專題34 規(guī)律探究性問題（解析版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題34規(guī)律探究題專訓(xùn)

規(guī)律探索類問題的特征是給出若干個按照一定順序排列的具有某種特定變化規(guī)律的數(shù)、式或圖形，

要求解題者通過觀察、分析、歸納和猜想等一系列活動找出蘊藏于其間的一般性規(guī)律。這類較為新穎

的探索型問題不僅可以鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，而且還具有較強的綜合

性和較高的區(qū)分度，因此成為近年各地中考數(shù)學(xué)中的一個考查熱點。

1317911

例1（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，-，，，，，…．則

252172637

按此規(guī)律排列的第10個數(shù)是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

【答案】A

5

【分析】把第3個數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是n21，且奇數(shù)項是正，偶數(shù)項

10

是負，據(jù)此即可求解．

1357911

【詳解】原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：,,,,,,，

2510172637

111211

∴1，

2121

321221

1，

5221

531231

1，

10321

..．

n12n1

∴第n個數(shù)為：1，

n21

101210119

∴第10個數(shù)為：1．

1021101

故選：A．

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．

例2（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，

第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)

是（）

第1頁共51頁.

A．297B．301C．303D．400

【答案】B

【分析】首先根據(jù)前幾個圖形圓點的個數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數(shù)．

【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個圓點，即4＋3×0，

第2幅圖7個圓點，即4+3=4+3×1；

第3幅圖10個圓點，即4＋3＋3=4＋3×2；

第4幅圖13個圓點，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；

第n幅圖中，圓點的個數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，

……，

第100幅圖，圓中點的個數(shù)為：3×100+1=301．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．

例3（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）將全體正偶數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個數(shù)是（）

A．98B．100C．102D．104

【答案】B

【分析】觀察數(shù)字的變化，第n行有n個偶數(shù)，求出第n行第一個數(shù)，故可求解．

【詳解】觀察數(shù)字的變化可知：

第n行有n個偶數(shù)，

因為第1行的第1個數(shù)是：2102；

第2頁共51頁.

第2行的第1個數(shù)是：4212；

第3行的第1個數(shù)是：8322；

…

所以第n行的第1個數(shù)是：nn12，

所以第10行第1個數(shù)是：109+292，

所以第10行第5個數(shù)是：9224100．

故選：B．

【點睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，推導(dǎo)出一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第

②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)

為（）

A．15B．13C．11D．9

【答案】C

【分析】根據(jù)第①個圖案中菱形的個數(shù)：1；第②個圖案中菱形的個數(shù)：123；第③個圖案中菱形的個

數(shù)：1225；…第n個圖案中菱形的個數(shù)：12n1，算出第⑥個圖案中菱形個數(shù)即可．

【詳解】解：∵第①個圖案中菱形的個數(shù)：1；

第②個圖案中菱形的個數(shù)：123；

第③個圖案中菱形的個數(shù)：1225；

…

第n個圖案中菱形的個數(shù)：12n1，

∴則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為：126111，故C正確．

故選：C．

【點睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案個數(shù)的變化規(guī)律．

例5（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，

第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下

第3頁共51頁.

去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（）

A．32B．34C．37D．41

【答案】C

【分析】第1個圖中有5個正方形，第2個圖中有9個正方形，第3個圖中有13個正方形，……，由此可

得：每增加1個圖形，就會增加4個正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個圖形的算式，然后再解答即可．

【詳解】解：第1個圖中有5個正方形；

第2個圖中有9個正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；

第3個圖中有13個正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；

第4個圖中有17個正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；

．．．

第n個圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+1；

當(dāng)n=9時，代入4n+1得：4×9+1=37．

故選：C．

【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是

解決問題的關(guān)鍵．

例6（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根據(jù)其中的規(guī)律可得7071L72022的結(jié)果的個位數(shù)字是（）

A．0B．1C．7D．8

【答案】C

【分析】觀察等式，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：1，7，9，3，1，7，9，3每4個數(shù)一組進行循環(huán)，所以202345053，

進而可得707172022的結(jié)果的個位數(shù)字．

【詳解】解：觀察下列等式：

701，717，7249，73343，742401，7516807，，

發(fā)現(xiàn)尾數(shù)分別為：

1，7，9，3，1，7，，

所以和的個位數(shù)字依次以1，8，7，0循環(huán)出現(xiàn)，

第4頁共51頁.

