第06講空間向量的應用-線面位置關系的證明（知識解讀真題演練課后鞏固）

第06講空間向量的應用--線面位置關系的證明

1.空間中線與線的位置關系：平行、相交、異面.

2.空間中線與面的位置關系：線面平行、線在面內(nèi)、線面相交.

3.空間中面與面的位置關系：面面平行、面面相交.

知鈉支梳理】

1直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量

若4、8是直線1上的任意兩點，則方為直線［的一個方向向量；與前平行的任意非零向量

也是直線/的方向向量.

(2)平面的法向量

若向量而所在直線垂直于平面%則稱這個向量垂直于平面吟記作元向量記叫做平面。

的法向量.

(3)平面的法向量的求法(待定系數(shù)法)

①建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

②設平面a的法向量為五二(%y,z)；

③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標互=(%,?，。3)，石=(必,b?,%)；

④根據(jù)法向量定義建立方程組巧［=°

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面Q的法向量.

2判定空間中的平行關系

(1)線線平行

設直線匕/2的方向向量分別是乙石，則要證明川“2，只需證明可|瓦m=kb(ke/?).

(2)線面平行

設直線/的方向向量是五，平面a的法向量是元，則要證明，||a,

只需證明N_L五，即W?五=0.

(3)面面平行

若平面a的法向量為近，平面￡的法向量為通，要證a||6,只需證對底，即證4=入立

3判定空間的垂直關系

(1)線線垂直：

設直線匕,，2的方向向量分別是石石，則要證明，1_L%，只需證明2，石,即。?石=0.

(2)線面垂直

?(法一)設直線I的方向向量是匯平面Q的法向量是元，則要證明11a,只需證明同向即R=

An.

②(法二)設直線I的方向向量是a,平面。內(nèi)的兩個相交向量分別為記，元，

若,則lla.

(3)面面垂直

若平面a的法向量為近，平面口的法向量為芯，要證a_L/?,

只需證/1nJ，即證五,nJ=0.

【善例今折】

【題型】線面、面面位置關系的證明

【典題1】若平面a與0的法向量分別是五=(2,4,-3),5=(-1,2,2),則平面a與0的位置

關系是()

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.無法確定

【解析】???/?]=(2,4,-3)(—1,2,2)=-24-8-6=0

alb,

???平面a與平面0垂直

故選：B.

【典題2】如圖1所示，在邊長為12的正方形中，點B,C在線段A4上，且48=

3,BC=4,作BBiIIA4],分別交44、A41'于點火、P,作CC〔II，分別交A/；、AA^

于點6、Q,將該正方形沿3%、Cg折疊，使得a4；與A%重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱

柱力8C-A181G.

(1府三棱柱ABC-Ai&Ci中,求證：481平面BCC$i；

(2)試判斷直線AQ是否與平面人C]P平行，并說明理由.

【解析】(1)證明???43=3,BC=4,--AC=12-3-4=5,

從而有AC2=AB2+BC2,AB1BC,

又AB1BBi,BCABB1=B,

-.AB_L平面BCG8卜

(2)直線AQ與平面4C】P不平行.

理由如下：

以B為原點，BA為之軸，BC為y軸，BB1為z軸，建立空間直隹坐標系,

4(3,0,0),Q(0,4,7),4(3,0,12),加(0,4,12),P(0,0,3),

而=(-3,4,7),西=(3,0,9),際=(0,4,9),

設平面4GP的法向量五=(%y,z),

n-PA=3x+9z=0

則V,取x=3,得元=(3,\,—1),

n-PC；=4y+9z=0

v筋?n=-9+9—7=—700,

，直線4Q與平面不平行.

【點撥】

①當題中出現(xiàn)多線段長度，注意可利用勾股定理逆定理證明線段垂直的方法;

②第一問利用線面垂直判定定理便可證明，不需要利用向量法；

③第二問用高一線面平行判定定理很難做出來，此時想到向量法;思路如下，

4Q〃平面41clp<=>AQn=0國為平面41clp的法向量).

④利用待定系數(shù)法求平面41clp的法向量范

【典題3】如圖，在直三棱柱4BC-481cl中，4iBi=AiCi，尸為當好的中點，。，E分

別是棱8C,CQ上的點，且/W_L8C.

⑴求證:直線41尸〃平面4DE；

(2)若AABC是正三角形,E為CiC中點，能否在線段BiB上找一點N,使得&N〃平面ADE?

若存在，確定該點位置；若不存在，說明理由.

