河南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2024年河南省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分,

共30分）

1.（3分）-2的相反數(shù)是（）

5

A.-2B.2C.-王D.王

5522

2.（3分）今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口總額

達(dá)214.7億元，數(shù)據(jù)"214.7億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.147X1（）2B.0.2147X103C.2.147X1O10D.0.2147X10"

3.（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種綻開

圖，那么在原正方體中，及“國”字所在面相對的面上的漢字是

（）

A.厲B.害C.了D.我

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-x2）3=-X5B.X2+X3=X5C.X'XJX'D.2X3-x3=l

5.（3分）河南省旅游資源豐富，2024?2024年旅游收入不斷增長，

同比增速分別為：15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.關(guān)于這組

數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.中位數(shù)是12.7%B.眾數(shù)是15.3%

C.平均數(shù)是15.98%D.方差是0

6.（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十

五；人出七，不足三問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙

買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合

伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為X人，羊價為y線，依據(jù)題意,

可列方程組為（）

A1y=5x+45fy=5x-45

y=7x+3，（y=7x+3

C1y=5x+45口［尸5又一45

（y=7x-31y=7x-3

7.（3分）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（）

A.X2+6X+9=0B.X2=XC.X2+3=2XD.（x-1）2+l=0

8.（3分）現(xiàn)有4張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“物”，

1張卡片正面上的圖案是“梟”，它們除此之外完全相同.把這4

張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相

同的概率是（）

A.J-B.2C.2D.1

16482

9.（3分）如圖，已知口AOBC的頂點0（0,0）,A（-1,2）,點B在

x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點。為圓心，適當(dāng)長度為半徑作

弧，分別交邊OA,0B于點D,E；②分別以點D,E為圓心，大于U）E

2

的長為半徑作弧，兩弧在NAOB內(nèi)交于點F；③作射線OF,交邊AC

于點G,則點G的坐標(biāo)為（）

A.（V5-b2）B.（泥,2）C.（3一%,2）D.（%-2,2）

10.（3分）如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A動身，沿AfD—B以

lcm/s的速度勻速運(yùn)動到點B,圖2是點F運(yùn)動時，4FBC的面積y

（cm2）隨時間x（s）改變的關(guān)系圖象，則a的值為（）

A.V5B.2C.±D.2%

2

二、細(xì)心填一填（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分，請把

答案填在答題卷相應(yīng)題號的橫線上）

11.3（分）計算：|-5|-心.

12.（3分）如圖,直線AB,CD相交于點0,E01AB于點0,ZE0D=50o,

貝IJNB0C的度數(shù)為.

13.（3分）不等式組（什512的最小整數(shù)解是_______.

14r>3

14.（3分）如圖,在aABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,將Z\ABC繞

AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到aA"，C',其中點B的運(yùn)動路徑為

瓦尸，則圖中陰影部分的面積為.

15.（3分）如圖，ZMAN=90°，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN

上一動點,連接BC,AAZBC及AABC關(guān)于BC所在直線對稱，點D,

E分別為AC,BC的中點，連接DE并延長交A，B所在直線于點F,連

接A'E.當(dāng)EF為直角三角形時，AB的長為.

三、計算題（本大題共8題，共75分，請仔細(xì)讀題）

16.（8分）先化簡，再求值：（，-1）其中x=，2+L

x+1X-1

17.（9分）每到春夏交替季節(jié)，雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳

播下一代，漫天飄舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等，給人們造

成困擾，為了解市民對治理楊絮方法的贊同狀況，某課題小組隨機(jī)調(diào)

查了部分市民（問卷調(diào)查表如表所示），并依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下

尚不完整的統(tǒng)計圖.

