湖北省棗陽某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

湖北省棗陽一中2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知F是雙曲線C:Ax2+V=4|k|（A為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到雙曲線。的一條漸近線的距離為（）

A.2kB.4kC.4D.2

2.函數(shù)=-Jcosx（一4WxK乃且x/O）的圖象可能為（）

3.甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀(jì)最大，乙說：我年紀(jì)最大，丙說：乙年紀(jì)最大，丁說：我不是年紀(jì)最大的，若這四

人中只有一個(gè)人說的是真話，則年紀(jì)最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

4.已知”=ln6，b=/，廣，則。，b,。的大小關(guān)系為（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

a（a<b）

5.定義運(yùn)算〃十八.“）’則函數(shù)〃幻=皿的圖象是（）.

6.已知函數(shù)〃x)=sin(2x+°),其中0w(O,g),若VXERJ(X)W/g恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

2ko；

間為()

>7萬/t\>72萬..、

K7T---,k〃+—(k￡z)B.K7T-—,K7T+—(kEZ)

36

.71.2乃...k兀，k兀+生

k兀+一,k冗+——(kwz)D.(ZeZ)

333

7.如圖，在平面四邊形48co中，滿足A3=3C,CO=A。，且A3+AO=10,3O=8,沿著BO把/WO折起,

使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且使PC=2,則三棱錐P-BC。體積的最大值為()

8.已知復(fù)數(shù)z滿足z—5=0,且zN=9,貝ijz=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

9.己知函數(shù)小)=sin(2x+1｝則函數(shù)/(*的圖象的對(duì)稱軸方程為()

、冗.r$71.)

A.X=K7T---,keZB.X=K7V+—.KGZ

44

I,,?1,71.?

C.x=-k九keZD.x=-k7r+—,KeZ

224

10.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面

各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至

少是()

A.8B.7C.6D.4

,ABAC、

11.0是平面上的一定點(diǎn)，A,優(yōu)C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。滿足OP=Q4+4(―---+--—

ABcos8AC?cosC

^e(0,oo),則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過MBC的()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

12.記等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S〃.若與=40,緣=5,則()

A.d=3B.〃i0=12C.520=280D.《=-4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y-2<0

13.設(shè)x、>滿足約束條件,x—y+220,若z=2x+y的最小值是一1,則〃?的值為.

y+727>0

14.滿足約束條件IxI+21)，|W2的目標(biāo)函數(shù)z=y-R的最小值是.

15.已知實(shí)數(shù)且/—。二8一/由土的最大值是________

2ab

16.若曲線/(九)=。/一Inx(其中常數(shù)。。0)在點(diǎn)(l,,f(D)處的切線的斜率為1,則。=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

222

17.(12分)己知x>0,y>0,z>0,.r+y+z=\f證明：

⑴(x+y)2+()，+z)2+&+z)2,,4；

(2)—H—I—>1+2Jxy+2Jxz+2Jyz.

xyz

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-l|(aeR).

(1)a=—1時(shí)，求不等式/(x)工2解集;

(2)若f(x)<2x的解集包含于g,3,求。的取值范圍.

22

19.(12分)如圖，設(shè)橢圓G：^+4=1(?>^>0)^長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線。2：丁=84的焦點(diǎn)尸重合，且橢

a"b~

(II)過/作直線/交拋物線G于A，B兩點(diǎn),過尸且與直線/垂直的直線交橢圓G于另一點(diǎn)C，求AABC面積的

最小值，以及取到最小值時(shí)直線/的方程.

20.(12分)已知/(x)=e'-〃a.

(1)若曲線>=lnx在點(diǎn)(/,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切，求實(shí)數(shù)〃?的值；

(2)試討論函數(shù)/a)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

21.(12分)已知集合4={1,2,??,,〃},〃￡N*，n>2f將4的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組

(加|,加2，-，加,〃)，其中m=2”.記集合中元素的個(gè)數(shù)為4,keN*,k<m,規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為0.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求<+生+…+品的值；

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論〃(〃之2)為何值，總存在有序集合組(陷,滿足任意注M,區(qū)〃L1,

都有㈤一a+J=i.

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線4的傾斜角為30°,且經(jīng)過點(diǎn)4(2,1).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，2：pcose=3,從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足

\OM\]ON\=\2f記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.

(I)求出直線4的參數(shù)方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)直線4與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，求的值.

參考答案

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

分析可得k<0,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

22

當(dāng)220時(shí),等式"2+丫2=4伏|不是雙曲線的方程；當(dāng)k<0時(shí)，依2+尸=4|攵|=-4七可化為上——工二1,可得虛

-4fc4

半軸長(zhǎng)〃=2，所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

因?yàn)?(—x)=(—x+')cosx=—(x—')cosx=—/(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A,B；取，貝IJ

XX

f(乃)=(乃——)cos^=-(^--—)<0,故選D.

