中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專題10 反比例函數(shù)【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題10反比例函數(shù)1．反比例函數(shù)的定義如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成SKIPIF1<0(k為常數(shù),且k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).2．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）圖象的特征:反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是一條雙曲線,它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,兩個(gè)分支在第一、三象限或第二、四象限.（2）反比例函數(shù)SKIPIF1<0(k≠0,k為常數(shù))的圖象和性質(zhì):函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)SKIPIF1<0(k≠0,k為常數(shù))k>0三象限(x,y同號(hào))在每個(gè)象限內(nèi),y隨x增大而減小k<0四象限(x,y異號(hào))在每個(gè)象限內(nèi),y隨x增大而增大3．反比例函數(shù)的解析式的確定求反比例函數(shù)的解析式跟求一次函數(shù)一樣,也是待定系數(shù)法.【考點(diǎn)1】反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)【例1】（反比例函數(shù)的圖象）如圖，函數(shù)SKIPIF1<0與y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)解答本題．【詳解】解：在函數(shù)SKIPIF1<0和y＝﹣kx+2（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在第一、三象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、四象限，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在第二、四象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、三象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：B．【例2】（反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)）（2021·山西）已知反比例函數(shù)SKIPIF1<0，則下列描述不正確的是（）A．圖象位于第一，第三象限 B．圖象必經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交 D．SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、反比例函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)過一、三象限，此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、將點(diǎn)SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，等式成立，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、反比例函數(shù)不可能坐標(biāo)軸相交，此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、反比例函數(shù)圖像分為兩部分，不能一起研究增減性，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．（1）當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;（2）當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.1．（2022·湖南）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖像大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，一次函數(shù)SKIPIF1<0經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)SKIPIF1<0位于第一、三象限；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，一次函數(shù)SKIPIF1<0經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)SKIPIF1<0位于第二、四象限；故選：D．2．（2021·黑龍江大慶市）已知反比例函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小，那么一次的數(shù)SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過第（）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到SKIPIF1<0，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過第一，二，四象限，故選：B．3．（2022·湖北荊州）如圖是同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象．觀察圖象可得不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)圖象進(jìn)行分析即可得結(jié)果；【詳解】解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別在一、三象限有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，由圖象可以看出當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上方，即SKIPIF1<0，故選：D．4.（2022·廣東）點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中最小的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由反比例函數(shù)解析式SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上，∴SKIPIF1<0，故選D．5．（2021·陜西）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上的兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小關(guān)系是SKIPIF1<0______SKIPIF1<0（填“>”、“=”或“<”）【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷SKIPIF1<0，再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷即可．【詳解】解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴反比例函數(shù)圖像每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大∵1<3∴SKIPIF1<0<SKIPIF1<0故答案為：<．【考點(diǎn)2】確定反比例關(guān)系式【例3】（求解析式）（2022·江蘇常州）某城市市區(qū)人口SKIPIF1<0萬人，市區(qū)綠地面積50萬平方米，平均每人擁有綠地SKIPIF1<0平方米，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)：平均每人擁有綠地SKIPIF1<0SKIPIF1<0，列式求解．【詳解】解：依題意，得：平均每人擁有綠地SKIPIF1<0．故選：C【例4】（系數(shù)k）（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OBAD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，AB∥OD，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，∵四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5，∴SKIPIF1<0，AB∥OD，∴AB⊥y軸，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故選：D．求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。即解設(shè)求該函數(shù)解析式為SKIPIF1<0(k≠0,k為常數(shù))，再將函數(shù)上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解得。反比例函數(shù)SKIPIF1<0（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)SKIPIF1<0（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|。常見模型如圖：1．（2022·湖北十堰）如圖，正方形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象上．若SKIPIF1<0軸，點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為3，則SKIPIF1<0（

）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B【分析】設(shè)PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先確定出D（3，SKIPIF1<0），C（3-t，SKIPIF1<0+t），由點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上，推出t=3-SKIPIF1<0，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，6-SKIPIF1<0），再點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上，整理后，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AC，與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，SKIPIF1<0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3-t，SKIPIF1<0+t）．∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上，∴（3-t）（SKIPIF1<0+t）=k2，化簡(jiǎn)得：t=3-SKIPIF1<0，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0+2t=SKIPIF1<0+2（3-SKIPIF1<0）=6-SKIPIF1<0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6-SKIPIF1<0），∴3×（6-SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0，整理，得：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=18．故選：B．2．