(20221)45053，

每4個數(shù)一組進行循環(huán)，

所以202345053，

而179320，

5052017910117，

所以707172022的結(jié)果的個位數(shù)字是7．

故選：C．

【點睛】本題考查了尾數(shù)特征、有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意尋找規(guī)律．

例7（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n個單項式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的單項式可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)是從1開始的正整數(shù)的平方，字母的指數(shù)從1開始依次加1，

然后即可寫出第n個單項式，本題得以解決．

【詳解】解：∵一列單項式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，...，

∴第n個單項式為n2an1，

故選：A．

【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、單項式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項式的變化特點，求出相

應(yīng)的單項式．

14710

例8（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律

251017

排列，則第30個數(shù)是_____．

88

【答案】

901

3n2

【分析】由所給的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個數(shù)是，當(dāng)n＝30時即可求解．

n21

14710

【詳解】解：∵，，，…，

251017

3n2

∴第n個數(shù)是，

n21

3n2330288

當(dāng)n＝30時，==，

n213021901

88

故答案為：．

901

第5頁共51頁.

【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

12

例9（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個數(shù)

27

112

記為an，且滿足．則a4________，a2022________．

anan2an1

11

【答案】

53032

2

【分析】由題意推導(dǎo)可得an=，即可求解．

3(n1)1

2122

【詳解】解：由題意可得：a1=2=，a2=，a3=，

1247

112

∵，

a2a4a3

1

∴2+=7，

a4

12

∴a4=，

510

112

∵，

a3a5a4

2

∴a5=，

13

12L

同理可求a6=，

816

2

∴an=，

3(n1)1

21

∴a2022=，

60643032

11

故答案為：，．

53032

【點睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）

(2)請運用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．

111

【答案】(1)

nn1n(n1)

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個

式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分數(shù)的分母為3，4，5，…，另一個分數(shù)的分母為前面兩個分母的乘

第6頁共51頁.

111

積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．

nn1n(n1)

111

（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．

nn1n(n1)

11111

【詳解】（1）解：∵第一個式子，

23621221

11111

第二個式子，

341231331

11111

第三個式子，

452041441

……

111

∴第（n+1）個式子；

nn1n(n1)

11n1n11

（2）解：∵右邊==左邊，

n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n

111

∴．

nn1n(n1)

【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的

變化規(guī)律．

例11（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：

222

第1個等式：21122122，

222

第2個等式：22134134，

222

第3個等式：23146146，

222

第4個等式：24158158，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：________；

(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．

222

【答案】(1)2516101610

222

(2)2n1(n1)2n1(n1)2n，證明見解析

【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

222

（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，利用完全

第7頁共51頁.

平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．

【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：

222

2516101610，

222

故答案為：2516101610；

222

（2）解：第n個等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，

證明如下：

2

等式左邊：2n14n24n1，

22

等式右邊：(n1)2n1(n1)2n

(n1)2n1(n1)2n(n1)2n1(n1)2n

(n1)4n11

4n24n1，

222

故等式2n1(n1)2n1(n1)2n成立．

【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)

鍵．

例12（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）問題提出：

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．

（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1.按照（最長邊長，最

短邊長，第三邊長）的形式記為1,1,1，有1個，所以總共有111個整數(shù)邊三角形．

表①

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

111,1,111個111

（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)

第8頁共51頁.

最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為2,1,2，有1個；當(dāng)最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記

為2,2,2，有1個，所以總共有11122個整數(shù)邊三角形．

表②

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

12,1,21

22個112

22,2,21

（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：

表③

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

13,1,31

個

323,2,2，3,2,322222

33,3,31

（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：

表④

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43個223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

第9頁共51頁.

（5）請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空：

表⑤

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

問題解決：

（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有___________個．

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形

個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數(shù)邊三角形的個數(shù)．

（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有__________個．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有___________個．

(n1)2

【答案】問題探究：見解析；問題解決：（1）12；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為；當(dāng)n

4

n(n2)

為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為；（3）4160；拓展延伸：295

4

【分析】問題探究：

根據(jù)（1）（2）（3）（4）的具體推算，總結(jié)出相同的規(guī)律，按規(guī)律填好表格即可；

問題解決：

（1）由最長邊長分別為1，2，3，4，5總結(jié)出能反應(yīng)規(guī)律的算式，再根據(jù)規(guī)律直接寫出最長邊長為6時的

三角形的個數(shù)；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，再從具體到一般進行推導(dǎo)即可；

第10頁共51頁.

n(n2)

（3）當(dāng)最長邊長n128時，n為偶數(shù)，再代入進行計算，即可得到答案；

4

拓展延伸：

(n1)2100

分兩種情況討論：當(dāng)9是底邊的棱長時，由最長邊長為9的三角形個數(shù)有：25個，當(dāng)9是側(cè)

44

棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：1246912162070

個，從而可得答案.