7171

考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.

3、C

【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話，結(jié)合其他人的說法，看是否只有一個(gè)說的是真話，即可求得年紀(jì)最大者，即可求得答

案.

【詳解】

①假設(shè)甲說的是真話，則年紀(jì)最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話,

故甲說的不是真話，年紀(jì)最大的不是甲；

②假設(shè)乙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話，故

乙說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；

③假設(shè)丙說的是真話，則年紀(jì)最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話，

故丙在說謊，年紀(jì)最大的也不是乙；

④假設(shè)丁說的是真話，則年紀(jì)最大的不是丁，而已知只有一個(gè)人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀(jì)最大

的，同時(shí)乙也說謊，說明乙也不是年紀(jì)最大的，年紀(jì)最大的只有一人，所以只有丙才是年紀(jì)最大的，故假設(shè)成立，年

紀(jì)最大的是丙.

綜上所述，年紀(jì)最大的是丙

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，解題時(shí)可從一種情形出發(fā)，推理出矛盾的結(jié)論，說明這種情形不會(huì)發(fā)生，考查了分析能力和推理

能力，屬于中檔題.

4、D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(工)=叱，利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，得。=lng=孚，人=/=匣，。=等2=增.令/(工)=叱，所以/")=匕少.所以函數(shù)了⑴

3e88xx"

在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減.所以"*)].=f(e)=,=心且f(3)>/(8)，即所以〃>a>c.

e

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.

5、A

【解析】

由已知新運(yùn)算a十b的意義就是取得a,b中的最小值，

/、、fl,x>0

因此函數(shù)/x=1十2]={,

[2,x<0

只有選項(xiàng)A中的圖象符合要求，故選A.

6、A

【解析】

VU小/圖=2濡兀f(x)=sin(2xq,再解不等式

=f\~=1，從而可得夕=

6

2k7r-—<2x+—<2k7r+—(kez)即可.

262

【詳解】

由已知，/(x)niax=/氐=sin+^|=1

sin(e+?)=±l，e￡(O,],所以8二弓，

/(x)=sin(2x+g,由2攵萬一工《2工+巳二2攵乃+2(々￡z),

V6J262

解得，k/r--<x<k;r+—(kez),

36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想.是一道中檔題.

7、C

【解析】

過P作PELBD于E,連接CE,易知CE_L3O,PE=CE,從而可證8。_1_平面PCE,進(jìn)而可知

|Q

Vp_BCD=VB-PCE+VD_PCE=qSPCE,BD=qSPCE,當(dāng)SpcE最大時(shí)，匕?_*/)取得最大值，取PC的中點(diǎn)尸，可得

EFVPC,再由spcE=gpCEF=dPE2-l,求出莊■的最大值即可.

【詳解】

PB=BC

在和BCD中,\PD=CDf所以一BPDMBCD,則NPBD=NCBD,

BD=BD

過產(chǎn)作在:JLBD于E,連接CE,顯然BPE%BCE,則CE_LBD,且PE=CE,

又因?yàn)镻E'CE=Ef所以BO_L平面PCE,

?8

所以Vp-BCD=^B-PCE+VD-PCE=qS”cE'BD=—SJCE?

當(dāng)S”E最大時(shí)，V$那°取得最大值，取PC的中點(diǎn)尸，則￡F_LPC,

2

所以SPCE=^PCEF=>JPE-[,

因?yàn)?4+。。=10,3。=8,所以點(diǎn)尸在以民。為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn))，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距長(zhǎng)為8,

所以77?的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半，故也最大值為廬方=3，

所以s”久最大值為2五，故匕一的最大值為?'2&=電1.

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

8、C

【解析】

設(shè)2=。+〃,則5=。一勿?，利用z-5=0和2-5=9求得。，/?即可.

【詳解】

設(shè)z=a+〃，則z=a-bi,

因?yàn)閦—彳=0,貝ij（a+罰）一（〃一次）=2/?=（）,所以人二0,

又z?乞=9,即/=9,所以。=±3,

所以z=±3,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用，考查共扼復(fù)數(shù)的應(yīng)用.

9、C

【解析】

/（X）=COS2A-,將2x看成一個(gè)整體，結(jié)合）'=cosx的對(duì)稱性即可得到答案.

【詳解】

由已知，/（X）=cos2x,令2x=kjv,keZ,得工二,左肛左￡2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)cos工的性質(zhì)，是

一道容易題.

10、A

【解析】

則從下往上第二層正方體的樓長(zhǎng)為：爐工=4公，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：J(2可+(2可=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為："百=2加，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：巧不=4上，

從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：J(2何+(2扃=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：百=20，

從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：J曲十曲=2,

從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為：肝丁二亞,

從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為：+(交］=1，

K2Jl2J

從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為：.『，［+(，丫=走，

丫⑴⑶2

???改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

解出人尸，計(jì)算AP3c并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.

