專題06 平面直角坐標(biāo)系（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第三部分函數(shù)

專題06平面直角坐標(biāo)系（4大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

核心考點(diǎn)二函數(shù)及其自變量的取值范圍

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)三實(shí)際問題中分析、判斷函數(shù)圖象

核心考點(diǎn)四幾何問題中分析、判斷函數(shù)圖象

新題速遞

核心考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

例1（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段

AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為m,3，則m的值為（）

4322153421

A．B．C．D．

3333

例2（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，過原點(diǎn)的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點(diǎn)A（1，

0）作x軸的垂線與l1交于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作y軸的垂線與l2交于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作x軸的垂線與l1交于點(diǎn)A3，

過點(diǎn)A3作y軸的垂線與l2交于點(diǎn)A4，過點(diǎn)A4作x軸的垂線與l1交于點(diǎn)A5，?，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A20的

坐標(biāo)為_____．

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例3（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，形如英文字母“V”的圖形三個(gè)端點(diǎn)的

坐標(biāo)分別是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．

(1)畫出“V”字圖形向左平移2個(gè)單位后的圖形；

(2)畫出原“V”字圖形關(guān)于x軸對稱的圖形；

(3)所得圖形與原圖形結(jié)合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個(gè)即可）

知識(shí)點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

點(diǎn)P(x,y)在第一象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第二象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第三象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第四象限x0,y0

2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上縱坐標(biāo)為0，即y0

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點(diǎn)P(x,y)在y軸上橫坐標(biāo)為0，即x0

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上原點(diǎn)（0，0）

5、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上橫縱坐標(biāo)相等，即（xy）

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即（xy）

注意：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。

6、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

7、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

（1）點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離等于b

（2）點(diǎn)P(a,b)到y(tǒng)軸的距離等于a

（3）點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離等于a2b2

8、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P（a，b）與關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，-b）

點(diǎn)P（a，b）與關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，b）

點(diǎn)P（a，b）與關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，-b）

口訣：關(guān)于誰對稱，誰不變，另一個(gè)變號，關(guān)于原點(diǎn)對稱都變號

9、點(diǎn)的平移

點(diǎn)P（a，b）沿x軸向右（或向左）平移m個(gè)單位后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是am,b；

點(diǎn)P（a，b）沿y軸向上（或向下）平移n個(gè)單位后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是a,bn.

口訣：橫坐標(biāo)右加左減，縱坐標(biāo)上加下減.

10、兩點(diǎn)間的距離：

在x軸或平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)P1(x1,y)，P2(x2,y)間的距離為x1x2

在y軸或平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)P1(x,y1)，P2(x,y2)間的距離為y1y2

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xxyy

任意兩點(diǎn)P(x,y)，P(x,y)，則線段PP的中點(diǎn)坐標(biāo)為12,12

1112221222

22

任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，則線段P1P2x1x2y1y2

【變式1】（2022·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2,0，3,0，點(diǎn)C在

y軸正半軸上，且ACB45，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A．0,7B．0,210C．0,6D．0,35

【變式2】（2022·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂

點(diǎn)C，D在第一象限，若點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B3,0，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．

A．（2，3）B．（2，5）C．（5，2）D．（5，3）

【變式3】（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,1)，B(1,4)，C(1,1)，

將ABC先向右平移3個(gè)單位長度得到△A1B1C1（點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是A1，B1，C1)，再繞C1順時(shí)

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針方向旋轉(zhuǎn)90得到△A2B2C1，則A2的坐標(biāo)是___．

【變式4】（2022·貴州遵義·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若干個(gè)邊長為1個(gè)單位長度的等邊三角形，

按下圖中的規(guī)律擺放．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著等邊三角形的邊

“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5……”的路線運(yùn)動(dòng)．設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2023的坐

標(biāo)是_______________．

【變式5】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）在85的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，平行四邊形ABCD的