【詳解】解：問題探究：

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

535,3,3，5,3,4，5,3,533個333

問題解決：

（1）最長邊長為1的三角形有：11個，

最長邊長為2的三角形有：12個，

最長邊長為3的三角形有：22個，

最長邊長為4的三角形有：23個，

最長邊長為5的三角形有：33個，

所以最長邊長為6的三角形有：3412個，

故答案為：12

（2）由（1）得：

2

211

最長邊長為1的三角形有：111個，

2

2

231

最長邊長為3的三角形有：222個，

2

2

251

最長邊長為5的三角形有：333個，

2

2

所以當(dāng)n為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為(n1)；

4

222

最長邊長為2的三角形有：12個，

22

第11頁共51頁.

442

最長邊長為4的三角形有：23個，

22

662

最長邊長為6的三角形有：34個，

22

n(n2)

所以當(dāng)n為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為.

4

（3）當(dāng)最長邊長n128時，n為偶數(shù)，

n(n2)1281282

可得此時的三角形個數(shù)為：641304160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當(dāng)9是底邊的棱長時，

(n1)2100

最長邊長為9的三角形個數(shù)有：25個，

44

而直三棱柱的高分別為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，

所以這樣的直三棱柱共有：259225個，

當(dāng)9是側(cè)棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，

底邊三角形共有：1246912162070個，

所以這樣的直三棱柱共有：70個，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有22570295個.

故答案為：295.

【點睛】本題考查的是學(xué)生的閱讀理解能力，探究規(guī)律的方法，并運用規(guī)律解決問題，同時考查了立體圖

形的含義，三角形的三邊關(guān)系，弄懂題意，掌握探究方法，運用規(guī)律的能力都是解題的關(guān)鍵.

一、遞進式變化規(guī)律

遞進變化類的規(guī)律題通常給出若干個按照某種特定的遞進變化規(guī)律(遞增或遞減)排列的

數(shù)、式或圖形等內(nèi)容，要求從這些已知量的觀察分析中找出變化的一般規(guī)律。學(xué)生很容易看出

題目呈現(xiàn)的是一列遞進變化的量，但較難歸納出一個統(tǒng)一的表達式來表示變化的一般規(guī)律，而

變化的一般規(guī)律常常與已知量的排列序號有關(guān)聯(lián)。因此在解決此類問題時，首先要按照題目中

的排列順序給已知量編上序號；然后找出已知量中變化和不變的部分，分析序號和變化部分之

第12頁共51頁.

間的數(shù)量關(guān)系，猜想和歸納出第n個量的含有n的表達式，得出一般規(guī)律；最后將序號代回表

達式算出結(jié)果，比較所得結(jié)果與對應(yīng)數(shù)值是否一致，驗證猜想的正確性，得出最終結(jié)果。

1、數(shù)與式的遞進變化規(guī)律

這類規(guī)律題通常呈現(xiàn)出一列按照某種特定的遞進變化規(guī)律排列的數(shù)字、等式或代數(shù)式等，

要求變化的一般規(guī)律。解決這類題目的關(guān)鍵在于根據(jù)前若干項已知量(若沒直接給出則需根據(jù)

題目的信息求出來)的變化部分找出與它們對應(yīng)的排列序號之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的

一般規(guī)律。

2、圖形變化中的數(shù)量遞進變化規(guī)律

與圖形有關(guān)的遞進變化規(guī)律題歸根結(jié)底考查的也是圖形在變化過程中圖案的個數(shù)、圖形的

周長或面積、線段的長度等這些量的變化規(guī)律。解決這類問題要仔細觀察并找出圖形變化與不

變的部分，研究變化部分的圖形變化和數(shù)量變化的規(guī)律，找出不變部分的固定數(shù)量，分析變化

部分的數(shù)量與對應(yīng)的圖形排列序號之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的一般規(guī)律。

3、圖表中的數(shù)字遞進變化規(guī)律

這類題目的規(guī)律蘊藏在圖表中的數(shù)字變化中，解題的關(guān)鍵在于尋找圖表中每行、每列中的

數(shù)字之間關(guān)系和排列順序，以及行與行之間、列與列之間的聯(lián)系，此外還應(yīng)觀察圖表中的數(shù)與

它所處的列數(shù)和行數(shù)間的數(shù)量變化規(guī)律。

【變式1】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測）下列中國結(jié)圖形都是邊長為“1”的正方形按照一定規(guī)

律組成，第①個圖形中共有7個邊長為“1”的正方形，第②個圖形中共有12個邊長為“1”的正方形，第③個

圖形中共有17個邊長為“1”的正方形，，依此規(guī)律，第⑥個圖形中邊長為“1”的正方形的個數(shù)是（）

A．25B．27C．30D．32

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形規(guī)律，發(fā)現(xiàn)后一個圖形比前一個多5個，歸納出通用公式代入求值即可．

第13頁共51頁.

