人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章3.1.1橢圓及其標準方程課件

3.1.1橢圓及其標準方程第三章圓錐曲線的方程3.1

橢圓整體感知[學習目標]

1．理解并掌握橢圓的定義．(數(shù)學抽象)2．掌握橢圓的標準方程的推導．(數(shù)學運算)3．會求簡單的橢圓的標準方程．(數(shù)學運算)(教師用書)我們對“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛(wèi)星運行的軌道、籃球在陽光下的投影(如圖所示)等．那么，具有怎樣特點的曲線是橢圓呢？[討論交流]

問題1．橢圓是如何定義的？要注意哪些問題？問題2．如何推導橢圓的標準方程？問題3．橢圓的標準方程有何特征？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1橢圓的定義探究問題1取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F(xiàn)2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？[提示]

橢圓．動點M到兩定點F1，F(xiàn)2的距離為變量，即|MF1|，|MF2|，但距離和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|為常數(shù)．筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)，即繩長，且該常數(shù)大于|F1F2|．[新知生成]

橢圓的定義(1)定義：把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于____(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這_________叫做橢圓的焦點，______________叫做橢圓的焦距，焦距的____稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a__|F1F2|．常數(shù)兩個定點兩焦點間的距離一半>【教用·微提醒】

在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件．[學以致用]

1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝4，則點P的軌跡是橢圓． (

)(2)已知點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則點P的軌跡是橢圓． (

)(3)已知點F1(0，－1)，F(xiàn)2(0，1)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝1，則點P的軌跡是橢圓． (

)(4)橢圓定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量． (

)√××√[提示]

(1)√(2)×因為|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以點P的軌跡是線段F1F2．(3)×因為|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以點P的軌跡不存在．(4)√探究2橢圓的標準方程探究問題2橢圓的定義中涉及兩個常數(shù)|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，結合所建坐標系，將這兩個常數(shù)設為什么形式會給計算帶來方便？[提示]

觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示，設M(x，y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，那么焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)．根據(jù)橢圓的定義，設點M與焦點F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a．由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．

[新知生成]橢圓的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程焦點(－c，0)與(c，0)__________與________a，b，c的關系c2＝______

(0，－c)(0，c)a2－b2

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟．

[學以致用]

2．(源自湘教版教材)求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點坐標為(－3，0)和(3，0)，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10；(2)焦點坐標為(0，－2)和(0，2)，且經(jīng)過點(3，2)．

[母題探究]

1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改為“直線PF1與橢圓的另一個交點為Q”，求△PQF2的周長．

2．本例中，將“∠F1PF2＝60°”改為“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．

[解]

(1)如圖所示，由橢圓的定義，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．

√

應用遷移23題號41√

C

[由題意P為C上一點，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因為|PF1|＝4，所以|PF2|＝14－4＝10．故選C．]23題號41

√

23題號41

√√23題號41

23題號41

1．知識鏈：(1)橢圓的定義及其應用．(2)橢圓的標準方程．2．方法鏈：分類討論、待定系數(shù)法．3．警示牌：(1)忽視定義中a，b，c的關系．(2)混淆不同坐標下橢圓的兩種標準方程．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．橢圓是如何定義的？請寫出其標準方程．

課時分層作業(yè)(二十五)橢圓及其標準方程題號135246879101112131415一、選擇題1．(多選)已知在平面直角坐標系中，點A(－3，0)，B(3，0)，點P為一動點，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列說法中正確的是(

)A．當a＝2時，點P的軌跡不存在B．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3C．當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6D．當a＝3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓√√AC

[當a＝2時，2a＝4＜|AB|，故點P的軌跡不存在，A正確；當a＝4時，2a＝8＞|AB|，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為|AB|＝6，B錯誤，C正確；當a＝3時，2a＝6＝|AB|，故點P的軌跡為線段AB，D錯誤．]題號135246879101112131415題號135246879101112131415

√

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

7題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151

√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415113．一動圓過定點A(2，0)，且與定圓B：x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程是____________．

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415115．某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處，經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A