z的方程az＝b可以簡化為：z=b∵a≠0，b＝0，∴z＝0．故答案為：z＝0．7．（2023秋?潮南區(qū)期末）定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1，我們就稱這兩個方程為“集團(tuán)方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0為“集團(tuán)方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程4x﹣1＝x+8是“集團(tuán)方程”，求m的值；（2）若“集團(tuán)方程”的兩個解的差為6，其中一個較大的解為n，求n的值；（3）若關(guān)于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集團(tuán)方程”，求關(guān)于【分析】（1）先表示兩個方程的解，再求值．（2）根據(jù)條件建立關(guān)于n的方程，再求值．（3）先求k，再解方程．【解答】解：（1）∵3x+m＝0，∴x=-m∵4x﹣1＝x+8，∴x＝3．∵關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程4x﹣1＝x+8是“集團(tuán)方程”，∴-m∴m＝6；（2）∵“集團(tuán)方程”的兩個解和為1，∴另一個方程的解是1﹣n，∵兩個解的差是6，且n為較大的解，∴n﹣（1﹣n）＝6，∴n=7（3）∵12022∴x＝﹣2022．∵關(guān)于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和∴關(guān)于x的一元一次方程12022x+3=2x+k的解為：x＝1﹣（﹣2022）＝∵關(guān)于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+2+k可化為：12022(y+1)+3=2(y+1)+k，令y+1＝∴y＝2022．【考點(diǎn)4一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用壓軸題】1．（2023秋?宿城區(qū)期末）為迎接新年到來，光明中學(xué)開展制作“中國結(jié)”活動．七（1）班有m人，打算制作n個“中國結(jié)”．若每人做4個，則可比計劃多做2個；若每人做2個，則將比計劃少做58個，現(xiàn)有下列四個方程：①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③n+24=n-582A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)題意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不變可得出4m﹣2＝2m+58，由m不變可得出n+24【解答】解：根據(jù)題意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，∴4m﹣2＝2m+58，n+24∴方程①③正確．故選：A．2．（2023秋?黃石港區(qū)期末）某市近期公布的居民用天然氣階梯價格方案如下：第一檔天然氣用量第二檔天然氣用量第三檔天然氣用量年用天然氣量360立方米及以下，價格為每立方米2元．年用天然氣量超出360立方米，不足600立方米時，超過360立方米部分每立方米價格為2.5元．年用天然氣量600立方米以上，超過600立方米部分價格為每立方米3元．若某戶2023年實(shí)際繳納天然氣費(fèi)2463元，則該戶2023年使用天然氣981立方米．【分析】根據(jù)“實(shí)際繳納天然氣費(fèi)2463元”列方程求解．【解答】解：當(dāng)用天然氣360立方米時，費(fèi)用為：360×2＝720元，當(dāng)用天然氣600立方米時，費(fèi)用為：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元，∵2463＞1320，∴繳納天然氣費(fèi)2463元，使用量大于600立方米，設(shè)該戶2023年使用天然氣x立方米，則：1320+3×（x﹣600）＝2463，解得：x＝981，故答案為：981．3．（2024?東莞市校級模擬）國慶黃金周，某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的80%出售，同時當(dāng)顧客在商場內(nèi)一次性消費(fèi)滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額．消費(fèi)金額（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返還金額（元）060100150注：500～1000表示消費(fèi)金額大于500元且小于或等于1000元，其他類同．根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠．例如，若購買標(biāo)價為1000元的商品，則消費(fèi)金額為800元，獲得的優(yōu)惠額為1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．（1）購買一件標(biāo)價為1600元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？（2）若顧客在該商場購買一件標(biāo)價x元（x＞1250）的商品，那么該顧客獲得的優(yōu)惠額為多少？（用含有x的代數(shù)式表示）（3）若顧客在該商場第一次購買一件標(biāo)價x元（x＞1250）的商品后，第二次又購買了一件標(biāo)價為500元的商品，兩件商品的優(yōu)惠額共為650元，則這名顧客第一次購買商品的標(biāo)價為2000元．【分析】（1）購買一件標(biāo)價為1600元的商品，根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)可得消費(fèi)金額為1280元，優(yōu)惠額為：1600﹣1280+100＝420（元）除以標(biāo)價就是優(yōu)惠率；（2）分兩種情況：當(dāng)1000＜0.8x≤1500時；當(dāng)0.8x＞1500時；討論可求該顧客獲得的優(yōu)惠額；（3）設(shè)這名顧客第一次購買商品的標(biāo)價為x元，兩件商品的優(yōu)惠額共為650元，然后就分情況：當(dāng)1250＜x≤1875時；當(dāng)x＞1875時；根據(jù)題意列出方程求解．注意解方程時要結(jié)合實(shí)際情況分析．【解答】解：（1）標(biāo)價為1600元的商品按80%的價格出售，消費(fèi)金額為1280元，消費(fèi)金額1280元在1000﹣1500之間，返還金額為100元，則顧客獲得的優(yōu)惠額是：1600﹣1280+100＝420（元）；（2）當(dāng)1000＜0.8x≤1500時，（0.2x+100）元；當(dāng)0.8x＞1500時，（0.2x+150）元；（3）1500÷80%＝1875（元），當(dāng)1250＜x≤1875時，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合題意；當(dāng)x＞1875時，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．故這名顧客第一次購買商品的標(biāo)價為2000元．故答案為：2000．4．（2023秋?鶴山市期末）晨光文具店分兩次購進(jìn)一款禮品盲盒共70盒，總共花費(fèi)960元，已知第一批盲盒進(jìn)價為每盒15元，第二批盲盒進(jìn)價為每盒12元．（利潤＝銷售額﹣成本）（1）求兩次分別購進(jìn)禮品盲盒多少盒？（2）文具店老板計劃將每盒盲盒標(biāo)價20元出售，銷售完第一批盲盒后，再打八折銷售完第二批盲盒，按此計劃該老板總共可以獲得多少元利潤？（3）在實(shí)際銷售中，該文具店老板在以（2）中的標(biāo)價20元售出一些第一批盲盒后，決定搞一場促銷活動，盡快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板現(xiàn)將標(biāo)價提高到40元/盒，再推出活動：購買兩盒，第一盒七五折，第二盒半價，不單盒銷售．售完所有盲盒后該老板共獲利潤710元，按（2）中標(biāo)價售出的禮品盲盒有多少盒？【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)禮品盲盒x盒，則第二次購進(jìn)禮品盲盒（70﹣x）盒，利用總價＝單價×數(shù)量，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出第一次購進(jìn)禮品盲盒的數(shù)量，再將其代入（70﹣x）中，即可求出第二次購進(jìn)禮品盲盒的數(shù)量；（2）利用總利潤＝銷售單價×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨總價，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)按（2）中標(biāo)價售出的禮品盲盒有m盒，利用總利潤＝銷售單價×銷售數(shù)量﹣進(jìn)貨總價，可列出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)禮品盲盒x盒，則第二次購進(jìn)禮品盲盒（70﹣x）盒，根據(jù)題意得：15x+12（70﹣x）＝960，解得：x＝40，∴70﹣x＝70﹣40＝30．