專題32 幾何圖形中的最值問題（含隱圓）（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題32幾何圖形中的最值問題（含隱圓）

最值問題一阿氏圓問題

例1（2020·廣西·中考真題）如圖，在RtABC中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P

1

是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．

EF2

例2（2019·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于

A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B

（1）求拋物線解析式及B點坐標(biāo)；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當(dāng)點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

1

（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當(dāng)點P運動到某一位置時，PC+PA的

2

值最小，請求出這個最小值，并說明理由．

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模型建立：已知平面上兩點A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結(jié)論最先

由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．

模型解讀：

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r＝k·OB．連接PA、PB，

則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

1：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、OB；

2：計算連接線段OP、OB長度；

3：計算兩線段長度的比值；

4：在OB上截取一點C，使得構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC，與圓0交點為P，即AC線段長為PA＋K*PB的最小值．

本題的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小，（如圖2）在線段OB上截取OC使OC＝k·r，則可說明△BPO

與△PCO相似，即k·PB＝PC．

∴本題求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三點共線時最?。ㄈ鐖D3），

時AC線段長即所求最小值．

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【變式1】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是

1

⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．

2

【變式2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，

6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.

【變式3】（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示，ACB60，半徑為2的圓O內(nèi)切于ACB．P為

圓O上一動點，過點P作PM、PN分別垂直于ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM2PN的取值范圍

為___________．

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【變式4】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的

半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：

1

①APBP，

2

②2APBP，

1

③APBP，

3

④AP3BP的最小值．

最值問題二胡不歸問題

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，

垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為_____．

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4

例2（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx4分別與x，y軸交于

3

5

點A，B，拋物線yx2bxc恰好經(jīng)過這兩點．

18

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點C的坐標(biāo)是0,6，將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點A的對應(yīng)點是點E．

①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；

3

②若點P是y軸上的任一點，求BPEP取最小值時，點P的坐標(biāo)．

5

“PA＋k·PB”型的最值問題，當(dāng)k＝1時通常為軸對稱之最短路徑問題，而當(dāng)k＞0時，若以常規(guī)的軸對稱的

方式解決，則無法進行，因此必須轉(zhuǎn)換思路．

1.當(dāng)點P在直線上

如圖，直線BM，BN交于點B，P為BM上的動點，點A在射線BM，BN同側(cè)，已知sin∠MBN＝k．

過點A作AC⊥BN于點C，交BM于點P，此時PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的長．

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證明如圖，在BM上任取一點Q，連結(jié)AQ，作QD⊥BN于點D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得證．

2．當(dāng)點P在圓上

如圖，⊙O的半徑為r，點A，B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r＝k·OB．

在OB上取一點C，使得OC＝k·r，連結(jié)AC交⊙O于點P，此時PA＋k·PB取最小值，最小值即為AC的

長．

證明如圖，在⊙O上任取一點Q，連結(jié)AQ，BQ，連結(jié)CQ，OQ．

則OC＝k·OQ，OQ＝k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QC≥AC，即得證．

【變式1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在△ACE中，CACE，CAE30，半徑為5的O經(jīng)過

點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，則

1

ODCD的最小值為______．

2

【變式2】（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，

1

點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．

2

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【變式3】（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝2．連

1

接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為___．

2

【變式4】（2021秋·四川達州·九年級達州市第一中學(xué)校校考期中）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、

3

y軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為(23,4)，一次函數(shù)y=-x+b的圖象與邊OC、AB、x軸分別交于點D、

3

E、F，DFO30，并且滿足ODBE，點M是線段DF上的一個動點．

（1）求b的值；

（2）連接OM，若ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3，求點M的坐標(biāo)；

1

（3）求OMMF的最小值．

2

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最值問題三隱圓問題

例1（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB3，BC4．點P是線段BC上

一動點，點M為線段AP上一點．ADMBAP，則BM的最小值為（）

5123

A．B．C．13D．132

252

例2（2021·湖北十堰·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不

含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM．

（1）求證：AMBENB；

（2）①當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最小；

②當(dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)AMBMCM的最小值為31時，求正方形的邊長．

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【模型一：定弦定角的“前世今生”】

【模型二：動點到定點定長】

【模型三：直角所對的是直徑】

【模型四：四點共圓】

牢記口訣：

定點定長走圓周，定線定角跑雙弧。

直角必有外接圓，對角互補也共圓。

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【變式1】（2022秋·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學(xué)附屬初中?？计谥校鰽BC中，AB＝AC＝5，BC＝6，