【解析】(1)證明：在直三棱柱4BC—4&G中,

VAB=AC,AD1BC,/.D是BC的中點,

又為々Ci的中點/.DF//AAY

???四邊形DFA.A是平行四邊形，

??A/IIAD,

6平面ADE,ADcYffiADE,

???4/〃平面

(2)在直線上找一點N,使得&N〃平面AOE,證明如下:

在直三棱柱ABC—481cl中，vDF//AA1:.DF1AD,DF1DC

XvAD1BC???DA,DC,D尸兩兩垂直，

以。為原點，為％軸，。。為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系,

設=2,AAX=2t?

???N在線段8道上，設87=入881，0<A<1,貝ljN(0,-1,2入￡),

則A(V3,0,0),D(OAO),E(O,l,t),B(0,-1,0),8式0,-1,2￡),4i(V3,0,2t),

DA=(6,0,0),DE=(0,l,t),ApV=(-V3,-1,(2入-2)t),

設平面ADE的法向量記=(xfytz).

則n-DA=V3x=0

取z=l,得五=(0,—

(n?DE=y+tz=0

???&N〃平面40E,

???A^N?濟=0+t+(2入-2)t=0,解得人=J,

???在直線上存在一點N,且=使得&N〃平面4DE.

①第一問利用線面平行判定定理易證明;

②題中線段沒有給到具體值，可作假設為氏=2,便于建系后確定點坐標，同時減少計算

量，直棱柱的高A4與4】々長度沒聯(lián)系，所有只能設A41=2t.

【典題4】如圖，四棱錐S-ABCD中.ABCD為矩形,SD1AD,且SD14B,AD=1,AB=

2,SD=V3.E1為CO上一點，且CE=3DE.

(1)求證：AE1平面S8D：

(2)M、N分別在線段SB、CD上的點，是否存在M、N,使MN1CD且MNJLSB,若存在,

確定M、N的位置；若不存在，說明理由.

【解析】（1）方法一證明：；SD14。，且S01AB,S。1平面力BCD.

又???AD1CD

可建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意可知。(0,0,0),/(0弓,0)例1,2,0)/(1,0,0),C(0,2,0),S(0,0,V3)

??.AE=(-1,"),D5(l,2,0),DS(0,0,V3),

..AE~DB=0,荏?岳=0

AE1DB,AE1DS又DBC\DS=D

???4E1平面SB。；

方法二

???SD1AD,且SD1AB,SD_L平面48co

???SD1AE

如圖：

tan￡DAE=—=7?tanz.DBA=—=7,

AD2AB2

???LDAE=Z.DBA

Z.DBA+^-EAB=90°.

???AE1BD；

???4E1平面SBD；

(2)假設存在MN滿足MN1CD且MNJ.SB.

在空間直角坐標系中，麗=(-1,-2,禽)，

在線段CO上可設麗？=痂=(一人,一2人,6人)(Ae[0,1])

-：~DM=DB+~BM=(1,2,0)+(-A,-2入，例)=(1-A,2-2入，例)

M的坐標(1-入,2-2A,V3A),

???N在線段SB上可設N(0,y,0),ye[0,2]

則麗=(1-A,2-2入-y,V3A).

要使MN1CD且MN1SB,則["i￡￡=0,

(MM?BS=0

|2(2-2X-y)=0

」何l一(1一入)-2(2-2入-y)+3入=O'

解得A=ie[0,l],y=1G[0,2].

故存在MN使MNJ.CO且MN1SB,其中M是線段SB靠近B的四等分點，N是線段CD

靠近C的四等分點.

【點撥】

①對于高一非向量法與向量法的取舍，若第一間非向量法較容易解答，而第二問很難則第

一問用非向量法，第二問用向量法；若第一問用非向量法較難，則建議從第一問就開始利

用向量法，比如該題，不用糾結(jié)第一問用向量法要建系描點浪費時間，其實不然，因為第

二問大多數(shù)情況下都使用向量法的：

②第一問方法二中利用平面幾何知識點怎么垂直關系，常見技巧是勾股定理逆定理、相似

三角形、三角函數(shù)等；

③三點共線設元問題：％M在線段CD上，可設的=入麗=(一入，一2人,百人)(Ae[0,1])”

中，常用向量共線的方法：前二屜,同時要注意變量人的取值范圍.

鞏固練習

1,已知五=(12—1)為平面a的一個法向量，1=(-2=1)為直線，的方向向量.若Ella,

則入=__.