答：第一次購進(jìn)禮品盲盒40盒，第二次購進(jìn)禮品盲盒30盒；（2）根據(jù)題意得：20×40+20×0.8×30﹣960＝800+480﹣960＝320（元）．答：按此計劃該老板總共可以獲得320元利潤；（3）設(shè)按（2）中標(biāo)價售出的禮品盲盒有m盒，根據(jù)題意得：20m+（40×0.75+40×0.5）?70-m2-960＝解得：m＝16．答：按（2）中標(biāo)價售出的禮品盲盒有16盒．5．（2023秋?新會區(qū)期末）安寧市的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，若經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；若經(jīng)精加工后銷售每噸獲利7500元．當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)產(chǎn)品企業(yè)收購這種蔬菜140噸，該企業(yè)加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸，如果進(jìn)行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進(jìn)行，受季節(jié)條件限制，企業(yè)必須在15天的時間將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，企業(yè)研制了四種可行方案：方案一：全部直接銷售；方案二：全部進(jìn)行粗加工；方案三：盡可能多地進(jìn)行精加工，沒有來得及進(jìn)行精加工的直接銷售；方案四：將一部分進(jìn)行精加工，其余的進(jìn)行粗加工，并恰好15天完成．請通過計算以上四個方案的利潤，幫助企業(yè)選擇一個最佳方案使所獲利潤最多？【分析】根據(jù)總利潤＝單噸利潤×銷售質(zhì)量即可求出方案一、二、三的利潤，在方案四種，設(shè)精加工x噸食蔬菜，則粗加工（140﹣x）噸蔬菜，根據(jù)每天可精加工6噸或粗加工16噸結(jié)合加工總天數(shù)為15天即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而得出140﹣x的值，再根據(jù)總利潤＝精加工部分的利潤+粗加工部分的利潤求出方案四的利潤，將四種方案獲得的利潤比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：方案一可獲利潤：140×1000＝140000（元）；方案二可獲利潤：4500×140＝630000（元）；方案三可獲利潤：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）；方案四：設(shè)精加工x噸食蔬菜，則粗加工（140﹣x）噸蔬菜，根據(jù)題意得：x6+解得：x＝60，∴140﹣x＝80．此情況下利潤為：60×7500+80×4500＝810000（元），∵140000＜630000＜725000＜810000，∴企業(yè)選擇方案四所獲利潤最多．6．（2023秋?棗陽市期末）某購物平臺準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行年貨節(jié)活動，此次年貨節(jié)活動特別準(zhǔn)備了A、B兩種商品進(jìn)行特價促銷，已知購進(jìn)了A、B兩種商品，其中A種商品每件的進(jìn)價比B種商品每件的進(jìn)價多40元，購進(jìn)A種商品2件與購進(jìn)B種商品3件的進(jìn)價相同．（1）求A、B兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元？（2）該網(wǎng)購平臺從廠家購進(jìn)了A、B兩種商品共60件，所用資金為5800元，出售時，A種商品在進(jìn)價的基礎(chǔ)上加價20%進(jìn)行標(biāo)價；B商品按標(biāo)價出售每件可獲利20元．若按標(biāo)價出售A、B兩種商品，則全部售完共可獲利多少元？（3）在（2）的條件下，年貨節(jié)期間，A商品按標(biāo)價出售，B商品按標(biāo)價先銷售一部分商品后，余下的再按標(biāo)價降價8元出售，A、B兩種商品全部售出，總獲利比全部按標(biāo)價售出獲利少了213，則B【分析】（1）設(shè)A種商品每件的進(jìn)價是x元，根據(jù)購進(jìn)A種商品2件與購進(jìn)B種商品3件的進(jìn)價相同列出方程，解出可得結(jié)論；（2）設(shè)購買A種商品a件，根據(jù)所用資金5800元可得購進(jìn)A、B兩種商品的件數(shù)，在根據(jù)兩種商品的售價和進(jìn)價可得總利潤；（3）設(shè)B商品按標(biāo)價售出m件，根據(jù)等量關(guān)系A(chǔ)商品的利潤+B商品的利潤＝（2）中的利潤×（1-2【解答】解：（1）設(shè)A種商品每件的進(jìn)價是x元，則B種商品每件的進(jìn)價是（x﹣40）元，由題意得2x＝3（x﹣40），解得：x＝120，120﹣40＝80（元）．答：A種商品每件的進(jìn)價是120元，B種商品每件的進(jìn)價是80元；（2）設(shè)購買A種商品a件，則購買B商品（60﹣a）件，由題意得120a+80（60﹣a）＝5800，解得a＝25，60﹣a＝35．120×20%×25+20×35＝1300（元）．答：全部售完共可獲利1300元；（3）設(shè)B商品按標(biāo)價售出m件，由題意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1-2解得m＝10．答：B商品按標(biāo)價售出10件．7．（2023秋?漢川市期末）新時代超市經(jīng)銷甲、乙兩種商品，兩種商品相關(guān)信息如表：商品進(jìn)價（元/件）售價（元/件）利潤率甲種4060n乙種50m50%（1）以上表格中m，n的值分別為75，50%；（2）若該超市同時購進(jìn)甲種商品數(shù)量是乙種商品數(shù)量的2倍少10件，且在正常銷售情況下售完這兩種商品共獲利3050元，求購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？（3）春節(jié)臨近，該超市決定對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠活動：顧客一次性購商品數(shù)量優(yōu)惠措施甲種不超過15件不優(yōu)惠超過15件全部按售價8.5折乙種不超過15不優(yōu)惠超過15件但不超過25件全部按售價8.8折超過25件全部按售價8折小華的爸爸一次性購買包含甲、乙兩種商品共40件，按上述條件優(yōu)惠后實(shí)付款恰好為2280元；求出小華的爸爸購買方案．【分析】（1）利用甲種商品的利潤率=售價-進(jìn)價進(jìn)價×100%，即可求出n的值，利用乙種商品的利潤率=售價（2）設(shè)購進(jìn)乙種商品x件，則購進(jìn)甲種商品（2x﹣10）件，利用總利潤＝每件甲種商品的銷售利潤×購進(jìn)甲種商品的數(shù)量+每件乙種商品的銷售利潤×購進(jìn)乙種商品的數(shù)量，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出購進(jìn)乙種商品的數(shù)量，再將其代入（2x﹣10）中，即可求出購進(jìn)甲種商品的數(shù)量；（3）設(shè)購買甲種商品y件，則購買乙種商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四種情況考慮，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價為2280元，可列出關(guān)于y的一元一次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：n=60-4040×100%m-5050×100%＝解得：m＝75．故答案為：75，50%；（2）設(shè)購進(jìn)乙種商品x件，則購進(jìn)甲種商品（2x﹣10）件，根據(jù)題意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050，解得：x＝50，∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）．答：購進(jìn)甲種商品90件，乙種商品50件；（3）設(shè)購買甲種商品y件，則購買乙種商品（40﹣y）件．當(dāng)0＜y＜15時，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合題意，舍去；當(dāng)y＝15時，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合題意，舍去；當(dāng)15＜y＜25時，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280，解得：y＝24，∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）；當(dāng)y≥25時，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280，解得：y＝30，∴40﹣y＝40﹣30＝10（件），∴小華的爸爸共有2種購買方案，方案1：購買甲種商品24件，乙種商品16件；方案2：購買甲種商品30件，乙種商品10件．【考點(diǎn)5與線段有關(guān)的計算壓軸題】1．（2023秋?