D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關(guān)于DE的對稱點B在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE

長的范圍為______．

【變式2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(6，0)，B(0，6)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，

BC22，M為線段AC的中點，連接OM，當(dāng)OM取最大值時，點M的坐標(biāo)為__________________．

【變式3】（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點E、F分別是邊AB、

BC上的動點，且EF4，點G是EF的中點，AG、CG，則四邊形AGCD面積的最小值為______．

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【變式4】（2022秋·山東菏澤·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，在等腰RtABC和等腰RtBDE中，

BACBDE90，ABAC，BDDE，E為BC的中點，F(xiàn)為CE的中點，連接AF，DF，AD．

(1)若AB4，求AD的長度；

(2)若將△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請證明AFDF，AFDF；

(3)如圖③，在△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，再將△ACF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60到ACF，連接BF，若

AB4，請直接寫出BF的最大值．

最值問題四將軍飲馬問題

例1（2020·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC

的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）

A．6B．22C．23D．32

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例2（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，

BC1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（）

11

A．21B．2C．221D．22

22

例3（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上

的一動點，則DN＋MN的最小值是______．

模型1：當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使PA＋PB最小．

連接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB.

模型2：當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。?/p>

作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB'

模型3：當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PAPB最大．

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連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點，PAPB的最大值為AB

模型4：當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PAPB最大．

作點B關(guān)于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．PAPB的最大

值為AB'

模型5：當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PAPB最?。?/p>

連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P，點P即為所求作的點．PAPB的最小值為0

模型6：點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最小．

分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．△PCD

周長的最小值為P′P″

模型7：點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。?/p>

作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C

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【變式1】（2022秋·黑龍江佳木斯·九年級撫遠市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，拋物線yx24x3與x軸分

別交于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，在其對稱軸上有一動點M，連接MA,MC,AC，

則△MAC周長的最小值是______．

【變式2】（2022秋·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，直線yx4與x軸，y軸分別交于A和B，點C、

D分別為線段AB、OB的中點，P為OA上一動點，當(dāng)PCPD的值最小時，點P的坐標(biāo)為___________．

【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點P是AOB內(nèi)任意一點，OP3cm，點M和點N分

別是射線OA和射線OB上的動點，AOB30，則PMN周長的最小值是______．

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【變式4】（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線yx2bxc與x軸交于A1，0，B3，0

兩點．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時，y0？

(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。?/p>

若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

最值問題五費馬點問題

例1（2019·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題背景：如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ADE，DE

與BC交于點P，可推出結(jié)論：PAPCPE

問題解決：如圖，在MNG中，MN6，M75，MG42．點O是MNG內(nèi)一點，則點O到MNG

三個頂點的距離和的最小值是___________

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模型解讀：

△APC≌△AQE，且△APQ為等邊三角形，

∴PC=QE，AP=PQ

∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

當(dāng)B、P、Q、E共線時，AP+BP+CP和最小

【變式1】（2021秋·四川成都·九年級成都實外?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，CAB90，ABAC1，

P是ABC內(nèi)一點，求PAPBPC的最小值為______．

【變式2】（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，

作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．

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【變式3】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，

點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為______．

【變式4】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求

PA2PB5PC的最小值．

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，E為正方形ABCD邊AD上一點，

AE1，DE3，P為對角線BD上一個動點，則PAPE的最小值為（）

A．5B．42C．210D．10

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2．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yx2bx3的圖像與x軸交

于A、C兩點，與x軸交于點C(3,0)，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為(0,1)，連接PD，則2PDPC

的最小值是（）

32

A．4B．222C．22D．2

23

3．（2022·河南·校聯(lián)考三模）如圖1，正方形ABCD中，點E是BC的中點，點P是對角線AC上的一個動點，

設(shè)APx，PBPEy，當(dāng)點P從A向點C運動時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點M是函數(shù)圖象

的最低點，則點M的坐標(biāo)是（）

A．42，35B．22,35C．35,22D．35,42

4．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，O的半徑是6，P是O上一動點，A是O內(nèi)部一點，

且AO3，則下列說法正確的是（）

①PA的最小值為6-3；②PA的最大值為63；③當(dāng)OAP90時，△PAO是等腰直角三角形；

3

④△PAO面積最大為．

2

A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④

第18頁共28頁.

