專題07 一次函數(shù)（5大考點(diǎn)）（解析版）

第三部分函數(shù)

專題07一次函數(shù)（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一一次函數(shù)的概念

核心考點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱

核心考點(diǎn)四一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

核心考點(diǎn)五一次函數(shù)的應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一一次函數(shù)的概念

例1（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐，菜地的一邊靠墻，

另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為xm，另一邊長(zhǎng)為ym，當(dāng)x在一定范圍

內(nèi)變化時(shí)，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A．正比例函數(shù)關(guān)系B．一次函數(shù)關(guān)系

C．反比例函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形周長(zhǎng)找出關(guān)于x和y的等量關(guān)系即可解答．

【詳解】解：根據(jù)題意得：

2xy40，

∴y2x40，

∴y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)矩形的周長(zhǎng)考查一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理清實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系準(zhǔn)確地列式．

例2（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y2x1的圖像分別交x、

第1頁(yè)共72頁(yè).

y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是

__________．

1

【答案】yx1

3

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y2x1求得A、B坐標(biāo)，再過(guò)A作BC的垂線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理

和正余弦公式求得OC的長(zhǎng)度，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

15

【詳解】因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y2x1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，則A,0，B0,1，則AB．過(guò)

22

10

A作ADBC于點(diǎn)D，因?yàn)锳BC=45，所以由勾股定理得AD，設(shè)BCx，則

4

21110

ACOCOAx1，根據(jù)等面積可得：ACOBBCAD，即x21x，解得x10．則

224

1

OC3，即C3,0，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式是yx1．

3

【點(diǎn)睛】本題綜合考察了一次函數(shù)的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根據(jù)一次函數(shù)的解求一次函數(shù)的

表達(dá)式，要學(xué)會(huì)通過(guò)作輔助線得到特殊三角形，以便求解.

例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，

(2,0)，且與y軸交于點(diǎn)A．

(1)求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)yxn的值大于函數(shù)ykxb(k0)的值，直接寫(xiě)出n的取值范

圍．

1

【答案】(1)yx1，A0,1

2

(2)n1

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式，當(dāng)x0時(shí)，求出y即可求解．

1

（2）根據(jù)題意xnx1結(jié)合x(chóng)0解出不等式即可求解．

2

【詳解】（1）解：將(4,3)，(2,0)代入函數(shù)解析式得，

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1

3=4kbk

，解得2，

02kb

b1

1

∴函數(shù)的解析式為：yx1，

2

當(dāng)x0時(shí)，得y1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)．

（2）由題意得，

1

xnx1，即x22n，

2

又由x0，得22n0，

解得n1，

∴n的取值范圍為n1．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及解不等式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)、定義

一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時(shí)，y叫做x的正

比例函數(shù)．

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實(shí)數(shù).

注意：

（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

（3）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量x的式子是一次的，系數(shù)k不等于0，而b可以為任

意實(shí)數(shù)．

（4）判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.

（5）一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程.

知識(shí)點(diǎn)、一次函數(shù)表達(dá)式的確定

先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫

第3頁(yè)共72頁(yè).

做待定系數(shù)法。

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟

設(shè)：設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．

列：把兩個(gè)已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一

次方程組．

解：解二元一次方程組，求出k，b．

還原：將求得的k，b的值代入解析式．

【變式1】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊AOB的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)上，

OA在x軸上，OA4，C為AB邊的中點(diǎn)，將等邊AOB向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線MN：yx4上時(shí)，

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）

A．2,3B．13,3C．3,3D．43,3

【答案】D

【分析】過(guò)B作BE⊥x軸于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ABOBOA4，求出OE，根據(jù)勾股定理求

出BE，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后點(diǎn)C的縱坐標(biāo)不變，把點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入yx4，

求出x即可．

【詳解】解：過(guò)B作BE⊥x軸于E，

△AOB是等邊三角形，OA4，

ABOBOA4，

BEOA，

第4頁(yè)共72頁(yè).