江岸區(qū)期末）如圖，AB＝20cm，點(diǎn)C是線段AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，在線段BC上存在一點(diǎn)N（N在M的右側(cè)且N不與B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，則k的值為（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能確定【分析】設(shè)CN＝xcm，則BC＝（k+1）xcm，BN＝kxcm，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到CM=12AC=20+(k+1)x2cm，則MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2-x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣【解答】解：∵BN＝kCN，∴BC＝（k+1）CN，設(shè)CN＝xcm，則BC＝（k+1）xcm，BN＝kxcm，∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm，∵點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，∴CM=12AC=∴MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2-x）∵4MN﹣NB＝40cm，∴4×（20+(k+1)x2-x）﹣kx＝∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40，∴（2k﹣2﹣k）x＝0，∴（k﹣2）x＝0，∵x≠0，∴k﹣2＝0，∴k＝2，故選A．2．（2023秋?源匯區(qū)校級期末）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段AB、BC中點(diǎn)，直線l上所有線段的長度之和為91，則AC＝132或13【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C是線段AB靠近A的三等分點(diǎn)時和當(dāng)點(diǎn)C是線段AB靠近B的三等分點(diǎn)時，分別求出即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C是線段AB靠近A的三等分點(diǎn)時，設(shè)AC＝x，則AB＝3x，BC＝2x，∵D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x，∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x，∵直線l上所有線段的長度之和為91，∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB＝4AB+2CE＝4×3x+2x＝14x＝91，∴x=13∴AC=13當(dāng)點(diǎn)C是線段AB靠近B的三等分點(diǎn)時，設(shè)BE＝x，∵D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x，∵直線l上所有線段的長度之和為91，∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB＝4AB+2DE＝4×6x+4x＝28x＝91，∴x=13∴AC＝13．所以AC=132或故答案為：132或133．（2023秋?阜平縣期末）如果一點(diǎn)在由兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上，且把這條折線分成長度相等的兩部分，則把這一點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)P是折線M﹣O﹣N的“折中點(diǎn)”．（1）若OM＝10，ON＝6，點(diǎn)P在線段上（填“OM”或“ON”）；（2）若ON＝8，OP＝3，則OM的長度為．【分析】（1）先根據(jù)已知條件，求出OM+ON的值，然后根據(jù)已知條件中的定義進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)已知條件中的新定義可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知條件中的線段代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6，∴OM+ON＝16，∵點(diǎn)P是折線M﹣O﹣N的“折中點(diǎn)”，∴12∴點(diǎn)P在線段OM上，故答案為：OM；（2）當(dāng)點(diǎn)P在OM上時，∵點(diǎn)P是折線M﹣O﹣N的“折中點(diǎn)”，ON＝8，OP＝3，∴OM+OP＝ON﹣OP，OM+3＝8﹣3，OM+3＝5，OM＝2；當(dāng)點(diǎn)P在ON上時，∵點(diǎn)P是折線M﹣O﹣N的“折中點(diǎn)”，ON＝8，OP＝3，∴OM﹣OP＝OP+ON，OM﹣3＝8+3，OM﹣3＝11，OM＝14；故答案為：2或14．4．（2023秋?青山湖區(qū)校級期末）在同一直線上有A，B，C，D不重合的四個點(diǎn)，AB＝8，BC＝3，CD＝5，則AD的長為．【分析】由于沒有圖形，故A，B，C，D四點(diǎn)相對位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫圖分別求解即可．【解答】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時，如圖：∵AB＝8，BC＝3，CD＝5，∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6，II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時，如圖：∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16，III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時，如圖：∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，點(diǎn)A、D重合，不合題意，IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時，如圖：∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，點(diǎn)A、D重合，不合題意，綜上所述：AD的長為6或10或16故答案為：6或10或16．5．（2023秋?隨縣期末）如圖，線段AB的長為a，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=13BD．圖中共有條線段；若P為直線AB上一點(diǎn)，且PA+PB=1110a，則PD【分析】先根據(jù)線段的定義寫出所有的線段，然后統(tǒng)計條數(shù)即可解答，分點(diǎn)P在AB的延長線上和點(diǎn)P在BA的延長線上兩種情況，分別運(yùn)用線段的和差關(guān)系即可解答．【解答】解：圖中的線段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6條線段，故答案為：6；∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=1∴BC=12∵PA+PB=11∴點(diǎn)P在AB的延長線上和點(diǎn)P在BA的延長線，如圖：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時，則AP＝AB+BP＝a+BP，∵PA+PB=11∴a+BP+PB=11解得：PB=1∴PB=1∴PD=AB+BP-AD=a+1∴PDAB如圖：當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時，則BP＝AB+AP＝a+AP，∵PA+PB=11∴AP+a+AP=11解得：PA=1∴PA=1∴PD=PA+AD=1∴PDAB故答案為：45或36．（2023秋?安慶期末）如圖，AB為一根長為40cm的繩子，拉直鋪平后，在繩子上任意取兩點(diǎn)M、N，分別將AM、BN沿點(diǎn)M、N折疊，點(diǎn)A、B分別落在繩子上的點(diǎn)A′、B′處（繩子無并性，折疊處的長度忽略不計）．（1）當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B′恰好重合時，MN＝cm．（2）當(dāng)A′B′＝10cm時，MN＝cm．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，AM＝A′M，BN＝B′N，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B′恰好重合時，MN=1（2）分兩種情況分別計算即可：當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)得，AM＝A′M，BN＝B′N，∴當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B′恰好重合時，MN=A'M+B'N=1故答案為：20；（2）當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時，如圖，∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm，∴AA′+BB′＝30cm，由折疊的性質(zhì)得，AM＝A′M，BN＝B′N，∴A′M+B′N＝15cm，∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm．當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時，如圖，∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm），∴AM+BN=1∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）．故答案為：25或15．7．（2023秋?黃岡期末）如圖，將一段長為100cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊．若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處（點(diǎn)B'始終在點(diǎn)A右側(cè)），在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為2：3：5，BN的值可能為．【分析】首先根據(jù)線段的比例設(shè)出線段的長，再分三種情況分別列出方程可得答案．【解答】解：設(shè)繩子三段的長分別為2xcm、3xcm和5xcm，兩個斷點(diǎn)分別為F、E，則2x+3x+5x＝100，解得x＝10．①如圖，若AF＝3x，F(xiàn)E＝5x，EB＝2x，由題意得N為EF的中點(diǎn)，∴NE=12EF＝2.5∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）；②如圖，若AF＝5x，F(xiàn)E＝3x，EB＝2x，由題意得N為EF的中點(diǎn)，∴NE=12EF＝1.5∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）；③如圖，若AF＝5x，F(xiàn)E＝2x，EB＝3x，由題意得N為EF的中點(diǎn)，∴NE=12EF＝∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）．故答案為：35cm或40cm或45cm．【考點(diǎn)6數(shù)軸、線段中的動點(diǎn)壓軸題】1．（2023秋?青山區(qū)期末）已知，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為10，AB＝12，點(diǎn)C是數(shù)軸上原點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)．（1）若BC＝2OA．①則點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣22；②點(diǎn)P，Q同時分別從點(diǎn)A、C出發(fā)向右運(yùn)動，若點(diǎn)Q的速度比點(diǎn)P的速度的2倍少3個單位長度，運(yùn)動3秒時，點(diǎn)O是線段PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的速度．（2）點(diǎn)P、Q、R同時分別從點(diǎn)A、B、C出發(fā)向右運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為1個單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度為3個單位長度/秒，點(diǎn)R的速度為3個單位長度/秒．若從線段QR的右端點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O起，直至線段QR的左端點(diǎn)與點(diǎn)P重疊止，共用時523秒，請直接寫出【分析】（1）①根據(jù)題意求出點(diǎn)B點(diǎn)C即可；②由點(diǎn)P點(diǎn)Q互為相反數(shù)，列出方程即可解答；（2）分兩種情況列出相應(yīng)的方程，解答即可；【解答】解：（1）①∵A表示的數(shù)為10，AB＝12，∴OB＝2，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，∵BC＝2OA＝20，∴C表示的數(shù)是﹣22．故答案為：﹣2，﹣22；②設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動速度為t，則點(diǎn)Q運(yùn)動速度為2t﹣3，由題得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0，解得，t=7故點(diǎn)P的速度為73（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時，由題得，x+2+3×173=解得，x=-8當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時，由題得，﹣2﹣x+3×173=解得，x＝﹣1．故點(diǎn)C表示的數(shù)為-83或﹣2．（2023秋?武昌區(qū)期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a（a＜0），點(diǎn)B表示的數(shù)是b（b＞0），點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．知識準(zhǔn)備：因?yàn)辄c(diǎn)A表示的數(shù)是a（a＜0），點(diǎn)B表示的數(shù)是b（b＞0），則OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a．因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則BC=1那么點(diǎn)C表示的數(shù)：①當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)右側(cè)時，如圖1，則OC=OB-BC=b-12(b-a)=a+b2②當(dāng)點(diǎn)C在原點(diǎn)左側(cè)時，如圖2，則OC=BC-OB=12(b-a)-b=-a+b2綜上，點(diǎn)C表示的數(shù)為a+b2知識應(yīng)用：若a＝﹣8，b＝10，如圖3．（1）點(diǎn)C表示的數(shù)為1；（2）線段DE在射線AB上運(yùn)動，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BE的中點(diǎn)，DE＝4，求線段MN的長度；（3）點(diǎn)P，Q為數(shù)軸上兩動點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇后，PQ＝9時，動點(diǎn)P變?yōu)橐?個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q保持原有的速度和方向不變．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，在動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)后的整個運(yùn)動過程中，當(dāng)PQ＝6時，t＝2.4或4.8或6.9或12.9．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)公式求解；（2）根據(jù)中點(diǎn)公式求解；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求解．【解答】解：（1）-8+102=故答案為：1；（2）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為a，則點(diǎn)E表示的數(shù)為：a+4，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為-8+a2，點(diǎn)N表示的數(shù)為10+a+4∴MN=14+a2答：線段MN的長度為11；（3）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇后，PQ＝9時，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9，解得：t＝5.4，當(dāng)t＜5.4時，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6，解得：t＝2.4或t＝4.8，設(shè)經(jīng)過5.4秒后的時間為x，則|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6，解得：x＝1.5或x＝7.5，∴x+5.4的值為：6.9或12.9，故答案為：2.4或4.8或6.9或12.9．3．（2023秋?硚口區(qū)期末）A，B在數(shù)軸上，分別表示數(shù)m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0．（1）直接寫出m的值是﹣17，n的值是15，線段AB的長度是32；（2）如圖1，PQ是一條定長的線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），它在數(shù)軸上從左向右勻速運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，線段PQ完全經(jīng)過點(diǎn)A（即點(diǎn)A在線段PQ上的這段過程）所需的時間為4秒，線段PQ完全經(jīng)過線段AB（即線段PQ與線段AB有公共點(diǎn)的這段過程）所需的時間為20秒．