治理楊絮一一您選哪一項？（單選）

A.削減楊樹新增面積，限制楊樹每年的栽種量

B.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu)，漸漸更換現(xiàn)有楊樹

C.選育無絮楊品種，并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素，避開產(chǎn)生飛絮

E.其他

依據(jù)以上統(tǒng)計圖，解答下列問題：

（1）本次接受調(diào)查的市民共有人：

（2）扇形統(tǒng)計圖中，扇形E的圓心角度數(shù)是；

（3）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（4）若該市約有90萬人，請估計贊同“選育無絮楊品種，并推廣種

植”的人數(shù).

18.（9分）如圖，反比例函數(shù)尸K（x>0）的圖象過格點（網(wǎng)格線

X

的交點）P.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個

矩形均需滿意下列兩個條件：

①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點0,點P;

②矩形的面積等于k的值.

19.（9分）如圖，AB是。。的直徑，DO1AB于點0,連接DA交。0

于點C,過點C作。。的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F.

（1）求證：CE二EF；

（2）連接AF并延長，交。。于點G.填空：

①當(dāng)ND的度數(shù)為時，四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)ND的度數(shù)為時，四邊形ECOG為正方形.

20.（9分）“凹凸杠”是女子體操特有的一個競技項目，其競賽器

材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動員可依據(jù)自己的身高和

習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)整高、低兩杠間的距離.某愛好小組依據(jù)凹凸杠

器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答.

如圖所不，底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB

的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為

234cm,已知低杠的支架AC及直線AB的夾角NCAE為82.4°,高杠

的支架BD及直線A3的夾角NDBF為80.3°.求高、低杠間的水平距

離CH的長.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.4°^0.991,cos82.4°

^0.132,tan82.4°^7.500,sin80.3°^0.983,cos80.3°^0.168,

tan80.3°^5.850）

21.（10分）某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺，該產(chǎn)品的日銷

售量y（個）及銷售單價x（元）之間滿意一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單

價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如表：

銷售單價x（元）8595105115

日銷售量y（個）17512575m

日銷售利潤w87518751875875

（元）

（注：日銷售利潤二日銷售量X（銷售單價-成本單價））

（1）求y關(guān)于X的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的

值；

（2）依據(jù)以上信息，填空:

該產(chǎn)品的成本單價是元，當(dāng)銷售單價x=元時，日銷

售利潤W最大，最大值是元；

（3）公司安排開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)料在今后的

銷售中，日銷售量及銷售單價仍存在（1）中的關(guān)系.若想實現(xiàn)銷售

單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成

本單價應(yīng)不超過多少元？

22.（10分）（1）問題發(fā)覺

如圖1,在AOAB和△（），口中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NC0D=40°,

連接AC,BD交于點M.填空：

①星的值為______；

BD

②NAMB的度數(shù)為.

（2）類比探究

如圖2,在AOAB和△OCD中，NAOB二NCOD二90°,Z0AB=Z0CD=30o,

連接AC交BD的延長線于點M.請推斷或的值及NAMB的度數(shù)，并說

BD

明理由；

（3）拓展延長

在（2）的條件下，將△OCD繞點0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線

交于點M,若OD=1,OB=夜，請干脆寫出當(dāng)點C及點M重合時AC的長.

23.（11分）如圖，拋物線y=ax?+6x+c交x軸于A,B兩點，交y軸

于點C.直線y二x-5經(jīng)過點B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M.

①當(dāng)AMLBC時，過拋物線上一動點P（不及點B,C重合），作直線

AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,P,Q為頂點的四邊形是

平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；

②連接AC,當(dāng)直線AM及直線BC的夾角等于NACB的2倍時，請干脆

寫出點M的坐標(biāo).

2024年河南省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案及試題解析

一、選擇題（每題只有一個正確選項，本題共10小題，每題3分，

共30分）

L（3分）-2的相反數(shù)是（）

5

A.-1B.2C.-王D.王

5522

【分析】干脆利用相反數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：-2的相反數(shù)是：2.

55

故選：B.

