專題12 角、相交線與平行線（6大考點）（原卷版）

第四部分三角形

專題12角、相交線與平行線（6大考點）

核心考點一直線和線段

核心考點二角與角平分線

核心考點三相交線

核心考點

核心考點四平行線的判定

核心考點五利用平行線求角度或證明

核心考點六命題

新題速遞

核心考點一直線和線段

例1（2021·江蘇泰州·統考中考真題）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，

AB＝3a，這三點的位置關系是（）

A．點A在B、C兩點之間B．點B在A、C兩點之間

C．點C在A、B兩點之間D．無法確定

例2（2022·浙江嘉興·統考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重

合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長

為_________．

例3（2022·黑龍江牡丹江·統考中考真題）如圖，ABC和DEF，點E，F在直線BC上，ABDF，

AD，BF．如圖①，易證：BCBEBF．請解答下列問題：

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(1)如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數量關系，并直接寫出猜想結論；

(2)請選擇（1）中任意一種結論進行證明；

若，，，，則，．

(3)AB6CE2F60SABC123BC______BF______

直線由無數個點構成，點動成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒有端點，向兩端無限延伸，

長度無法度量。直線是軸對稱圖形。

它有無數條對稱軸，對稱軸為所有與它垂直的直線（有無數條）。在平面上過不重合的兩點有且只有一

條直線，即不重合兩點確定一條直線。在球面上，過兩點可以做無數條類似直線。

構成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點、直線、平面屬于

基本概念，由他們之間的關聯關系和五組公理來界定。

線段指直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）[1]，有別于直線、射線

第2頁共25頁.

【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學?？寄M預測）在下列說法中，正確的有（）

①兩點確定一條直線；

②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；

④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過一點有且只有一條直線和已知直線垂直．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式2】（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中AB3，AD4，點E在邊AD上，AE：ED1:3，

動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到B停止，過點E作EF垂直PE交射線BC于點F，如果M是線段EF的中

點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（）

A．5B．5.5C．4D．4.5

【變式3】（2021·廣西柳州·統考一模）建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉

一條直的參照線，用到的數學知識是______．

【變式4】（2021·甘肅·模擬預測）定義：數軸上給定兩點A、B以及一條線段PQ，當線段AB的中點在線

段PQ上時（包含點P、Q），就稱點A與點B關于線段PQ徑向對稱，若A、P、Q三點在數軸上的位置如

圖所示，點A與點B關于線段PQ徑向對稱．則點B表示的數x的取值范圍是____．

【變式5】（2020·湖南邵陽·校聯考一模）如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC,BC的中點．

(1)若AC9cm,CB6cm，求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點，滿足ACCBacm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你

的答案．

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(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足ACBCbcm，M、N分別為AC,BC的中點，你能猜想MN的長度

嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．

核心考點二角與角平分線

例1（2021·四川達州·統考中考真題）如圖，一束光線AB先后經平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD

與AB平行，當ABM40時，DCN的度數為（）

A．40B．50C．60D．80

例2（2022·山東濟寧·統考中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，

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則∠2的度數是___________．

例3（2022·浙江溫州·統考中考真題）如圖，BD是ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．

(1)求證：EBDEDB．

(2)當ABAC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．

角在幾何學中，是由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象。這兩條射線叫做角的邊，它

們的公共端點叫做角的頂點。一般的角會假設在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以

定義角。角在幾何學和三角學中有著廣泛的應用

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的

角平分線。

注：角平分線類型的題目，輔助線一般都是過角平分線上的向兩邊作垂線。

第5頁共25頁.

【變式1】（2023·江蘇蘇州·統考一模）如圖，已知a∥b，直角三角板的直角頂點在直線a上，若130，

則2等于（）

A．70B．60C．50D．40

【變式2】（2022·江蘇南京·南京大學附屬中學?？寄M預測）如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的中

垂線，直線m為ABC的角平分線，l與m相交于P點．若A60，DACP=24°，則ABP的度數是（）

A．24B．30C．32D．36

【變式3】（2022·湖南永州·統考二模）如圖，已知BAC60，AD是角平分線且AD20，作AD的垂直

平分線交AC于點F，作DEAC，則DEF的周長為______．

【變式4】（2022·四川眉山·模擬預測）如圖，AB8，AC7，PB、PC分別平分B、C，DE∥BC，

則VADE的周長是______．

【變式5】（2022·浙江紹興·一模）（1）問題背景

如圖①，RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線

△

第6頁共25頁.

BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數量關系得到的結論是________．

（2）類比探索

在（1）中，如果把BD改為ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結論還成

立嗎？若成立，請寫出證明過△程；若不成立，請說明理由．

（3）拓展延伸

1

在（2）中，如果ABAC，其他條件均不變（如圖③），請直接寫出BD與CE的數量關系為________．

2

核心考點三相交線

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例1（2022·河南·統考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，

則∠2的度數為（）

A．26°B．36°C．44°D．54°

例2（2021·湖南益陽·統考中考真題）如圖，AB與CD相交于點O，OE是AOC的平分線，且OC恰好

平分EOB，則AOD_______度．

例3（2022·山東菏澤·統考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點，且BEBC，

過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．

第8頁共25頁.

在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個公共點

時，稱這兩條直線相交。

相交線會形成三線八角

【變式1】（2022·廣西百色·統考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，

則∠COE的度數是（）

A．45°B．70°C．55°D．110°

【變式2】（2023·山東泰安·校考一模）如圖，等邊ABC的邊長為4，點D是邊AC上的一動點，連接BD，

以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（）

A．1B．2C．2D．221

【變式3】（2021·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在ABC中，BAC45，ABAC4，P為AB邊上一動

點，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的最小值為__．

【變式4】（2022·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，點P是對角線AC

上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．

第9頁共25頁.

【變式5】（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BCD130，BE平分ABC

交AD于點E，交CD的延長線于點F．

(1)求ABE的大小；

(2)若ADC48，求DEF的大?。?/p>

核心考點四平行線的判定

例1（2020·江西·統考中考真題）如圖，1265,335，則下列結論錯誤的是（）

A．AB//CDB．B30C．C2EFCD．CGFG

例2（2021·江蘇泰州·統考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉的螺絲鉚住，

∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉___°．

第10頁共25頁.

例3（2020·湖北荊州·統考中考真題）如圖，將ABC繞點B順時針旋轉60度得到DBE，點C的對應

點E恰好落在AB的延長線上，連接AD．

（1）求證：BC//AD；

（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉所經過的路徑長之和．

平行線判定的五種方法：

在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

1.同位角相等，兩直線平行。

在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡單的說成：

2.內錯角相等，兩直線平行。

在同一平面內，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。

也可以簡單的說成：

3.同旁內角互補，兩直線平行。

第11頁共25頁.

4、在同一平面內，兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

5、兩條直線同時平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；

【變式1】（2022·廣西柳州·統考模擬預測）如圖所示，直線a、b被c、d所截，下列條件中能說明a∥b的

是（）

A．12B．24180C．3=4D．14180

【變式2】（2021·福建廈門·?？级＃┤鐖D，已知AOB，按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點，以點

O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D；②連接CD，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑作

弧，交PQ于點M、N；③連接OM，MN．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）

A．COMCODB．點M與點D關于直線OA對稱

C．若AOB20，則2OMMND．MN//CD

【變式3】（2022·新疆阿克蘇·統考一模）如圖，將木條a，b與c釘在一起，250，若要使木條a與b

平行，則1的度數應為______．

第12頁共25頁.

【變式4】（2021·云南昆明·統考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，即

可得到a//b．請你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫圖的一個依據．真命題為：①連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中，垂線段最短；②在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行（選自人教版初中數學教科書七年級下冊第14頁例）；③在同一平面內，過一點有一條而且僅

有一條直線垂直于已知直線；④經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．”這個依據是

__________．（只需填序號）

【變式5】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，點A，B，C，D在一條直線上，CE與BF交于點G，AFBC，

CE∥DF，E50．

(1)求證：AE∥BF；

(2)求F的度數．

核心考點五利用平行線求角度或證明

第13頁共25頁.

例1（2022·內蒙古·中考真題）如圖，直線ab，截線c，d相交成30°角，114633，則2的度數

是（）

A．6327B．6427C．6433D．6333

例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線a∥b，AOB的邊OB在直線b上，AOB55，將AOB繞點

△

O順時針旋轉75至A1OB1，邊A1O交直線a于點C，則1______．

例3（2022·江蘇泰州·統考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.

(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；

(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

1

(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于CDAB，以FD為半徑

2

作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關系，并說明理由.