①求線段PQ的長；②直接寫出線段PQ運(yùn)動的速度為2個單位長度/秒；③如圖2，當(dāng)動線段PQ運(yùn)動到Q點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，與此同時，點(diǎn)C從P點(diǎn)出發(fā)，在動線段PQ上，以1個單位長度/秒的速度向Q點(diǎn)運(yùn)動，遇到Q點(diǎn)后，點(diǎn)C立即原速返回，向P點(diǎn)運(yùn)動，遇到P點(diǎn)后也立即原速返回，向Q點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)動線段PQ，以及點(diǎn)C同時運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤20），當(dāng)4PC﹣QB＝4時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)題意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m與n的值，線段AB用兩點(diǎn)間的距離公式即可解出；（2）①設(shè)PQ的長度為x，根據(jù)題目，我們知道x+32＝2x，解這個方程得x＝32，所以PQ的長度是32；②根據(jù)題目直接計算即可；③當(dāng)t＝0時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是﹣17﹣8＝﹣25，本小題分三種情況討論即可．【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0，∴m＝﹣17，n＝15，∴AB＝15﹣（﹣17）＝32，故答案為：﹣17，15，32．（2）①設(shè)PQ的長度為m，根據(jù)題意得：m4解得：m＝8，∴線段PQ的長是8個單位長度；②2；③當(dāng)t＝0時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是﹣17﹣8＝﹣25，本小題分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤8時，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是﹣25+2t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)是﹣17+2t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是15，∴PC＝t，BQ＝32﹣2t，∵4t﹣（32﹣2t）＝4，解得：t＝6；（Ⅱ）當(dāng)8＜t≤16時，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是﹣25+2t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)是﹣17+2t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是15，∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t，∵4PC﹣QB＝4，∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4，解得：t＝14；（Ⅲ）當(dāng)16＜t≤20時，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是﹣25+2t，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)是﹣17+2t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是15，∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32，∵4PC﹣QB＝4，∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4，解得：t＝18；綜上所述：t的值是6，14，18．4．（2023秋?鄂州期末）情境背景我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．A，B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣15，A，B兩點(diǎn)的距離AB是點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離OA的4倍，即AB＝4OA．特例初探（1）在情境背景下，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是45，點(diǎn)C為數(shù)軸上的動點(diǎn)，當(dāng)AC+BC＝72時，可知點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣21或51．能力提升（2）動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B和A同時出發(fā)向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)P，Q的速度分別為每秒7個單位長度和每秒3個單位長度．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為4個單位長度時，求此時點(diǎn)P和點(diǎn)Q在數(shù)軸上所表示的數(shù)；②設(shè)運(yùn)動時間為t，點(diǎn)M為數(shù)軸上P、Q兩點(diǎn)之間的動點(diǎn)，且點(diǎn)M始終滿足PM：MQ＝1：3，點(diǎn)M在運(yùn)動到點(diǎn)O的過程中，32PQ﹣OM【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)B表示的數(shù)，再分點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)兩種情況，列方程即可求解；（2）①設(shè)運(yùn)動時間為x秒，分若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前相距4個單位長度和若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后相距4個單位長度兩種情況，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)果；②設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為y，根據(jù)PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，從而表示出PQ和OM，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣15，∴OA＝15，∵AB＝4OA，∴AB＝60，∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣15，AB＝60，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣15+60＝45，設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，∵AB＝60＜72，∴點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)或在點(diǎn)B的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x，∵AC+BC＝72，∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72，解得x＝﹣21，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣21；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時，得AC＝x+15，BC＝x﹣45，∵AC+BC＝72，∴（x+15）+（x﹣45）＝72，解得x＝51；綜上所述，當(dāng)AC+BC＝72時，可知點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣21或51；故答案為45，﹣21或51；（2）①設(shè)運(yùn)動時間為x秒，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前相距4個單位長度，依題意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4，解得x＝14，則點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣53，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣57；若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后相距4個單位長度，依題意