AEOE2，

由勾股定理得：BEOB2OE2422223，

C為AB的中點(diǎn)，

11

點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是BE233，

22

當(dāng)將等邊AOB向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線MN上時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)還是3，

把y3代入yx4得：3x4，

解得：x43，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（43，3），

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化-平移，等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．

【變式2】（2021·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考一模）定義：對(duì)于給定的一次函數(shù)

axbx0

yaxb（a、b為常數(shù)，且a0，把形如y的函數(shù)稱為一次函數(shù)yaxb的“相依函數(shù)”，

axbx0

已知一次函數(shù)yx1，若點(diǎn)P2,m在這個(gè)一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，則m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】找出一次函數(shù)yx1的“相依函數(shù)”，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出m的值．

x1x0

【詳解】解：一次函數(shù)yx1的“相依函數(shù)”為y，

x1x0

∵點(diǎn)P（?2，m）在一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，

∴m＝?1×（?2）?1＝1．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)“相依函數(shù)”的定義，找出一次函數(shù)yx1的“相依

函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)yxb的圖象過(guò)點(diǎn)A0,2022，

B2022,m，則m的值為_(kāi)_____．

第5頁(yè)共72頁(yè).

【答案】4044

【分析】把代入A0,2022代入一次函數(shù)yxb求得b2022，進(jìn)而代入x=2022即可求得m的值．

【詳解】解：一次函數(shù)yxb的圖象過(guò)點(diǎn)A0,2022，

20220b，

解得b2022，

yx2022，

yx2022過(guò)B2022,m，

m202220224044，

故答案為-4044．

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解一元-次方程即可．

【變式4】（2021·山東東營(yíng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC滿足點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A坐

標(biāo)為（2，0），∠AOC＝60°，直線y＝﹣3x＋b與菱形OABC有交點(diǎn)，則b的取值范圍是___．

【答案】0b93##0b39

【分析】作CM⊥OA于點(diǎn)M，BN⊥OA于點(diǎn)N，求出B的坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)解析式中，求出b的最

大值，再將原點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式中求出b的最小值即可．

【詳解】解：作CM⊥OA于點(diǎn)M，BN⊥OA于點(diǎn)N，

∵∠AOC=60°，∠CMO=90°，

1

∴OM＝OC，

2

第6頁(yè)共72頁(yè).

∵在菱形OABC中，A（2，0），

∴OC=OA=2=CB，

∴OM=1，

∴CM＝OC2OM2＝2212＝3，

∴C(1，3)，

∴B的橫坐標(biāo)為3，

∵OA∥CB，

∴BN=CM=3，

∴B的縱坐標(biāo)也為3，即B(3，3)，

當(dāng)y=-3x+b過(guò)O（0，0）時(shí)，b最小，最小值為0，

當(dāng)y=-3x+b過(guò)B(3，3)時(shí)，b最大，

把B(3，3)代入y=-3x+b，

解得：b＝3+9，

∴b的取值范圍為：0b≤3+9，

故答案為：0b3+?9．

【點(diǎn)睛】本題?考?查了菱形的性質(zhì)和待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【變式5】（2022·廣東佛山·?？既＃┪覀儼岩粋€(gè)函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的不

動(dòng)點(diǎn)．

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出函數(shù)y2x的不動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3x8

(2)若函數(shù)y有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)A，B，求a的值；

xa

(3)已知函數(shù)yax2(b1)x(b1)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值

范圍．

【答案】(1)M(1,1)

(2)a3

(3)0a1

【分析】（1）設(shè)函數(shù)y=2-x的不動(dòng)點(diǎn)M為（m,m），根據(jù)定義得到2-m=m，求出m即可求M點(diǎn)坐標(biāo)；

yx

（2）由題意可知AB所在直線解析式為y=x，聯(lián)立方程組3x8，再由根與系數(shù)的關(guān)系得3-a=0，即可

y

xa

求a的值；

第7頁(yè)共72頁(yè).

