專(zhuān)題12 角、相交線與平行線（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第四部分三角形

專(zhuān)題12角、相交線與平行線（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一直線和線段

核心考點(diǎn)二角與角平分線

核心考點(diǎn)三相交線

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四平行線的判定

核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明

核心考點(diǎn)六命題

新題速遞

核心考點(diǎn)一直線和線段

例1（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，

AB＝3a，這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間B．點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間

C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間D．無(wú)法確定

例2（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重

合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)

為_(kāi)________．

例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC和DEF，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線BC上，ABDF，

AD，BF．如圖①，易證：BCBEBF．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

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(1)如圖②，如圖③，請(qǐng)猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出猜想結(jié)論；

(2)請(qǐng)選擇（1）中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；

若，，，，則，．

(3)AB6CE2F60SABC123BC______BF______

直線由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)動(dòng)成線。直線是面的組成成分，并繼而組成體。沒(méi)有端點(diǎn)，向兩端無(wú)限延伸，

長(zhǎng)度無(wú)法度量。直線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸為所有與它垂直的直線（有無(wú)數(shù)條）。在平面上過(guò)不重合的兩點(diǎn)有且只有一

條直線，即不重合兩點(diǎn)確定一條直線。在球面上，過(guò)兩點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)條類(lèi)似直線。

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中，點(diǎn)、直線、平面屬于

基本概念，由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來(lái)界定。

線段指直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)）[1]，有別于直線、射線

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【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在下列說(shuō)法中，正確的有（）

①兩點(diǎn)確定一條直線；

②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

③垂直于同一條直線的兩條直線垂直；

④平行于同一條直線的兩條直線平行；

⑤過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式2】（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中AB3，AD4，點(diǎn)E在邊AD上，AE：ED1:3，

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到B停止，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直P(pán)E交射線BC于點(diǎn)F，如果M是線段EF的中

點(diǎn)，那么P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為（）

A．5B．5.5C．4D．4.5

【變式3】（2021·廣西柳州·統(tǒng)考一模）建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉

一條直的參照線，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是______．

【變式4】（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）定義：數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A、B以及一條線段PQ，當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在線

段PQ上時(shí)（包含點(diǎn)P、Q），就稱(chēng)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ(chēng)，若A、P、Q三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如

圖所示，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ(chēng)．則點(diǎn)B表示的數(shù)x的取值范圍是____．

【變式5】（2020·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn)．

(1)若AC9cm,CB6cm，求線段MN的長(zhǎng)；

(2)若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿(mǎn)足ACCBacm，其它條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你

的答案．

第3頁(yè)共25頁(yè).

(3)若C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿(mǎn)足ACBCbcm，M、N分別為AC,BC的中點(diǎn)，你能猜想MN的長(zhǎng)度

嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

核心考點(diǎn)二角與角平分線

例1（2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD

與AB平行，當(dāng)ABM40時(shí)，DCN的度數(shù)為（）

A．40B．50C．60D．80

例2（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1，l2，l3被直線l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，

第4頁(yè)共25頁(yè).

則∠2的度數(shù)是___________．

例3（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．

(1)求證：EBDEDB．

(2)當(dāng)ABAC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

角在幾何學(xué)中，是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的幾何對(duì)象。這兩條射線叫做角的邊，它

們的公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。一般的角會(huì)假設(shè)在歐幾里得平面上，但在歐幾里得幾何中也可以

定義角。角在幾何學(xué)和三角學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的

角平分線。

注：角平分線類(lèi)型的題目，輔助線一般都是過(guò)角平分線上的向兩邊作垂線。

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【變式1】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，已知a∥b，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若130，

則2等于（）

A．70B．60C．50D．40

【變式2】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的中

垂線，直線m為ABC的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若A60，DACP=24°，則ABP的度數(shù)是（）

A．24B．30C．32D．36

【變式3】（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知BAC60，AD是角平分線且AD20，作AD的垂直

平分線交AC于點(diǎn)F，作DEAC，則DEF的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【變式4】（2022·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB8，AC7，PB、PC分別平分B、C，DE∥BC，

則VADE的周長(zhǎng)是______．

【變式5】（2022·浙江紹興·一模）（1）問(wèn)題背景

如圖①，RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線

△

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BD于E，CE交直線BA于M．探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是________．

（2）類(lèi)比探索

在（1）中，如果把BD改為ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖②），（1）中的結(jié)論還成

立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)△程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展延伸

1

在（2）中，如果ABAC，其他條件均不變（如圖③），請(qǐng)直接寫(xiě)出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．

2

核心考點(diǎn)三相交線

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例1（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，

則∠2的度數(shù)為（）

A．26°B．36°C．44°D．54°

例2（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是AOC的平分線，且OC恰好

平分EOB，則AOD_______度．

例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點(diǎn)，且BEBC，

過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．

第8頁(yè)共25頁(yè).

