（新教材輔導(dǎo)）2023年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布質(zhì)量評(píng)估新人教A版選擇性

第七章質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,則{ξ=3}表示()A.甲贏三局B.甲贏一局C.甲、乙平局三次 D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次解析:甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,故ξ=3有兩種情況,即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.答案:D2.由“0”“1”“2”組成的三位數(shù)碼組(每位數(shù)字可以重復(fù))中,若用事件A表示“第二位數(shù)字為0”,用事件B表示“第一位數(shù)字為0”,則P(A|B)=()A.12B.13C.1解析:P(A|B)=n(AB)n(答案:B3.若隨機(jī)變量Y~B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,則()A.Y~B(4,0.9)B.Y~B(9,0.4)C.Y~B(18,0.2)D.Y~B(36,0.1)解析:因?yàn)殡S機(jī)變量Y~B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,所以np②除以①,得1p=0.6,即p=0.4,代入①,解得n=9,所以Y~B(9,0.4).答案:B4.某同學(xué)進(jìn)行3分投籃訓(xùn)練,如果該同學(xué)投中的概率為12,他連續(xù)投籃n次至少得到3分的概率大于0.9,那么n的最小值是(解析:由題意可知,該同學(xué)連投n次,一次都不中的概率為(1-12n,故n次投籃至少得到3分即至少中一次的概率為112n>0.9(n∈N*),得12n<答案:B5.某面粉供應(yīng)商所供應(yīng)的某種袋裝面粉質(zhì)量Z(單位:kg)服從正態(tài)分布N(10,0.12).現(xiàn)抽取500袋樣本,X表示抽取的面粉質(zhì)量在10≤Z≤10.2的袋數(shù),則X的均值約為()附:若Z~N(μ,σ2),則P(μσ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545.解析:由題意,得Z~N(10,0.12),所以P(10≤Z≤10.2)=12P(9.8≤Z≤10.2)=12P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.由題意得X~B(500,0.47725),所以E(X)=500×0.47725=238.625≈239. 答案:B6.已知隨機(jī)變量X的分布列如表,且E(X)=2,則D(2X3)=()X02aP1p1解析:因?yàn)閜=11613=所以E(X)=0×16+2×12+a×13=2,所以所以D(X)=(02)2×16+(22)2×12+(32)2×所以D(2X3)=22·D(X)=4.答案:C7.已知甲、乙兩人通過某考試的概率分別為0.5,0.8,兩人考試時(shí)互不影響,記X表示兩人中通過該考試的人數(shù),則X的方差為()A.0.41B.0.42C.0.45D.0.46解析:兩人中通過該考試人數(shù)X的分布列為X012P0.10.50.4所以E(X)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,所以D(X)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.169+0.045+0.196=0.41.答案:A8.先后投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(骰子的六個(gè)面分別有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))兩次落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù),且x≠y”,則概率P(B|A)=()A.13B.12C.1解析:因?yàn)槭录嗀為“x+y為偶數(shù)”,所以事件A發(fā)生時(shí),x,y同為奇數(shù)或同為偶數(shù),共包含18個(gè)樣本點(diǎn).事件A,B同時(shí)發(fā)生,則x,y都為偶數(shù),且x≠y,則包含A32=6個(gè)樣本點(diǎn).所以P(B|A)=n(AB)答案:A二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(90,52),則下列結(jié)論正確的是()A.E(X)=90B.D(X)=5C.P(X>100)=P(X<80)D.P(X>100)>P(X<100)解析:由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(90,52),得μ=90,σ2=52,即E(X)=90,D(X)=52=25,故A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯(cuò)誤;由正態(tài)曲線的對(duì)稱性,得P(X>100)=P(X<80),P(X>100)<P(X<100),故C項(xiàng)正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.答案:AC10.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)論正確的有()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2解析:由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì),得q=10.40.10.20.2=0.1,所以E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(02)2×0.1+(12)2×0.4+(22)2×0.1+(32)2×0.2+(42)2×0.2=1.8.因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.故選ACD.答案:ACD11.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=13,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=4解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,P(X=0)=13,所以P(X=1)=2所以E(X)=0×13+1×23=23,D(X)=0-232×1因?yàn)镻(X=1)=E(X),所以A項(xiàng)正確;因?yàn)镋(3X+2)=3E(X)+2=3×23因?yàn)镈(3X+2)=9D(X)=9×29因?yàn)镈(X)=29,所以D項(xiàng)錯(cuò)誤故選AB.答案:AB12.已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間X服從正態(tài)分布X~N(9,4),則 ()(附:X~N(μ,σ2),P(μσ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)A.該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9hB.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4C.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過3h的人數(shù)占0.3%D.若該校有10000名學(xué)生,則每周閱讀時(shí)間在3~5h的人數(shù)約為214解析:因?yàn)镋(X)=9,D(X)=4,所以平均數(shù)是9,標(biāo)準(zhǔn)差為2,A正確,B不正確;因?yàn)镻(7<X<11)=0.6827,P(5<X<13)=0.9545,P(3<X<15)=0.9973,結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得,該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過3h的人數(shù)占1-P(3<X每周閱讀時(shí)間在3~5h的人數(shù)占P(3<X0.0214×10000=214,所以D正確.故選AD.答案:AD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.