1、兩條直線平行，同位角相等；

第14頁共25頁.

2、兩條直線平行，內錯角相等；

3、兩條直線平行，同旁內角互補；

【變式1】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，ABCD，直線l截AB，CD于E，F，已知1=2=，

則3（）

A．1802B．180C．90D．1803

【變式2】（2023·山東青島·統考一模）如圖，在ABC中，ABCACB，按圖進行翻折，使

MD∥NG∥BC，ME∥FG，則NFE的度數是（）

A．2180B．1802C．90D．90

【變式3】（2023·遼寧鞍山·統考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD邊上一點，連接AE，BD，

且AE與BD交于點F，若DE:EC2:3，則S△ADF:SABCD_________．

【變式4】（2022·四川綿陽·?？级＃┤鐖D，線段AB∥CD，AD與BC相交于點E，BA30，EMCD

于點M，EN平分CED交CD于點N，則MEN的度數是______．

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【變式5】（2023·江蘇宿遷·統考一模）已知，點D是CAB的邊AB上一點．

(1)如圖甲，DEAC，垂足為E，DF平分ADE交邊AC于點F，FOAC交邊AB于點O，求證：ODOF；

(2)如圖乙，DEAB交邊AC于點E，EO平分AED交邊AB于點O，OFAC，垂足為點F，求

△OED≌△OEF；

(3)如圖丙，在線段AD上找一點O作O，使O經過點D且與AC相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕

跡，寫出作法過程，不證明）

核心考點六命題

第16頁共25頁.

例1（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）下列命題中是假命題的是（）

A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B．如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等

C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

例2（2021·江蘇無錫·統考中考真題）下列命題中，正確命題的個數為________．

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③邊長相等的兩個菱形都相似

④對角線相等的兩個矩形都相似

例3（2020·北京·統考中考真題）如圖是某劇場第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購票，所購票分

別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位之和最?。?/p>

果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選

座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫

出一種滿足條件的購票的先后順序______．

命題（判斷）是指一個判斷句的語義（實際表達的概念），這個概念是可以被定義并觀察

的現象。命題不是指判斷句本身，而是指所表達的語義。當相異的判斷句具有相同的語義的時

候，他們表達相同的命題。在數學中，一般把判斷某一件事情的陳述句叫做命題。

第17頁共25頁.

【變式1】（2022·重慶璧山·統考一模）下列命題是真命題的是（）

A．每個內角都相等的多邊形是正多邊形B．對角線相等的平行四邊形是矩形

C．兩直線平行，同位角互補D．過線段中點的直線是線段的垂直平分線

【變式2】（2023·山東東營·?？家荒＃┈F有以下命題：

①斜邊中線和一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等；

②一個圖形和它經過平移所得的圖形中，各組對應點所連接的線段平行且相等；

③通常溫度降到0℃以下，純凈的水會結冰是隨機事件；

④一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

⑤在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

⑥在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行．

其中真命題的個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式3】（2022·江蘇無錫·模擬預測）給出下列命題：①頂角相等的兩等腰三角形相似；②底角相等的兩

等腰三角形相似；③兩直角邊對應成比例的兩直角三角形相似；④有一角對應相等的兩直角三角形相似，

其中真命題有_____（填序號）．

【變式4】（2022·北京門頭溝·統考二模）電腦系統中有個“掃雷”游戲，游戲規(guī)定：一個方塊里最多有一個地

雷，方塊上面如果標有數字，則是表示此數字周圍的方塊中地雷的個數．如圖1中的“3”就是表示它周圍的

八個方塊中有且只有3個有地雷．如圖2，這是小明玩游戲的局部，圖中有4個方塊已確定是地雷（標旗子

處），其它區(qū)域表示還未掀開，問在標有“A”~“G”的七個方塊中，能確定一定是地雷的有________（填方塊

上的字母）．

【變式5】（2022·江蘇鹽城·校聯考一模）蘇科版數學七（下）教材中有這樣一段閱讀材料：

著名的反例：公元1640年，著名數學家費馬發(fā)現：

01234

2213，2215，22117，221257，22165537

而3、5、17、257、65537都是質數，于是費馬猜想：對于一切自然數n，221都是質數．可是，到了1732

第18頁共25頁.

