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《工科數(shù)學(xué)分析》常系數(shù)線性齊次微分方程常系數(shù)線性齊次微分方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程解法

n階常系數(shù)齊次線性方程解法小結(jié)一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法由于上述方程的左端是用常系數(shù)組合起來的，而且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是其自身的常數(shù)倍，因此我們推測(cè)該方程可能有指數(shù)函數(shù)

形式的解。將其代入上方程,得故有特征方程特征根*有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為**有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為***有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1解特征方程為解得故所求通解為例2三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).在復(fù)數(shù)域上特征根為故所求通解為解特征方程為例3四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)

特征根的情況

通解的表達(dá)式

實(shí)根21rr1

實(shí)根21rr=

復(fù)根bair±=2,1

xrxreCeCy2121+=

xrexCCy2)(21+=

)sincos(21xCxCeyxbba+=

思考題求微分方程的通解.思考

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