（2022·遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點(diǎn)D，且BD=AD，反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(x>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，若S△OAB=1，則k的值為___________．【答案】2【分析】作A過x軸的垂線與x軸交于C，證明△ADC≌△BDO，推出S△OAC=S△OAB=1，由此即可求得答案．【詳解】解：設(shè)A(a，b)，如圖，作A過x軸的垂線與x軸交于C，則：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+S△ADC=S△AOD+S△BDO=S△OAB=1，∴SKIPIF1<0×OC×AC=SKIPIF1<0ab=1，∴ab=2，∵A(a，b)在y=SKIPIF1<0上，∴k=ab=2．故答案為：2．3．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市）正比例函數(shù)SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【分析】將A點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0分別代入正比例函數(shù)SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的解析式中即可求解．【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0過點(diǎn)ASKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<0．4．（2022·貴州銅仁）如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0軸，垂足為D，SKIPIF1<0．若四邊形SKIPIF1<0間面積為6，SKIPIF1<0，則k的值為_______．【答案】3【分析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而得到CD=3a，再由SKIPIF1<0．可得點(diǎn)BSKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，然后根據(jù)SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解∶設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0軸，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CD=3a，∵SKIPIF1<0．SKIPIF1<0軸，∴BC∥y軸，∴點(diǎn)BSKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0間面積為6，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．5．（2022·貴州遵義）反比例函數(shù)SKIPIF1<0與一次函數(shù)SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__________．【答案】6【分析】將點(diǎn)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：將點(diǎn)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：6．6．（2022·湖北武漢）在反比例SKIPIF1<0的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，且整式SKIPIF1<0是一個(gè)完全平方式，則該反比例函數(shù)的解析式為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷可求出k的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可確定k的值．【詳解】解：∵x2-kx+4是一個(gè)完全平方式，∴-k=±4，即k=±4，∵在在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，∴k-1＞0，∴k＞1．解得：k=4，∴反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．7．已知y＝y(tǒng)1﹣y2，y1與x成反比例，y2與x﹣2成正比例，并且當(dāng)x＝3時(shí)，y＝5；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1．（1）y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，求y的值．【分析】（1）設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求得比例系數(shù)即可求得其解析式；（2）代入x的值即可求得函數(shù)值．【答案】解：（1）設(shè)y1=ax，y2＝b（x﹣2），則y=ax根據(jù)題意得a3?b(3?2)=5a所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=3x+（2）把x＝﹣1代入y=3x+得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．【考點(diǎn)3】反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用【例5】（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)C、D，連接、、、，其中，下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【分析】設(shè)P（m，），分別求出A，B，C，D的坐標(biāo)，得到PD，PC，PB，PA的長(zhǎng)，判斷和的關(guān)系，可判斷①；利用三角形面積公式計(jì)算，可得△PDC的面積，可判斷③；再利用計(jì)算△OCD的面積，可判斷②．【詳解】解：∵PB⊥y軸，PA⊥x軸，點(diǎn)P在上，點(diǎn)C，D在上，設(shè)P（m，），則C（m，），A（m，0），B（0，），令，則，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正確；△PDC的面積===，故③正確；=====，故②錯(cuò)誤；故選B．【例6】（2022·山東濰坊）地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對(duì)地球生命的傷害，同時(shí)產(chǎn)生一定的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)，正確的是（

）A．海拔越高，大氣壓越大B．圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象C．海拔為4千米時(shí)，大氣壓約為70千帕D．圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)回答即可．【詳解】解：A．海拔越高，大氣壓越小，該選項(xiàng)不符合題意；B．∵圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴圖中曲線不是反比例函數(shù)的圖象，該選項(xiàng)不符合題意；C．∵圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，60)，∴海拔為4千米時(shí)，大氣壓約為60千帕，該選項(xiàng)不符合題意；D．圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，要做到①能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義；③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明.【失分警示】1．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，誤認(rèn)為所給出的點(diǎn)在同一曲線上；2．利用出數(shù)圖象解決實(shí)際問題時(shí)，容易忽視自變量在實(shí)際問題的意義。1．（2022·湖南郴州）如圖，在函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)SKIPIF1<0的圖像于點(diǎn)B，連接OA，OB，則SKIPIF1<0的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】作AD⊥x軸，BC⊥x軸，由SKIPIF1<0即可求解；【詳解】解：如圖，作AD⊥x軸，BC⊥x軸，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：B．2．（2022·河南）呼氣式酒精測(cè)試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測(cè)駕駛員是否酒后駕車．酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖1中的SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖2），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見圖3．下列說法不正確的是（

）A．呼氣酒精濃度K越大，SKIPIF1<0的阻值越小 B．當(dāng)K＝0時(shí)，SKIPIF1<0的阻值為100C．當(dāng)K＝10時(shí)，該駕駛員為非酒駕狀態(tài) D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，該駕駛員為醉駕狀態(tài)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分析即可判斷A，B，根據(jù)圖3公式計(jì)算即可判定C，D．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得，A.SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小，則呼氣酒精濃度K越大，SKIPIF1<0的阻值越小，故正確，不符合題意；B.當(dāng)K＝0時(shí)，SKIPIF1<0的阻值為100，故正確，不符合題意；C.當(dāng)K＝10時(shí)，則SKIPIF1<0，該駕駛員為酒駕狀態(tài)，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；D.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，該駕駛員為醉駕狀態(tài)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選:C.3．（2021·浙江寧波市）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，矩形的頂點(diǎn)C為，頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)A．若點(diǎn)B是點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)B在矩形的一邊上，則的面積為_________．