5

年，數學家歐拉發(fā)現：221232142949672976416700417．

5

這說明了221是個合數，從而否定了費馬的猜想．

這個故事告訴我們，舉反例是說明一個數學命題不成立的常用方法．

(1)代數中的反例：

①用舉反例說明“a2a”是個假命題時，a的取值范圍是______．

6

②請你舉反例說明“反比例函數y，y隨x的增大而減小”是個假命題．

x

(2)幾何中的反例：

學習全等三角形判定時，我們知道“兩邊相等和一相等邊所對的角也相等的兩個三角形不一定全等”，即“SSA”

不全等．請借助已給的ABC，用三種方法在ABC圖形基礎上構造一個三角形，使得構造出的三角形滿足

以下三個條件：

①有兩邊分別與AC和BC相等；

②與BC相等邊所對的角等于A；

③構造出的三角形與ABC不全等．

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，并寫出必要的文字說明；

②不可借助已構造出符合條件的三角形利用全等變換作圖．

第19頁共25頁.

【新題速遞】

1．（2023秋·貴州黔東南·七年級統考期末）如圖，O是線段AB的中點，點C在OB上，若AB＝12，OC＝2CB，

則AC等于（）

A．5.5B．6.5C．7.5D．10

2．（2023秋·吉林長春·八年級統考期末）用反證法證明：“若ab0，則a2≥b2”，應先假設（）

A．abB．abC．a2b2D．a2b2

3．（2023·云南昭通·?？家荒＃┤鐖D，直線c與直線a、b都相交．若a∥b，160，則2（）

A．60B．55C．50D．45

4．（2023秋·河南南陽·七年級統考期末）如圖，直線AB∥CD，一塊含有30角的直角三角尺的頂點E位

于直線CD上，EG平分CEF，則1的度數為（）

A．30B．45C．60D．80

5．（2022春·廣東揭陽·七年級?？计谥校┤鐖D，直線EF∥MN，點A，B分別是EF，MN上的動點，點G

在MN上，ACBm，AGB和CBN的角平分線交于點D，若D50，則m的值為（）

A．70B．74C．76D．80

6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分

別作PMAB于點M，作PNBC于點N，點O是MN的中點，若AB9，BC12，當點P在AC上運動

第20頁共25頁.

時，則BO的最小值是（）

A．3B．3.6C．3.75D．4

7．（2023秋·貴州銅仁·八年級統考期末）如圖，已知在ABC中，ABC與ACB的平分線交于點F，過

點F的直線DE交AB于點D，交AC于的E，且

AB10，BC8，ABC50,ACB80,CBFBFD．有下列結論：①DF∥BC；②△CEF是等腰三

角形；③VADE的周長18；④BFCF；⑤BFC105；⑥DEBD＋CE．其中正確的有（）

A．3個B．4個C．5個D．6個

8．（2023·四川綿陽·統考二模）如圖，在ABC中，AC8，A30，B45，點P是AC延長線上一

動點，PMBC邊與點M，PNAB邊與點N，連接MN，則MN的最小值為（）

26

A．26B．13C．23D．22

3

9．（2023秋·廣東深圳·七年級校聯考期末）如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使AOC60，

將一塊透明的三角尺直角頂點放在點O處，并繞點O旋轉一周，在旋轉過程中，當直線ON恰好平分銳角

AOC時，BON_____．

第21頁共25頁.

10．（2022春·廣東韶關·七年級?？计谥校﹥蓷l平行直線被第三條直線所截，內錯角相等．這個命題的結論

是_____．

11．（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，將A為30的直角三角板ABC的直角

頂點C放在直尺的一邊上，則12的度數為_____________．

12．（2023春·江蘇·八年級專題練習）在Rt△ABC中，C90,AC6,BC8，點N是BC邊上一點，點

M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN,MN的中點，則DE的最小值是___________．

13．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，BAC90，且BA5，AC12，點D是斜

邊BC上的一個動點，過點D分別作DMAB于點M，DNAC于點N，連接MN，則線段MN的最小值

為___________．

14．（2023春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）如圖，平行四邊形

3

ABCD中，ABC60，AB2，BC6，P為邊AD上的一動點，則PCPA的最小值等于______．

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15．（2022秋·福建福州·七年級福州黎明中學校考期末）如圖，已知線段AB8．

(1)延長線段AB至點C，使得BC3AB（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)在（1）的條件下，取BC的中點D，求AD的長．

16．（2022春·江西南昌·七年級?？茧A段練習）如圖，ACD