期末復(fù)習(xí)重要考點12《幾何計算問題》四大考點題型（解析版）

【題型1與線段有關(guān)的計算問題】1．（2023秋?孝南區(qū)期末）如圖，點C為線段AB的中點，延長線段AB到D，使得BD=13AB．若AD＝8，求【分析】由BD=13AB，AD＝8可求出AB的長，再由中點的定義可得【解答】解：∵BD=13∴AD=43∵AD＝8，∴AB＝6，∵點C為線段AB中點，∴CB=12AB＝∴CB＝3．∴CD＝CB+DB＝3+2＝5．【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，正確理解線段中點的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?玉環(huán)市期末）如圖，C為線段AB延長線上一點，D為線段BC上一點，AB＝12，CD＝4BD．（1）若BC＝15，求AD的長；（2）若AB＝2BD，E為AC的中點，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)BC＝5BD，可求得BD＝3，據(jù)此即可求得答案；（2）先求得BD＝6，進(jìn)而可求得AC＝42，根據(jù)線段中點的定義，可求得AE＝21．【解答】解：（1）∵DC＝4BD，∴BC＝5BD．∵BC＝15，∴BD＝3．∵AB＝12，∴AD＝AB+BD＝15．（2）∵AB＝2BD＝12，∴BD＝6．∵DC＝4BD＝24，∴AC＝AB+BD+CD＝42．∵E是AC的中點，∴AE=1∴BE＝AE﹣AB＝9．【點評】本題主要考查線段和線段的中點，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．3．（2023秋?環(huán)江縣期末）如圖，C是線段AB的中點，點D在線段CB上，且BD＝2CD．（1）若AB＝12，求CD的長；（2）若AD+BC＝21，求CD的長．【分析】（1）由線段的中點定義求出BC長，而BD＝2CD，即可求出CD的長；（2）由AD+BC＝21及線段中點定義，推出AD+BC＝7CD，即可求出CD的長．【解答】解：（1）∵C是線段AB的中點，AB＝12，∴BC=12AB＝∵BD＝2CD，∴CD=1（2）∵C是線段AB的中點，∴AC＝BC，∵BD＝2CD，∴BC＝3CD，∴AD+BC＝AC+CD+BC＝3CD+CD+3CD＝7CD，∵AD+BC＝21，∴CD＝3．【點評】本題考查兩點的距離，關(guān)鍵是掌握線段中點的定義，并表示出有關(guān)的線段．4．（2023秋?光山縣期末）如圖，已知線段AD＝30cm，點C、B都是線段AD上的點，點E是AB的中點．（1）若BD＝6cm，求線段AE的長；（2）在（1）的條件下，若AC=13AD，且點F是線段CD的中點，求線段【分析】（1）由AB＝AD﹣BD可求AB的長，結(jié)合中點的定義可求AE的長；（2）由AC=13AD可得AC＝10cm，則CD＝20cm，結(jié)合中點的定義可求【解答】解：（1）∵AD＝30cm，BD＝6cm，∴AB＝AD﹣BD＝30﹣6＝24（cm），∵點E是AB的中點，∴AE=12AB＝12（（2）∵AC=13∴AC＝10cm，CD＝20cm，∵點F是線段CD的中點，∴DF=12CD＝10∵AD＝30cm，AE＝12cm，∴EF＝30﹣12﹣10＝8（cm）．【點評】本題主要考查兩點間的距離，結(jié)合中點的定義求解線段的長是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?鐵西區(qū)校級期末）如圖，線段AB＝8cm，C是線段AB上一點，M是AB的中點，N是AC的中點．（1）AC＝3cm，求線段CM、NM的長；（2）若線段AC＝m，線段BC＝n，求MN的長度（m＜n用含m，n的代數(shù)式表示）．【分析】（1）求出AM長，代入CM＝AM﹣AC求出即可；分別求出AN、AM長，代入MN＝AM﹣AN求出即可；【解答】解：（1）∵AB＝8cm，M是AB的中點，∴AM=12AB＝4∵AC＝3cm，∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中點，N是AC的中點，∴AM=12AB＝4cm，AN=12AC∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；（2）∵AC＝m，BC＝n，∴AB＝AC+BC＝m+n，∵M(jìn)是AB的中點，N是AC的中點，∴AM=12AB=12（m+n），AN=∴MN＝AM﹣AN=12（m+n）-12【點評】本題考查了兩點之間的距離，線段中點的定義的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AM、AN的長．6．（2023秋?黃陂區(qū)期末）如圖，點C為線段AB上一點（AC＞BC），D在線段BC上，BD＝2CD，點E為AB的中點．（1）若AD＝10，設(shè)CD的長為x．①直接寫出AE的長為（用含x的式子表示）；②當(dāng)EC＝3CD時，求x的值；（2）若AC＝2BC，請直接寫出ECBD的值為【分析】（1）①根據(jù)題意可得AB＝10+2x，再根據(jù)線段中點的定義可得AE的長；②根據(jù)線段中點的定義可得EC＝5﹣2x，再列方程可得答案；（2）設(shè)CD＝x，用含x的代數(shù)式表示出EC和BD的長度，再計算即可．【解答】解：（1）①∵CD＝x，BD＝2CD，∴BD＝2x，∵AD＝10，∴AB＝10+2x，∵點E為AB的中點，∴AE=12AB＝5+故答案為：5+x；②由①得，BE＝AE＝5+x，∴EC＝EB﹣CB＝5+x﹣3x＝5﹣2x，∴5﹣2x＝3x，解得x＝1；（2）設(shè)CD＝x，則BD＝2CD＝2x，∴BC＝CD+BD＝3x，AC＝2BC＝6x，∴AB＝3x+6x＝9x，∵E為AB的中點，∴EB=12AB＝4.5∴EC＝EB﹣BD＝1.5x，∴ECBD故答案為：34【點評】本題考查了兩點間的距離，解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用中點定義．7．（2023秋?隆昌市校級期末）如圖，已知點C，D是線段AB上兩點，AC：CD：DB＝3：4：5，E是線段CD的中點，點F是線段DB的三等分點(DF=1（1）若AB＝60cm，求AE的長；（2）若EF＝11cm，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)線段的比，可設(shè)AC＝3a，則CD＝4a，DB＝5a，由AB＝3a+4a+5a＝12a＝60求出a的值即可；（2）根據(jù)線段的比，可設(shè)AC＝3b，則CD＝4b，DB＝5b，再根據(jù)線段中點的定義得出CE＝DE＝2b，由EF＝11cm列方程求出b的值，再根據(jù)AB＝12b進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）由于AC：CD：DB＝3：4：5，可設(shè)AC＝3a，則CD＝4a，DB＝5a，∴AB＝3a+4a+5a＝12a＝60，∴a＝5，∴AC＝15cm，CD＝20cm，DB＝25cm，∵E是線段CD的中點，∴CE＝DE=12CD＝10∴AE＝AC+CE＝25cm；（2）由于AC：CD：DB＝3：4：5，可設(shè)AC＝3b，則CD＝4b，DB＝5b，∵E是線段CD的中點，∴CE＝DE=12CD＝2∵DF=13DB∵EF＝11cm，即2b+5b3解得b＝3，∴AB＝3b+4b+5b＝12b＝36（cm）．