【詳解】解：第①個圖形邊長為1的小正方形有7個，

第②個圖形邊長為1的小正方形有7512個，

第③個圖形邊長為1的小正方形有75217個，

第n個圖形邊長為1的小正方形有75n15n2個，

所以第⑥個圖形中邊長為1的小正方形的個數(shù)為56232個．

故選：D．

【點睛】本題考查了觀察了數(shù)字規(guī)律探索；根據(jù)相鄰數(shù)字找到規(guī)律，推出規(guī)律公式是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┌押谏珗A點按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4

個黑色圓點，第②個圖案中有6個黑色圓點，第③個圖案中有8個黑色圓點，…，按此規(guī)律排列下去，則

第⑦個圖案中黑色圓點的個數(shù)為（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)每一個圖形比前一個圖形多2個黑色圓點，利用此規(guī)律求解即可．

【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色三角形，

第②個圖案中有4+2×1=6個黑色三角形，

第③個圖案中有4+2×2=8個黑色三角形，

…，

按此規(guī)律排列下去，則第n個圖案中黑色三角形的個數(shù)為4+2×(n-1)=2n+2，

∴第⑦個圖案中黑色三角形的個數(shù)為2×7+2=16，

故選：C．

【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律：第n個圖案中黑色三角形

的個數(shù)為2n+2．

【變式3】（2022·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正

方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第_________個圖案中有2021個涂有陰影的小正方形．

第14頁共51頁.

【答案】505

【分析】根據(jù)第一個圖案有5405個小正方形有陰影，第二個圖案有5419個小正方形有陰影，第

三個圖案有54213個小正方形有陰影，則第n個圖案有54(n1)個小正方形有陰影，據(jù)此規(guī)律進行解

答即可．

【詳解】解：∵第一個圖案有5405個小正方形有陰影，

第二個圖案有5419個小正方形有陰影，

第三個圖案有54213個小正方形有陰影，

．．．

第n個圖案有54(n1)個小正方形有陰影，

根據(jù)題意得：54(n1)2021，

解得：n505，

∴第505個圖案中有2021個涂有陰影的小正方形，

故答案為：505．

【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，讀懂題意，根據(jù)圖形得出相應(yīng)的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)的許多成就都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是

2

一例，例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)aba22abb2展開式中的系數(shù)；第四

3

行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著aba33a2b3ab3b3展開式中的系數(shù)；請根據(jù)規(guī)律直接

4

寫出a6的展開式______．

【答案】a424a3216a2864a1296

【分析】先根據(jù)圖形得出第五行的四個數(shù)是1，4，6，4，1，再求出答案即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得:第五行的四個數(shù)是1，4，6，4，1，

第15頁共51頁.

4

即a6展開式中的系數(shù)依次為1，4，6，4，1，

4

a6

a44a366a2624a6364

a424a3216a2864a1296，

故答案為：a424a3216a2864a1296．

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，能根據(jù)已知圖形得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考二模）浙江從3月6日至3月20日新增新冠確診人數(shù)和無癥狀人數(shù)情況

如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出如下的折線統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖表分析：

日期67891011121314151617181920

確診1616182454154328383223303

無癥狀34883334311371712822242617

(1)在統(tǒng)計的這段時期內(nèi)，新增確診和無癥狀感染者總?cè)藬?shù)在60人以上的天數(shù)有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少個確診的新冠病人？

(3)請比較分析這段時間確診人數(shù)與無癥狀感染人數(shù)的整體水平與變化規(guī)律，并對下階段防疫工作提出一條

合理化的建議．

【答案】(1)2

(2)21

(3)見解析

【分析】（1）從表格獲取數(shù)據(jù)，將新增確診與無癥狀感染者的人數(shù)相加，進行判斷；

（2）求確診人數(shù)的平均數(shù)即可；

（3）根據(jù)表格與折線統(tǒng)計圖分析數(shù)據(jù)變化規(guī)律，結(jié)合實際情況提出建議即可．

第16頁共51頁.