【詳解】

ABAC

----:---------+---------------

AP=OP-OA=^AB-cosBAC-cosC

AB.BCAC.BC

：.AP.BC=Z------------------d-----------------------=/1(-|BC|4-|BC|)=O,

AB-cosBAC-cosC

**?APIBC^即點(diǎn)P在4C邊的島上，即點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過△A4C的垂心?

故選反

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算AP.BC是關(guān)鍵.

12、C

【解析】

由Ho=也吆業(yè)9=5（%+。6）=40,和4=5,可求得％=3,從而求得d和卬，再驗(yàn)證選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榫哦?+："）"°=5（%+4）=40,4=5,

所以解得出=3,

所以d二4一出二2,

所以=&+4"=5+8=13,4=iz5-4f/=3-8=—5,520=20q+190c/=-100+380-280,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前“項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13>-1

【解析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由z=2x+y得y=-2x+z,顯然直線過A（-m—2T72）時(shí)，z最小,

代入求出〃2的值即可.

【詳解】

x+y-2<0

作出不等式組<x-y+220所表示的可行域如下圖所示：

y+/?>（）

2v+y'

v+m=O

-y+2=0\x=-m-2/、

聯(lián)立?八,解得，則點(diǎn)A(-

y+〃z=O[y=-m

由z=24+)得y=—2x+z,顯然當(dāng)直線y=-2x+z過A(-加一2,-m)時(shí)，該直線V軸上的截距最小，此時(shí)z最小,

=,解得加=-1?

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題.

14、-2

【解析】

可行域|x|+21y區(qū)2是如圖的菱形ABCD,

知4=0-2=_2為最小.

【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值

【詳解】

1又實(shí)數(shù)。力之］,圖形為［圓,

由a2一〃=化簡(jiǎn)得a——

2+6224

a=b-b2,可得。2=。+人一〃2,b2=a-^-b-a2

mii..b~ci~ci+b—(i~a+b—b.a,ba,

Q+14-------b=---------a-b+2

abahabab

由幾何意義得2￡,則夫［及-1,1+收］

—1,1+,為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)A或點(diǎn)月時(shí)。+〃取最小值，可得

a

M=72-1+1+V2-----—+2=-^+l

2222

所以M二生卜￡1的最大值是述+1

b2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對(duì)要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然

后求出最值問題，本題有一定難度。

2

16、-

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由/⑴=1解方程即可.

【詳解】

2

由已知，f(x)=rzev,所以/⑴一1=1,解得“

xe

故答案為：一

e

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得"+yz+K,1,而(x+yl+U+zF+Cr+zf=2+2(Ay+)2+zx),,4,即得證;

(2)首先推導(dǎo)出x+y+z>1,再利用—?---H—=[—I---1■—(x2+y2+z2),展開即可得證.

xyz\xyzjx7

【詳解】

222

證明：(1)?/x+y+z=\t

2xy+2yz+2.口，.I?+y2+y2+z2+z2+.r2=2(.r2+y2+z2)=2,

/.xy+yz+zx,,\t

(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x：+y2+z?)+2(xy+yz+zx)=2+2(xy+yz+zr)?4(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)

取等號(hào)).

(2)VX>0,y>0,Z>o,X24-/+z2=1,

(x+y+z)2=/+y2+z?+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

/.x+y+z>1,

(x2+y2+z2)

xyz"yzj

)，2)，。

y~z~x~z~x~y~

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

/22\(z2X2

VX

=(x+)'+z)+-——I---+—十—>1+2yfxy+2\[xz+2yfyz,

Ixy)【XZ

—i--1—>1+2dxy+25/xz+2Jyz.

xyz

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

一4、「3一

18、(1)(―co,0](J—,+oo(2)—2,——

_5)L

【解析】

(1)代入。=-1可得11-1|+|2工一1|22對(duì)工分類討論即可得不等式的解集；

⑵根據(jù)不等式在上恒成立去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得lx+041再去絕對(duì)值即可得關(guān)于a的不等式組解不等式組即可

求得〃的取值范圍

【詳解】

（1）當(dāng)〃=一1時(shí)，不等式/（幻之2可化為|工一1|十|2工一1|22,

①當(dāng)xW，時(shí)，不等式為l—x+l—2x22,解得xWO；

2

②當(dāng)!vx<l時(shí)，不等式為1—x+2x—1N2,無解；

2

4

③當(dāng)時(shí)，不等式為x—l+2x—122,解得上2],

~4、

綜上，原不等式的解集為（-8,0]11?+8.

（2）因?yàn)?"）42x的解集包含于1,3,

則不等式可化為1戈+。1+2工一142工，

即|x+a區(qū)1.解得一〃一1WxW—。+1,

由題意知〈2,解得—,

2

-?+1<3乙

3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是-2,一5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的解法分類討論解絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.