【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（3分）今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口總額

達(dá)214.7億元，數(shù)據(jù)“214.7億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.147X1（）2B.0.2147X103C.2.147X1O10D.0.2147X1011

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,

n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少

位，n的肯定值及小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)肯定值＞1時，n

是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的肯定值＜1時，n是負(fù)數(shù).

【解答】解:214.7億，用科學(xué)記數(shù)法表示為2.147X學(xué)嗎

故選：C.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為

aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定

a的值以及n的值.

3.（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種綻開

圖，那么在原正方體中，及“國”字所在面相對的面上的漢字是

（）

A.厲B.害C.了D.我

【分析】正方體的表面綻開圖，相對的面之間肯定相隔一個正方形，

依據(jù)這一特點作答.

【解答】解：正方體的表面綻開圖，相對的面之間肯定相隔一個正方

形，

“的”及“害”是相對面，

“了”及“厲”是相對面,

“我”及“國”是相對面.

故選：D.

【點評】木題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，留意正方體的

空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題.

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-x2）3=-xB.x2+x:-x:,C.x3*x-x7D.2x3-x-l

【分析】分別依據(jù)基的乘方、同類項概念、同底數(shù)基相乘及合并同類

項法則逐一計算即可推斷.

【解答】解：A、(-x2)3=-x6,此選項錯誤;

B、x\/不是同類灰，不能合并，此選項錯誤；

C、x3*x4=x7,此選項正確;

D、2x3-x3=x3,此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是駕馭轅的乘方、同

類項概念、同底數(shù)得相乘及合并同類項法則.

5.(3分)河南省旅游資源豐富，2024?2024年旅游收入不斷增長，

同比增速分別為：15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.關(guān)于這組

數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.中位數(shù)是12.7%B.眾數(shù)是15.3%

C.平均數(shù)是15.98%D.方差是0

【分析】干脆利用方差的意義以及平均數(shù)的求法和中位數(shù)、眾數(shù)的定

義分別分析得出答案.

【解答】解:A、按大小依次排序為：12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,

17.1%,

故中位數(shù)是：15.3%,故此選項錯誤；

B、眾數(shù)是15.3%,正確；

C、1(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%)

5

=14.98%,故選項C錯誤；

D、...5個數(shù)據(jù)不完全相同，

???方差不行能為零，故此選項錯誤.

故選：B.

【點評】此題主要考查了方差的意義以及平均數(shù)的求法和中位數(shù)、眾

數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

6.（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十

五；人出七，不足三問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙

買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合

伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y線，依據(jù)題意,

可列方程組為（）

A1y=5x+45pfy=5x-45

y=7x+3，（y=7x+3

C1y=5x+450jy=Sx-45

（y=7x-31y=7x-3

【分析】設(shè)設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y線，依據(jù)羊的價格不變列出

方程組.

【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y線，依據(jù)題意，可列方程

組為：產(chǎn)5x+45.

y=7x+3

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（）

A.X2+6X+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.（x-1）2+l=0

【分析】依據(jù)一元二次方程根的判別式推斷即可.

【解答】解:A、X2+6X+9=0

△=62-4X9=36-36=0,

方程有兩個相等實數(shù)根；

B、x2=x

x2-x=0

△=(-1)2-4XlX0=l>0

兩個不相等實數(shù)根；

C^x2+3=2x

x2-2x+3=0

△=(-2)2-4XlX3=-8<0,

方程無實根；

D、(x-1)2+1=0

(x-1)2=-1,

則方程無實根；

故選：B.

【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程

ax2+bx+c=0（aWO）的根及△=b?-4ac有如下關(guān)系:①當(dāng)△＞（）時,

方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△二0時，方程有兩個相等的

兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜（）時Z方程無實數(shù)杈.

8.（3分）現(xiàn)有4張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“屈”，

1張卡片正面上的圖案是“睪”，它們除此之外完全相同.把這4

張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相

同的概率是（）

A.-LB.1c.2D.1

16482

【分析】干脆利用樹狀圖法列舉出全部可能進(jìn)而求出概率.

