導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章§5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義復(fù)習(xí)引入前面我們研究了兩類變化率：1.物理學(xué)：平均速度和瞬時(shí)速度2.幾何學(xué)：割線斜率和切線斜率復(fù)習(xí)引入

★解決這兩類問(wèn)題思想方法具有一致性嗎？

無(wú)限逼近（極限）

★答案表示形式具有一致性嗎？

平均變化率的極限物理學(xué)幾何學(xué)

瞬時(shí)變化率共同點(diǎn)：都采用了由“平均變化率”無(wú)限逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法。今天我們繼續(xù)研究更一般的問(wèn)題.知識(shí)建構(gòu)

可導(dǎo)x＝x0導(dǎo)數(shù)知識(shí)建構(gòu)知識(shí)建構(gòu)例：?jiǎn)栴}1中運(yùn)動(dòng)員在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導(dǎo)數(shù)h′(1)，問(wèn)題2中拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，即知識(shí)建構(gòu)

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義注意點(diǎn)：

(1)曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率即函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)；

(2)瞬時(shí)變化率、曲線在該點(diǎn)切線的斜率、函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，三者等價(jià).注：

1.當(dāng)Δx≠0時(shí)，比值的極限存在，則f(x)在x＝x0處可導(dǎo)；

若

的極限不存在，則f(x)在x＝x0處不可導(dǎo)或無(wú)導(dǎo)數(shù)．

2.f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；知識(shí)建構(gòu)例1

求函數(shù)y＝

在x＝1處的導(dǎo)數(shù)

從而

＝-1.學(xué)有所用用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解：1、求平均變化率，先寫(xiě)出,并化簡(jiǎn)；小結(jié)：

求

y＝f(x)在

x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的一般步驟：

解：學(xué)有所用(1)如何求曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程?提示:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的導(dǎo)數(shù),即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率,再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程.提示:曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線,點(diǎn)(x0,f(x0))一定是切點(diǎn),只要求出k=f'(x0),利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程即可;而曲線f(x)過(guò)某點(diǎn)(x0,y0)的切線,給出的點(diǎn)(x0,y0)不一定在曲線上,即使在曲線上也不一定是切點(diǎn).(2)曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與曲線過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的切線有什么不同?(3)曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?提示:不一定.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線l與曲線y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),如圖所示.解惑提高思考:過(guò)原點(diǎn)的切線，原點(diǎn)一定是切點(diǎn)嗎？

不一定求出y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)．利用Q在曲線上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．點(diǎn)斜式切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，化為一般式.小結(jié)：過(guò)曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟B例2

將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第xh時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為

計(jì)算第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.學(xué)有所用解：在第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是

和所以因?yàn)橥?，學(xué)有所用小結(jié)：在本題中

是原油溫度在時(shí)刻

x0的瞬時(shí)變化率，它反映的是原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況.

和

在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的意義是什么？學(xué)有所用瞬時(shí)加速度就是速度的瞬時(shí)變化率.例3

一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度（單位：m/s）為y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說(shuō)明它們的意義.速度與瞬時(shí)加速度的關(guān)系是什么？學(xué)有所用同學(xué)們自己完成具體計(jì)算過(guò)程總結(jié)提升1.知識(shí)清單：(1)導(dǎo)數(shù)的概念.(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(3)導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用.(4)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的意義.2.方法歸納：定義法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念理解不到位.知識(shí)建構(gòu)l

l當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒(méi)有升降.當(dāng)t＝t1時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0，這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t1附近單調(diào)遞減.當(dāng)t＝t2時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0，這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t2附近單調(diào)遞減.研究t＝t1和t＝t2時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說(shuō)明函數(shù)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢.若f′(x0)＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝

；若f′(x0)>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k

0，且函數(shù)在x＝x0附近_____

，且f′(x0)越大，說(shuō)明函數(shù)圖象變化的越快；若f′(x0)<0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k

0，且函數(shù)在x＝x0附近

，且|f′(x0)|越大，說(shuō)明函數(shù)圖象變化的越快.0單調(diào)遞增<

單調(diào)遞減>知識(shí)建構(gòu)練習(xí)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)

＝a，則下列不等式正確的是A.f′(1)<f′(2)<aB.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<aD.a<f′(1)<f′(2)√學(xué)有所用l

l

學(xué)有所用ll

如圖，畫(huà)出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值.

學(xué)有所用ll

下表給出了藥物濃度的瞬時(shí)變化率的估計(jì)值.0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時(shí)變化率0.40-0.7-1.4

學(xué)有所用導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的

(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作

或

，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.導(dǎo)函數(shù)f′(x)y′知識(shí)建構(gòu)注意：(1)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值.(2)f′(x)是函數(shù)，f(x)在某區(qū)