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4，解得x＝16，則點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣67，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣63；綜上所述，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前相距4個單位長度，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣53，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣57；若點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后相距4個單位長度，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣67，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣63；②32設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為y，依題意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y），解得y＝30﹣6t，∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t，∴32PQ-OM=∴32PQ-OM的值不發(fā)生變化，值為5．（2024?濟(jì)南模擬）【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為a+b2【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．【綜合運(yùn)用】（1）填空：用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣2+3t；點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t；（2）求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）求當(dāng)t為何值時，PQ=12（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【分析】（1）根據(jù)題意直接可得t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t；（2）根據(jù)題意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故當(dāng)t為2秒時，P、Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為4；（3）由PQ=12AB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12×10，即可解得t＝1（4）由點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，可知M表示的數(shù)是3t2-2，N表示的數(shù)是3+3t2，即得MN＝3+3t2-（3t2【解答】解：（1）根據(jù)題意，t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8﹣2t，故答案為：﹣2+3t，8﹣2t；（2）根據(jù)題意得：﹣2+3t＝8﹣2t，解得t＝2，此時﹣2+3×2＝4，∴當(dāng)t為2時，P、Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為4；（3）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，∵PQ=12∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12解得t＝1或t＝3，∴t為1或3時，PQ=12（4）線段MN的長度不發(fā)生變化，理由如下：∵點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，∴M表示的數(shù)是3t2-2，N表示的數(shù)是-2+3t+82∴MN＝3+3t2-（3t2∴線段MN的長度為5，不發(fā)生變化．6．（2023秋?荊門期末）如圖1，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點(diǎn)，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣2，b，8．某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對齊刻度1.2cm，點(diǎn)C對齊刻度6.0cm．我們把數(shù)軸上點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離表示為AC，同理，A到點(diǎn)B的距離表示為AB．（1）在圖1的數(shù)軸上，AC＝10個長度單位；在圖2中刻度尺上，AC＝6cm；數(shù)軸上的1個長度單位對應(yīng)刻度尺上的0.6cm；刻度尺上的1cm對應(yīng)數(shù)軸上的53（2）在數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為b，若點(diǎn)Q是數(shù)軸上一點(diǎn)，且滿足CQ＝2AB，請通過計算，求b的值及點(diǎn)Q所表示的數(shù)；（3）點(diǎn)M，N分別從B，C出發(fā)，同時向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)M的運(yùn)動速度為5個單位長度/秒，點(diǎn)N的速度為3個單位長度/秒，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（t＞0）．在M，N運(yùn)動過程中，若AM﹣k?MN的值不會隨t的變化而改變，請直接寫出符合條件的k的值．【分析】（1）AC等于A、C兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)相減的絕對值，觀察圖，可得AC，用AC在刻度尺上的數(shù)值除以數(shù)軸上AC的長度單位，可得數(shù)軸上的1個長度單位對應(yīng)刻度尺上的多少厘米，1厘米除以數(shù)軸上的1個長度單位對應(yīng)刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm對應(yīng)數(shù)軸上的多少長度單位；（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，對應(yīng)在數(shù)軸上有兩個長度單位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得點(diǎn)Q所表示的數(shù)；（3）根據(jù)AM﹣k?MN列出式子，AM﹣k?MN的值不會隨t的變化而改變，所以t的系數(shù)為0，可求得k的值．【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10，刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，點(diǎn)C對齊刻度6.0cm，∴在圖2中刻度尺上，AC＝6cm，6÷10＝0.6cm，數(shù)軸上的1個長度單位對應(yīng)刻度尺上的0.6cm，1÷0.6=5刻度尺上的1cm對應(yīng)數(shù)軸上的53故答案為：10，6，0.6，53（2）∵點(diǎn)B對齊刻度1.2cm，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0，∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2，設(shè)點(diǎn)Q在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)為x，則CQ＝|8﹣x|，∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12，點(diǎn)Q所表示的數(shù)為4或12，∴b的值是0，點(diǎn)Q所表示的數(shù)為4或12；（3）由題意得，點(diǎn)M追上點(diǎn)N前，即t＜4，AM＝AB+BM＝2+5t，k?MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t），AM﹣k?MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t，∵AM﹣k?MN的值不會隨t的變化而改變，∴5+2k＝0，解得：k=-5點(diǎn)M追上點(diǎn)N后，即t＞4，AM＝AB+BM＝2+5t，k?MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8），AM﹣k?MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t，∵AM﹣k?MN的值不會隨t的變化而改變，∴5﹣2k＝0，解得：k=57．（2023秋?