【解答】解：令3張談用A”A2,A3,表示，8用B表示，

可得：

一共有12種可能，兩張卡片正面圖案相同的有6種，

故從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是：1.

2

故選：D.

【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確列舉出全部的可能是

解題關(guān)鍵.

9.（3分）如圖，已知oAOBC的頂點0（0,0）,A（-1,2）,點B在

x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點0為圓心，適當(dāng)長度為半徑作

弧，分別交邊OA,0B于點D,E；②分別以點D,E為圓心，大于

2

的長為半徑作弧，兩弧在NA0B內(nèi)交于點F；③作射線OF,交邊AC

于點G,則點G的坐標(biāo)為（）

A.（V5-h2）B.（注,2）C.（3一%,2）D.（加-2，2）

【分析】依據(jù)勾股定理即可得到RtZ\A0H中，A0二%，依據(jù)NAG0二N

A0G,即可得至I」AG二A0二加，進(jìn)而得出HG二證-1,可得G（旄-1,2）.

【解答】解：???10BC的頂點0（0,0）,A（-1,2）,

AAH=1,H0=2,

，RtZ\AOH中,A0=后

由題可得，OF平分NAOB,

???ZAOG=ZEOG,

又???AG〃OE,

AZAGO=ZEOG,

AZAGO=ZAOG,

二?AG二AO二加，

.\11G=V5-b

AG(%-1,2),

故選：A.

【點評】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形

的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時留意：求圖形中一些點的坐標(biāo)時，過已知點向

坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法

和規(guī)律.

10.(3分)如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A動身，沿A-D-B以

lcm/s的速度勻速運(yùn)動到點B,圖2是點F運(yùn)動時，△FBC的面積y

(cm2)隨時間x(s)改變的關(guān)系圖象，則a的值為()

A.V5B.2C.1D.2臟

2

【分析】通過分析圖象，點F從點A到D用as,此時，^FBC的面積

為a,依此可求菱形的高DE,再由圖象可知，BD二加，應(yīng)用兩次勾股

定理分別求BE和a.

【解答】解：過點D作DE_LBC于點E

由圖象可知，點F由點A到點D用時為as,Z\FBC的面積為aciR

:.AD=a

「?DE=2

當(dāng)點F從D到B時，用加s

，BD=V5

RtADBE中，

BE=VBD2-BEM（V5）2-22=1

VABCD是菱形

EC=a-1,DC=a

□△DEC中，

a??（a-1）2

解得a二衛(wèi)

2

故選：c.

【點評】本題綜合考查了菱形性質(zhì)和一次函數(shù)圖象性質(zhì)，解答過程中

要留意函數(shù)圖象改變及動點位置之間的關(guān)系.

二、細(xì)心填一填（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分，請把

答案填在答題卷相應(yīng)題號的橫線上）

11.（3分）計算：|-5|-2.

【分析】干脆利用二次根式以及肯定值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解:原式=5-3

=2.

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

12.（3分）如圖，直線AB,CD相交于點0,E01AB于點0,ZE0D=50°,

則NB0C的度數(shù)為140°.

【分析】干脆利用垂直的定義結(jié)合互余以及互補(bǔ)的定義分析得出答

案.

【解答】解：:直線AB,CD相交于點0,EOJ_AB于點0,

AZE0B=90o,

VZE0D=50°,

AZBODMO0,

則NBOC的度數(shù)為：180°-40°=140。.

故答案為：140。.

【點評】此題主要考查了垂直的定義、互余以及互補(bǔ)的定義，正確把

握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

13.（3分）不等式組卜+5}2的最小整數(shù)解是累.

（4-x>3

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得

出答案.

【解答】解：卜+5不2

???解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：xWl,

???不等式組的解集為-3VxWl,

.?.不等式組的最小整數(shù)解是-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，能依

據(jù)不等式的解集得出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，在4ABC中，ZACB=90°，AOBO2,將4ABC繞

AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AA"，C,其中點B的運(yùn)動路徑為

菽，則圖中陰影部分的面積為In.

