濰坊學(xué)院近世代數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題

近世代數(shù)期末考試一、單選題1.若群G的每個非單位元都有逆元，則稱G為(3.00分)A.阿貝爾群B.可解群C.可換群D.可逆群答案：C2.環(huán)R中，若元素a滿足a+a=0，則稱a為(3.00分)A.零元B.單位元C.負(fù)元D.冪等元答案：A3.若環(huán)R有單位元e，且對任意a∈R，都有aR=Ra=R，則稱a為(3.00分)A.零因子B.單位元C.可逆元D.冪等元答案：C4.群G中，若元素a滿足a2=e，則a稱為(3.00分)A.自逆元B.單位元C.冪等元D.零元答案：A5.設(shè)f:G→H是群同態(tài)，則f(eG?)=(3.00分)A.eH?B.f(G)C.f?1(H)D.H答案：A6.在整數(shù)模n剩余類加群中，零元是(3.00分)A.[0]B.[1]C.[n]D.[n?1]答案：A7.設(shè)G是一個群，a,b∈G，則(ab)?1=(3.00分)A.b?1a?1B.a?1bC.abD.ba答案：A8.在一個群中，若元素a滿足a^3=e（e為單位元），則a稱為（）(3.00分)A.三次單位元B.立方元C.三次冪等元D.立方冪等元且自逆元答案：D9.設(shè)R是一個環(huán)，若對R中任意元素a,b，都有a*(b+c)=a*b+a*c成立（c為R中任意元素），則稱R滿足（）(3.00分)A.交換律B.分配律C.結(jié)合律D.乘法單位元律答案：B（這是環(huán)中乘法對加法的分配律的定義）10.若群G的子群H滿足對于G中任意元素g，都有g(shù)H=Hg（即H是G的左陪集等于右陪集），則稱H是G的（）(3.00分)A.子群B.正規(guī)子群C.真子群D.極大子群答案：B（這是正規(guī)子群的定義，即H的左陪集等于右陪集）二、判斷題1.整除性在整數(shù)集中構(gòu)成偏序關(guān)系。(3.00分)答案：正確2.任意域的特征都是素?cái)?shù)或0。(3.00分)答案：正確3.若環(huán)R有單位元，則對任意a∈R，都有a?0=0?a=0。(3.00分)答案：正確4.阿貝爾群的子群一定是正規(guī)的。(3.00分)答案：正確5.若群G的階為素?cái)?shù)p，則G是循環(huán)群。(3.00分)答案：正確6.若群G中的元素a滿足an=e，則n一定是a的階。(3.00分)答案：錯誤7.環(huán)中的零元一定沒有逆元。(3.00分)答案：正確8.可換環(huán)中的理想一定是主理想。(3.00分)答案：錯誤9.在一個環(huán)中，如果兩個元素相乘等于零元，那么這兩個元素中至少有一個是零元。(3.00分)答案：錯誤10.若群G的子群H的指數(shù)為2，則H一定是G的正規(guī)子群。(3.00分)答案：正確三、名詞解釋1.環(huán)(5.00分)解析：一個集合R，其元素之間定義了兩種二元運(yùn)算：加法和乘法，滿足加法封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、存在加法零元和加法逆元、乘法封閉性、乘法結(jié)合律、乘法對加法的分配律等條件。2.域(5.00分)解析：一個具有加法和乘法運(yùn)算的集合，其中加法構(gòu)成阿貝爾群，乘法（除了零元外）也構(gòu)成阿貝爾群，且乘法對加法滿足分配律。3.同態(tài)映射(5.00分)解析：同態(tài)映射（或稱為同態(tài)）是兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的一種保持運(yùn)算關(guān)系的映射。具體來說，如果A和B是兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)（如群、環(huán)、域等），并且存在一個從A到B的映射f，使得對于A中的任意元素a和b，都有f(a*b)=f(a)°f(b)（其中*和°分別是A和B中的運(yùn)算），則稱f是從A到B的一個同態(tài)映射。如果f還是雙射（即滿射且單射），則稱f為同構(gòu)映射，此時稱A和B是同構(gòu)的。同態(tài)映射是研究不同代數(shù)結(jié)構(gòu)之間相似性和差異性的重要工具。四、計(jì)算題1.設(shè)G是一個有限群，且$G首先，根據(jù)Sylow定理，我們知道15的素因子分解是3?5，所以G中存在階為3的Sylow3-子群和階為5的Sylow5-子群。(10.00分)解析：1、考慮Sylow5-子群。由于5是素?cái)?shù)且5不整除3（即5不整除∣G∣除以5-子群階數(shù)的余數(shù)），根據(jù)Sylow定理，G中只有一個Sylow5-子群，記為H。因此，H是G的正規(guī)子群。2、接下來考慮Sylow3-子群。設(shè)K是G中的一個Sylow3-子群。由于∣G∣=15，且H是G的一個5階正規(guī)子群，我們可以考慮G在H上的共軛作用。但是，在這個特定的情況下，我們實(shí)際上不需要使用共軛作用來證明K的正規(guī)性（盡管這種方法在某些情況下是有效的）。相反，我們可以直接利用G的階數(shù)和H、K的階數(shù)來論證。假設(shè)K不是G的正規(guī)子群。那么，G中會有多個（具體來說是4個，因?yàn)閚3?=1+3k且n3?整除∣G∣，所以n3?=4）Sylow3-子群。每個這樣的子群都有2個非單位元，且這些非單位元不能是H中的元素（因?yàn)镠的階是5，與3互質(zhì)）。因此，G中至少有4×2=8個元素不在H中。但是，G中只有10個非單位元（因?yàn)楱OG∣=15），所以至少有2個非單位元必須在H中，這與H是5階循環(huán)群（其非單位元都是4階元的平方，因此不可能是3階元）的事實(shí)矛盾。因此，我們的假設(shè)是錯誤的，即K必須是G的正規(guī)子群。然而，這里有一個更簡單的方法來證明K的正規(guī)性，而不需要使用反證法或共軛作用。由于∣G∣=15=3×5，且3和5互質(zhì)，根據(jù)Schur-Zassenhaus定理（或更簡單地，通過考慮G的階數(shù)和子群的階數(shù)），我們可以得出G有一個階為3的子群K和一個階為5的子群H，使得G=KH且K∩H={e}。由于H是正規(guī)子群（這是Sylow定理的直接結(jié)果），且∣K∣=3是素?cái)?shù)，所以K也是正規(guī)子群（這是循環(huán)群作為子群的性質(zhì)）。因此，G是K和H的直積，即G=K×H。由于K和H都是循環(huán)群（因?yàn)樗鼈?/p>