19、（I）—+/=1；（II）AA8C面積的最小值為9,工=±且v+2.

4-2，

【解析】

（I）由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的。，再由離心率可求得。，從而得〃值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線/方程為1=加丁+2,設(shè)A（為,％）,8（乙,），2），把直線方程代入拋物線方程，化為）'的一元二次方程，由

韋達(dá)定理得%十為，,）’2,由弦長(zhǎng)公式得|A8|,同理求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得|產(chǎn)將面積表示為參數(shù)的函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.

【詳解】

三十二

（I）???橢圓G；=1((7>〃>()),

a2b2

長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線G：尸=8女的焦點(diǎn)尸重合,

??a=2^

又??,橢圓G的離心率是立，???c=G，b=\f

2

工橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4,

（II）過點(diǎn)尸（2,0）的直線/的方程設(shè)為工=①+2,設(shè)A&,y）,3（孫%），

x=my+2、

聯(lián)立4、;得丁一8〃7)，-16=0,

y-8x

???)'|+%=8"7，=-16,

：?|AB|=Jl+"＞小(1+%)2-4兇%=8(1+m2).

過/且與直線/垂直的直線設(shè)為y=-w(x-2),

y=-77i(x-2)

2

聯(lián)立＜x,得(1+4＞卜2一]$加，+]6〃?2-4=0,

.o16〃r4，2(4"-1)

??%+2=；與，故％__L,

1+4"04m2+1

22

/.ICFI=71+m1xc-xF\=-y——yj\+tn,

14〃廣+1

A/WC面積S=占.|C/|=.(丁).Ji+m2.

21111W+l

.____i以3/16(4/-9產(chǎn))

令J+濟(jì)=f,則S=〃f)=72，/(。二(4產(chǎn)—3)2'

g9

令尸")=0,則“=一，即1+〃，=一時(shí)，AA5C面積最小，

44

即當(dāng)加=±好時(shí)，AA8C面積的最小值為9,

2

此時(shí)直線/的方程為1=±告），+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長(zhǎng)的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困

難題.

20、(1)m=\-e~2(2)答案不唯一具體見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)(公，淖-"及。)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一

條，從而得到方程組一"：''」再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得〃?=1-"2；

[e^-x^=1

(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得對(duì)〃2分三種情況進(jìn)行一級(jí)討論，即m<0,加=0,

〃7>0,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)零點(diǎn)情況.

【詳解】

解：(1)曲線y=lnx在點(diǎn)々2,2)處的切線方程為y-2=-57cr-e?),即)，=[工+1.

夕e2

x

令切線與曲線/(x)=e-mx相切于點(diǎn)(王),*一〃/),則切線方程為y=(1一〃e"(x0-l),

eX|>-m=e~2

=1，

:.(機(jī)+"2)[[-m(機(jī)+e")]=[,

令加+?-2=z，則《l-lnE)=l,

記g")=r(l-lnr),g'Q)=l-(l+lnr)=-lnr

于是，g(力在OU)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

:.g。)1[1僦=g(l)=l,于是/=加+e2=1,m=1—e2?

(2)八幻="-〃?，

11

①當(dāng)機(jī)<0時(shí)，(")>0恒成立，/。)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=1-相>0,〃_1)二”一1<0

m

:.函數(shù)fM在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)〃?=()時(shí)，/(x)="在R上沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)機(jī)>0時(shí)，令尸(x)>。，則即函數(shù)/*)的增區(qū)間是(In根,+8),

同理，減區(qū)間是，

:./(X)irin="7(1-Inm).

i)若0<〃2<e,則/(x)min=，〃(ITnm)>0,/(x)在R上沒有零點(diǎn)；

ii)若巾=e,則/(x)=/一0有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

iii)若心e，則/“)min="z(l-】nM<0.

f(2Inin)=m~-2m\nin=m(in-21nm),

令h(ni)=m-2Inm,則"(〃?)=I-—,

m

???當(dāng)〃時(shí)，以〃7)單調(diào)遞增，h(m)>h(e)>0.

/.f(2Inm)=rn2-2mlnm=m(m-2\nm)>m(e-2)>0

又???/(0)=l>0,

在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)OWmve時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)機(jī)<0或〃?=e時(shí)，函數(shù)/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)〃?>e時(shí)，/(x)恰

有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考杳導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點(diǎn)等知識(shí)，求解切線有關(guān)問題時(shí)，一定要明確切點(diǎn)坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究

函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，此時(shí)如果用到零點(diǎn)存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個(gè)

端點(diǎn)值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.

21、(1)4;⑵證明見解析.

【解析】

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，集合A“共有2?=4個(gè)子集，即可求出結(jié)果；

(2)分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，集合