【答案】|

【解析】I\\a,n?a=—2+2入-1=0,可得入=

2.已知平面a的法向量是五=(3%-1,-l,x+5),平面夕的法向量是％=(x+l,x2+3,-x),

且a_L0,則實數(shù)％的值為.

【答案】一1或4

【解析】"a1￡,二b,

a-b=(3x-l)(x+1)-(x2+3)-x(x+5)=0,解得x=-1或4.

3.如圖，在直三棱柱中，ABIAC,AB=AC=AA^。為BC的中點.

(1)證明：〃平面ADC1；⑵證明：平面ADg1平面8/C1C.

【證明】(1)證明：?.?在直三棱柱ABC—4B1G中，AB1AC,

二以公為原點，41cl為％軸，力道1為y軸，力M為z軸，

建立空間直角坐標系，設/B=4C=44i=2,

4(0,0,0),8(0,2,2),4(0,0,2),

C(2,0,2),。(1,1,2),(2,0,0),

4；B=(0,2,2),AD=(1,1,0),=(2,0,-2),

設平面AOCi的法向量n=(x,y,z),

則佇用="+丫=°，取“1,得心(1,T,l),

ri-ACX=2x-2z=0

vn^=0-2+2=0,且48a平面4DCi，

???4科||平面4。。1.

(2)證明：vDC=(l,-l,0),標1=(1,一1,一2),

設平面BBigC的法向量藐=(a,b,c),

則7運=0-6二°,取。=1,得藐=(1,1,0),

m?DC1=a—b-2c=0

又平面ADC1的法向量￡=

n-7n=l—1+0=0,

平面ADCr_L平面BBigC.

4.如圖1,在RCA4BC中，Z.C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,48上的點,

且DE〃BC,DE=2,將aAOE沿DE折起到AADE的位置，使&CJLCD,如圖2.

⑴求證：&C_L平面BCDE；

(2)線段BC上是否存在點P,使平面4DP與平面4BE垂直？說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）證明略（2）不存在

【解析】（1）證明：vCD1DE,4D10E,CDHA1D=Df

:.DE1平面AC。，

又???*<2平面&CD,：.AXCIDE

又41cleD,CDdDE=D

???&C1平面BCDE

（2）解：如圖建系,

則C(0,0,0),D(-2AO),4(0,0,275),8(0,3,0),￡(一2,2,0)

設線段BC上存在點P,設P點坐標為(0,a,0),則Q€[0,3]

:.A；P=(0,Q,-2V3),DP=(2,tz,0)

設平面A】OP法向量為%二(%171N1)

V3

則如一2恁1=0Z1-Q%

'12%[+ayi=0Xi=-1ayi

???nj=（-3a,6,V3a）

假設平面AiOP與平面ABE垂直，則？i「n=0,

???3Q+12+3a=0,6a=-12,a=-2

0<a<3

???不存在線段BC上存在點P,使平面40尸與平面4BE垂直

%](OA2V3)

；匚\E(.22O)

1/中(20,0/\^

y

(0.0.0)B(03,0)

【/題信依】

一、單選題

1.已知尸,丁是三個不同的平面，"八〃是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是()

A.若小〃“，m//p,則?！?B.若〃?〃a,n//at則”?〃〃

C.若/w_La,〃_La,則加〃〃D.若a_L/,/?_!_y,則a〃/

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，對照四個選項一

一判斷.

【詳解】對于A,由“〃〃，打〃尸，得?！ㄏ?。與夕相交，故A錯誤；

對于B,若加〃a,〃〃a,則加與〃可能是異面直線、也可能是相交直線，

也可能是平行直線，所以B錯誤；

對于C,若m_La,〃_La,由線面垂直的性質(zhì)定理知加〃〃，所以C正確；

對于D,若a_Ly,夕J_y,則。與夕可能相交，也可能平行，所以D錯誤.

故選：C.

2.己知正方體4BCD-4BGR,棱長為1,E,尸分別為棱48,CG的中點，則()

A.直線力。與直線E尸共面B.4E不垂直于

C.直線4E與直線8”的所成角為60。D.三棱錐G-4。尸的體積為《

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，A選項，假設直線與直線E尸共面，由

面面平行的性質(zhì)得到尸，曰推出矛盾，A錯誤；B選項，計算出港?簫=0

得到兩直線垂直；C選項，利用空間向量夾角余弦公式計算；D選項，利用等體積法求解三

棱錐的體積.