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A3,4，C5,0．解答下列問題：

(1)點(diǎn)B坐標(biāo)為；

(2)僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，

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①將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CD；

②在線段AB上畫點(diǎn)E，使BCE45．（保留畫圖過程的痕跡）

核心考點(diǎn)二函數(shù)及其自變量的取值范圍

x1

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y的自變量x的取值范圍是（）

x3x1

A．x3且x1B．x3且x1C．x3D．x3且x1

1

例2（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y2x中自變量x的取值范圍是___________．

x3

例3（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分

12

析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，請畫出函數(shù)y的圖象并探究該函數(shù)的

x22

性質(zhì)．

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x?-4-3-2-101234?

??

y2a-2-4b-4-2122

3113

（1）列表，寫出表中a，b的值：a=____，b=．

描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．

（2）觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論是否正確（在答題卡相應(yīng)位置正確的用“√”作答，錯(cuò)誤

的用“×”作答）：

12

①函數(shù)y的圖象關(guān)于y軸對稱；

x22

12

②當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y有最小值，最小值為-6；

x22

③在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減小．

21012210

（3）已知函數(shù)yx的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式x的

33x2233

解集．

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知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)

1、常量和變量

在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為，數(shù)值始終不變的量為．

【注意】

①變量和常量是相對而言的，變化過程不同，它們可能發(fā)生改變，判斷的前提條件是“在同一

個(gè)變化過程中”，當(dāng)變化過程改變時(shí)，同一個(gè)量的身份也可能隨之改變．例如，在s=t中，當(dāng)

s一定時(shí)，v、t為變量，s為常量；當(dāng)t一定時(shí)，s、v為變量，而t為常量．

②“常量”是已知數(shù)，是指在整個(gè)變化過程中保持不變的量，不能認(rèn)為式中出現(xiàn)的字母就是變

量，如在一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)中的速度v就是一個(gè)常量．

③變量、常量與字母的指數(shù)沒有關(guān)系，如S=πr2中，變量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判斷一個(gè)量是不是變量，關(guān)鍵是看其數(shù)值是否發(fā)生變化．

2、函數(shù)的定義

一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有

的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．

例如：在s=60t中，有兩個(gè)變量；s與t，當(dāng)t變化時(shí)，s也隨之發(fā)生變化，并且對于t在其

取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，s都有唯一確定的值與之對應(yīng)，我們就稱t是自變量，s是t的函數(shù)．

對函數(shù)定義的理解，主要抓住以下三點(diǎn)：

①有兩個(gè)變量．

②函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，且是一種特殊的對應(yīng)

關(guān)系，一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量數(shù)值的變化而變化．

③函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個(gè)確定的值，函

數(shù)有且只有一個(gè)值與之對應(yīng)，對自變量x的不同取值，y的值可以相同，如：函數(shù)y=x2，當(dāng)x=1

和x=-1時(shí)，y的對應(yīng)值都是1．

④在某個(gè)變化過程中處于主導(dǎo)地位的變量即為自變量，隨之變化且對應(yīng)值有唯一確定性的另一

個(gè)變量即為該自變量的函數(shù).

3、函數(shù)取值范圍的確定

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的取值范圍的確定必

須考慮兩個(gè)方面：

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①不同類型的函數(shù)關(guān)系式中自變量取值范圍的求解方法；

②當(dāng)用函數(shù)關(guān)系式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值不但要使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還必須使

實(shí)際問題有意義．

函數(shù)解析式形式自變量取值范圍

a

含有分式，如yx0

x

含有二次根式，如yxx0

含有零次冪或負(fù)整數(shù)次冪，如yx0或yx1x0

注：在實(shí)際問題中，

x

yx0

x自變量的取值范圍

含有分式與a應(yīng)使該問題具有實(shí)

yx0

二次根式x際意義

a

ya0x0

x

分別求出它們的取值范圍，

含以上兩種或兩種以上形式

再取公共部分

4、函數(shù)解析式及函數(shù)值

函數(shù)解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，

這種式子叫做函數(shù)的解析式．

①函數(shù)解析式是等式．

②函數(shù)解析式中指明了哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是函數(shù)，通常等式右邊的代數(shù)式中的變量是自變量，