【點評】本題考查兩點間的距離，掌握線段中點的定義以及圖形中線段的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．8．（1）若AC＝4，BC＝10，求CE的長；（2）若AB＝5CE，且點E在點C的右側(cè)，試探究線段AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出CD和DE，根據(jù)題意計算即可；（2）設(shè)CE＝x，CD＝y(tǒng)，則可以求出AD＝y(tǒng)，BE＝x+y，根據(jù)AB＝5CE，得2x+3y＝5x，所以x＝y(tǒng)，即可得到AD與BE的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵點D為線段AC中點，∴CD=12AC＝∴BD＝CD+BC＝2+10＝12，∵點E為線段BD中點，∴DE=12BD＝∴CE＝DE﹣CD＝6﹣2＝4，∴CE的長為4；（2）如圖2，設(shè)CE＝x，CD＝y(tǒng)，∴DE＝CE+CD＝x+y，∵點D為線段AC中點，∴CD＝AD＝y(tǒng)，∵點E為線段BD中點，∴DE＝BE＝x+y，∴AB＝AD+CD+CE+BE＝2x+3y，∵AB＝5CE，∴2x+3y＝5x，∴x＝y(tǒng)，∴BE＝2y，∴AD=12【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，線段中點的定義，正確理解線段中點的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，已知線段AB＝12，點C為線段AB上一動點，點D在線段CB上且滿足CD：DB＝1：2．（1）當(dāng)點C為AB中點時，求CD的長；（2）若E為AD中點，當(dāng)DE＝2CE時，求AC的長．【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)和給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合圖形計算．【解答】解：（1）∵點C為AB中點，AB＝12，∴BC=12AB＝∵CD：DB＝1：2，∴CD=13BC＝（2）如圖，∵E為AD中點，∴AE＝DE=12∵DE＝2CE，∴CD＝CE，∵CD：DB＝1：2，∴BD＝2CD＝2CE＝DE，∴AE＝DE＝BD=13AB＝∴CE=12∴AC＝AE+CE＝4+2＝6．如圖，∵E為AD中點，∴AE＝DE=12∵DE＝2CE，∴CD＝3CE，∵CD：DB＝1：2，∴BD＝2CD＝6CE＝3DE，∴AE＝DE=13∴AB=53BD＝∴BD＝7.2，∴AE＝DE＝2.4，CE=12∴AC＝AE﹣CE＝1.2．綜上所述，AC的長為6或1.2．【點評】本題考查了兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是正確的識別圖形．10．（2023秋?和平區(qū)期末）已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）．（1）若AB＝11cm，當(dāng)點C、D運動了1s，求AC+MD的值．（2）若點C、D運動時，總有MD＝3AC，求AM：BM的值．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，直接寫出2MN3AB【分析】（1）計算出CM及BD的長，進(jìn)而可得出答案；（2）根據(jù)圖形即可直接解答；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)點N在線段AB上時，②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm，∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm，∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7（cm）；（2）設(shè)運動時間為t，則CM＝tcm，BD＝3tcm，∵AC＝（AM﹣t）cm，MD＝（BM﹣3t）cm，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13∴AMBM（3）當(dāng)點N在線段AB上時，如圖3.1，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM=14∴MN=12即2MN3AB當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖3.2，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴2MN3AB綜上所述：2MN3AB=1【點評】本題主要考查了兩點間的距離等知識點，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．【題型2與角度有關(guān)的計算問題】1．（2023秋?和田地區(qū)期末）如圖，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出∠BOC=12∠（2）根據(jù)角平分線定義求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分線，∴∠BOC=12∠AOC=12（2）∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，∴∠BOC=12∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．【點評】本題考查了角平分線定義和角的計算，解題的關(guān)鍵是求出∠BOC、∠COE的度數(shù)和得出∠BOE＝∠BOC+∠COE．2．（2023秋?東城區(qū)期末）如圖，OC是∠AOB的平分線，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度數(shù)．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度數(shù)．【分析】（1）先求出∠AOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOB，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)∠AOD＝x，則∠BOD＝2x，根據(jù)角平分線的定義和角的倍分即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；（2）設(shè)∠AOD＝x，則∠BOD＝2x，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=12∠AOB∴32x﹣x＝20解得x＝40°，∴∠AOB＝3x＝120°．【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角的倍分關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及角之間的和差關(guān)系列方程可求出答案．