【詳解】如圖，以。為原點，以Q4,DC,。〃所在直線分別為x,y,z建立空間宜角

坐標系，

則。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D.(0,0,1),4。,。，1)，4(LU)，C,(0,1,1),

對于A,假設直線44與直線E尸共面，

??,平面48瓦4〃平面OC0A，平面彳EF〃n平面平面OCGAA平面

ABB41=D】F,

???AEUD.F,

VAEHCXD.,

:.C\D\HD\F,矛盾，

工直線4。與直線“?不共面，A錯誤；

對于B,??彳=（0,最一1）,=

----------11

A.EAF=OH----------0,

122

:.A、E±AF,

：.AxELAFtB錯誤,

對于C,設直線4E與直線8尸所成的角為

???"60。,

???c錯誤,

對于D,?..4）_L平面。CGA，

：.V.=V.=-S-AD=^X-X-X\X\=—D正確.

Cc.?-/iLD/rFVC|izDrF3/k&VC|izDrF322]2，F(xiàn)■fM

故選：D.

3.如圖，在四棱錐尸一/BC。中，底面是菱形，m_L底面/BCD,PA=4iAB=75,,

=p截面BDE與直線尸C平行，與P/交于點E,則下列說法錯誤的是（）

A.80工平面A4C

B.七為P4的中點

C.三棱錐尸力的外接球的體積為沙兀

D.與4C所成角的正弦值為!

【答案】D

【分析】由AC180可證80工平面尸4C,故A正確；由PC//平面得

PC//0E,可得E為4的中點，故B正確；根據(jù)兩個截面外接圓的圓心找到球心，計算出

半徑和體積，可得C正確；通過找平行線得異面直線所成角，解三角形可得與力。所成

角的正弦值為巫，故D錯誤.

4

【詳解】對于選項A,因為產(chǎn)4_L底面力8C￡>,BDu底面力BCD,所以HJ.8O,

因為底面45CQ是菱形，所以4c18。，

因為PZrMC=4,PHZCu平面R4C,所以80人平面尸4C,故A正確；

對于選項B,連4c交6。于O,則。為47的中點，

因為PC//平面8OE,PCu平面P4C,平面尸力CD平面8Z）E=0E,

所以PC//0E,因為。為力C的中點，所以E為4的中點，故B正確；

對于選項C,

因為底面488是菱形，ZABC=^t48=1,所以"灰?和"C。都是正三角形，

4c=8C=CD=1,所以C為AABD的外接圓圓心，設二棱錐P-ABD的外接球的球心為H,

則平面48C。，

又P4J■底面48cZ）,48匚底面48。。，所以尸4_L/18,

所以P8的中點G是的外接圓的圓心，連GH,則G"J"平面88,

取48的中點尸，連CR尸G,因為FG//PA,尸彳_L底面48C。，所以尸G_L底面48CO,

又“C_L平面所以FG//CH,

因為“8C為正三角形，產(chǎn)為48的中點，所以CFLAB,

因為產(chǎn)力_L底面48C。，CFu底面48c。，所以尸N_LC/,

因為48nH=44民尸4匚平面尸48,所以CF_L平面P48,

所以由G"_L平面48,b_L平面48,得CF//GH,

所以四邊形GH"是平行四邊形.所以CH=RS='P/=正一

22

因為BC=1,所以HB=JBC?+CH?=，7|=，，即三棱錐尸-的外接球的半徑為

所以其體積為士兀=人口兀.故C正確；

對于選項D,因為。為5。的中點，G為尸8的中點，所以OG//PO,

所以ZJOG（或其補角）是異面直線尸。與4C所成的角，

因為產(chǎn)力=百，AD=l,所以PD=歷1=2,所以OG=gpD=l,

又AG=>PB=UPA2+AB2=1,OA=-AC=~,

2222

所以?n.”卜（7而.故D錯誤.

sinvAOG=-=

14

故選：D

4.已知冬戶是兩個不同的平面，/，力/是三條不同的直線，下列說法正確的是（）

A.若陽//ua,則m〃〃

B.若加〃a,〃uQ,則m〃〃

C.韭mua、nuB，m〃n,則a〃￡

D.若/〃則/_La

【答案】D

【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的判定定理，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

即可逐個選項判斷.

【詳解】對于A項，若加〃a,〃ua,

則直線也〃可以平行，也可以異面，所以A錯誤；

對于B項，若機〃a,〃u夕，

可以得到叫”平行或異面或相交，所以B錯誤；

對于C項，若〃1ua,”u4,，

。與夕可以平行，也可以相交，所以C錯誤；

對于D項，若加_1。，則直線〃?與平面。內(nèi)的所有直線都垂直，

又/〃6，，/與平面a內(nèi)的所有直線都垂直，

根據(jù)線面垂直的定義可得/故D正確.

故選：D

5.已知A,B,C是球O的球面上三點，45=4,JC=2,/8/C=6。。，若異面直線OC與

力8所成角的余弦值為《，則球。的表面積為（）

A.207cB.24兀C.28兀D.32K

【答案】A

【分析】由題意易知4c上6C,則外接圓的圓心O1是48的中點，在長方體內(nèi)還原A,

B,C,O,01,平移OC,作出異面直線OC與48所成角（或補角）ZDO.B,由

的余弦值為4可求出長方體的高，由此即可求出球。的半徑，則可求出答案.

【詳解】由題意知，在“8（7中，BC=V42+22-2X2X4COS60°=2\/3?

?;BC'+AC'=AB、，/.C-p316c外接圓的圓心Q是月6的中點，

易知0?_L平面力BC.

設。a=d,長方體如圖所示，

易知OQ〃CQ1,且O￡>=cq,四邊形OQQC是平行四邊形，則OC〃O?,/。。產(chǎn)為異

面直線0C與N8所成角（或補角），

2

易知。］8=2,DOt=BD=xjd+4,

則在等腰△。。產(chǎn)中，cosZDO,B=^-=-rJ==^-,解得d=l,

則球O的半徑&=際7=石，

球O的表面積為4兀斤=207r.

故選：A

6.如圖，棱長為2的正四面體中，M,N分別為棱4。，8。的中點，O為線段

的中點，球O的表面正好經(jīng)過點M,則下列結(jié)論中正確的是（）

C

A.力OJ.平面8co

B.球。的體積為必兀

3

4

C.球O被平面8c。截得的截面面積為§兀

D.過點。與直線48,。。所成角均為T的直線可作4條

【答案】ABD

【分析】設反尸分別為26,。。的中點，連接ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,根據(jù)線面垂直

的判定定理可判斷A：求出球的半徑，計算球的體積，進而判斷B：求出球O被平面8co截

得的截面圓的半徑，可求得截面面積，進而判斷C；通過平移與補形法，通過角平分線的轉(zhuǎn)

化尋找平面進而找出直線，從而可判斷D.

【詳解】設民尸分別為的中點，連摟ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,

C

則EM//BD,NF//BD,EM=-BD.NF=底D,

22

裁EM〃NF、EM=NF,則四邊形MENF為平行四邊形，

故EF,MN交于一點,且互相平分，即。點也為E尸的中點，

又AB=AC,DB=DC,故AN工BC,DNtBC,

ANCDN=N,AN,DNu平面AND,故BC上平面4ND,

由于OwMN,MNu平面AND,則AOu平面AND,

故BCl/O,結(jié)合。點也為EF的中點，同理可證。C_L/O,

8CnOC=C,8C,OCu平面3C。，故力。1平面BCD,A正確：

由球。的表面正好經(jīng)過點則球。的半徑為。"，

棱長為2的正四面體NBCO中，AN=DN=6，M為AD的中點、,

則0M=立，所以球。的體積為色簸（。0）3=￡兀'（也）3=3兀，B正確;

23323

由BC_￡平面力NO,8Cu平面8CQ,故平面4M）_L平面，

平面4VQC平面3c￡>=ON,由于40J?平面5C。，

延長NO交平面88于G點，則。7J■平面B。，垂足G落在。N上，

且G為正△BC。的中心，故NG==ND=B,

33

所以OG=ylON2-NG2=（（丫-*）2=*,

故球O被平面8。截得的截面圓的半徑為符）2_（毛）2=與,

則球O被平面88截得的截面圓的面積為兀x（1）2=T，c錯誤；

由題意得，正四面體可以放入正方體內(nèi)，如下圖所示，將48平移至正方體的底面內(nèi)，過

/。和7。的角平分線作垂直于底面的平面，即平面OP。，在平面內(nèi)一定存在過O

點的兩條直線《4使得該直線與直線C0所成角均為T，同理可知，過SFC和N4FD

的角平分線作垂直于底面的平面也存在兩條直線滿足題意，所以過點O與直線48,CO所

成角均為g的直線可作4條，D正確.

【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何的綜合問題.要結(jié)合圖形的特點，作出適合的輔助線,

要善于觀察圖形特點，放入特殊圖形中從而快速求解.

7.如圖，在三棱柱48C-44G口，_L平面力8c=4B=2,8C=1,ZABC=^\E

是棱〃4上的一個動點，則（）

A.直線4C與直線C盧是異面直線

B.A4C萬周長的最小值為3+2立

C.存在點E使得平面力。盧_1_平面44。。

D.點C到平面4GE的最大距離為氈

3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關系相關知識即可判斷.

【詳解】選項A：不管￡點移動到8片上的哪個位置，

直線4c與直線。盧均不相交，也不平行，所以A正確；

選項B：△力。避周長的為4G+4E+EG，要使周長最小,

即AE+EG最小，即為面AA\B、B和面BB?C的展開圖中4G的長，

所以（彳E+Eq）mm=\/32+22=VH,

所以/G+%E+EG=3+J15,所以B錯誤；

選項C：由圖易知，二面角c-4G-8為銳二面角，

二面角C-4G-用為鈍二面角，

在￡點從8到4移動的過程中，二面角C-4G-E由銳角變成了鈍角,

所以，在棱上必然存在E點使得平面4GE_L平面C正確；

選項D：要使點。到平面4GE的至離最大，即當二面角C-4G-E為90。時,

此時c到4G的距離即為所求距離的最大值，過c作力G的垂線CF，

因為面力EG~L面/CG，CF，面4EG，面4EGn面力CG=4G，CFu面4CG，

所以。尸，面力￡6,即c尸為點C到平面4GE的距離，也是C到彳G的距離，

又因為=cc}=2,力G=3,d-AC}=ACCC1

所以點C到平面力GE的距離為4=半，所以D正確.

故選：ACD

三、填空題

8.已知加、〃是不同的直線，。、夕是不重合的平面，給出下列命題:

①若alip,mua,nuB,則m//n；

②若小〃人〃〃尸，則

③若m_La,”_Lpjn/ln,則allp：

④小，〃是兩條異面直線，若加〃a,〃，〃W，M/a,〃//,則a%.

上面的命題中，真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）

【答案】③④

【分析】利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)可判斷各命題的真假.

【詳解】若則相與〃平行或異面，故①錯誤；

m、nua,m〃1n〃0,但用與〃不一定相交，a〃￡不一定成立，故②錯誤；

若mla刈〃n,則〃_La,又由〃_L〃，則a%,故③正確；

〃?，〃是兩條異面直線，若陽〃a,m〃Q,“〃a,川/，則過m的平面與平面a相交于直線M,有,

過〃的平面與平面a相交于直線“，有〃〃〃'，m,〃異面，/,〃'一定相交，

m'ua,加ua,n//fl,如圖所示,

由面面平行的判定可知a//,故④正確；

故答案為：（3）@

9.已知“、〃是不同的直線，a、〃是不重合的平面，給出下列命題：

①若m/la,則m平行干平面。內(nèi)的任一條直線：

②若a〃夕，mua,〃u夕，則機〃〃；

③若_L1，則a〃少；

④若a〃1mua,則〃?//〃.

上面的命題中，真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）

【答案】③④

【分析】①由線面平行的性質(zhì)判斷

②由面面平行的性質(zhì)判斷

③由如果兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，則馬另一條也垂直于這個平面判斷

④由面面平行的性質(zhì)判斷

【詳解】①若機//。，則加平行于平面。內(nèi)的無數(shù)條平行直線，不是任一條直線，故①錯;

②若a〃B，mua,nuB，只能得到小〃夕，不能得到m〃叫故②錯；

③因為m_La,m//〃，所以〃_La,又因為〃_1.夕，所以a〃夕，故③正確；

④由面面平行的性質(zhì)可知④正確.

故答案為：③④.

10.已知正方體相的外接球的表面積為36幾，點E,戶分別是48,CG的中

點，過烏，E,R的截面最長邊長為小，最短邊長為〃，則竺=.

n

【答案】石

【分析】通過延長可得過A，E,尸的截面為五邊形〃可以開，利用正方體外接球的表面

積求出正方體邊長，然后五個邊都求出，即可得出結(jié)果.

【詳解】

如圖，延長QC,。尸交于點G,連接EG交BC于點〃,

延長GE,DA交于點M,連接交力4于點N,

連接“，NE,則過R,E,尸的截面為五邊形ANE"/,

設正方體4BCD-4B￡R的棱長為。，

由正方體外接球的表面積為367r=4口2,

可得其外接球的半徑「為3,直徑為體對角線，

則上a=2x3>故a=2G?

在Rt△/GA中，由勾股定理得/.==后,

易得ABEH~△CGH,—-==—，

故EHZBH'+BE?=叵,FH=JFC2+HC2=—,黑=:，

330A4

故AN=4,故NE=4AN2+AE2=姮,￡>1N=J/R+qM=孚,

所以最長邊為m=〃N=更，最短邊為〃=N￡=姮，故”=不.

122n

故答案為：石

【錦后風電】

一、單選題

1.(2021秋?北京海淀?高二人大附中校考期中)設直線機的方向向量為(1,1,-1),4(1,0,0),

5(0,1,0),C0,1,1)為平面。的三點，則直線〃與平面。的位置關系是()

A.ml/aB.機〃a或/〃ua

C.mlaD.mf/a

【答案】C

【分析】設直線機的方向向量為藍，利用而?刀=0，w-5C=0?又而與於有公共點8,

從而即可求解.

【詳解】解:因為力(1,0,0),5(0,1,0),C(1J,1)為平面a的三點,

所以而=(-1,1,0),而=(1,0,1),

設直線小的方向向量為G，則而=(1,1,-1),

因為“45=lx(-1)+lx1+(-1)x0=0,m-BC=lx1+Ox1+lx(-1)=0,

所以藍_L方，mlBC^又荏與環(huán)有公共點8,

所以直線加垂直于平面a,即機_La,

故選：C.

2.(2023秋?河南信陽?高二統(tǒng)考期末)直線/的方向向量為7,平面。與夕的法向量分別為

而，；；，則下列選項正確的是()

A.若/_La,則~j?m=0B.若川戶,則7=

C.若aJ■/，則m*n=0D.若。〃尸，則m*n=0

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的位置關系與對應向量的關系逐項進行判斷即

可求解.

【詳解】若/_La,則7與石共線，故選項A錯誤；

若川夕，則；_L；,即7G=0,故選項B錯誤；

若則前與7垂直，即薪）=0,故選項C正確；

若a〃夕，則而與7共線，故選項D錯誤，

故選：C.

3.（2021?高二課時練習）已知直線/的一個方向向量3=1,2）,立面。的一個法向量

?=（4-2,3）,則直線/與平面a的位置關系是（）

A.垂直B.平行C.相交D.平行或直線在平面

內(nèi)

【答案】D

【分析】首先通過數(shù)量積，判斷向量力與用的關系，再判斷線面的位置關系.

【詳解】因為「萬=-lx4+lx（—2）+2x3=0,

所以直線,與平面的法向量垂直，則宜線/與平面。平行或在平面內(nèi).

故選：D

4.（2021?高二課時練習）在正方體中，平面/方的一個法向量為（）

A.西B.DBC.D.畫

【答案】A

【分析】由正方體的性質(zhì)可得：BDilBiC,BDi±AC.即可得出平面ACBi的一個法向量.

由正方體的性質(zhì)可得:BDilBiC,BDilAC.

；?BDi_L平面ACBi.

，平面ACBi的一個法向量為國.

故選A.

【點睛】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、平面的法向量，考查了推理能力與計算能力.

UU1

5.（2022?高二課時練習）設夕是不重合的兩個平面，。，夕的法向量分別為%,

/和機是不重合的兩條直線，/,加的方向向量分別為I，那么。〃夕的一個充分條件

是（）

A.Iua,mu?！襡2±n2

B.lea,mu。，且,"e?

C.q〃々,e2//n2,且q〃q

e

D.qJ.%,e2A2，且0〃i

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關系及充分條件的定義即可判斷.

【詳解】對于A,/ua,且1_1彳，e2ln2f則a與夕相交或平行，故A錯誤；

對于B,/ua,mu/,且則a與￡相交或平行，故B錯誤；

對于C,6〃〃1,e2//n2,且q/'g，則a〃/，故C正確：

對于D,《J.6,e21w2?且則。與￡相交或平行，故D錯誤.

故選：C.

6.（2021?高二課時練習）尸4尸民PC是從點尸出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60。，

那么直線PC與平面"8所成角的余弦值是（）

A."B.近C.qD,

3322

【答案】B

【分析】作圖，找到直線PC在平面45上的投影在構(gòu)建多個直角三角形，找出邊與角之間

的關系，繼而得到線面角；也可將尸4P8,尸。三條射線截取出來放在正方體中進行分析.

【詳解】解法一：

如圖，設直線PC在平面P/B的射影為尸。，

作CGJ.P0于點G,CHLPA于點H,連接的,

易得CGtPA,又CHcCG=C,CH,CGu平面CHG,則4_L平面C，G,又，Gu平面

CHG,則04"L"G,

cosZCPA=—

PC

有

PGPHPH

cosZ.CPDxcosZAPD

PC~PG~~PC

故cosZ.CPA=cosZ.CPDxcosNAPD.

