黃金卷-【贏在高考黃金8卷】2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）（含解析）

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考I卷專用）

克6

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合A="|/+3工一10〈0},8=*|-3<%<3},則()

A.{x|-3<x<2)B.{N-5vxv2}

C.{d-3vx<3}D.{x|-5<x<3}

2.若i(l一乞)=3,則|z—5|=()

A.6iB.-6iC.2D.6

3.如圖，在四邊形ABC。中，DC=2AB.BE=2EC,設(shè)。C=4，DA=b，則?！暗扔?)

",

B.

32

D.4+U

33

4.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它

的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為3亞米，側(cè)棱長為5米，則其體積

為（）立方米.

A.24返B.24c.72V2D.72

5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猾想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如20=3+17.在不超過15的素?cái)?shù)（素?cái)?shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了I和自

身外沒有其他因數(shù)的自然數(shù)）中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

等圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼木V＞。），縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間

6.將函數(shù)/(x)=cos

0,y上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在培哈上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為（）

11.11￡

A.C.了4D.

則a,b,c的大小關(guān)系為（)

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<h<c

8.已知等腰直角y6c中，/C為直角，邊4C=G，P,。分別為AGA'上的動(dòng)點(diǎn)（P與C不重合），將

△APQ沿尸。折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)4的位置，且平面A/QJ.平面8CPQ若點(diǎn)4,從C,P,。均在球。的

球面上，則球。表面積的最小值為（）

A.8nB.4兀C.雙身D.—

33

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.如圖，正方體ABCO-AgGA的棱長為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.正方體棧CQ的內(nèi)切球的半徑為,

B.兩條異面直線。。和Bq所成的角為5

C.直線房與平面"GR所成的角等于:

D.點(diǎn)。到面AC。的距離為包

2

io.已知函數(shù)/（刈=:丁一/+工，則（）

A.八幻為奇函數(shù)B.x=l不是函數(shù)/*）的極值點(diǎn)

C./（2在I-,+8）上單調(diào)遞增D./（幻存在兩個(gè)零點(diǎn)

11.已知拋物線C:y2=6x的隹點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交。干M,N兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|MN|的最小值是6B.若點(diǎn)P6,2）,則畫|+|網(wǎng)的最小值是4

C.向+看=3D.若阿可憐耳二18,則直線MN的斜率為±1

12.己知函數(shù)/（幻及其導(dǎo)函數(shù)/'（幻的定義域均為R,記g（x）=/'（x）.若/（|-2x）,g（2+x）均為偶函數(shù),

則（）

（1

A./（-1）=/（4）B.g--=0C./（（））=!D.g（-l）=-g（2）

乙］

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x+-(2x+5)展開式中含P項(xiàng)的系數(shù)是.

\X)

14.寫出與圓(x—l『+(y—2『=1和圓(x+l)2+(y+2『=l都相切的一條直線的方程.

15.若函數(shù)=+4or與人力=5/山_1加〃>0有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，貝肥的

最小值為.

16.已知橢圓C:二+￡=l,甚、入分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓。上非長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，。是x

1612

S2s

軸上一點(diǎn)，使得PO平分/月尸鳥.過點(diǎn)。作外；、的垂線，垂足分別為A、B.則官獨(dú)生+會(huì)正的最小

值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.(10分)己知公差不為零的等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為=3,且4M3當(dāng)成等比數(shù)列.

⑴求乩｝的通項(xiàng)公式；

14

(2)若2=25一+1'數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為心證明：1<￡

18.(12分)在工8C中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為g滿足b=a—2bcosC

(1)求證：C=2B；

⑵若/WC為銳角三角形，求2sinC+cosA-sin4的最大值.

19.(12分)如圖，在三棱柱A3C?AGC中，AC=2,AB=C，E,尸分別為A。，的中點(diǎn)，且政工

平面AAG。，

(1)求棱8c的長度:

(2)若同，且△4尸。的面枳5=石，求平面人男尸與平面A/C的夾角的余弦值.