【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：∵∠BON：∠NOC＝3：1，∴∠NOC：∠BOC＝1：4，又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，∴∠AOB＝∠NOC，故答案為：＝；（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，設(shè)∠NOC＝α，則∠AOB＝α，∠BON＝3α，∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，即12α+3α＝91解得α＝26°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，答：∠AOC＝130°．【點評】本題考查角平分線，理解角平分線的定義，掌握圖形中各個角之間的關(guān)系是正確解答的前提．4．（2023秋?公安縣期末）如圖，已知O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝20°，求∠DOE的度數(shù)；（2）若∠AOC比∠BOD小30°，求∠AOE的度數(shù)．【分析】（1）先利用平角定義可得∠BOC＝160°，再利用角平分線的定義可得∠COE＝80°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答；（2）設(shè)∠BOD＝x°，則∠AOC＝（x﹣30）°，然后利用平角定義可得∠AOC+∠BOD＝90°，從而可得x﹣30+x＝90，進(jìn)而可得∠AOC＝30°，再利用平角定義可得∠BOC＝150°，從而利用角平分線的定義可得∠BOE＝75°，最后利用平角定義進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOC＝20°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝160°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝10°，∴∠DOE的度數(shù)為10°；（2）設(shè)∠BOD＝x°，∵∠AOC比∠BOD小30°，∴∠AOC＝（x﹣30）°，∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，∴x﹣30+x＝90，解得：x＝60，∴∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝105°，∴∠AOE的度數(shù)為105°【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?浚縣期末）已知：∠AOD＝160°，∠BOC＝20°．（1）如圖1，求∠AOC+∠BOD的值．（2）如圖2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的值．【分析】（1）利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答；（2）利用角平分線的定義可得∠MOC=12∠AOC，∠BON=1【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠BOC＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOC+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝160°+20°＝180°，∴∠AOC+∠BOD的值為180°；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=12∠AOC，∠BON=1∵∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12=12（∠AOC+∠BOD=12×180＝90°﹣20°＝70°，∴∠MON的值為70°．【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?彭水縣期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OD，OC，OE且在同一個平面內(nèi)，∠AOC＝2∠BOC，射線OD始終在射線OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如圖1，當(dāng)OE平分∠BOC時，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOD＝5∠COE時，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意，求得∠BOC、∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，求得∠COE的度數(shù)，從而得到∠DOC的度數(shù)，即可求解；（2）分兩種情況，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分別求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，設(shè)∠BOE＝x°，當(dāng)OE在OC的上方時，∠COE＝（x﹣36）°，∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，解得x＝42，即∠BOE＝42°；當(dāng)OE在OC的下方時，則∠COE＝（36﹣x）°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，解得x＝27，即∠BOE＝27°；綜上，∠BOE的度數(shù)為42°或27°．【點評】此題考查了角的和差關(guān)系，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到角的和差關(guān)系，學(xué)會利用分類討論的思想求解問題．7．（2024春?萊州市期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，請直接寫出∠M的4倍角的度數(shù)；（2）如圖1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請直接寫出圖中∠COD的2倍角；（3）如圖2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)題意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）設(shè)∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根據(jù)∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是結(jié)論可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴圖中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，設(shè)∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【點評】此題主要考查了角的計算，度分秒的換算，準(zhǔn)確理解并熟練應(yīng)用題干中的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2024春?