~2------

【分析】利用弧長公式計算即可；

180

【解答】解：△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到4A'IVC',

此時點A'在斜邊AB上，CA'1AB,

???NACA'=NBC/V=45。,

AZBCB,=135°,

S陰二135.兀?2二2幾.

1802

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、弧長公式等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是敏捷運(yùn)

用所學(xué)學(xué)問解決問題，屬于中考?？碱}型.

15.（3分）如圖，ZMAN=90°,點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN

上一動點，連接BC,AAZBC及△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點D,

E分別為AC,BC的中點，連接DE并延長交A'B所在直線于點F,連

接A'E.當(dāng)甘EF為直角三角形時，AB的長為4登或4.

【分析】當(dāng)AA'EF為直角三角形時，存在兩種狀況：

①當(dāng)NA'EF=90。時，如圖1,依據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：

A'C=A'E=4,依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8,最終利

用勾股定理可得AB的長；

②當(dāng)NA'FE=90°時，如圖2,證明aABC是等腰直角三角形，可得

AB=AC=4.

【解答】解：當(dāng)EF為直角三角形時，存在兩種狀況:

①當(dāng)NA'EF=90°時,如圖1,

VAAZBC及AABC關(guān)于BC所在直線對稱,

AA，C=AC=4,ZACB=ZA，CB,

???點D,E分別為AC,BC的中點，

???D、E是AABC的中位線,

???DE〃AB,

AZCDE=ZMAN=90°,

JNCDE=NA'EF,

???AC〃A'E,

AZACB=ZA，EC,

??.NA'CB=ZA,EC,

???A'C=A，E=4,

RtAA'CB中，???E是斜邊BC的中點,

ABC=2A,B=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

AB=^g2_^2=4^3;

②當(dāng)NA'FE=90°時,如圖2,

VZADF=ZA=ZDFB=90°,

.,.NABF=90°,

???△A'BC及AABC關(guān)于BC所在直線對稱,

AZABC=ZCBA，=45°,

:.△ABC是等腰直角三角形，

AAB=AC=4；

綜上所述，AB的長為4%或4；

故答案為：4加或4；

【點評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、

等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類探

討的思想解決問題.

三、計算題（本大題共8題，共75分，請仔細(xì)讀題）

16.（8分）先化簡，再求值：（，-1）：一,其中x二加+L

x+1X-1

【分析】依據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案，

【解答】解：當(dāng)x=d^l時，

原式二二JG+1）金-1）

x+1X

=1-X

【點評】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用分式的運(yùn)算法

則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

17.（9分）每到春夏交替季節(jié)，雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳

播下一代，漫天飄舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等，給人們造

成困擾，為了解市民對治理楊絮方法的贊同狀況，某課題小組隨機(jī)調(diào)

查了部分市民（問卷調(diào)查表如表所示），并依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下

尚不完整的統(tǒng)計圖.

治理楊絮一一您選哪一項？（單選）

A.削減楊樹新增面積，限制楊樹每年的栽種量

B.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu)，漸漸更換現(xiàn)有楊樹

C.選育無絮楊品種，并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素，避開產(chǎn)生飛絮

E.其他

依據(jù)以上統(tǒng)計圖，解答下列問題：

（1）本次接受調(diào)查的市民共有2000人;

（2）扇形統(tǒng)計圖中，扇形E的圓心角度數(shù)是一28.8。；

（3）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（4）若該市約有90萬人，請估計贊同“選育無絮楊品種，并推廣種

植”的人數(shù).

【分析】（1）將A選項人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即不得；

（2）用360。乘以E選項人數(shù)所占比例可得；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以D選項人數(shù)所占百分匕求得其人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全圖

形即可得；

（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中C選項人數(shù)所占百分比可得.