20.(12分)為了解學(xué)生中午的用餐方式(在食堂就餐或點(diǎn)外賣)與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某

日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了如下頻率分布表(不完整)：

學(xué)生與最近食堂間的距離d(m)(0,2(X)](200.400](400.630](600.800](800,-KX>)合計(jì)

在食堂就餐0.150.100.000.50

點(diǎn)外賣0.200.000.50

合計(jì)0.200.150.001.00

并且由該頻率分布表，可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為37()m(同-組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中

點(diǎn)值作為代表).

(1)補(bǔ)全頻率分布表，并根據(jù)小概率值。=0.0001的獨(dú)立.性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近

食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)(當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過400田時(shí)?，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn))：

(2)已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.

(i)一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時(shí)，記他選擇去

甲食堂就餐為事件A,他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件。，且。、A均為隨機(jī)事件，證明：

P(D|A)>P(D|A)：

(ii)為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動(dòng)方案，顧客可任選其一.

①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得〃元優(yōu)惠；

②"饑餓型''優(yōu)惠方案：校慶期間，對(duì)于顧客去甲食堂就餐的若干天(不必連續(xù))中午，第一天中午不優(yōu)惠(即

“饑餓”一天)，第二天中午獲得26元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得A元優(yōu)惠(其中〃，人為己知數(shù)且〃>。>0).

校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為〃(()<〃<】)，且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知

李明是一名“激進(jìn)型”消費(fèi)者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方

案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請(qǐng)你據(jù)此幫他作出選擇，

并說明理由.

2n(ad-bcY_.,,

附：Z"=7-Tv--------冰'其中〃=a+〃+c+〃?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.0100.001

Xa2.7066.63510.828

21.(12分)已知雙曲線C:二-與=1(〃>0/〉0)上的一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為2且雙曲線C的離

a~b~

心率為好.

2

⑴求雙曲線C的方程；

(2)已知M是直線x=/(O</<a)上一點(diǎn)，直線M居交雙曲線C于A(A在第一象限)，8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過點(diǎn)M作直線04的平行線,,/與宜線0B交于點(diǎn)P,與x軸交干點(diǎn)Q,若夕為線段MQ的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/

的值.

22.(12分)已知函數(shù)/(i)="-ek)g“x-e，xa)=a'71na,其中。>l,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴求函數(shù)g("的單調(diào)區(qū)間和最值；

⑵證明：函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);

（3）當(dāng)4￡上上2］時(shí)，證明：/（耳之0.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考I卷專用）

黃金卷?參考答案

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

9101112

BCBCABDABD

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.12014.x=0或4），-3工=0或2x—y土石=（）（答案不唯一）15.--16.—

248

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（10分）

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公差為小"工0），因?yàn)?必，生成等比數(shù)列，所以婷=4。,

即（4+2〃y=4（弓+6d）,因?yàn)閐wO,所以q=2d,

又生=3,所以4+d=2d+d=3,

所以d=l，4=2,

所以an=4+=2+〃-1=〃+1.

⑵由（…什W

所以“i”.~/LOX--

2s〃-4r+1〃（〃+2）2ynn+2J

所帖中\(zhòng)n\（\i）

、35）〃+2,

If.1I11I11Vlf3__1_____J_、

2132435n"+2廠212n+\〃+2「

113

又一->o,-->0,所以

幾十1〃十24

18.（12分）

【詳解】（1）由題8=4一2〃cosc

由正弦定理：sinZ?=sinA-2sin/JcosC=sin（B+C）-2sinBco

所以sin8=sinficosC+cosBsin（7-2sinBcosC,

整理sinB=sinCcosB-cosCsin25,

所以sin8=sin（C-B）,

:.B=C-B^B+C-B=TI（舍）

:.C=2B.

