利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值課件高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義(多考向探究預(yù)測)考向1導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

C(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線,則a的取值范圍是

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(-∞,-4)∪(0,+∞)(3)(2022新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為

,

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考向2公切線問題

D(2)(2024福建模擬預(yù)測)已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線,也是曲線y=-ln(-x)的切線,則(

)A[對點訓(xùn)練1](1)(2024陜西西安二模)已知直線y=kx+b與曲線f(x)=ax2+2+lnx相切于點P(1,4),則a+b+k=(

)A.3 B.4 C.5 D.6解析∵點P(1,4)在曲線f(x)=ax2+2+ln

x上,∴a+2=4,解得a=2.由題意得,f'(x)=2ax+=4x+,∴在點P(1,4)處的切線斜率k=5,把P(1,4)代入y=kx+b,得b=-1,∴a+b+k=2-1+5=6,故選D.D(2)(2024安徽黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-在點(1,-1)處的切線與曲線y=ax2+(a-1)x-2只有一個公共點,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.{1,9} B.{0,1,9}C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}B所以切線方程是y=2(x-1)-1=2x-3,①若a=0,則曲線為y=-x-2,顯然切線與該曲線只有一個公共點;②若a≠0,則2x-3=ax2+(a-1)x-2,即ax2+(a-3)x+1=0,由Δ=(a-3)2-4a=0,即a2-10a+9=0,得a=1或a=9.考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(多考向探究預(yù)測)考向1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)當(dāng)a=8時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)<sin2x,求a的取值范圍.∴當(dāng)x∈(0,x0)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴此時存在x,使得g(x)>g(0)=0,不滿足題意.綜上,a≤3.考向2單調(diào)性的應(yīng)用例4(1)(2023新高考Ⅱ,6)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2 B.e C.e-1 D.e-2CA.b<a<c B.c<b<aC.a<c<b D.c<a<bA[對點訓(xùn)練2](1)(2024浙江杭州模擬)函數(shù)f(x)=ln(2x-1)-x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)DD(3)(2023全國乙,理16)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是

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解析

由題意得f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒為0.∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a)≥0對?x>0恒成立.考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值例5(2024廣東韶關(guān)二模)已知函數(shù)f(x)=ax++2lnx在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.(1)求實數(shù)a;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.當(dāng)0<x<1時,f'(x)<0,則f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.故x=1時,函數(shù)f(x)有極小值f(1)=4,無極大值.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),函數(shù)有極小值f(1)=4,無極大值.[對點訓(xùn)練3](1)(2024河南鄭州一模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)=-f'(3)lnx-f(1)x2-4x,則f(x)的極值點為(

)D(2)(多選題)(2024重慶模擬)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的部分圖象如圖所示,則(

)A.f(x)在(a,b)內(nèi)有極小值B.f(x)在(a,b)內(nèi)有極大值C.g(x)=f(x)·e-x在x=a時取極小值D.g(x)=f(x)·e-x在x=b時取極小值BD解析

根據(jù)f(x)與f'(x)的關(guān)系可知,f(x)先遞增后遞減再遞增,f'(x)先遞減后遞增,由圖象可知f(x)在(a,b)內(nèi)有極大值,無極小值,故A錯誤,B正確;當(dāng)x<a時,f'(x)>f(x),則f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)a<x<b時,f'(x)<f(x),則f'(x)-f(x)<0,可得g'(x)<0,所以g(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x>b時,f'(x)>f(x),則f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(b,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上所述,g(x)在x=a時取極大值,在x=b時取極小值,故C錯誤,D正確.故選BD.考點四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值例6(1)(2024山東棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)=+2ax,則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中正確的是(

)A.若a≤0,則f(x)在[1,+∞)上有最小值B.若a≥1,則f(x)在[1,+∞)上有最小值C.若a=,則f(x)有最大值D.f(x)關(guān)于點(0,1)中心對稱B(2)(2024北京石景山模擬)已知x=1是函數(shù)f(x)=ax3-3x的一個極值點,其中a為實數(shù),則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3C解析

f'(x)=3ax2-3,因為x=1是y=f(x)的一個極值點,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,則f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].當(dāng)x∈(-2,-1)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,2)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,符合題意,所以當(dāng)x=-1時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值為2,故選C.[對點訓(xùn)練4](1)(2024河北邢臺模擬)函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.函數(shù)凹凸性的定義:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),x0是(a,b)內(nèi)任一點.若曲線弧上點(x0,f(x0))處的切線總位于曲線弧的下方,則稱曲