（3）由題意可得ax2(b1)x（b1）x，則b24a(b1)0恒成立，對(duì)于關(guān)于b的一元二次不等式恒成

立，只需16a216a0，即可．△

（1）△

解：設(shè)函數(shù)y2x的不動(dòng)點(diǎn)M為(m,m)，

2mm，

解得m1，

M(1,1)；

（2）

A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，

AB所在直線解析式為yx，

yx

聯(lián)立方程組3x8，

y

xa

整理得，x2(a3)x80，

3a0，

a3；

（3）

由題意可知，ax2(b1)x(b1)x，

整理得，ax2bx(b1)0，

函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，

b24a(b1)0，

△b24ab4a0恒成立，

關(guān)于b的一元二次不等式恒成立，

16a216a0，

解△得0a1．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，弄清定義，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判別式Δ與

根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第8頁(yè)共72頁(yè).

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸

交于點(diǎn)B，將AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖△AOB的位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在直線AB上，連接BB，

則BB的長(zhǎng)度為（）

333

A．B．3C．2D．

22

【答案】B

【分析】先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB，進(jìn)而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形

的判定與性質(zhì)證明AOA和△BOB為等邊三角形得到OBOB即可求解.

【詳解】解：對(duì)于y3x3，

當(dāng)x0時(shí)，y3，當(dāng)y0時(shí)，由03x3得：x1，

則A（1，0），B（0，3），

∴OA1，OB3，

OB

∴tanOAB3，則∠OAB=60°，

OA

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OAOA，OBOB，AOABOB，

∴AOA是等邊三角形，

∴AOABOB60，又OBOB

∴△BOB是等邊三角形，

∴BBOB3，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角

形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，證得△BOB是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．

例2（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的

中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為_(kāi)______．

第9頁(yè)共72頁(yè).

【答案】2

【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得

出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．

【詳解】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0+4＝4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，

11

∴OD＝OB＝×4＝2．

22

∵四邊形OCDE為平行四邊形，點(diǎn)C在x軸上，

∴DE∥x軸．

當(dāng)y＝2時(shí)，2x+4＝2，

解得：x＝﹣1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2），

∴DE＝1，

∴OC＝1，

∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．

1

例3（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′和y軸上的點(diǎn)B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．

第10頁(yè)共72頁(yè).

(1)求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

(2)確定直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】(1)A′（2，0）

(2)y＝﹣x+2

【分析】（1）利用直線解析式求得點(diǎn)A坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征解答即可；

（2）利用待定系數(shù)法解答即可．

1

【詳解】（1）解：令y＝0，則x+1＝0，

2

∴x＝﹣2，

∴A（﹣2，0）．

∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，

∴A′（2，0）．

（2）解：設(shè)直線A′B的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，

2kb0

∴，

b2

k1

解得：，

b2

∴直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、待定系數(shù)法確定函數(shù)的

解析式、關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征等知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

2、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)

k>0k<0

k，b的符號(hào)

b0b0b0b0b0b0

大致圖像

經(jīng)過(guò)的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四

第11頁(yè)共72頁(yè).

性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

與坐標(biāo)軸的

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

交點(diǎn)

k

【變式1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）函數(shù)ykx5與yk0在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）

x

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】分別討論k＞0和k＜0時(shí)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖像特征，即可得到答案．

【詳解】解：若k＞0，則k＜0，一次函數(shù)單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)（0，-5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，過(guò)二、

三、四象限；反比例函數(shù)圖像在一、三象限，此時(shí)沒(méi)有選項(xiàng)的圖像符合要求．

若k＜0，則k＞0，一次函數(shù)單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)（0，-5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，過(guò)一、三、四象限；

反比例函數(shù)在二、四象限，此時(shí)選項(xiàng)C符合要求．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y3x向上平移3個(gè)單位，與y

k

軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)y(x0)

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為（）

第12頁(yè)共72頁(yè).

