2025屆云南省宣威市二中高考數(shù)學三模試卷含解析

2025屆云南省宣威市二中高考數(shù)學三模試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，3．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．4．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．7．已知隨機變量的分布列是則（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．9．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面10．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．11．已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關(guān)于軸對稱，，當取得最小值時，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．12．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點為、，點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．14．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.15．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.18．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.19．（12分）如圖，已知橢圓的右焦點為，，為橢圓上的兩個動點，周長的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線經(jīng)過，交橢圓于點，，直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點，，，求證：直線與直線的交點在定直線上.20．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點，，則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點坐標求出結(jié)果3、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.5、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．7、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．8、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.9、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．10、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．11、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.12、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計數(shù)時，注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯(lián)解，得，可得，∴雙曲線的，結(jié)合，得離心率.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15、【解析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因為，所以關(guān)于對稱.則.由，則由可知，，又因為，所以，則，即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令進行求解.16、【解析】令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．(２)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解析】

（1）利用組合進行計算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應的概率，可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望，屬基礎(chǔ)題。18、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由橢圓的定義可得，周長取最大值時，線段過點，可求出，從而求出橢圓的標準方程；（Ⅱ）設(shè)直線，直線，，，，.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程，利用韋達定理和弦長公式求出和，根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立，求兩直線的交點即得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)的周長為，則，當且僅當線段過點時“”成立.，，又，，橢圓的標準方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在.設(shè)，，，，，.將直線的方程代入橢圓方程得：.，,.同理，.由得，此時.直線，聯(lián)立直線與直線的方程得，即點在定直線.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.20、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.21、【解析】

由，化簡得，由，所以直線的直角坐標方程為，因為曲線的參數(shù)方程為，整理得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，，整理得，設(shè)，則，根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由，化簡得，又因