高青縣期末）【實踐活動】如圖1，將一副三角板的直角頂點重合擺放．（1）∠ACE與∠BCD的大小關(guān)系是∠ACE∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展探究】（3）如圖2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）依題意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，進(jìn)而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得出答案；（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，則∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；據(jù)此可得∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，進(jìn)而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，據(jù)此可得∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）依題意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD．故答案為：＝．（2）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；（3）∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，又∵∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．【點評】此題主要考查了角的計算，同角的余角相等，準(zhǔn)確識圖，理解同角的余角相等，熟練掌握角的計算是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023秋?廣州期末）一副三角板按如圖1方式拼接在一起，其中邊OA、OC與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求圖1中∠BOD的度數(shù)．（2）如圖2，三角板COD固定不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（即∠AOE＝α），在轉(zhuǎn)動過程中兩個三角板一直處于直線EF的上方．①當(dāng)OB平分OA、OC、OD其中的兩邊組成的角時，求滿足要求的所有旋轉(zhuǎn)角度α的值；②在轉(zhuǎn)動過程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此時α的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)已知條件和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②當(dāng)OA在OD的左側(cè)時，當(dāng)OA在OD的右側(cè)時，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；（2）①當(dāng)OB平分∠AOD時，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB=12∠AOD＝60°-12∴α＝30°；當(dāng)OB平分∠AOC時，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°-12α＝∴α＝90°；當(dāng)OB平分∠DOC時，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度α的值為30°，90°，105°；②當(dāng)OA在OD的左側(cè)時，則∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（120°﹣α），∴α＝105°；當(dāng)OA在OD的右側(cè)時，則∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（α﹣120），∴α＝125°，綜上所述，當(dāng)α＝105°或125°時，存在∠BOC＝2∠AOD．【點評】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型3與相交線有關(guān)的計算問題】1．（2023秋?天河區(qū)校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度數(shù)．【分析】設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，求出x的值，再根據(jù)角平分線，計算出∠COE的度數(shù)，計算即可．【解答】解：設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由題意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC=12【點評】此題主要考查了補(bǔ)角、垂直、以及角的計算，關(guān)鍵是理清圖中角之間的和差關(guān)系．2．（2023秋?夏邑縣期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義解答；（2）先求出∠COE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EOF，然后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=13×180°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD=12（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE=12∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．【點評】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡單，準(zhǔn)確識圖并熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．3．（1）寫出∠AOE的余角和補(bǔ)角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度數(shù)．【分析】（1）如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角，由此即可判斷；（2）由對頂角的性質(zhì)可得∠AOE的度數(shù)，由角平分線的定義可求∠COG．【解答】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；補(bǔ)角是∠AOF，∠EOB；（2）∠AOE＝∠BOF＝30°；∵∠DOF＝90°，∴∠COF＝90°，∵∠BOC＝∠BOF+∠COF，∴∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OG平分∠BOC，∴∠COG=12∠BOC＝【點評】本題考查角的計算，余角，補(bǔ)角的概念，關(guān)鍵是掌握余角，補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)．4．（2023春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE、OF在∠AOD內(nèi)，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對頂角相等，可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根據(jù)垂直的定義求出∠DOF＝90°，則∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，熟記概念并靈活運用是解題的關(guān)鍵，鄰補(bǔ)角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補(bǔ)角有兩個．鄰補(bǔ)角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．5．（2023秋?綠園區(qū)期末）如圖：已知直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠EOC＝90°，然后利用平角定義進(jìn)行計算即可解答；（2）根據(jù)平角定義和已知易得∠BOD＝36°，從而利用對頂角相等可得∠AOC＝∠BOD＝36°，然后再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOC＝90°，∵∠AOC＝34°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝56°，∴∠BOE的度數(shù)為56°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：4，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×11+4∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，∴∠AOE的度數(shù)為126°，【點評】本題考查了垂線，對頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的意義，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根據(jù)∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的意義得出∠AOM，進(jìn)而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC＝∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC＝∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【點評】考查角平分線的意義，理清圖形中各個角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．7．（2023秋?渠縣期末）若直線AB和直線ED相交于點O，OC為∠BOE內(nèi)部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度數(shù)？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度數(shù)？（3）請猜想，∠EOF度數(shù)會改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，則∠EOF度數(shù)是多少？【分析】（1）由對頂角的性質(zhì)，得到∠AOE＝58°，再由角平分線的定義即可求解；（2）由角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，從而求出∠EOF的度數(shù)；（3）由角平分線的定義推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB=12∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度數(shù)不變，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB=12【點評】本題考查角的計算，關(guān)鍵是掌握角平分線的定義．8．（2023春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB和CD交于點O，射線OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）若射線OF⊥AB于點O，請補(bǔ)全圖形，并求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義，對頂角，鄰補(bǔ)角的概念，可求．（2）分兩種情況，由垂直的定義可求解，【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，∴∠AOE＝67°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，∴∠COE＝46°+67°＝113°；（2）①當(dāng)OF在AB上方時，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．②當(dāng)OF在AB下方時，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．【點評】本題考查角平分線定義，對頂角，鄰補(bǔ)角的概念，關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的概念．9．如圖①，直線AB與直線CD相交于點O，∠COE＝90°，過點O作射線OF．