已知Z.APC=60°,ZJPD=30°,

故85/。尸。=史必竺=堊”=在為所求.

cosZAPDcos3003

解法二：

如圖所示，把04尸民PC放在正方體中，P4尸民PC的夾角均為60。.

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,

則P(l,0,0),C(0,0,l),41,1,1),5(0,1,0),

所以定=(-1,0,1),蘇=(0,1,1),方=(-1,1,0),

ii?PA=y+z=0

設平面產(chǎn)48的法向量G=(x/,z),則〈_-

ii-PB=-x+y=0

令X=l,則歹=l,z=-l,所以力=（1,1,一1）,

所以8s（元外=磊^^7r筌

設直線PC與平面PAB所成角為。，所以sin。=1cos<PC,G1=半，

所以cos。=V1-sin2^=必~.

3

故選B.

二、多選題

7.（2023春?河南南陽?高二社旗縣第一高級中學校聯(lián)考期末）已知向量7=（-2,3,1）是平面a

的一個法向量，點尸(5,2)在平面a內(nèi)，則下列點也在平面a內(nèi)的是()

A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D.(2.1,4)

【答案】BCD

【分析】記選項中的四個點依次為4,B,C,D,結(jié)合數(shù)量積的坐標運算驗證方，而，PC，

而是否與；;垂直即可.

【詳解】記選項中的四個點依次為4B,C,D,

則蘇=(1,0,-1),P5=(-l,-l,l),定=(2,1,1),赤=(1,0,2),又1(-2,3,1),

P5M=1X(-2)+0X3+(-1)X1=-3^0,故兩與?不垂直，故A錯誤；

ra-w=(-l)x(-2)+(-l)x3+lxl=0,故而與G垂直，故B正確；

PC-w=2x(-2)+1x3+1x1=0,故正與G垂直，故C正確；

PDw=lx(-2)+0x3+2xl=0,故而與7垂直，故D正確；

故選：BCD.

8.(2021秋?福建泉州?高二泉州五中?？计谥?已知正三棱柱彳8。-481G的所有棱長均

相等，D,E分別是8C,CG的中點，點P滿足/=工福+歹衣+(l-x-切荏，下列選

項正確的是()

A.當y=g時，APLBCB.當x+2y=l時，APIBE

C.當x=y時，NDEP為銳角D.當=；時，平面4OE

【答案】ABD

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法逐項求解判斷.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：

B

設棱長為2,

則J(V3,0,0),51(O,1,2),C(0,-l,0)8^),1,0)￡Q,fl),

所以函一(-75,1,2),衣—(75,-1,0),布-(76,1,0,所以萬一(一石,l-2y,2x),

A.當歹=；時，5C=(0,-2,0),9?覺=4y-2=0,所以4尸_L6C,故正確；

x+2y=l時，5￡=(0,-2,1),不?而=4y-2+2x=0,所以力尸_1_8￡,故正確；

x=y時，麗=(0,1,-1),而=不一荏=@,2—2y,2x—l郎?辭=3-24+y),正負不定，

故錯誤；

D.當=；時，布二#—五？=(々^1—2乂2工一2),設平面4OE的一個法向量為

萬=(a,b,c),

則覆.亡,即儼U，令I，則"(01』)，

所以神?萬=2(x-力-1=0,又4尸3平面所以4尸〃平面4DE,故正確；

故選：ABD

三、填空題

9.(2022?高二課時練習)已知力(3,4,0),8(2,5,2),。(0,3,2),則平面”C的一個單位

法向量是.

【答案］吟,_冬冬

【分析】由題設，求面4BC的一個法向量藍，則其單位法向量是

|w|

【詳解】由題設，AB=(-1,1,2),^C=(-3,-1,2),

(—*一

一一,,m-AB=-x+y+2z=0

若m=(x,y,z)是面48c的一個4法向量，則〈-----，

m-AC=-3>x-y-\-2z=0

令y=-i,則/故面皿的一個單位法向量是M=(g-當當.

|m\333

故答案為：(理,_曰,電)

10.(2021?高二課時練習)已知4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面

ABC法向量的是.

①(；，1,1),0(1,-1,1),

333333

【答案】③

【分析】根據(jù)給定條件求出平面ABC的一個法向量7，再在給定的4個坐標中求與7共線

的即可.

【詳解】依題意，冠=(-1,1,0),%=(-1,0,