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出△ACF≌△BCE

（AAS），從而得出S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝SAOB＋SABC，根據(jù)直線AB的表達(dá)式利用一次函數(shù)圖

△△

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反比

例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出k值，此題得解．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示，

∵CE⊥x軸，CF⊥y軸，

∴∠ECF＝90°．

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，

∴∠ACF＝∠BCE．

在△ACF和△BCE中，

AFC＝BEC＝90

ACF＝BCE，

AC＝BC

第13頁(yè)共72頁(yè).

∴△ACF≌△BCE（AAS），

∴SACF＝SBCE，

△△

∴S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝SAOB＋SABC．

△△

∵將直線y＝?3x向上平移3個(gè)單位可得出直線AB，

∴直線AB的表達(dá)式為y＝?3x＋3，

∴點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（1，0），

∴AB＝OA2＋OB210，

∵△ABC為等腰直角三角形，

2

∴ACBCAB5，

2

11

∴SOECF＝SAOB＋SABC＝×1×3＋55＝4．

矩形22

△△

k

∵反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

x

∴k＝4，

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角

的計(jì)算，證出△ACF≌△BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵．

2abab

【變式3】（2022·江蘇泰州·?？家荒＃┒x一個(gè)新的運(yùn)算：abb2則運(yùn)算x2的最小值為

(ab)

a

_________．

【答案】-2

【分析】分x≤2和x＞2兩種情況分別求得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后再求得最小值即可．

【詳解】解：當(dāng)x≤2時(shí)，x⊕2=-2x+2，

k=-2＜0，函數(shù)值隨x的增大而減小，

此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)有最小值-2；

224

當(dāng)x＞2時(shí)，x⊕2=＞2，

xx

綜上，最小值為-2．

故答案為-2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題

第14頁(yè)共72頁(yè).

的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D，

點(diǎn)E，點(diǎn)F為直線y=x+6上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為-4．把直線DE繞F點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸

分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)C，若SADF=SFEC，則直線AC的解析式為_(kāi)_____．

△△

1

【答案】y=x+3

4

【分析】由SADF=SFEC，推出SADF+S四邊形CODF=SFEC+S四邊形CODF，即SAOC=SEOD，

設(shè)直線AC的△解析式為△y=kx+b，根據(jù)題△意得出b2-9b+18=0，繼△續(xù)計(jì)算即可求解．△△

【詳解】解：令x=0，則y=6，令y=0，則x=-6，

∴點(diǎn)D(-6，0)，點(diǎn)E(0，6)，

∴OD=OE=6，

∵點(diǎn)F為直線y=x+6上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為-4，

∴y=-4+6=2，

∴點(diǎn)F(-4，2)，

∵SADF=SFEC，

△△

∴SADF+S四邊形CODF=SFEC+S四邊形CODF，

∴S△AOC=SEOD，△

設(shè)直△線AC的△解析式為y=kx+b，

b

則點(diǎn)A(-，0)，點(diǎn)E(0，b)，

k

b

∴OA=，OC=b，

k

1b1

根據(jù)題意得：b66，4kb2，

2k2

整理得：b2-9b+18=0，

解得：b=6(舍去)或b=3，

第15頁(yè)共72頁(yè).