（2）?.?&A8C為銳角三角形，

0<7t-3B<-

2

7tjr

0<B<-，解得：一泗以0v；-8v/

26

0<2B<-

2

.兀n7i.n

sin-=sin=sin-cos——cos—sin—

123434~4~

fh(1)問，C=2B,/.2sinC+cosB-sinB=2sin2B+cosB-sinB,

令t=cos8-sinB=&sin71B|e|0,

14

KiJsin2B=l-(cos^-sinB)',

217

所以2sinC+cos3-sin8=2(l-廣)+/=-2/+/+2=-2+T,

因?yàn)?￡((),『G-l)，

./

當(dāng)/=!時(shí)、所求2sinC+cos/3-sin8的最大值為?.

48

19.(12分)

【詳解】(1)取AC的中點(diǎn)O,連接BRED,

在二棱柱ABC-A8c中,可得Z)E//AA//881,且OE=gAA=8尸片.

???四邊形OEF3為平行四邊形，則屬V/O3,

又斯工平面AAGC,二/兄_1平面A4CC,

???ACu平面AAG。，

：.DBLAC,

又D為4c的中點(diǎn)，

1ABe為等腰三角形，

VAC=2,AB=6，則8C=AB=&;

(2)由(1)知，AB2+BC2=AC\..AB工BC,EF=BD=1,

ACu平面MCC,所以E尸_LAC，

故svc=^ACEF=>/5=>/\C=25/5,

由（1）知，OA_L平面AAGC,/U,U平面A4.CC，

則DR1AAlf

又三棱柱中

又AAB1BB.,

,:又ABcDB=B,AB、DBu平面ABC,

眼，平面ABC,

二.三棱柱ABC-ABC為直三棱柱，

??.△4AC為直角三角形，可得AA=4,

又在三棱柱A8C-4出￡中，ABqBC,..ABJB￡,

以用為坐標(biāo)原點(diǎn)，B?,46出所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B,(0,0,0),A(0,正,0)，G(72,0,0),C(V2,0,4),4(0,0,4),尸(0,0,2),

4/=(0,-歷2),/=(&，-&，4),

設(shè)平面A的一個(gè)法向量為，2=(x,y,z)

n-AiF=-\[2y+2z=0

令z=l,則丫=&,x=-&，

n-\C=\[lx->/2y+4z=0

???平面的一個(gè)法向量為〃=［&,啦,1),

易得平面耳A”的一個(gè)法向量為〃=(i,o,o)

設(shè)平面4Ab與平面A.FC的夾角為o,

|mn|V2V10

..COS0=:j——r=—f=---=——，

卜明〃|V5xi5

平面B^F與平面A.FC的夾角的余弦值為巫.

5

20.(12分)

【詳解】(1)(1)設(shè)de(200,400］組的頻率為b則de(400,600］組的頻率為1-0.20—0.15T=0.65-r,

估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離2=100x0.20+300(+500(0657)+700x0.15=450-200/=370,解得

t-0.40,

故可補(bǔ)全頻率分布表如下：

學(xué)生與最近食堂間的距離4加)(0,2(X)](200,400](400,600](600,800](800,2)合計(jì)

在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50

點(diǎn)外賣0.050.200.150.100.000.50

合計(jì)0.200.400.250.150.001.00

據(jù)此結(jié)合樣本容量為2000可列出2x2列聯(lián)表如下:

學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食較堂遠(yuǎn)合計(jì)

在食堂就餐7003001000

點(diǎn)外賣5005001000

合計(jì)12008002000

零假設(shè)學(xué)生中午的用餐情況與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近無關(guān).

20004700x500-300x500）2,500

注意到』=>1（）828=

1000x1000x1200x8006

據(jù)小概率侑?=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H。不成立,

即可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān).

（2）⑴證法一:由題意得P（A|D）＞P（，|D）,P（A|D）＞P（A|D）,

結(jié)合*4⑼+2（川。）二夕何方）+P（川方）=1,P（A|O）＞0.5＞P（A|方）.

P（AD）P（AD）P（A）-P（AD）

結(jié)合條件概率公式知尢/＞方#=向1，即P（AD）＞P（A）P（D）.

/、/P（AD）P（AD）

P（D|A）-PD|A）=-\

''''PAPA

P（4/））U—P（A）］—［P（0—Q（/V?）］P（A），①￡＞）—尸⑷尸（0

>0,

P（A）［1-P（A）］P（A）［1-P（A）］

即P（Q|A）＞P（O|A）成立.