【解答】解：（1）本次接受調(diào)查的市民人數(shù)為300?15%=2000人，

故答案為：2000；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，扇形E的圓心角度數(shù)是360。xg=28.8，,

2000

故答案為:28.8°；

（3）D選項的人數(shù)為2000X25%=500,

補(bǔ)全條形圖如下：

（4）估計贊同“選育無絮楊品種，并推廣種植”的人數(shù)為70X40%=28

（萬人）.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)

計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)

計圖能清晰地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖干脆反映部分占總

體的百分比大小.

18.（9分）如圖，反比例函數(shù)尸K（x>0）的圖象過格點（網(wǎng)格線

x

的交點）P.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形（不寫畫法），要求每個

矩形均需滿意下列兩個條件：

①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點0,點P;

②矩形的面積等于k的值.

【分析】（1）將P點坐標(biāo)代入尸瓦利用待定系數(shù)法即可求出反比例

X

函數(shù)的解析式；

（2）依據(jù)矩形滿意的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可.

【解答】解：（1）??,反比例函數(shù)y二區(qū)（x>0）的圖象過格點P（2,2）,

X

???k=2X2=4,

???反比例函數(shù)的解析式為尸?；

（2）如圖所示:

矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形.

【點評】本題考查了作圖-應(yīng)用及設(shè)計作圖，反比例函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的判定及性質(zhì)，正

確求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

19.（9分）如圖，AB是。。的直徑，D0LAB于點0,連接DA交。0

于點C,過點C作。0的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F.

（1）求證：CE=EF；

（2）連接AF并延長，交。。于點G.填空：

①當(dāng)ND的度數(shù)為30。時,四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)ND的度數(shù)為22.5°時,四邊形ECOG為正方形.

【分析】（1）連接0C,如圖，利用切線的性質(zhì)得Nl+N4=90°,再

利用等腰三角形和互余證明N1=N2,然后依據(jù)等腰三角形的判定定

理得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)ND=30°時，ZDA0=60°,證明4CEF和aFEG都為等邊三

角形，從而得到EF=FG=GE=CE=CF,則可推斷四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)ND=22.5°時，ZDAO=67.5°,利用三角形內(nèi)角和計算出/

C0E=45°,利用對稱得NE0G=45。，則NC0G=90。,接著證明△OEC

gaOEG得到N0EG=N0CE=90°,從而證明四邊形ECOG為矩形，然

后進(jìn)一步證明四邊形ECOG為正方形.

【解答】（1）證明：連接0C,如圖，

1CE為切線,

A0C1CE,

/.Z0CE=90°,即Nl+N4=90°,

VDO1AB,

AZ3+ZB=90°,

而N2=N3,

???N2+NB=90。，

而OB=OC,

AZ4=ZB,

AZ1=Z2,

ACE=FE；

(2)解：①當(dāng)ND=30°時，ZDA0=60°,

而AB為直徑，

AZACB=90°,

???NB=30°,

AZ3=Z2=60°,

而CE=FE,

「?△CEF為等邊三角形，

ACE=CF=EF,

同理可得NGFE=60°,

利用對稱得FG=FC,

VFG=EF,

???△FEG為等邊三角形，

AEG=FG,

.?.EF=FG=GE=CE,

???四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)ND=22.5。時，ZDA0=67.5°,

而0A=0C,

AZ0CA=Z0AC=67.5°,

AZA0C=180°-67.50-67.5°=45°，

：.ZA0C=45°,

AZC0E=45°,

利用對稱得NEOG=45°,

AZC0G=90°,

易得&△OEG,

JNOEG=N0CE=90。,

???四邊形ECOG為矩形，

而OC=OG,

??.四邊形ECOG為正方形.

故答案為30°,22.5°.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑,若

出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也

考查了菱形和正方形的判定.

20.（9分）“凹凸杠”是女子體操特有的一個競技項目，其競賽器

材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動員可依據(jù)自己的身高和

習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)整高、低兩杠間的距離.某愛好小組依據(jù)凹凸杠

器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答.

如圖所示，底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB

的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為

234cm,已知低杠的支架AC及直線AB的夾角NCAE為82.4°,高杠

的支架BD及直線A3的夾角NDBF為80.3°,求高、低杠間的水平距

離CH的長.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.4°七0.991,cos82.4°

^0.132,tan82.4°^7.500,sin80.3°^0.983,cos80.3°^0.168,

tan80.3°^5.850)

【分析】利用銳角三角函數(shù)，在RtAACE和Rt^DBF中，分別求出

AE、BF的長.計算出EF.通過矩形CEFH得到CH的長.

【解答】解：在RtAACE中，

VtanZCAE=^l,

AE

AAE=-生—=—這—=理仁21(cm)

tan/CAEtan82.407.5

在Rt△DBF中，

〈tanNDBF二雪

BF

BF=——=---——0234=40(cm)

tan/DBFtan80.305.85

〈EF=EA+AB+BF仁21+90+40=151(cm)

VCE±EF,C1I1DF,DF_LEF

???四邊形CEFH是矩形，

ACH=EF=151cm

答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形.題目難度不大，留

意精確度.

21.(10分)某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺，該產(chǎn)品的日銷

售量y(個)及銷售單價x(元)之間滿意一次函數(shù)關(guān)系關(guān)于銷售單

價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如表：

銷售單價x(元)8595105115

日銷售量y（個）17512575ni

日銷售利潤w87518751875875

（元）

（注：日銷售利潤二日銷售量X（銷售單價-成本單價））

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的

值；

（2）依據(jù)以上信息，填空：

該產(chǎn)品的成本單價是80元,當(dāng)銷售單價x二100元時,日銷售

利潤w最大，最大值是2000元;

（3）公司安排開展科技創(chuàng)新，以降低該產(chǎn)品的成本，預(yù)料在今后的

銷售中，日銷售量及銷售單價仍存在（1）中的關(guān)系.若想實現(xiàn)銷售

單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo)，該產(chǎn)品的成

本單價應(yīng)不超過多少元？

【分析】（1）依據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以求得y關(guān)于x的函數(shù)解析

式；

（2）依據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得生產(chǎn)成本和w的

最大值；

（3）依據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以取得科技創(chuàng)新后的

成本.

【解答】解；（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b,

（85k+b=175>得件-5,

l95k+b=125，'ib二600’

即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=-5x+600,

當(dāng)x=115時，y=-5X115+600=25,

即m的值是25；

(2)設(shè)成本為a元/個，

當(dāng)x=85時,875=175X(85-a),得a=80,

w=(-5x+600)(x-80)=-5x2+1000x-48000=-5(x-100)2+2000,

?,.當(dāng)x=100時，w取得最大值,此時w=2000,

故答案為：80,100,2000；

(3)設(shè)科技創(chuàng)新后成本為b元，

當(dāng)x=90時，

(-5X90+600)(90-b)23750,

解得，bW65,

答：該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過65元.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用、不等式的

應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題須要的條件，利用

函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.(10分)(1)問題發(fā)覺

如圖1,在△0AB和△0CD中，0A=0B,0C=0D,ZA0B=ZC0D=40°,

連接AC,BD交于點M.填空：

①整的值為1；

BD

②NAMB的度數(shù)為40°.

(2)類比探究

如圖2,在aOAB和aOCD中，ZA0B=ZC0D=90°，Z0AB=Z0CD=30o，

連接AC交BD的延長線于點M.請推斷區(qū)的值及NAMB的度數(shù)，并說

BD

明理由；

（3）拓展延長

在（2）的條件下，將△OCD繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線

交于點M,若OD=1,0B=V7,請干脆寫出當(dāng)點C及點M重合時AC的長.