等式左邊的變量表示函數(shù)．

③書寫函數(shù)的解析式是有順序的．y=2x-1表示y是x的函數(shù)，若x=2y-1，則表示x是y的函

數(shù)，即求y關(guān)于x的函數(shù)解析式時(shí)，必須用含x的代數(shù)式表示y，也就是等式左邊是一個(gè)變量

y，右邊是一個(gè)含x的代數(shù)式．

④用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法．

函數(shù)值：對于自變量x在取值范圍內(nèi)的某個(gè)確定的值a，函數(shù)y所對應(yīng)的值為b，即當(dāng)x=a，

y=b時(shí)，b叫做自變量x的值為a時(shí)的函數(shù)值．

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【變式1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①對角線相等的四邊形是矩形

x1

②在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是x1

2x3

③菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形

22

④若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，S甲0.3，S乙0.02，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

⑤16的算術(shù)平方根是4

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

【變式2】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y，其中f(a)表示xa時(shí)的函數(shù)值，則

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值為（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

1229

【變式3】（2022·廣東佛山·?？既＃┮阎?a1，且滿足[a][a][a]18([x]表示不超

303030

過x的最大整數(shù)），則[60a]的值可以為__．

x5

【變式4】（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是______．

x4

【變式5】（2021·甘肅·模擬預(yù)測）通過課本上對函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，以下是探究函數(shù)y＝

2x3﹣2的圖象和性質(zhì)的部分過程，請按要求完成下列各題．

x…﹣2﹣10123456…

y…00.831.462.472.903.293.664.00…

(1)函數(shù)y＝2x3﹣2中自變量x的取值范圍是；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，根據(jù)表中數(shù)值（x，y）畫出該函數(shù)的圖象；

(3)觀察畫出的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：．

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核心考點(diǎn)三實(shí)際問題中分析、判斷函數(shù)圖象

例1（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅

西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學(xué)者公認(rèn)為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、

科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，

線段OM表示貨車離西昌距離y1(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2(km)

與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇

B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h

C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h

D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60km

例2（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）已知王強(qiáng)家、體育場、學(xué)校在同一直線上，下面的圖像反映的過

程是：某天早晨，王強(qiáng)從家跑步去體育場鍛煉，鍛煉結(jié)束后，步行回家吃早餐，飯后騎自行車到學(xué)校．圖

中x表示時(shí)間，y表示王強(qiáng)離家的距離．則下列結(jié)論正確的是_________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

①體育場離王強(qiáng)家2.5km

②王強(qiáng)在體育場鍛煉了30min

③王強(qiáng)吃早餐用了20min

④王強(qiáng)騎自行車的平均速度是0.2km/min

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例3（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）某水果店購進(jìn)甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價(jià)分別為8元/kg、12元/kg，

這兩種蘋果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)寫出圖中點(diǎn)B表示的實(shí)際意義；

(2)分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取

值范圍；

(3)若不計(jì)損耗等因素，當(dāng)甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時(shí)，它們的利潤和為1500元．求a的值．

知識(shí)點(diǎn)、函數(shù)的圖象及其畫法

一般地，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐

標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．

畫函數(shù)的圖象，可以運(yùn)用描點(diǎn)法，其一般步驟如下：

①列表：表中列舉一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值，自變量的取值不應(yīng)使函數(shù)值太大或太小，

以便于描點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)一般以5到7個(gè)為宜．

②描點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值

對應(yīng)的各點(diǎn)．描點(diǎn)時(shí)，要注意橫、縱坐標(biāo)的符號與點(diǎn)所在的象限（或坐標(biāo)軸）之間的關(guān)系，描