恩平市期末）已知多項(xiàng)式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為a，四次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，且a，b，c的值分別是點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿數(shù)軸向右以1單位/s的速度勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)．（1）求a（b﹣c）的值；（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動速度為3單位/s，經(jīng)過多長時間P、Q兩點(diǎn)相距5？（3）O是數(shù)軸上的原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動在原點(diǎn)左側(cè)上時，分別取OP和AC的中點(diǎn)EF，試問AP-OCEF【分析】（1）根據(jù)題意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解；（2）設(shè)經(jīng)過t秒P．Q兩點(diǎn)相距5，則BP＝t，AQ＝3t，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)Q的左側(cè)時和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時，即可求解；（3）設(shè)OP＝m，則AP＝3+m，再根據(jù)中點(diǎn)的定義，可得OE=m2，OF=12，從而得到EF=【解答】解：（1）∵多項(xiàng)式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為a，四次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為e，∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2，∴a（b﹣c）＝3×（﹣8+2）＝3×（﹣6）＝﹣18；（2）設(shè)經(jīng)過t秒P、Q兩點(diǎn)相距5，根據(jù)題意得：BP＝t，AQ＝3t，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)Q的左側(cè)，BP+PQ+AQ＝AB，即t+5+3t＝3﹣（﹣8），解得：t＝1.5，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)Q的右側(cè)時，BP+AQ﹣PQ＝AB，即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8），解得：t＝4．綜上所述，經(jīng)過1.5秒或4秒P、Q兩點(diǎn)相距5；（3）設(shè)OP＝m，∴AP＝3+m，∵點(diǎn)E為OP的中點(diǎn)，∴OE=m∵A對應(yīng)的數(shù)為3，C對應(yīng)的數(shù)為﹣2，AC的中點(diǎn)為F，∴AF＝CF=12AC∴點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)為：﹣2+52=12∴OF=1∴EF＝OE+OF=m2+1∴AP-OCEF=∴AP-OCEF的值是不變，為2【考點(diǎn)7與角度有關(guān)的計算壓軸題】1．（2023秋?武昌區(qū)期末）鐘表是日常生活中的計時工具，我們觀察鐘表可以發(fā)現(xiàn)鐘表中有許多數(shù)學(xué)內(nèi)容．例如，我們可以思考在3時到5時之間，鐘表上的時針與分針的夾角問題．從3時開始到5時之間，當(dāng)經(jīng)過t分鐘后，鐘表上的時針與分針剛好成110°的角，則t的值為．【分析】時針t分鐘轉(zhuǎn)0.5°t，分針t分鐘轉(zhuǎn)6°t，3時時針與分針夾角為90°，分三種情況：①從3時開始，不到4時，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4時后，若分針還沒追上時針，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，③4時后，若分針已經(jīng)追上時針，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分別解方程可得答案．【解答】解：時針t分鐘轉(zhuǎn)0.5°t，分針t分鐘轉(zhuǎn)6°t，3時時針與分針夾角為90°，①從3時開始，不到4時，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，解得t=400②4時后，若分針還沒追上時針，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，解得t=680③4時后，若分針已經(jīng)追上時針，則6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，解得t=1120綜上所述，t的值為40011或68011或故答案為：40011或68011或2．（2023秋?漢川市期末）鐘表是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷挠嫊r工具，善于觀察的小亮偶然發(fā)現(xiàn)在9時到10時之間的某一時刻時，時針與分針恰好重合了，則該時刻為9時分．（要求取準(zhǔn)確值）【分析】因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€圓平均分成了12等份，每一份是30°，時鐘的時針每小時轉(zhuǎn)過的角是一份，即30°；分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角是分，即×30°＝6°；九點(diǎn)鐘，時針和分針呈270°，時針1分鐘走0.5°，分針一分鐘走6°設(shè)九點(diǎn)x分，重合，則有0.5x+270＝6x，即可解答．【解答】解：九點(diǎn)鐘，時針和分針呈270°，時針1分鐘走0.5°，分針一分鐘走6°，設(shè)九點(diǎn)x分重合，則有：0.5x+270＝6x．x＝49111故答案為：491113．（2023秋?東西湖區(qū)期末）射線OC為銳角∠AOB的三等分線，射線OD平分∠AOC，此時圖中所有銳角度數(shù)之和為190°，則∠AOB的度數(shù)為°．【分析】根據(jù)射線OC是∠AOB的三等分線，則需要分∠AOC=13∠AOB以及∠AOC=23∠AOB，兩種情況進(jìn)行解決，每種情況都是6個銳角，然后設(shè)∠AOD的度數(shù)為【解答】解：①當(dāng)∠AOC=13∠AOB時，如圖①，圖中銳角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共設(shè)∠AOD＝x，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°，∴x＝10°，∴∠AOB＝6x＝60°．②當(dāng)∠AOC=23∠AOB時，如圖②，圖中銳角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共設(shè)∠AOD＝x，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°，∴x＝19°，∴∠AOB＝3x＝57°．綜合以上兩種情況，∠AOB＝60°或57°．故本題答案為60或57．4．（2023秋?鄂州期末）射線OA，OB，OC，OD是同一平面內(nèi)互不重合的四條射線，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，則∠COD的度數(shù)為．【分析】分情況討論：若∠AOD在∠AOB外部，則可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB內(nèi)部兩種情況；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB內(nèi)部兩種情況．分別畫出對應(yīng)圖形，根據(jù)角的和差關(guān)系計算即可．【解答】解：（1）當(dāng)∠AOD在∠AOB外部時，①如圖，當(dāng)∠BOC在∠AOB外部時，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°；②如圖，當(dāng)∠BOC在∠AOB內(nèi)部時，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°，∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°．（2）當(dāng)∠AOD在∠AOB內(nèi)部時，①如圖，當(dāng)∠BOC在∠AOB外部時，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°；②當(dāng)∠BOC在∠AOB內(nèi)部時，此時，射線OC與OD重合，不合題意．綜上，∠COD＝120°或100°或20°．故答案為：120°或100°或20°．5．（2024春?望花區(qū)期末）如圖，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O(shè)為頂點(diǎn)作射線OC，使∠AOC＝2∠AOB，則∠COD的度數(shù)為．（結(jié)果在0°～180°之間）【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：（1）OC在直線OA的下方；（2）OC在OD、OB之間．