（1）若射線OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若將圖①中的直線CD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，∠COE＝90°，當(dāng)射線OE平分∠BOF時，射線OC是否平分∠AOF，請說明理由；（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，將圖①中的直線CD繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），∠COE始終保持為90°，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)∠AOC+∠EOF＝90°時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及余角和補(bǔ)角進(jìn)行角的和、差運算即可；（2）根據(jù)∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，則∠AOC+∠EOB＝90°，再根據(jù)當(dāng)射線OE平分∠BOF，得出結(jié)論；（3）現(xiàn)根據(jù)題意求出∠AOC＝110°，然后分0＜t≤22，22＜t≤30和30＜t＜36三種情況討論即可．【解答】解：（1）∵∠BOF＝130°，∴∠AOF＝50°∵射線OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠FOC＝50°，∴∠COB＝80°，∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝90°﹣80°＝10°；（2）射線OC平分∠AOF，理由如下：∵∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，∴∠AOC+∠EOB＝90°，∴∠COF+∠FOE＝∠AOC+∠EOB，∵OE平分∠FOB，∴∠FOE＝∠EOB，∴∠AOC＝∠COF，即射線OC平分∠AOF；（3）∵∠BOE＝20°且∠BOF＝130°，∴∠EOF＝150°，又∵∠COE＝90°，∴∠BOC＝70°，∴∠AOC＝110°，①當(dāng)0＜t≤22時，∵直線CD繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∴∠AOC＝110°﹣5t，∠EOF＝150°﹣5t，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴110﹣5t+150﹣5t＝90，解得t＝17，②當(dāng)22＜t≤30時，∵直線CD繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝150°﹣5t，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴5t﹣110+150﹣5t＝90，40＝90，此時無解，③當(dāng)30＜t＜36時，∵直線CD繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝5t﹣150°，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴5t﹣110+5t﹣150＝90，解得t＝35，綜上所述，當(dāng)∠AOC+∠EOF＝90°時，t＝17或t＝35．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用以及角平分線的定義、余角補(bǔ)角的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程．【題型4與平行線有關(guān)的計算問題】1．（2024秋?渝北區(qū)期中）如圖，∠1＝∠2＝45°，∠3＝2∠4，則∠4的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．55° D．67.5°【分析】由∠1＝∠2＝45°得a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠4＝∠5，通過鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2＝45°，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠3＝2∠4，∠3+∠5＝180°，∴2∠4+∠4＝180°，∴∠4＝60°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．2．（2024?淮北一模）已知a∥b，將一塊等腰直角三角形的三角板按如圖所示的方式擺放，若∠2＝30°，則∠1的度數(shù)為（）A．100° B．135° C．155° D．165°【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角板的性質(zhì)求得∠3和∠5的度數(shù)，再利用平角的定義即可求解．【解答】解：如圖，作a∥c，∵a∥b，∴a∥c∥b，∵∠2＝30°，∴∠3＝∠2＝30°，∴∠5＝∠4＝45°﹣∠3＝15°，∴∠1＝180°﹣∠5＝165°，故選：D．【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024?汕頭模擬）如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺燈及其示意圖．固定支撐桿AO垂直底座MN于點O，AB與BC是分別可繞點A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺燈燈罩可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線CD、CE組成的∠DCE始終保持不變．現(xiàn)調(diào)節(jié)臺燈，使外側(cè)光線CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，則∠DCE＝（）A．58° B．68° C．32° D．22°【分析】如圖所示，過點A作AG∥MN，過點B作BH∥CD，則AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，則∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，進(jìn)而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．【解答】解：如圖所示，過點A作AG∥MN，過點B作BH∥CD，∵CD∥MN，∴AG∥MN∥BH∥CD，∵OA⊥MN，∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，∵∠BAO＝158°，∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，∴∠ABH＝∠BAG＝68°，∵CE∥AB，BH∥CD，∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，∴∠DCE＝∠ABH＝68°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?長安區(qū)期末）如圖，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，則∠ACB的度數(shù)是．【分析】由同角的補(bǔ)角相等得出∠2＝∠EFD，從而AB∥DE，再通過平行得出∠1＝∠BED，從而得出∠BED＝∠A，所以得出ED∥AC，即可得出答案．【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠EFD+∠3＝180°，∴∠2＝∠EFD，∴AB∥DE，∴∠1＝∠BED，∵∠A＝∠1，∴∠BED＝∠A，∴ED∥AC，∠BDE＝65°，∴∠BDE＝∠ACB＝65°．故答案為：65°．【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用平行線的判定和性質(zhì)．5．（2024?浙江模擬）如圖，已知a∥b，直線c分別與a，b相交于D，A兩點，把一塊含30°角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，則∠2的度數(shù)為．【分析】由平行線的性質(zhì)得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a∥b，∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，∵∠2＝∠1+2°，∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°，解得：∠1＝21°，∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°，故答案為：23°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，求出∠1的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?荊州月考）如圖是一款長臂折疊LED護(hù)眼燈示意圖，EF與桌面MN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管AB恰好與桌面MN平行時，若∠BCD＝110°，∠CDE＝95°，則∠DEF的度數(shù)為．【分析】過點D作DG∥AB，過點E作EH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DG∥AB，過點E作EH∥AB，∵EF⊥MN，∴∠MFE＝90°，∵AB∥MN，∴AB∥DG∥EH∥MN，∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°，∵∠CDE＝95°，∠BCD＝110°，∴∠CDG＝180°﹣110°＝70°，∴∠GDE＝∠DEH＝∠CDE﹣∠CDG＝25°，∴∠DEF＝∠DEH+∠HEF＝115°，故答案為：115°．【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點構(gòu)造平行線．7．（2024秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，已知AB∥DE，∠B+∠E＝180°．（1）求證：BC∥EF；（2）若∠BHE＝60°，射線HG平分∠BHE，求∠HGE的度數(shù)．【分析】（1）先由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠B+∠BHD＝180°，再證明∠E＝∠BHD，即可證明BC∥EF；（2）由角平分線的定義得到∠BHG=12∠BHE=30°，則由兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得到∠HGE＝∠BHG【解答】（1）證明：由平行可知：∠B+∠BHD＝180°，∵∠B+∠E＝180°，∴∠E＝∠BHD，∴BC∥EF；（2）解：由角平分線定義可知：∠BHG=1∵BC∥EF，∴∠HGE＝∠BHG＝30°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握原式知識點是關(guān)鍵．8．（2024春?濰坊期末）如圖，D、E、F、G是△ABC邊上的點，DE∥AC，∠ADE＝∠CGF．（1）試證：AD∥GF；（2）若AD平分∠BAC，∠AED＝100°，∠C＝56°，求∠CFG的度數(shù)．【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠DAC，然后利用等量代換可得：∠DAC＝∠CGF，從而利用同位角相等，兩直線平行可得FG∥AD，即可解答；（2）先利用平行線的性質(zhì)可得∠EAC＝80°，然后利用角平分線的定義可得∠DAC＝40°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠DAC＝∠FGC＝40°，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∵∠ADE＝∠CGF，∴∠DAC＝∠CGF，∴FG∥AD；（2）∵DE∥AC，∠AED＝100°，∴∠EAC＝180°﹣∠AED＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠EAC＝∵AD∥FG，∴∠DAC＝∠FGC＝40°，∵∠C＝56°，∴∠CFG＝180°﹣∠C﹣∠FGC＝84°，∴∠CFG的度數(shù)為84°．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC中，D是AC上一點，過D作DE∥BC交AB于E點，F(xiàn)是BC上一點，連接DF．若∠1＝∠AED．（1）求證：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因為∠1＝∠AED，等量代換得∠B＝∠1，最后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；（2）根據(jù)DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根據(jù)DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形內(nèi)角和等于180°即可求解．【解答】解：（1）證明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴DF∥AB；（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝50°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．答：∠C的度數(shù)為80°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握題中各角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．10．如圖，已知CF∥AB，∠1+∠B＝180°．（1）嘗試判斷EF與BC平行嗎？請說明理由；（2）若CF平分∠BCD，CF⊥AD于點F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度數(shù)．【分析】（1）由CF∥AB可得∠B+∠FCB＝180°，再結(jié)合∠1+∠B＝180°可得∠1＝∠FCB，可得EF∥BC；（2）由CF⊥AD，可得∠CFD＝90°，再結(jié)合CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，可求得∠DCF＝∠FCB＝27°，則可求∠DFE的度數(shù)．