湖南省長(zhǎng)沙市華益中學(xué)2023-2024學(xué)年八上期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

長(zhǎng)沙市華益中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試卷八年級(jí)數(shù)學(xué)分值：120分時(shí)量：120分鐘一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸．【詳解】A．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故A符合題意；B．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故B不符合題意；C．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故C不符合題意；D．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的知識(shí)點(diǎn)．確定軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．2.“白日不到處，青春恰自來(lái)．苔花如米小，也學(xué)牡丹開(kāi)．”若苔花的花粉直徑約為米，則數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：A．3.下列各運(yùn)算中，正確的運(yùn)算是（）A. B.（2a）3＝8a3C.a8÷a4＝a2 D.（a﹣b）2＝a2﹣b2【答案】B【解析】【分析】分別按照二次根式的加法法則、積的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則及完全平方公式分析即可．【詳解】解：A、∵與不是同類(lèi)二次根式，∴與不能合并，故A錯(cuò)誤；B、按照積的乘方的運(yùn)算法則可知，（2a）3＝8a3，故B正確；C、按照同底數(shù)冪除法的運(yùn)算法則可知，a8÷a4＝a4，故C錯(cuò)誤；D、根據(jù)完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D錯(cuò)誤．綜上，只有B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加法運(yùn)算及整式乘除法的相關(guān)運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4.下列各式中是分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式的定義：一般的，如果，表示兩個(gè)整式，并且F中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判斷即可解答．【詳解】解：、是整式，不是分式，故不符合題意；、是整式，不是分式，故不符合題意；是整式，不是分式，故不符合題意；是分式，故符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．5.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A.，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；B.，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；C.，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；D.，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；故選擇：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的判斷，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6.如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中，工人師傅在焊接立柱時(shí)，只用找到的中點(diǎn)D，就可以說(shuō)明豎梁垂直于橫梁了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（）A.等邊對(duì)等角 B.等角對(duì)等邊C.垂線(xiàn)段最短 D.等腰三角形“三線(xiàn)合一”【答案】D【解析】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形“三線(xiàn)合一”性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線(xiàn)合一”，故選：D．7.如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線(xiàn)，交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂線(xiàn)的基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．由尺規(guī)作圖可知，，則，由，可得，即可得，在中，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．8.滿(mǎn)足下列條件的不是直角三角形的是（）A. B.C. D.，，【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的定義；根據(jù)勾股定理的逆定理、直角三角形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵，∴最大，且，∴此三角形不是直角三角形；即選項(xiàng)A符合題意；∵，，∴，即；故選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴設(shè)，∵，∴是直角三角形，且；故選項(xiàng)C不符合題意；∵，∴是直角三角形，且；故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．9.如圖，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，，則長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行和角平分線(xiàn)，推出均為等腰三角形，得到，進(jìn)而得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴；故選B．10.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類(lèi)比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為等邊三角形，、、圍成的也是等邊三角形．已知點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，若的面積為14，則的面積是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】連接，由題意知，再由點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，可得，，即可得出即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，，為等邊三角形，也是等邊三角形，，，是的一個(gè)外角，，是的一個(gè)外角，，，在和中，，，同理，可得，，，，，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)，得出是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11.比較大?。篲_____3.【答案】＜【解析】【詳解】∵0<7<9，∴，即<3，故答案為：<.12.要使二次根式有意義，則的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)題中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟記二次根式有意義的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使二次根式有意義，，解得，故答案為：．13.若，則______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪除法；由條件得，再由同底數(shù)冪的除法即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：4．14.若且，則分式的值為_(kāi)__________．【答案】1【解析】【分析】利用分式的減法運(yùn)算將原式寫(xiě)成，即可得到結(jié)果．【詳解】解：且，，，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減運(yùn)算法則．15.在中，，，，則___________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得到，再利用，得到，求出即可．【詳解】解：在中，，，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.已知直角三角形面積為24，斜邊長(zhǎng)為10，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】24【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b（，且a、b均為正數(shù)），利用勾股定理和三角形的面積公式求得兩直角邊是6和8．然后由三角形的周長(zhǎng)公式求得該直角三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b（，且a、b均為正數(shù)），則，解得：，所以該直角三角形的周長(zhǎng)是：．故答案為：24．三、解答題（本大題共9個(gè)大題，共72分）17.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的運(yùn)算法則，算術(shù)平方根的定義先化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減即可詳解】解：==【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則并靈活運(yùn)用．18.