出的點(diǎn)大小要適中，位置要準(zhǔn)確．

③連線：按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來．

函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法一般有三種：解析式法、列表法和圖象法，表示函數(shù)關(guān)系時(shí)，要根據(jù)具體情況

選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)為了全面地認(rèn)識(shí)問題，需要幾種方法同時(shí)使用．

實(shí)際問題中分析、判斷函數(shù)的圖象，關(guān)鍵在于要結(jié)合函數(shù)圖象點(diǎn)的實(shí)際含義來理解；

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【變式1】（2021·江蘇宿遷·一模）快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且在同一

條公路上勻速行駛．圖中折線表示快、慢兩車之間的路程y（km）與它們的行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)

系．小欣同學(xué)結(jié)合圖象得出如下結(jié)論：①快車途中停留了1.6h；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中

a＝340．其中正確的是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【變式2】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考三模）小開家、加油站和濕地公園依次在同一直線上，端

午節(jié)期間，小開一家從家出發(fā)開車前往濕地公園游玩，經(jīng)過加油站時(shí)，加滿油后繼續(xù)駛往目的地，汽車行

駛路程y（千米）與汽車行駛時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．汽車經(jīng)過30分鐘到達(dá)加油站B．汽車加油時(shí)長為10分鐘

C．汽車加油后的速度比加油前快D．小開家距離濕地公園45千米

【變式3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B兩地相距4千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，20

分鐘后乙從B地出發(fā)騎自行車到A地，甲乙兩人離A地的距離（千米）與甲所用時(shí)間（分）之間的關(guān)系如

圖所示，由圖中的信息可知，乙到達(dá)A地的時(shí)間為_____．

第13頁共28頁.

【變式4】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出

發(fā)，勻速行駛，兩車在途中相遇時(shí)，快車恰巧出現(xiàn)故障，慢車?yán)^續(xù)駛往甲地，快車維修好后按原速繼續(xù)行

駛乙地，兩車到達(dá)各地終點(diǎn)后停止，兩車之間的距離s（km）與慢車行駛的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖，

則點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

【變式5】（2021·貴州遵義·?？寄M預(yù)測）甲、乙兩地間的直線公路長為400千米．一輛轎車和一輛貨車

分別沿該公路從甲、乙兩地以各自的速度勻速相向而行，貨車比轎車早出發(fā)1小時(shí)，途中轎車出現(xiàn)了故障，

停下維修，貨車仍繼續(xù)行駛．1小時(shí)后轎車故障被排除，此時(shí)接到通知，轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地

（接到通知及掉頭時(shí)間不計(jì)）．最后兩車同時(shí)到達(dá)甲地，已知兩車距各自出發(fā)地的距離y（千米）與轎車所

用的時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：

(1)貨車的速度是______千米/小時(shí)；轎車的速度是______千米/小時(shí)．

(2)求轎車距其出發(fā)地的距離y（千米）與所用時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范

圍；

(3)求貨車出發(fā)多長時(shí)間兩車相距90千米．

第14頁共28頁.

核心考點(diǎn)四幾何問題中分析、判斷函數(shù)圖象

例1（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊

BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點(diǎn)E到BC的△距離為x，DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致

是（）△

A．B．

C．D．

例2（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與

點(diǎn)B，C重合），DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，EF∥BC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長為x，四邊形BDEF的面積

為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長為_____．

例3（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AC3cm，BC4cm，M

第15頁共28頁.

為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，BNCM，垂足為N．設(shè)A，M兩點(diǎn)間的距離為xcm（0x5），B，N兩點(diǎn)間的距離

為ycm（當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時(shí)，B，N兩點(diǎn)間的距離為0）．

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．

下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整．

(1)列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A，M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了y與x的幾組對應(yīng)

值：

x/cm00.511.51.822.533.544.55

y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

請你通過計(jì)算，補(bǔ)全表格：a______；

(2)描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)x,y，并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖像；

(3)探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：______．

(4)解決問題：當(dāng)BN2AM時(shí)，AM的長度大約是______cm．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

第16頁共28頁.