證法二：由題意得「（A|O）＞P（Z|。），尸（川方）＞P（A|必,

所以符號(hào)

P（AD）＞P（AD^同理尸（AD）＞尸（4。）,

于是P（A0）P（而）

故P（叫A）-P（D|Z）=需-曙

戶（AQ）[p（M）+P（而）卜P（M）[P（AQ）+P（A0]

"P（A）P（-

P（AD）P（^D）-P（A￡＞）P（AD）,_、

=------P（A）pp）＞（）＞即P（"A）＞P（04）成立?

（ii）設(shè)李明在校慶期間去食堂甲就餐的次數(shù)為3

若選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為x元，若選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為y元,

P（^=O）+P?=1）,^=O

則4~4（7,〃），X=試,對(duì)0WZK7,有P（y=M）=Jo/=l,

P（D，2~W7

故E（X）=E（延）=/傳）=7網(wǎng),

=HE（+-P4=1）]=7pb[\-（\-〃力，

令E（X）=E"），結(jié)合得p=l—“，|,記為％.

若Po＜P〈l，貝jiE（y）-E（X）=7pg[g-（l-p）6]-a}＞0,E（Y）＞E（X）,

此時(shí)李明應(yīng)選擇"饑餓型''優(yōu)惠方案；

若。<P<P。,則夙y)-E(X)=7p{44-(l-p)6]-a}<0,E(y)<￡(x),

此時(shí)李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案.

若P=〃°，則(1一〃)6=1-2E(x)=E(y).

注意到O(X)=D(喈)=/0⑷=7網(wǎng)20_p),

D(y)=E(r2)-[E(y)]2=XW>(r=^)-[￡(x)]2

￡=2

=6￡z2p(g=&)-49p2/=〃「￡&2p(4=&)_p(g=i)-49〃2a2

k=2LhO.

=〃[網(wǎng)為一P("1)卜49P2/=從{集⑷F+力(j)—A?=])}―49〃2/

=6149〃」+7p(l-p)-7〃(1-p)"]-49Pl2=7p{Z?'[6p+l-(1-p)6-1pa'}.

因此。(Y)-O(X)=lp{b2[6p+l-Q-p)6]-7p^2-(l-p)a2}

=7/?!6/?/?2+R>-(6〃+l”[}=7〃彷-a)[6〃(Z?+a)+a]>0,

即D(Y)>D(X).

此時(shí)李明選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案，即獲得的優(yōu)惠方差更大的方案，即“饑餓型''優(yōu)惠方案.

綜上所述，當(dāng)0<P<〃。時(shí)，李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案；

當(dāng)網(wǎng)工〃<1時(shí)，李明應(yīng)選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案.

21.（12分）

【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為版土緲=0,設(shè)雙曲線上一點(diǎn)。（%,為），

則”一明.1竺+明=鳳一%1仍將+4%1=，北一二引=2

777^-c2C2

又因?yàn)?。（孫%）在雙曲線上，所以鳥-1=1,即從X-，￥=〃方，

trb"

代人可得些=2,又因?yàn)閑=￡="，/=/+〃，代入可得6=3,/=6,

ca2

所以雙曲線方程為￡=1;

（2）由（1）如圖所示,

知c=3,所以月（3,0）,

若直線“入斜率為()，此時(shí)點(diǎn)A不在第一象限，矛盾，故M6斜率不為0,

r-3

設(shè)直線M乃的方程為“沖+3,A(/y),8(七,%)，則M人

x=my+3

聯(lián)立/2,化簡可得（加一2）尸+6叫，+3=0,

---------=1

63

lm2-2#0m工±41

則

|A=36/n2-12（/7r-2）>0，24（W2+1）>0,

-6m

則

3

>1^2m=^--^2

乂因?yàn)椤?所以…。"十品，％比二號(hào)

所以直線/的方程為)，-^=鼎(1),直線。8的方程為，=啟丁,

=---（%-/）,、

聯(lián)立〃明+3,解得）,，*+（3-獸,

_>'2〃心一必）

yv—Av

my2+3

即P的縱坐標(biāo)為力=

又由上可知＞VJ2=-^-T?兩式相除,

m~-2m~-2

得〃5%=-g(X+M)，

I115、

代入可得小_，財(cái)力+(3T)為―井+%)+。一)兒一/+15一/’2,

用(y一%)Mx-%)切(苗一必)

因?yàn)椤笧榫€段MQ的中點(diǎn)，所以>,p="k=F

22nl

即f+(1小,一3f+(1小__3,

加(X一弘)2〃？苗一％2

所以需滿足g1=f-|5=^t-3,解得，=2.

22.(12分)

【詳解】(1)由g(x)=a'一Mna求導(dǎo)可得：g\x)=a'Ina-Ina=(f/r-1)Int/

因〃>I,故Ina>0,

當(dāng)工>0時(shí)，，:>l,/-l>0,g'(x)>0,故g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)工<0時(shí)，優(yōu)<1,/一1<(),g'(x)<(),故g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減；

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為a+00),遞減區(qū)間為(-8,0),最小值為g(0)=l,無最大值.

(2)因/(x)=a'-elog/—e,其定義域?yàn)?0,*o),f\x)=ax\na--g_=""、"二e,

x】naxlna

取h(x)=xa'In,a-e,則/?x)二屋In'a(l+xIna),因〃〉1,故hXx)>0,則力(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，

①當(dāng)a>e時(shí)，力(O)=-ev(V?⑴二川Ya-e〉。,故函數(shù)/心)在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

則此時(shí)，函數(shù)/(幻有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)a=e時(shí)，h(x)=xe*-e,因A(D=0,因h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，故函數(shù)h(x)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

則此時(shí)，函數(shù)”幻有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

II]

③當(dāng)l<a<c時(shí)，力(l)=aln'a-e<0,又因>1,h(——)=a'n：a-e?

In"ln2a

IIIII

?.■ln(am))=—―ln?=--->1,/.>,g|Jh{)>0,

liraInaelira

故函數(shù)力。)在。，S-)內(nèi)有且僅有?個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則此時(shí)，函數(shù)f(x)有且僅有?個(gè)極值點(diǎn)；

\na

綜上所述，函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

(3)由(2)可知，當(dāng)4€上22]時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為〃?，則

又由(2)函數(shù)/⑴有最小值為/?.

由f(加)=0可得：ma"'\n2a-e=0,即〃",兩邊取自然對(duì)數(shù)得：〃Hn4=l-ln〃L21n(lna),

mma

故Inm-1-m\na-2ln(lna),

于是/(〃?)=a-elogm-Q=a--------e=------------(1-/721n^-21n(lntz))-e

rtInawin-aln〃

-{Qn/+制21黑?二In紇l]lng+l},不妨設(shè)/=ga,則a式厚],故得/c[1,2],則

nr\n~a+m[2ln(lnt/)-In?-1]Intz+1=nrt2+mt(2\nt-1-1)+1,

對(duì)于函數(shù))，=/品、〃"⑵n/T-l)+l,其對(duì)應(yīng)方程的判別式△=i21|1"/-1尸-4/=/2[(2ln/-/-l)2-4],

設(shè)必，)=2ln/—f-l,/e[L2],則“(/)=￡—1=—之。恒成立，

tt

故函數(shù)。⑺在[1,2]上單調(diào)遞增，則以1)?*⑺4。(2),即一24次。<21n2-3<。，

從而0<[刎。]2<4,于是△<(),

故有y=//+皿(211)-1)+1之0恒成立,故/(〃?)之0恒成立，所以/(x)N0.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考1卷專用)

更生倉

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合A={.v|x2+3x-10v0},3={d-3vxv3},則人門“一()

A.(.v|-3<x<2)B.{A|-5<x<2}

C.{A1-3<X<3}D.{X|-5<x<3}

【答案】A

［詳解］因?yàn)锳={x|X2+3X_IO<O}={X|_5VXV2},

所以Ac8={x|-3<xv2}.