1

當(dāng)b=3時(shí)，k=，

4

1

∴直線AC的解析式為y=x+3，

4

1

故答案為：y=x+3．

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式

結(jié)合SADF=SFEC，找出關(guān)于b的一元二次方程．

△△

【變式5】（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中

m＞0，直線y＝kx﹣1與y軸相交于C點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)．

(2)若m＝2，

①求△ABC的面積；

②若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y＝kx﹣1的兩側(cè)，求k的取值范圍；

(3)當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線y＝kx﹣1與線段AB的交點(diǎn)為P點(diǎn)（不與A點(diǎn)、B點(diǎn)重合），且AP＜2，求m的取值

范圍．

【答案】(1)（0，-1）

3

(2)①6；②3k

5

(3)2<m<4

【分析】（1）求x=0時(shí)y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)m=2時(shí)，A（-5，2），B（-1，2），延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，求出CD，AB，利用面積公式計(jì)

算即可；

②求出直線AC和直線BC的解析式，即可得到；

（3）當(dāng)k=-1時(shí)，直線為y=-x-1，當(dāng)x=-5時(shí)，y=4，只有A3B3情況時(shí)，直線y=-x-1與線段AB相交，且P不

第16頁(yè)共72頁(yè).

與A、B點(diǎn)重合，此時(shí)m<4；得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出AP的長(zhǎng)度，即可得到答案．

【詳解】（1）解：直線y=kx-1與y軸交于點(diǎn)C，

當(dāng)x=0時(shí)y=-1，故C（0，-1），

故答案為（0，-1）；

（2）①當(dāng)m=2時(shí)，A（-5，2），B（-1，2），

∵點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)相同，

∴AB∥x軸，AB⊥y軸，

延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，

∴線段CD為△ABC以AB邊為底的高，

∵CD=2-(-1)=3，AB=-1-（-5）=4，

1

∴SABCD6；

ABC2

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

3

5kb2k

∴，解得5，

b1

b1

3

∴直線AC的解析式為yx1，

5

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

kb2k3

∴，解得，

b1b1

∴直線BC的解析式為y3x1，

∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y＝kx﹣1的兩側(cè)，

∴kBCkkAC,

3

∴3k；

5

（3）當(dāng)k=-1時(shí)，直線為y=-x-1，

當(dāng)x=-5時(shí)，y=4，

第17頁(yè)共72頁(yè).

如圖，只有A3B3情況時(shí)，直線y=-x-1與線段AB相交，且P不與A、B點(diǎn)重合，此時(shí)m<4；

當(dāng)x=m-3時(shí)y=2-m，

由圖知2-m<m，

∴m>1，

∴1<m<4，

當(dāng)y=m時(shí)，x=-1-m，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1-m，m），

∴AP51mm4，

∵AP<2，

∴m4<2，

∵1<m<4，

∴m-4<0，

∴m4=4-m，

∴4-m<2，

∴m>2，

綜上，2<m<4．

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱

第18頁(yè)共72頁(yè).

例1（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD在第一象限，且BC//x

軸，直線y2x1沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，直線被矩形ABCD截得的線段長(zhǎng)為a，直線在x軸上

平移的距離為b，a、b間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形ABCD的面積為（）

A．5B．25C．8D．10

【答案】C

【分析】根據(jù)平移的距離b可以判斷出矩形BC邊的長(zhǎng)，根據(jù)a的最大值和平移的距離b可以求得矩形AB

邊的長(zhǎng)，從而求得面積

【詳解】如圖：根據(jù)平移的距離b在4至7的時(shí)候線段長(zhǎng)度不變，

可知圖中BF743,

根據(jù)圖像的對(duì)稱性，AECF1，

BCBFFC314

由圖（2）知線段最大值為5，即BE5

根據(jù)勾股定理ABBE2AE2(5)2122

矩形ABCD的面積為ABBC248

第19頁(yè)共72頁(yè).

故答案為：C

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的面積計(jì)算，一次函數(shù)圖形的實(shí)際意義，勾股定理，一次函數(shù)的分段函數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)

的意義；正確的分析函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），將OAB沿x軸向右平移至CDE，點(diǎn)B的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)E恰好落在直線y2x3上，則點(diǎn)A移動(dòng)的距離是______．

【答案】3

【分析】將y＝3代入一次函數(shù)解析式求出x值，由此即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，3），進(jìn)而可得出OAB

沿x軸向右平移3個(gè)單位得到CDE，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離．△

【詳解】解：當(dāng)y2x33時(shí)△，x3，

點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,3，

OAB沿x軸向右平移3個(gè)單位得到CDE，

點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離為3，

即點(diǎn)A移動(dòng)的距離是3．

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及坐標(biāo)與圖形變換中的平移，將y＝3代入一次函數(shù)解

析式中求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時(shí)，直線的左右位置也發(fā)生

著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖像平移的性質(zhì)”的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

第20頁(yè)共72頁(yè).