5．（2022春·九年級單元測試）如圖，在RtABC和RtVADE中，BACDAE90，ACAD3，

AB=AE=5．連接BD，CE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)DBA最大時，△ACE的面積為

（）．

A．6B．62C．9D．92

3

6．（2022·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx3分別與x

4

軸、y軸相交于點A、B，點E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動點，且DEAF，過原點O作

OHEF，垂足為H，連接HA、HB，則HAB面積的最大值為（）

1352

A．652B．12C．632D．

2

7．（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿

足DE=CF，DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則

BH的最小值為（）△

A．252B．25+2C．102D．10+2

8．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，ABBC，AB8，BC6，P是ABC內(nèi)部的一個

動點，滿足PABPBC，則線段CP長的最小值為（）

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32

A．B．2C．2136D．2134

5

9．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在O中，點A、點B在O上，AOB90，OA6，點C在

OA上，且OC2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM2DM的最小值為

___________．

10．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一

1

動點，OP2，連接AP、BP，則BPAP的最小值是___________．

2

11．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中A60，AB6，AD2，P為邊CD上一點，

則3PD2PB的最小值為______．

12．（2022秋·九年級課時練習(xí)）在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、

A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為2:1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)

準(zhǔn)矩形”ABCD中，如圖所示，點Q在DC上，且DQAD，若G為BC邊上一動點，當(dāng)△AGQ的周長最小

第20頁共28頁.

CG

時，則的值為______．

GB

13．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD

＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．

14．（2022春·山東棗莊·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊

的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當(dāng)PB＋PM的值最小時，PM的長是________．

15．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE

＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點D是線段AC上

1

任意一點（不含端點），則ODCD的最小值為_____．

2

第21頁共28頁.

16．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知ABC，外心為O，BC18，BAC60，分別以AB，AC

為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE，CD交于點P，則OP的最小值是______．

17．（2022秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中

A-1，1，B4，3，C4，-1處各有一顆棋子．

(1)如圖1，依次連接A，B，C，A，得到一個等腰三角形（BC為底邊），請在圖中畫出該圖形的對稱軸．

(2)如圖2，現(xiàn)x軸上有兩顆棋子P，Q，且PQ1（P在Q的左邊），依次連接A，P，Q，B，使得AP＋PQ＋QB

的長度最短，請在圖2中標(biāo)出棋子P，Q的位置，并寫出P，Q的坐標(biāo)．

第22頁共28頁.

18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）拋物線yax2bx3分別交x軸于點

A(1,0)，B3,0，交y軸于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點D，點M為線段OC上的動點，點N為

線段AC上的動點，且MNAC．

(1)求拋物線的表達式；

(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

1

(3)在M，N移動的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請寫出理由．

2

19．（2022秋·遼寧營口·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，ABC與△AEF都是等邊三角形，邊長分別為4和3，

連接FC,AD為ABC高，連接CE，N為CE的中點．

(1)求證：ACFABE；

(2)將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在AD上時，如圖2，EF與AC交于點G，連接NG，求線段NG的長；

(3)連接BN，在△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，求BN的最大值．

第23頁共28頁.

20．（2022春·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第111頁的部分內(nèi)

容．

(1)問題解決：請結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程．

(2)問題探究：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．過點D作DE//AC

交BC的延長線于點E．如圖②，連結(jié)OE，則OE的長為____．

(3)如圖③，若點P是對角線BD上的一個動點，連結(jié)PC、PE，則PC＋PE的最小值為_____．

第24頁共28頁.

21．（2022春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰赗tABC中，AB＝BC，在RtCEH中，∠CEH

＝45°，∠ECH＝90°，連接AE．△△

(1)如圖1，若點E在CB延長線上，連接AH，且AH＝6，求AE的長；

1

(2)如圖2，若點E在AC上，F(xiàn)為AE的中點，連接BF、BH，當(dāng)BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°時，求

2

證：AE＝CE；

(3)如圖3，若點E在線段AC上運動，取AE的中點F，作FH'∥BC交AB于H，連接BE并延長到D，使

得BE＝DE，連接AD、CD；在線段BC上取一點G，使得CG＝AF，并連接EG；若點E在線