【解答】（1）證明：EF∥BC，理由如下：∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∵∠1+∠B＝180°，∴∠1＝∠FCB，∴EF∥BC；（2）解：∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，∵CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，∴∠DCF＝∠FCB＝27°，由（1）可得∠1＝∠FCB＝27°∴∠DFE＝∠CFD﹣∠1＝63°．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是對平行線的判定與性質(zhì)的掌握與應(yīng)用．1．（2023秋?肥西縣期末）如圖，點B是線段AC上一點，且AB＝21cm，BC=13（1）試求出線段AC的長；（2）如果點O是線段AC的中點，請求線段OB的長．【分析】（1）由B在線段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BC=13（2）根據(jù)O是線段AC的中點及AC的長可求出CO的長，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BC=13AB＝7∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）；（2）由（1）知：AC＝28cm，∵點O是線段AC的中點，∴CO=12AC=12×28∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）．【點評】本題主要考查兩點間的距離，掌握線段的中點的性質(zhì)、線段的和差運算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?陽江期末）如圖，已知點C為AB上一點，AC＝30cm，BC=25AC，D，E分別為AC，AB【分析】根據(jù)題意求出BC，進(jìn)而求出AB，再根據(jù)線段中點的定義計算即可．【解答】解：∵BC=25AC，AC＝30∴BC=25×30＝∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm），∵E為AB的中點，∴AE=12AB＝21∵D為AC的中點，∴AD=12AC＝15∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）．【點評】本題考查的是兩點間的距離、線段中點的定義，熟記線段中點的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，線段AB＝20，BC＝15，點M是AC的中點．（1）求線段AM的長度；（2）在CB上取一點N，使得CN：NB＝2：3．求MN的長．【分析】（1）根據(jù)圖示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根據(jù)已知條件求得CN＝6，然后根據(jù)圖示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）線段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵點M是AC的中點．∴AM=12AC=12×5=（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN=25BC=25又∵點M是AC的中點，AC＝5，∴MC=12AC∴MN＝MC+NC=172，即MN的長度是【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的性質(zhì)．4．（2023秋?惠東縣期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∠AOB＝140°．（1）求∠COE的度數(shù)是多少？（2）如果∠COD＝30°，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠COD=12∠AOD，∠DOE=12∠BOD，那么∠COE＝∠COD+∠DOE=1（2）先根據(jù)∠COD＝20°求出∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)∠AOB＝130°求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∴∠COD=12∠AOD，∠DOE=1∴∠COE＝∠COD+∠DOE=12∠AOD+=12（∠AOD+∠=12＝70°；（2）∵OC是∠AOD的平分線，∠COD＝30°，∴∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠AOB＝140°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝140°﹣60°＝80°，∵OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE=12∠BOD=12【點評】本題考查的是角平分線的定義，熟知各角之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023秋?榮昌區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射線ON在∠BOM內(nèi)部．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC＝45°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可；（2）由∠BOC＝5∠NOB可求解∠NOB＝27°，結(jié)合∠BOM＝90°，利用角的和差可求解∠MON的度數(shù)．【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=12∠AOM=12∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，即∠AOD的度數(shù)為135°；（2）∵∠BOC＝∠AOD＝135°，∠BOC＝5∠NOB，∴∠NOB＝27°，∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝90°，∴∠MON＝∠BOM﹣∠NOB＝90°﹣27°＝63°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的意義，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根據(jù)∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的意義得出∠AOM，進(jìn)而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC＝∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC＝∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【點評】考查角平分線的