根據(jù)垂直定義，周角定義，角的和差計算即可．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)OC在直線OA的下方時，∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，∴∠AOC＝2×35°＝70°．∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°．∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°，∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90°＝325°﹣70°﹣90°＝255°﹣90°＝165°；（2）如圖，當(dāng)OC在OD、OB之間時，∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，∴∠BOC＝∠AOB＝35°．∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°．故答案為：165°或55°．6．（2023秋?隨縣期末）新定義：如果兩個角的和為120°，我們稱這兩個角互為“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB與∠AOC互為“兄弟角”，∠AOB與∠AOD互余．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B在∠AOC的內(nèi)部，且點(diǎn)B，點(diǎn)D在OA的同側(cè)時：①若∠BOC＝60°，則α＝°．②若∠AOE=13∠AOD，射線OM在∠AOC內(nèi)部，且滿足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM（2）直接寫出∠COD所有可能的度數(shù)：（可用含α的式子表示）．【分析】（1）①由“兄弟角”的定義可得∠AOC＝120°﹣α，再根據(jù)角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先說明∠AOD＝90°﹣α，∠AOE=30°-1（2）由余角的定義可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根據(jù)角的和差即可解答．【解答】解：（1）①∵∠AOB與∠AOC互為“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α，∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α，∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴60°﹣α＝α，解得：α＝30°．故答案為：30．②∵∠AOB與∠AOD互余，∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α，∵∠AOE=1∴∠AOE=30°-1如圖：∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，∠AOE=30°-1∴∠AOM=30°-13α+∠EOM∵∠COM＝3∠AOM，∴90°-2解得：∠EOM=1（2）∵∠AOB與∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴∠AOD＝90°﹣α，由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，∴當(dāng)OD在OA上面時，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°，當(dāng)OD在OA下面時，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α．故答案為：30°或210°﹣2α．7．（2023秋?江海區(qū)期末）新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線OP將∠MON分成的兩個角，其中一個角是另一個角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP＝4∠NOP，則OP為∠MON的4倍分線．∠NOQ＝4∠MOQ，則OQ也是∠MON的4倍分線．（1）應(yīng)用：若∠AOB＝60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP＞∠POA，則∠BOP＝40°；（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．①若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，則∠POQ＝135°；②在①的條件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請寫出計算過程；若發(fā)生變化，請說明理由．③如圖3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射線恰好是分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，請直接寫出∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，進(jìn)而得出答案；（2）①由題意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根據(jù)∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；②不變，根據(jù)題意得出∠COP=34∠AOC③設(shè)∠MOC＝α，則∠NOC＝90°﹣α，根據(jù)題意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程13α+α+90°-α+3(90°-α)=180°，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP＞∠POA，∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，∴∠AOP＝20°，∴∠BOP＝40°，故答案為：40；（2）①∵OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，故答案為：135；②不變，∵OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，∴∠COP=34∠AOC∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，=34∠AOC+34∠BOC，=3③設(shè)∠MOC＝α，∵∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣α，∵OM，ON所在射線恰好是分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，∴13∴α＝67.5°，∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，∴∠AOC＝90°．【考點(diǎn)8角的旋轉(zhuǎn)壓軸題】1．（2023秋?洪山區(qū)期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB補(bǔ)角的12（1）如圖1，求∠COD的值；（2）在（1）的條件下，OC平分∠AOD，射線OM滿足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大?。唬?）如圖2，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒30°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OD以每秒10°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與OB重合后，再以每秒5°的速度繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動的時間為t秒（0＜t≤9），當(dāng)|∠BOC﹣∠BOD|＝50°時，請直接寫出t的值3.5或359【分析】（1）根據(jù)“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB補(bǔ)角的12（2）根據(jù)“∠MOC＝4∠MOB及角的平分線的性質(zhì)”列方程求解；（3）根據(jù)“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解．【解答】解：（1）設(shè)∠COD＝x°，則∠AOB＝7x°，則x=12（180﹣7解得：x＝20，∴∠COD＝20°；（2）設(shè)∠MOB＝y(tǒng)°，當(dāng)OM在∠BOC內(nèi)部時，有y+4y＝140﹣20，解得：y＝24，當(dāng)OM在∠BOC外部時，有y+120＝4y或y﹣120＝4y，解得：y＝40或y＝﹣40（不合題意，舍去），∴∠MOB＝24°或40°；（3）當(dāng)OC轉(zhuǎn)到與OB重合時需要的時間為：（140﹣30）÷30=11當(dāng)0≤t≤113時，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝9