高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)7.2任意角的三角函數(shù)7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式素養(yǎng)練含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGEPAGE47.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知cosα=513,且α∈(0,π),則tanα=(A.125 B.512 C.-125 D解析∵sin2α+cos2α=1,α∈(0,π),∴sinα=1213∵tanα=sinα∴tanα=125答案A2.已知tanα=mπ<α<3π2,則A.mm2+1 B.±C.±m(xù)m2+1 D答案D3.已知sinαcosα=18,0<α<π2,則sinα+cosα的值是(A.14 B.-32 C.32解析由題意,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=54,因?yàn)?<α<π2,所以sinα+cosα>0,則sinα+cosα=答案D4.化簡(jiǎn)1+2sin4cos4的結(jié)果是()A.sin4+cos4 B.sin4-cos4C.cos4-sin4 D.-cos4-sin4解析因?yàn)棣?lt;4<3π2,所以sin4<0,cos4<0.又1+2sin4cos4=(sin4+cos4)2,所以1+2sin4cos4=|cos4+sin4|=-cos答案D5.若sinα1+1tan2α-cos答案四6.若tanα=13,則sinαcosα的值為.答案37.證明:(1)1-cos2αsinα(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).證明(1)左邊=si=si=sin2αsinα-cosα-cos故原式成立.(2)因?yàn)樽筮?4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+2sin2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,右邊=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+cos2α+2tan2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,所以左邊=右邊,原式成立.實(shí)力提升1.若tanθ+1tanθ=4,則sinθcosθ等于(A.110 B.18 C.16解析∵tanθ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ答案D2.在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示,它是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是125,則sin2θ-cos2θ=(A.1 B.725 C.-725 D.解析由題意得直角三角形的面積S=1-設(shè)三角形的直角邊長(zhǎng)分別為x,y,則有x2+y2=1,12xy=625?x=因?yàn)棣葹檩^小的銳角,所以sinθ=351=35,cossin2θ-cos2θ=352-452=-725,故選C.答案C3.(多選)化簡(jiǎn)1-sin2A.cos160° B.|cos160°|C.±cos160° D.-cos160°解析因?yàn)?60°角為其次象限角,所以1-sin2160°=cos2160°=|cos160°答案BD4.(雙空)已知sinα,cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2-x-m=0的兩根,則sinα+cosα=,m=.

解析由題意知sin∵(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα,∴14=1-m,∴m=3答案15.若非零實(shí)數(shù)m,n滿意tanα-sinα=m,tanα+sinα=n,則cosα等于.

答案n6.已知A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,且tanA=-54,求sinA,cosA的值解∵tanA=-54,且A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∴π2<A<π,∴sinA>0,cosA<0由sinAcos7.已知tanα=m(m≠0),求sinα和cosα的值.解∵sinαcosα=tanα=m,∴sinα=mcos又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,∴cos2α=11+當(dāng)α為第一或第四象限的角時(shí),cosα=11+m2,sinα當(dāng)α為其次或第三象限的角時(shí),cosα=-11+m2,sinα8.求證:sinα(1+tanα)+cosα1+1tanα=1sin證明因?yàn)樽筮?sinα1+sinαcosα+cosα1+cosα=sinα+sin2αcosα+=si=1sinα+1cos9.已知關(guān)于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的兩根為sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:(1)m的值;(2)方程的兩根及此時(shí)θ的值.解由根與系數(shù)的關(guān)系,可知sin(1)由①式平方得1+2sinθcosθ=2+3所以sinθcos