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

時(shí)，稱(chēng)這兩條直線相交。

相交線會(huì)形成三線八角

【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，

則∠COE的度數(shù)是（）

A．45°B．70°C．55°D．110°

【變式2】（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，等邊ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，

以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（）

A．1B．2C．2D．221

【變式3】（2021·吉林長(zhǎng)春·校考二模）如圖，在ABC中，BAC45，ABAC4，P為AB邊上一動(dòng)

點(diǎn)，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的最小值為_(kāi)_．

【變式4】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，點(diǎn)P是對(duì)角線AC

上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．

第9頁(yè)共25頁(yè).

【變式5】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BCD130，BE平分ABC

交AD于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求ABE的大?。?/p>

(2)若ADC48，求DEF的大小．

核心考點(diǎn)四平行線的判定

例1（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，1265,335，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．AB//CDB．B30C．C2EFCD．CGFG

例2（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，

∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)___°．

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例3（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD．

（1）求證：BC//AD；

（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)之和．

平行線判定的五種方法：

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：

1.同位角相等，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。也

可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：

2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

也可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：

3.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

第11頁(yè)共25頁(yè).

4、在同一平面內(nèi)，兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

5、兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，這兩條直線互相平行；

【變式1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，直線a、b被c、d所截，下列條件中能說(shuō)明a∥b的

是（）

A．12B．24180C．3=4D．14180

【變式2】（2021·福建廈門(mén)·校考二模）如圖，已知AOB，按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點(diǎn)，以點(diǎn)

O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作PQ，交射線OB于點(diǎn)D；②連接CD，分別以點(diǎn)C、D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作

弧，交PQ于點(diǎn)M、N；③連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．COMCODB．點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于直線OA對(duì)稱(chēng)

C．若AOB20，則2OMMND．MN//CD

【變式3】（2022·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將木條a，b與c釘在一起，250，若要使木條a與b

平行，則1的度數(shù)應(yīng)為_(kāi)_____．

第12頁(yè)共25頁(yè).

【變式4】（2021·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，小紅看到工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣AB的垂線a和b，即

可得到a//b．請(qǐng)你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫(huà)圖的一個(gè)依據(jù)．真命題為：①連接直線外一點(diǎn)與

直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；②在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行（選自人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)第14頁(yè)例）；③在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅

有一條直線垂直于已知直線；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．”這個(gè)依據(jù)是

__________．（只需填序號(hào)）

【變式5】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，CE與BF交于點(diǎn)G，AFBC，

CE∥DF，E50．

(1)求證：AE∥BF；

(2)求F的度數(shù)．

核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明

第13頁(yè)共25頁(yè).

例1（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線ab，截線c，d相交成30°角，114633，則2的度數(shù)

是（）

A．6327B．6427C．6433D．6333

例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線a∥b，AOB的邊OB在直線b上，AOB55，將AOB繞點(diǎn)

△

O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75至A1OB1，邊A1O交直線a于點(diǎn)C，則1______．

例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；

(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

1

(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于CDAB，以FD為半徑

2

作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

1、兩條直線平行，同位角相等；

第14頁(yè)共25頁(yè).

2、兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

3、兩條直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；

【變式1】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，ABCD，直線l截AB，CD于E，F(xiàn)，已知1=2=，

則3（）

A．1802B．180C．90D．1803

【變式2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ABCACB，按圖進(jìn)行翻折，使

MD∥NG∥BC，ME∥FG，則NFE的度數(shù)是（）

A．2180B．1802C．90D．90

【變式3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，連接AE，BD，

且AE與BD交于點(diǎn)F，若DE:EC2:3，則S△ADF:SABCD_________．

【變式4】（2022·四川綿陽(yáng)·?？级＃┤鐖D，線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)E，BA30，EMCD

于點(diǎn)M，EN平分CED交CD于點(diǎn)N，則MEN的度數(shù)是______．

第15頁(yè)共25頁(yè).