故選：A.

2.若i(l-可=3,則|z-目=()

A.6iB.-6iC.2D.6

【答案】D

3

【詳解】由題設(shè)可得1一彳=?=一玉，則5=l+3i,則z=l-3i,

?

故z-云=-6i,故憶一司=6,

故選：D

3.如圖，在四邊形ABC。中，DC2AB,BE=2EC,設(shè)。C=a，DA=b，則OE等于()

n21,

B.—ci+—b

32

、2r1f

D.—a+—b

33

【答案】C

【詳解】因?yàn)镈C=2AB,BE=2EC,

所以0E=￡>C+CE=0C+gc3=0C+；(03—0C)=QC+g(0A+AB—0C)

2112I151

=-DC+-DA+-AB=-DC+-DA+-DC=-a+-b.

33333663

故選:C

4.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它

的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為36米，側(cè)棱長為5米，則其體枳

為（）立方米.

C.72夜D.72

【答案】B

【詳解】如圖所示，在正四棱錐P-A38中，連接八Ga）于0,則。為正方形/WCD的中心,

連接OP,則底面邊長AB=3狡，對(duì)角線8。=及囚8=6，BO=；BD=3.

又BP=5,故高。尸=-8產(chǎn)-8O2=4.

故該正四棱錐體積為V=；x（3應(yīng)『x4=24.

故選：B

5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如20=3+17.在不超過15的素?cái)?shù)（素?cái)?shù)是指在大于I的自然數(shù)中，除了I和自

身外沒有其他因數(shù)的自然數(shù)）中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

【答案】C

【詳解】不超過15的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,隨機(jī)取兩個(gè)不同取法有C：=15種,

其中和等于16的情況有3,13或5,II兩種情況,

2

所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是*.

故選：C

6.將函數(shù)/（x）=cos卜+亨）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉碚?（3>0）,縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間

間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為（）

A.B.C.2,4D.作,6

_4」L4）L4J\4

【答案】c

【詳解】依題意可得y=cosw+T,

E3八//22兀/2兀/2co2兀

因?yàn)镺VxV771，—<<vx+—<—7C+—

33333

因?yàn)閥=cos"等在"可恰有2個(gè)零點(diǎn)，且cos6+3）=0,k、eZ,

2兀In1117

所以彳K-^-幾+-^-<-y，解得3Vz，

乙JJ4T*"T

<n+2^7r,&,eZ,得一如+的工“工二十也，幺cZ,

3“3（o（o3（oa）

令與二（）,得產(chǎn)cosjs+多在一上單調(diào)遞減，

I3/[3<w3M

”一「冗冗]27r

所以卜五'司IQ一而嬴itI,

27cn

—W---

3(o12

所以，乂。＞0,解得0＜。＜4.

—>—

36y12

綜上所述‘;“⑷”,故”的取值范圍是

故選：C.

7.已知a=(g),/?=(土也)，c=g),則a,〃，c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

令f(x)=(l+J，x>0,則ln/(x)=xln1

令g(x)=xln[l+，,x>(),

Y

令Mx)=ln(l+x)-"j---,x>(),

II

則面7＞°在(°”)上恒成立，

故力(x)=In(1+x)-在(0,y)上單調(diào)遞增，

又力⑼=0,故M%)=ln(l+x)-上＞0在(0,m)上恒成立，

1I人

2

將力(力=皿1+力一.＞0中4換為：可得，始(1+口--t＞0,

即In1+->0,故g'（力>0在（0,+8）上恒成立，

、X）1?-V

所以月（x）=xln（l+；）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/（力=[1+—）'在（。，+8）上單調(diào)遞增,

KPa<b<c.