【分析】（1）①證明△COA&Z^DOB（SAS）,得AOBD,比值為1；

②由△COAgZ^DOB,得NCAONDBO,依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：

NAMB=1800-（ZDB0+Z0AB+ZABD）=180°-140°=40°；

（2）依據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOCS/^BOD,則也、￡二道,

BD0D

由全等三角形的性質(zhì)得NAMB的度數(shù)；

（3）正確畫圖形，當(dāng)點C及點M重合時，有兩種狀況：如圖3和4,

同理可得：△AOCS^BOD,則NAMB=90°可得AC的長.

,也BD3”,

【解答】解：（1）問題發(fā)覺

①如圖1,VZA0B-ZC0DM00,

???NC0A=ND0B,

VOC=OD,OA=OB,

AACOA^ADOB（SAS）,

.\AC=BD,

?AC=]

BD

②???△COAgZ\DOB,

AZCA0=ZDB0,

VZA0B=40°,

AZ0AB+ZAB0=140o，

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+

ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°,

故答案為：①1;②40°；

(2)類比探究

如圖2,ZAMB=90°,理由是：

BD

□△COD中，ZDC0=30°,ZD0C=90°,

同理得：泮tan30。岑，

0A3

VZA0B=ZC0D=90°,

AZAOC=ZBOD,

AAAOC^ABOD,

??.至其二避，ZCAO=ZDBO,

BD0D

在AAMB中，ZAMB-1800-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+

ZDBO)=90°；

(3)拓展延長

①點C及點M重合時，如圖3,同理得：△AOCs^BOD,

AZAMB=90°，或3,

BD。"

設(shè)BD=x,則AC=V3X，

RtZSCOD中，NOCD=30°,OD=1,

ACD=2,BC=x-2,

RtZ\AOB中，NOAB=30°,0B二攻，

AAB=20B=2V7,

在RtZ\AMB中，由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,x2=-2,

???AC=3代；

②點C及點M重合時，如圖4,同理得：ZAMB=90°,以二y,

設(shè)BD=x,則AC=“x，

在RlaAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(6x)2+(x+2)2=Q.產(chǎn)

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xi=-3,X7=2,

AAC=2Vs；

綜上所述，AC的長為3爪或2加.

【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相像的性

質(zhì)和判定，幾何變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOCSABOD,依

據(jù)相像三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較

好的題目.

23.(11分)如圖，拋物線y=ax?+6x+c交x軸于A,B兩點，交y軸

于點C.直線y二x-5經(jīng)過點B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點A的直線交直線BC于點M.

①當(dāng)AMLBC時，過拋物線上一動點P(不及點B,C重合)，作直線

AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,P,Q為頂點的四邊形是

平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；

②連接AC,當(dāng)直線AM及直線BC的夾角等于NACB的2倍時，請干脆

寫出點M的坐標(biāo).

【分析】(1)利用一次函數(shù)解析式確定C(0,-5),B(5,0),然

后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

(2)①先解方程-x'2+6x-5=0得A(1,0),再推斷aOCB為等腰直

角三角形得到N0BC=N0CB=45°,則^AMB為等腰直角三角形，所以

AM=2亞，接著依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2&,PQ1BC,作PD

JLx軸交直線BC于D,如圖1,利用NPDQ=45°得到PD二比PQ=4,設(shè)

P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),探討：當(dāng)P點在直線BC上方

時，PD=-m2+6m-5-(m-5)=4；當(dāng)P點在直線BC下方時，PD=m-

5-(-m2+6m-5),然后分別解方程即可得到P點的橫坐標(biāo)；

②作ANLBC于N,NH，x軸于H,作AC的垂直平分線交BC于M”交

AC于E,如圖2,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到/

AM,B=2ZACB,再確定N(3,-2),

AC的解析式為尸5x-5,E點坐標(biāo)為(上，-1),利用兩直線垂直的

22

問題可設(shè)直線EM的解析式為y=-lx+b,把E(L-1)代入求出b

522

fy=x-5

得到直線