先化簡(jiǎn)，再求值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合計(jì)算法則化簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算即可．詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．19.如圖，，分別是的中線(xiàn)和角平分線(xiàn)，．（1）若的面積是20，且，求的長(zhǎng)．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得，三角形的面積公式即可求解；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出，．再利用角平分線(xiàn)定義即可得出．【小問(wèn)1詳解】解：是的中線(xiàn)，．，的面積是20，且，，，；【小問(wèn)2詳解】是的中線(xiàn)，，，，．是的角平分線(xiàn)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)定義，求出是解題的關(guān)鍵．20.設(shè)中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評(píng)定成績(jī)?yōu)閤分，滿(mǎn)分為100分，規(guī)定：為A級(jí)，為B級(jí)，為C級(jí)，為D級(jí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取華益中學(xué)部分學(xué)生的綜合評(píng)定成績(jī)，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了______名學(xué)生，______%；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為_(kāi)_____度；（3）若該校共有4000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有多少名？【答案】（1）（2）72（3）估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有320名【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，涉及求扇形統(tǒng)計(jì)圖中相關(guān)量，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，及樣本估計(jì)總體數(shù)量等知識(shí)．（1）根據(jù)B級(jí)的人數(shù)及占比即可求解一共抽取的學(xué)生數(shù)；根據(jù)A級(jí)的學(xué)生數(shù)與抽取的學(xué)生數(shù)的比即可求得的值；（2）由抽取的學(xué)生數(shù)及已知的A、B、D級(jí)人數(shù)可求得C級(jí)的人數(shù)，從而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；由C級(jí)的占比與周角度數(shù)之積即可求解；（3）由D級(jí)的占比與全校學(xué)生數(shù)之積即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：（名），，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：C級(jí)的學(xué)生數(shù)為：（名），補(bǔ)充的條形統(tǒng)計(jì)圖如下：扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為，故答案為：72；【小問(wèn)3詳解】解：（名），即4000名學(xué)生中，估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有320名．21.如圖，在中，，利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線(xiàn)交于點(diǎn)G．（1）連接、，通過(guò)證明，得到，從而得到是的平分線(xiàn)，其中證明的依據(jù)是______（填序號(hào)）．①；②；③；④（2）當(dāng)，______；（3）若，，P為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）④；（2）；（3）【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)：（1）連接、，證明，即可得出答案；（2）先求出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，得出，進(jìn)而得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)G作于H，即為的最小值，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，設(shè)，則，求出，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：連接、，在和中，，∴，故選：④；【小問(wèn)2詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作于H，即為的最小值，∵，，，∴，∵，，是的平分線(xiàn)，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵P為上一動(dòng)點(diǎn)，∴的最小值．22.在學(xué)校開(kāi)展的“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題活動(dòng)中，八（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)，同學(xué)們計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)綠蘿和吊蘭兩種綠植，已知吊蘭的單價(jià)比綠蘿的單價(jià)多5元，且用200元購(gòu)買(mǎi)綠蘿的盆數(shù)與用300元購(gòu)買(mǎi)吊蘭的盆數(shù)相同．（1）求購(gòu)買(mǎi)綠蘿和吊蘭的單價(jià)各是多少元？（2）若購(gòu)買(mǎi)綠蘿的數(shù)量是吊蘭數(shù)量的兩倍，且資金不超過(guò)600元，則購(gòu)買(mǎi)吊蘭的數(shù)量最多是多少盆？【答案】（1）購(gòu)買(mǎi)綠蘿的單價(jià)為10元，購(gòu)買(mǎi)吊蘭的單價(jià)為元（2）購(gòu)買(mǎi)吊蘭的數(shù)量最多為17盆【解析】【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿的單價(jià)為x元，則購(gòu)買(mǎi)吊蘭的單價(jià)為元，然后可得方程為，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)吊蘭的數(shù)量為m盆，則購(gòu)買(mǎi)綠蘿的數(shù)量為盆，然后可列不等式進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿的單價(jià)為x元，則購(gòu)買(mǎi)吊蘭的單價(jià)為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，則，∴是原方程的解，∴，答：購(gòu)買(mǎi)綠蘿的單價(jià)為10元，購(gòu)買(mǎi)吊蘭的單價(jià)為元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)吊蘭的數(shù)量為m盆，則購(gòu)買(mǎi)綠蘿的數(shù)量為盆，由（1）及題意得：，解得：，∵m是整數(shù)，∴m取最大值為17；答：購(gòu)買(mǎi)吊蘭的數(shù)量最多為17盆．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，，求．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等即可證明；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，由（1）所證及，即可證明；（3）由（2）及已知得，，進(jìn)而得；即可得；證明，則；過(guò)E作于G，分別在中由勾股定理即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴；∵，，∴；【小問(wèn)2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形∴，∴，由（1）知：，∵，∴；【小問(wèn)3詳解】解：∵，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴；∵四邊形是平行四邊形∴，∴，∴；∵，∴，∴；如圖，過(guò)E作于G，則，∴，；在中，，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，題目不難，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．24.若任意三個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足：的關(guān)系，則稱(chēng)這三個(gè)正數(shù)為“快樂(lè)三數(shù)組”．（1）下列三組數(shù)是“快樂(lè)三數(shù)組”有______（填序號(hào)）；①3，4，5；②，，；③，1，；（2）若關(guān)于x的分式方程的解與關(guān)于y的方程的解與1構(gòu)成“快樂(lè)三數(shù)組”，求m的值；（3）如圖，在四邊形中，，，連接對(duì)角線(xiàn)，若的長(zhǎng)為c，的兩條鄰邊長(zhǎng)分別為a，b，若，b，構(gòu)成“快樂(lè)三數(shù)組”，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）②③（2）或或（3）【解析】【分析】本題以新定義題型為背景，考查了分式方程、一元一次方程的求解，以及三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，準(zhǔn)確的計(jì)算是解題關(guān)鍵；（1）利用定義進(jìn)行驗(yàn)證即可判斷；（2）分別求解分式方程和方程，分類(lèi)討論，三種情況即可求解；（3）由題意得，根據(jù)可得,；結(jié)合即可求解．小問(wèn)1詳解】解：∵，，，∴②③是“快樂(lè)三數(shù)組”，故答案為：②③；【小問(wèn)2詳解】解：解分式方程：，解得：，解方程：