知識(shí)點(diǎn)、判斷分析函數(shù)圖象的突破點(diǎn)

①明確“兩軸”所表示的意義

②明確圖象上的點(diǎn)所表示的意義

③弄清圖象上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，最高（低）點(diǎn)所表示的意義

④弄清上升線和下降線所表示的意義

【變式1】（2022·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖（1），YABCD中，AB3，BDAB，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，沿

折線ADB以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．圖（2）是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)BC的面積y隨時(shí)間x變化的

圖像，則m的值為（）

A．6B．10C．12D．20

【變式2】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，且

BF2AF，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒1cm的速度沿FBCD的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)x（秒）時(shí)，△AEP的面積為y(cm2)，如圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則圖2中a，b的值分別是（）

33

A．16，2B．15，C．13，D．13，3

22

第17頁共28頁.

【變式3】（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖（1），在?ABCD中，ABBC，ABC150，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B

出發(fā)，沿BCDA勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y（當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，

不妨設(shè)y0），y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖（2）所示，則圖（2）中a的值為________．

【變式4】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線

BED運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，將點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程記為x，AP的長記為y，若y與x的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系如圖2所

示，點(diǎn)M是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則ab的值是______．

1

【變式5】（2021·四川樂山·統(tǒng)考三模）小米在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù)y＝|x|(x2x1)(x2)下面是

6

小米對其探究的過程，請補(bǔ)充完整：

第18頁共28頁.

(1)當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，對于函數(shù)y1＝|x|，即y1＝﹣x，當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，y1隨x的增大而，且y1＞0；對于

2

函數(shù)y2＝x﹣x+1，當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，y1隨x的增大而，且y2＞0；

1

結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對函數(shù)y＝|x|(x2x1)，y隨x的增大而．

6

1

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，對于函數(shù)y＝|x|(x2x1)，當(dāng)x≥0時(shí)，y與x的幾組對應(yīng)值如表：

6

135

x0123…

222

117957

y01…

16616482

結(jié)合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x≥0時(shí)函

1

數(shù)y＝|x|(x2x1)的圖象

6

(3)過點(diǎn)（0，m）（m＞0）作平行于x軸的直線l，結(jié)合（1）（2），解決問題：若直線l與函數(shù)函數(shù)y＝

1

|x|(x2x1)(x2)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的最大值為______．

6

第19頁共28頁.

【新題速遞】

1．（2022春·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在單位長度為1米的平面直角坐標(biāo)系

中，曲線是由半徑為2米，圓心角為120°的弧AB多次復(fù)制并首尾連接而成，現(xiàn)有一點(diǎn)P從A（A為坐標(biāo)原

2

點(diǎn)）出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2023秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

3

A．1B．0C．1D．-2

2．（2021春·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(4,0)，B(0,3)．若在

該坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、B、O重合）為一個(gè)頂點(diǎn)的直角三角形與Rt△ABO全等，且這個(gè)以點(diǎn)P

為頂點(diǎn)的直角三角形與Rt△ABO有一條公共邊，則所有符合條件的三角形個(gè)數(shù)為（）

A．3個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)

3．（2022春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,0，以線段OC為

邊在第一象限內(nèi)作等邊△OBC，點(diǎn)D為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD3），連接BD，以線段BD為邊在第

一象限內(nèi)作等邊BDE，直線CE與y軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

第20頁共28頁.