【變式5】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知，點(diǎn)D是CAB的邊AB上一點(diǎn)．

(1)如圖甲，DEAC，垂足為E，DF平分ADE交邊AC于點(diǎn)F，F(xiàn)OAC交邊AB于點(diǎn)O，求證：ODOF；

(2)如圖乙，DEAB交邊AC于點(diǎn)E，EO平分AED交邊AB于點(diǎn)O，OFAC，垂足為點(diǎn)F，求

△OED≌△OEF；

(3)如圖丙，在線段AD上找一點(diǎn)O作O，使O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與AC相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕

跡，寫(xiě)出作法過(guò)程，不證明）

核心考點(diǎn)六命題

第16頁(yè)共25頁(yè).

例1（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下列命題中是假命題的是（）

A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等

C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

例2（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．

①所有的正方形都相似

②所有的菱形都相似

③邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形都相似

④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似

例3（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖是某劇場(chǎng)第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購(gòu)票，所購(gòu)票分

別為2，3，4，5．每人選座購(gòu)票時(shí)，只購(gòu)買(mǎi)第一排的座位相鄰的票，同時(shí)使自己所選的座位之和最?。?/p>

果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購(gòu)票，那么甲購(gòu)買(mǎi)1，2號(hào)座位的票，乙購(gòu)買(mǎi)3，5，7號(hào)座位的票，丙選

座購(gòu)票后，丁無(wú)法購(gòu)買(mǎi)到第一排座位的票．若丙第一購(gòu)票，要使其他三人都能購(gòu)買(mǎi)到第一排座位的票，寫(xiě)

出一種滿(mǎn)足條件的購(gòu)票的先后順序______．

命題（判斷）是指一個(gè)判斷句的語(yǔ)義（實(shí)際表達(dá)的概念），這個(gè)概念是可以被定義并觀察

的現(xiàn)象。命題不是指判斷句本身，而是指所表達(dá)的語(yǔ)義。當(dāng)相異的判斷句具有相同的語(yǔ)義的時(shí)

候，他們表達(dá)相同的命題。在數(shù)學(xué)中，一般把判斷某一件事情的陳述句叫做命題。

第17頁(yè)共25頁(yè).

【變式1】（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）下列命題是真命題的是（）

A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C．兩直線平行，同位角互補(bǔ)D．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線

【變式2】（2023·山東東營(yíng)·?？家荒＃┈F(xiàn)有以下命題：

①斜邊中線和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

②一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等；

③通常溫度降到0℃以下，純凈的水會(huì)結(jié)冰是隨機(jī)事件；

④一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；

⑤在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

⑥在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．

其中真命題的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式3】（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）給出下列命題：①頂角相等的兩等腰三角形相似；②底角相等的兩

等腰三角形相似；③兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；④有一角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形相似，

其中真命題有_____（填序號(hào)）．

【變式4】（2022·北京門(mén)頭溝·統(tǒng)考二模）電腦系統(tǒng)中有個(gè)“掃雷”游戲，游戲規(guī)定：一個(gè)方塊里最多有一個(gè)地

雷，方塊上面如果標(biāo)有數(shù)字，則是表示此數(shù)字周?chē)姆綁K中地雷的個(gè)數(shù)．如圖1中的“3”就是表示它周?chē)?/p>

八個(gè)方塊中有且只有3個(gè)有地雷．如圖2，這是小明玩游戲的局部，圖中有4個(gè)方塊已確定是地雷（標(biāo)旗子

處），其它區(qū)域表示還未掀開(kāi)，問(wèn)在標(biāo)有“A”~“G”的七個(gè)方塊中，能確定一定是地雷的有________（填方塊

上的字母）．

【變式5】（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）蘇科版數(shù)學(xué)七（下）教材中有這樣一段閱讀材料：

著名的反例：公元1640年，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)：

01234

2213，2215，22117，221257，22165537

而3、5、17、257、65537都是質(zhì)數(shù)，于是費(fèi)馬猜想：對(duì)于一切自然數(shù)n，221都是質(zhì)數(shù)．可是，到了1732

第18頁(yè)共25頁(yè).