(1)如圖1，將一次函數(shù)yx2的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向右平移了______個(gè)單位長(zhǎng)度；

(2)將一次函數(shù)y2x4的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向______（填“左”或“右”）平移了______

個(gè)單位長(zhǎng)度；

(3)綜上，對(duì)于一次函數(shù)ykxbk0的圖像而言，將它向下平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向______

（填“左”或“右”）（k0時(shí)）或?qū)⑺騙_____（填“左”或“右”）（k0時(shí)）平移了n(n0)個(gè)單位長(zhǎng)度，且m，

n，k滿足等式_______．

【答案】(1)1

1

(2)左，

2

(3)右，左，mnk

【分析】（1）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）（2）題得出結(jié)論即可．

（1）

解：∵將一次函數(shù)yx2的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)x21x12，

相當(dāng)于將它向右平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度，

故答案為：1；

（2）

1

解：將一次函數(shù)y2x4的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2x412x4，

2

相當(dāng)于將它向左平移了1個(gè)單位長(zhǎng)度；

2

故答案為：左；1；

2

第21頁(yè)共72頁(yè).

（3）

解：綜上，對(duì)于一次函數(shù)ykxbk0的圖像而言，將它向下平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向右

(k0時(shí))或?qū)⑺蜃?k0時(shí))平移了n(n0)個(gè)單位長(zhǎng)度，且m，n，k滿足等式mnk．

故答案為：右，左，mnk．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與幾何變換，平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”，關(guān)鍵

是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系．

3、一次函數(shù)圖象的平移

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平

移b個(gè)單位長(zhǎng)度；b<0，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度

4、兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：

①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；

②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；

③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；

④當(dāng)k1·k2=–1時(shí)，兩直線垂直．

【變式1】（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，ABC的頂點(diǎn)A4,0，B1,4，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，

ABAC，將ABC向右平移得到ABC，若AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

第22頁(yè)共72頁(yè).

77

A．,3B．3,C．2,3D．3,2

44

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），利用勾股定理分別求出AB，AC的長(zhǎng)，結(jié)合AB=AC，即可求出點(diǎn)C的

7

坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，即可求出直線AB的解析式，從而推出直線AB相當(dāng)于直線AB向右平移個(gè)

4

單位得到的，由此即可得到答案．

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），

則由勾股定理得：22，22，

AB14405AC4m

∴AB=AC，

2

∴4m25，

∴m3或m3（舍去），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

設(shè)直線AB的解析式為ykxb，

4kb0

∴，

kb4

4

k

3

∴，

16

b

3

416

∴直線AB的解析式為yx，

33

∵AB是經(jīng)過(guò)AB平移得到的，

4

∴可設(shè)直線AB的解析式為yxn，

3

∵AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

第23頁(yè)共72頁(yè).

∴n3，

44716

∴直線AB的解析式為yx3x，

3343

7

∴直線AB相當(dāng)于直線AB向右平移個(gè)單位得到的，

4

7

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為,3，

4

故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的平移，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等等，熟知一次函數(shù)

的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖①，正方形ABCD在直角坐標(biāo)系中，其中AB邊在y軸上，其余

各邊均與坐標(biāo)軸平行，直線l：y=x-1沿y軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，在平移的過(guò)程中，該直

線被正方形ABCD的邊所截得的線段長(zhǎng)為m（米），平移的時(shí)間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象如圖②所示，

則圖②中b的值為（）

A．32B．52C．62D．102

【答案】B

【分析】連接AC，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出直線與AC平行，因此當(dāng)直線向上平移到A點(diǎn)時(shí)被正方形

ABCD的邊所截得的線段長(zhǎng)最大b=AC，由圖②可知此時(shí)a=5，由速度求出AB的長(zhǎng)再根據(jù)勾股定理即可解

答；

【詳解】解：如圖連接AC，

第24頁(yè)共72頁(yè).

由y=x-1可得，當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，

∴直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，

∴直線與x軸的夾角是45°，

∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x軸，∠ACB=45°，

∴直線l與AC平行，

∴當(dāng)直線向上平移到A點(diǎn)時(shí)被正方形ABCD的邊所截得的線段長(zhǎng)最大b=AC，

由圖②可知，當(dāng)a=5時(shí)，直線平移到A點(diǎn)，

∴AB=1×5=5米

∴b=AC=525252米，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意弄

懂圖象所表達(dá)的含義是解題關(guān)鍵．

1

【變式3】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線yx2與x軸交于點(diǎn)A，以O(shè)A為斜邊在x軸上方

2

1

作等腰直角三角形OAB，將OAB沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)B落在直線yx2上時(shí)，則OAB平移的距離是

2

__．

【答案】6

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)BC、OC的長(zhǎng)度，即點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，表示出B′的坐標(biāo)，代入函

數(shù)解析式，即可求出平移的距離．

1

【詳解】解：yx2，

2

1

當(dāng)y0時(shí)，x20，

2

解得：x4，

即OA4，

過(guò)B作BCOA于C，

第25頁(yè)共72頁(yè).

OAB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，

BCOCAC2，

即B點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,2)，

設(shè)平移的距離為a，

則B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a2,2)，

11

代入yx2得：2(a2)2，

22

解得：a6，

即OAB平移的距離是6，

故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出B′的

坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．

1x1x1

【變式4】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知直線y＝x+2與函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩

3x1x1

點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____；

（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)把兩個(gè)函數(shù)圖象水平向右平移m個(gè)單位，點(diǎn)A，B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，

B′，連結(jié)OA′，OB′．當(dāng)m＝_____時(shí)，|OA'﹣OB'|取最大值．

95

【答案】（-，）；6．

44

11

yx2yx2

【分析】（1）分別求解如下兩個(gè)方程組3，3，再根據(jù)已知條件即可得答案；

yx1yx1

1

（2）當(dāng)O、A′、B′三點(diǎn)共線時(shí)，|OA'﹣OB'|取最大值．即直線yx2平移后過(guò)原點(diǎn)即可，平移的距離為

3

1

m，平移后的直線為yxm2把原點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算即可．

3

第26頁(yè)共72頁(yè).

9

1x=-

yx2495

【詳解】（1）聯(lián)立3，解得，則交點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），

544

yx1y

4

3

1x=

yx2235

聯(lián)立3，解得，則交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

522

yx1y

2

95

又點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，所以A（-，），

44

95

故答案為：（-，）；

44

（2）當(dāng)O、A′、B′三點(diǎn)共線時(shí)，|OA'﹣OB'|取最大值．

1

即直線yx2平移后過(guò)原點(diǎn)即可，平移的距離為m，

3

1

平移后的直線為yxm2，

3

1

則00m2，

3

解得m6，

當(dāng)m＝6時(shí)，|OA'﹣OB'|取最大值．

故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與分段函數(shù)綜合問(wèn)題，會(huì)識(shí)別分段函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)在哪一分支上，會(huì)利

用平移解決最大距離問(wèn)題是解題關(guān)．

【變式5】（2021·山東濱州·二模）閱讀下面材料：

我們知道一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時(shí)，直線通常寫(xiě)成Ax+By+C

|Ax0By0C|

＝0（A≠0，A、B、C是常數(shù)）的形式，點(diǎn)