A．0,3B．0,32C．0,33D．0,6

4．（2022秋·北京順義·八年級階段練習(xí)）快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且

在同一條公路上勻速行駛．圖中折線表示快、慢兩車之間的路程ykm與它們的行駛時(shí)間xh之間的函數(shù)

關(guān)系．小欣同學(xué)結(jié)合圖象得出如下結(jié)論：

①快車途中停留了1.6h；

②快車速度比慢車速度多10km/h；

③圖中a350；

④慢車先到達(dá)目的地．

其中正確的是（）

A．①④B．②③C．②④D．①③

5．（2022春·安徽合肥·九年級?？计谥校┤鐖D（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同

時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速

度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，VBPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2(曲線OM

為拋物線的一部分).則下列結(jié)論錯(cuò)誤的（）

A．ADBE5cm

3

B．cosABE

5

2

C．當(dāng)0t5時(shí)，yt2

5

第21頁共28頁.

29

D．當(dāng)t秒時(shí)，△ABE∽△QBP

4

1

6．（2022春·江蘇徐州·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx2與x軸，y軸分別交

2

于點(diǎn)M，點(diǎn)N，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸，y軸上，對角線BD∥x軸，已知A2,0，D0,4.

現(xiàn)將直線MN向上平移m個(gè)單位長度，使平移后的直線恰好平分矩形ABCD的面積，則m的值為（）

1715

A．B．8C．9D．

22

7．（2022春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，OAB的頂點(diǎn)O0，0，頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且

ABx軸，若AB6，OAOB5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_______．

8．（2022春·天津和平·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，B2,4，C6,2，且BAC90，

ABAC，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為___．

9．（2022春·江西九江·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在x軸上，OC

在y軸上，OA2，OC4，對角線AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D．若y軸上有一點(diǎn)P（不

與點(diǎn)C重合），能使△AEP是以AE為腰的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________．

第22頁共28頁.

10．（2021春·陜西咸陽·八年級咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列

慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為xh，兩車之間的距離為ykm，圖中的折線

表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，下列說法：①B點(diǎn)表示此時(shí)快車到達(dá)乙地；②BCD段表示慢車先加速后

2

減速最后到達(dá)甲地；③快車的速度為166km/h；④慢車的速度為125km/h，其中正確的是________．（填

3

正確結(jié)論的序號）

11．（2022春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P以2cm/s的速度沿圖1所示的邊框從

BCDEFA的路徑運(yùn)動(dòng)，記ABP的面積為y（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的關(guān)系如圖2所示，

已知AB6cm，回答下列問題∶（1）當(dāng)t3時(shí)，y=___cm2；

（2）m=_______s

12．（2022春·山東臨沂·九年級?？茧A段練習(xí)）y與x之間的函數(shù)關(guān)系可記為yf(x)．例如：函數(shù)y=x2可

記為f(x)x2．若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)是偶函數(shù)；若對于自變

量取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)是奇函數(shù)．例如：f(x)x2，fxx2，所以

第23頁共28頁.

111

f(x)x2是偶函數(shù)，而f(x)，fx，所以f(x)是奇函數(shù)．若f(x)ax2(a5)x1是偶函

xxx

數(shù)，則實(shí)數(shù)a______．

13．（2021春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期中）某中學(xué)的小明和朱老師一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達(dá)

起點(diǎn)后小明做了一會(huì)準(zhǔn)備活動(dòng)，朱老師先跑．當(dāng)小明出發(fā)時(shí)，朱老師已經(jīng)距起點(diǎn)200米了，他們距起點(diǎn)的

距離s（米）與小明出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示（不完整）．根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問

題：

(1)朱老師的速度為______米/秒；

(2)求AB段s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)小明第一次追上朱老師時(shí)，求小明距起點(diǎn)的距離．

14．（2022秋·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，A(1,0)，點(diǎn)B在y軸上，將三角形OAB

2

沿x軸負(fù)方向平移，平移后的圖形為三角形DEC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,b，且a3b20．

(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是直線CE上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CBPx，PADy，BPAz，確定x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系，并

第24頁共28頁.

證明你的結(jié)論．

15．（2021春·河北石家莊·九年級?？计谥校┪倚５娘嬎畽C(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上

升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫（℃）與開機(jī)后用時(shí)（m