某智力游戲玩一次所得的積分是一個(gè)隨機(jī)變量X,其分布列如表,若均值E(X)=2,則ab=118X036P1ab解析:根據(jù)題意可得,a+b=12,314.某詩(shī)詞節(jié)目以“賞中華詩(shī)詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨,每一期的比賽包含“個(gè)人追逐賽”“攻擂資格爭(zhēng)奪賽”和“擂主爭(zhēng)霸賽”環(huán)節(jié),其中“擂主爭(zhēng)霸賽”由“攻擂資格爭(zhēng)奪賽”獲勝者與上一場(chǎng)擂主進(jìn)行比拼.“擂主爭(zhēng)霸賽”共有九道搶答題,搶到并答對(duì)者得一分,答錯(cuò)則對(duì)方得一分,率先獲得五分者即為該場(chǎng)擂主.在某一期節(jié)目中,若進(jìn)行“擂主爭(zhēng)霸賽”的甲、乙兩位選手每道搶答題得到一分的概率都為0.5,則搶答完七道題后甲成為擂主的概率為15128解析:搶答完七道題后甲成為擂主,則第七道題甲得1分,前六道題甲得4分,乙得2分,甲最后以5∶2獲勝,概率為P=C64×0.54×0.52×0.5=15.近年來,新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車市場(chǎng)上影響力不斷增大,動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù),它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車,車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充放電,則他的車能夠充放電2500次的概率為717解析:設(shè)事件A為“車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次”,事件B為“車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次”,則P(A)=85%,P(AB)=35%,所以若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充放電,則他的車能夠充放電2500次的概率為P(B|A)=P(AB)P(16.(2021·新高考浙江卷)袋中有4個(gè)紅球、m個(gè)黃球、n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球,記取出的紅球個(gè)數(shù)為ζ.若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則mn=1,E(ζ)=解析:P(ζ=2)=C42Cm+n+4所以m+n+4=9.P(一紅一黃)=C41×Cm1Cm+所以n=2,所以mn=1.又P(ζ=2)=16,P(ζ=1)=C41×C51C92=4×536所以E(ζ)=16×2+59×1+518×0=13+四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的.其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計(jì)算該產(chǎn)品的正品率.解:設(shè)A,B,C分別表示抽的產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,D表示抽的產(chǎn)品為正品,由已知,得P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率為P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=95%×50%+90%×30%+85%×20%=0.915.18.(12分)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立.(1)求該地某位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率;(2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù),求X的期望.解:(1)設(shè)該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為P,則P(10.5)=0.3,故P=0.6,該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為(10.5)(10.6)=0.2,由對(duì)立事件的概率該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為10.2=0.8.(2)甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為0.2,所以X~B(100,0.2).所以E(X)=100×0.2=20.19.(12分)(2021·新高考北京卷)為加快新冠病毒核酸檢測(cè)效率,某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”,即將k人的拭子樣本合并檢測(cè),若為陰性,則可以確定所有樣本都是陰性的;若為陽(yáng)性,則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有100人,已知其中2人感染病毒.(1)若采用“10合1檢測(cè)法”,且兩名患者在同一組,求總檢測(cè)次數(shù);(2)已知10人分成一組,分10組,兩名感染患者在同一組的概率為111,定義隨機(jī)變量X為總檢測(cè)次數(shù),求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解:(1)對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè),需要10次,再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè),需要10次,所以總檢測(cè)次數(shù)為20.(2)由題意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1111=則X的分布列為X2030P110所以E(X)=20×111+30×1011=20.(12分)某乒乓球團(tuán)隊(duì)決賽中,甲隊(duì)與乙隊(duì)相遇,甲隊(duì)選手A,B,C,D,E依次出場(chǎng)比賽,在以往對(duì)戰(zhàn)乙隊(duì)選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比賽勝負(fù)相互獨(dú)立.比賽采用五局三勝制,先贏3局者獲得勝利.(1)在決賽中,甲隊(duì)以3∶1獲勝的概率是多少?(2)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列及均值.解:(1)若甲隊(duì)以3∶1獲勝,則前三局中贏兩局輸一局,第四局比賽勝利,設(shè)甲隊(duì)以3∶1獲勝為事件A,則P(A)=C31×0.2×0.82×0.75=0.(2)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X,則X的所有取值為3,4,5,則P(X=3)=0.83+0.23=0.52,P(X=4)=C31×0.2×0.82×0.75+C32×0.22×0.8×0P(X=5)=1P(X=3)P(X=4)=0.168,則X的分布列為X345P0.520.3120.168E(X)=3×0.52+4×0.312+5×0.168=3.648.21.(12分)生活垃圾中有一部分可以回收利用,回收1t廢紙可再造出0.8t好紙,從而降低造紙的污染排放,節(jié)省造紙能源消耗.某環(huán)保小組調(diào)查了某垃圾處理場(chǎng)某年6月至12月生活垃圾回收情況,其中可回收物中廢紙和塑料品的回收量(單位:t)的折線圖如圖所示.(1)現(xiàn)從6月至12月中隨機(jī)選取1個(gè)月,求該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0t的概率.(2)從6月至12月中任意選取2個(gè)月,記X為選取的這2個(gè)月中回收的廢紙?jiān)僭旌眉埑^3.0t的月份的個(gè)數(shù).求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)假設(shè)第二年1月該垃圾處理場(chǎng)可回收物中塑料品的回收量為at.當(dāng)a為何值時(shí),自第一年6月至第二年1月該垃圾處理場(chǎng)可回收物中塑料品的回收量的方差最小.(只需寫出結(jié)論,不需證明)注:方差s2=1n[(x1-x)2+(x2x)2+…+(xn-x解:(1)記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0t”為事