5

年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：221232142949672976416700417．

5

這說(shuō)明了221是個(gè)合數(shù)，從而否定了費(fèi)馬的猜想．

這個(gè)故事告訴我們，舉反例是說(shuō)明一個(gè)數(shù)學(xué)命題不成立的常用方法．

(1)代數(shù)中的反例：

①用舉反例說(shuō)明“a2a”是個(gè)假命題時(shí)，a的取值范圍是______．

6

②請(qǐng)你舉反例說(shuō)明“反比例函數(shù)y，y隨x的增大而減小”是個(gè)假命題．

x

(2)幾何中的反例：

學(xué)習(xí)全等三角形判定時(shí)，我們知道“兩邊相等和一相等邊所對(duì)的角也相等的兩個(gè)三角形不一定全等”，即“SSA”

不全等．請(qǐng)借助已給的ABC，用三種方法在ABC圖形基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)三角形，使得構(gòu)造出的三角形滿(mǎn)足

以下三個(gè)條件：

①有兩邊分別與AC和BC相等；

②與BC相等邊所對(duì)的角等于A；

③構(gòu)造出的三角形與ABC不全等．

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖的痕跡，并寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明；

②不可借助已構(gòu)造出符合條件的三角形利用全等變換作圖．

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【新題速遞】

1．（2023秋·貴州黔東南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在OB上，若AB＝12，OC＝2CB，

則AC等于（）

A．5.5B．6.5C．7.5D．10

2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用反證法證明：“若ab0，則a2≥b2”，應(yīng)先假設(shè)（）

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)2b2

3．（2023·云南昭通·?？家荒＃┤鐖D，直線c與直線a、b都相交．若a∥b，160，則2（）

A．60B．55C．50D．45

4．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，一塊含有30角的直角三角尺的頂點(diǎn)E位

于直線CD上，EG平分CEF，則1的度數(shù)為（）

A．30B．45C．60D．80

5．（2022春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）如圖，直線EF∥MN，點(diǎn)A，B分別是EF，MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G

在MN上，ACBm，AGB和CBN的角平分線交于點(diǎn)D，若D50，則m的值為（）

A．70B．74C．76D．80

6．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分

別作PMAB于點(diǎn)M，作PNBC于點(diǎn)N，點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，若AB9，BC12，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)

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時(shí)，則BO的最小值是（）

A．3B．3.6C．3.75D．4

7．（2023秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在ABC中，ABC與ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)

點(diǎn)F的直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于的E，且

AB10，BC8，ABC50,ACB80,CBFBFD．有下列結(jié)論：①DF∥BC；②△CEF是等腰三

角形；③VADE的周長(zhǎng)18；④BFCF；⑤BFC105；⑥D(zhuǎn)EBD＋CE．其中正確的有（）

A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

8．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AC8，A30，B45，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一

動(dòng)點(diǎn)，PMBC邊與點(diǎn)M，PNAB邊與點(diǎn)N，連接MN，則MN的最小值為（）

26

A．26B．13C．23D．22

3

9．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使AOC60，

將一塊透明的三角尺直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)直線ON恰好平分銳角

AOC時(shí)，BON_____．

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10．（2022春·廣東韶關(guān)·七年級(jí)?？计谥校﹥蓷l平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．這個(gè)命題的結(jié)論

是_____．

11．（2023春·江蘇·七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，將A為30的直角三角板ABC的直角

頂點(diǎn)C放在直尺的一邊上，則12的度數(shù)為_(kāi)____________．

12．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在Rt△ABC中，C90,AC6,BC8，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)

M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN,MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是___________．

13．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，BAC90，且BA5，AC12，點(diǎn)D是斜

邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DMAB于點(diǎn)M，DNAC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值

為_(kāi)__________．

14．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形

3

ABCD中，ABC60，AB2，BC6，P為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PCPA的最小值等于______．

2

第22頁(yè)共25頁(yè).

15．（2022秋·福建福州·七年級(jí)福州黎明中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知線段AB8．

(1)延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C，使得BC3AB（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

(2)在（1）的條件下，取BC的中點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng)．

16．（2022春·江西南昌·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，ACD