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上，可對(duì)點(diǎn)B進(jìn)行討論分析：①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時(shí)；分別求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出的面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵點(diǎn)稱為點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”，∴，，∴點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上；∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，設(shè)點(diǎn)A為，則點(diǎn)B為，∵點(diǎn)C為，∴，①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時(shí)；點(diǎn)A與點(diǎn)B都在邊DE上，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時(shí)；點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；故答案為：或．4．（2022·山東臨沂）杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂），小明利用這一原理制作了一個(gè)稱量物體質(zhì)量的簡(jiǎn)易“秤”（如圖1）．制作方法如下：第一步：在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度（單位長(zhǎng)度1cm），確定支點(diǎn)SKIPIF1<0，并用細(xì)麻繩固定，在支點(diǎn)SKIPIF1<0左側(cè)2cm的A處固定一個(gè)金屬吊鉤，作為秤鉤；第二步：取一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的金屬物體作為秤砣．（1）圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點(diǎn)О右側(cè)的B處，秤桿平衡，就能稱得重物的質(zhì)量．當(dāng)重物的質(zhì)量變化時(shí)，SKIPIF1<0的長(zhǎng)度隨之變化．設(shè)重物的質(zhì)量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0．寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．（2）調(diào)換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點(diǎn)О右側(cè)的B處，使秤桿平衡，如圖2．設(shè)重物的質(zhì)量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，完成下表，畫出該函數(shù)的圖象．SKIPIF1<0……0.250.5124……SKIPIF1<0…………【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，表、圖見解析【分析】（1）根據(jù)阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂解答即可；（2）根據(jù)阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂求出解析式，然后根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線的步驟解答．【解析】(1)解：∵阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的質(zhì)量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，秤砣為0.5kg，∴2x=0.5y，∴SKIPIF1<0；∵4>0，∴y隨x的增大而增大，∵當(dāng)y=0時(shí)，x=0；當(dāng)y=48時(shí)，x=12，∴SKIPIF1<0．(2)解：∵阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的質(zhì)量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，秤砣為0.5kg，∴2×0.5=xy，∴SKIPIF1<0；當(dāng)x=0.25時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)x=0.5時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)x=1時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)x=2時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)x=4時(shí)，SKIPIF1<0；填表如下：SKIPIF1<0……0.250.5124……SKIPIF1<0……421SKIPIF1<0SKIPIF1<0……畫圖如下：【考點(diǎn)4】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用【例7】（2021·山東威海市）已知點(diǎn)A為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0軸，交雙曲線SKIPIF1<0于點(diǎn)B．若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____________．【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入SKIPIF1<0，解出x的值即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)A為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，∵點(diǎn)B在雙曲線SKIPIF1<0上，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【例8】（2022·黑龍江大慶）已知反比例函數(shù)SKIPIF1<0和一次函數(shù)SKIPIF1<0，其中一次函數(shù)圖象過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象分別與函數(shù)SKIPIF1<0圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0周長(zhǎng)最??？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，進(jìn)行計(jì)算即可；【解析】(1)解：把SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，所以反比例函數(shù)解析式是SKIPIF1<0；(2)存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，理由：解SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在一條直線上時(shí)，線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最短，所以存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，△ABP的周長(zhǎng)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．1．解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目需要注意以下要點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，可以利用待定系數(shù)法.2．反比函數(shù)圖像常見的輔助線作法：過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線段構(gòu)成三角形或四邊形，求面積。1．（2021·貴州安順市）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的中心對(duì)稱性，可得關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，∴關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選C．2．（2021·山東菏澤市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在坐標(biāo)軸上，且，，連接．反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并與、分別交于點(diǎn)、．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【分析】（1）先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)過點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可，由矩形的性質(zhì)可得、坐標(biāo)，代入即可求出解析式；（2）“將軍飲馬問題”，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接,直線與軸交點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）四邊形是矩形，，為線段的中點(diǎn)將代入，得將，代入，得：，解得（2）如圖：作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)P當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，設(shè)直線的解析式為將，代入，得，解得令，得3．（2021·山東東營(yíng)市）如圖所示，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，直線AB與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)，，．（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，的面積是的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直接寫出不等式的解集．【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得點(diǎn)A，將點(diǎn)A代入，得；通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；（2）連接OB、、，結(jié)合（1）的結(jié)論，得點(diǎn)B；結(jié)合題意得；把代入，得點(diǎn)C；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，通過計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，結(jié)合反比例和一次函數(shù)的圖像，即可得到答案．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，∵，，∴，，∴點(diǎn)A，∴雙曲線的解析式為，把，分別代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為；（2）如圖，連接OB、、把代入，得，∴點(diǎn)B，∴，∴，把代入，得，∴點(diǎn)C設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵∴，∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，結(jié)合點(diǎn)A、點(diǎn)B∴或．4．（2022·黑龍江綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求x的取值范圍；（3）若C為線段SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，求SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1