（1）

解：分析表格數(shù)據(jù)可知，新增確診和無癥狀感染者總?cè)藬?shù)在60人以上的天數(shù)有2天，分別是：3月11日，3

月12日；

（2）

1616182454154328383223303

解：21（人）．

15

答：3月6日至3月20日平均每天有21個確診的新冠病人．

（3）

解：由折線統(tǒng)計圖可得，這段時間確診人數(shù)整體在1~54范圍內(nèi)波動，總體變化大致是先增加，后減少；而

無癥狀感染者人數(shù)每天在3~43范圍內(nèi)波動，總體呈反復(fù)增減變化情況，根據(jù)疫情實際情況，建議大家做好

防范，出門一定要戴好口罩，盡量不大量聚集．

【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，求平均數(shù)，從表格和折線統(tǒng)計圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．

例1（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，

再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對角線是邊長的2，第1個正方形的邊長為1，其對角線長為2；

223

第2個正方形的邊長為2，其對角線長為2；第3個正方形的邊長為2，其對角線長為2；???；

n15

第n個正方形的邊長為2．所以，第6個正方形的邊長2．

【詳解】解：由題知，第1個正方形的邊長AB1，

根據(jù)勾股定理得，第2個正方形的邊長AC2，

2

根據(jù)勾股定理得，第3個正方形的邊長CF2，

第17頁共51頁.

3

根據(jù)勾股定理得，第4個正方形的邊長GF2，

4

根據(jù)勾股定理得，第5個正方形的邊長GN2，

5

根據(jù)勾股定理得，第6個正方形的邊長2．

故選：C．

【點睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理找到正方形邊長之間的2倍關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

△

例2（2020·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊

作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的

長度為（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．

【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2＝2；

∵△OA2A3為等腰直角三角形，

2

∴OA3＝2＝(2)；

∵△OA3A4為等腰直角三角形，

3

∴OA4＝22＝(2)．

∵△OA4A5為等腰直角三角形，

4

∴OA5＝4＝(2)，

……

n﹣1

∴OAn的長度為（2），

故選：B．

第18頁共51頁.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．

例3（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此規(guī)律，過點A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線

△

y3x交于點B1，B2，B3，B4……記OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面積分別為S1，S2，S3，

S4……，則S2022______．

【答案】240413

3∥∥∥∥

【分析】先求出A1B13，可得S，再根據(jù)題意可得A1B1A2B2A3B3AnBn，從而得

OA1B12

△△

到OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得

222

S∶S∶S∶S∶∶S223n，即可求解．

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::2

【詳解】解：當(dāng)x=1時，y3，

∴點B11,3，

∴A1B13，

13

∴S13，

OA1B122

∵根據(jù)題意得：A1B1∥A2B2∥A3B3∥∥AnBn，

第19頁共51頁.

△△

∴OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，

∴S∶S∶S∶S：∶S2∶2∶2∶∶2，

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=OA1OA2OA3……OAn

∵OA11，OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3，……，

∴，2，3，，n1，

OA22OA342OA482……OAn2

222

∴S∶S∶S∶S∶∶S223n12462n2

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::21:2:2:2::2

，

∴S22n2S，

OAnBnOA1B1

3

∴S2220222240413．

20222

故答案為：240413．

【點睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是

解題的關(guān)鍵．

例44．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1與射線OM交于

V

點B2，得C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2與射線OM交于點B3，得C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側(cè)

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3與射線OM交于點B4，得C3B3B4；…，按此規(guī)律進行下去，則

△

C2022B2022B2023的面積___________．

4042

34

【答案】

63

第20頁共51頁.

【分析】過點B1作B1DOA1于點D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得B1D1//OA1,B2D2//OA1,B3D3//OA1，則有

3

tanOtanBBDtanBBDtanBBD，進而可得出規(guī)律進行求解．

2113224335

【詳解】解：過點B1作B1DOA1于點D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

如圖所示：

∴B1DOB1DA1B2HD1B3GD2B4ED390，

∵B1A1O60，

∴DB1A130，

∵B1A11，OA13，

115

∴DABA，OD，

121122

3

∴BDAB2AD2，

11112

BD3

∴tanO1，

OD5

∵菱形A1B1C1D1，且B1A1D160，

∴A1B1D1是等邊三角形，

∴A1B1D160，B1D1A1B11，

∵A1B1D1OA1B160，

∴OA1//B1D1，

∴OB2B1D1，

第21頁共51頁.

3

∴tanBBDtanO，

2115

設(shè)B2D1x，

∵B2D1H60，

13

∴HDBDcos60x,BHBDsin60x，

12122212

B2H5

∴B1Hx，

tanB2B1H2

511

∴xx1，解得：x，

223

1

∴BD，

213

4

∴AB，

223

416

同理可得：BD，BD，

3294327

1664

∴AB,AB，

3394427

n1n1

由上可得：4，14，

AnBnBn1Dn

333

20212202120