故選:D

8.已知等腰直角.ABC中，NC為直角，邊AC=R,P,Q分別為ACA8上的動(dòng)點(diǎn)（P與。不重合），將

△APQ沿PQ折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)4的位置，且平面APQ1?平面4cp。若點(diǎn)4,B,C,P,。均在球。的

球面上，則球。表面積的最小值為（）

AO'廠8五兀八4兀

A.跳BD.4兀C.-----D.—

33

【答案】A

【詳解】顯然P不與A重合，由點(diǎn)/T,B,C,P,。均在球O的球面上，得B,C,P,Q共圓，則NC+NPQ8=兀,

又乂為等腰直角三角形，AA為斜邊，即有PQ/A8,

C

將aAP。翻折后，PQLA'Q,PQ工3Q,又平面4'PQ_L平面8C。。,

平面APQiI平面BCPQ=PQ,

A'Qu平面4PQ,BQu平面BCPQ,于是AQ，平面〃CPQ,8Q_L平面APQ,

顯然A/,加的中點(diǎn)。E分別為“VPQ,四邊形BCPQ外接圓圓心，

則DO_L平面A/Q,EOJ_平面8cPQ,因此OO//6Q,EO/ZAQ,

取PQ的中點(diǎn)尸，連接。死莊則有所〃8Q//。。，DFHA:Q//EO,

四邊形EFDO為矩形，設(shè)A'Q=x且0＜工＜26，DO=EF=-BQ=^^,A'P=&x，

22

設(shè)球0的半徑R,WR2=DO2+等）=1X2-^X+3=1X-卒+2,

當(dāng)H=氈時(shí)，（N）=2,所以球o表面積的最小值為4兀（內(nèi)）=8兀.

3、/mm\-mm

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.如圖，正方體ABC。-A4GA的梭長為1,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.正方體48。。-的內(nèi)切球的半徑為巫

2

B.兩條異面直線。。和Bq所成的角為5

C.直線8c與平面/WGQ所成的角等于;

D.點(diǎn)。到面AC〃的距離為包

2

【答案】BC

【分析】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，可判定A錯(cuò)誤；連接ACCR,把異面直線。。和BG所成

的角的大小即為直線OC和所成的角，△4CR為正三角形，可判定B正確：證得8cd.平面A8G。-

進(jìn)而求得直線BC與平面A8G。所成的角，可判定C正確；結(jié)合等體積法，得到匕進(jìn)而可

判定D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A中，正方體A8CD-A4GA的內(nèi)切球的半徑即為正方體A8CD-AB￡2的樓長的一半，

所以內(nèi)切球的半徑R=g,所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B中，如圖所示，連接AC,CR,

因?yàn)锳8//GA且A8=GR,則四邊形ABGR為平行四邊形，所以BCJ/AR,

所以異面直線RC和8G所成的角的大小即為直線RC和AR所成的角ZAD.C的大小，

又因?yàn)?C=A〃=AC=V5,則△AC"為正三角形，即所以B正確；

對(duì)于C中，如圖所示，連接BC，在正方形明GC中，及C.

因?yàn)?平面BBC。，B°u平面BBCC，所以AB_L8c.

又因?yàn)锳BIBC,=B,ABu平面ABCQ],B0u平面ABCQ,

所以印小平面ABCQ,所以直線8。與平面ABCQ所成的角為NCBG=￡,

4

所以C正確；

對(duì)干D中，如圖所示，設(shè)點(diǎn)。到面AC。的距離為人因?yàn)椤魅薈"為正三角形,

所以SVAS=JxACxARsi吟=歲

又因?yàn)镾vAm=gxAOxC7)=g，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：%TS=匕”口,，

即b/zxSAmIxQAxSf，即且」xlxL解得〃邛，所以D錯(cuò)誤.

.533232

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(x)=gv-d+x,則()

A./(幻為奇函數(shù)B.x=l不是函數(shù)/J)的極值點(diǎn)

C./(<)在1-1,內(nèi))上單調(diào)遞坤D./(%)存在兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷A,求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性判斷BC,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性判斷D.

i232

【詳解】函數(shù)/(幻=!/一/+1的定義域?yàn)镽,y,f(-x)=-^x-x-xt-/(x)=-^x+x-x,

則f(r)=-/⑺，所以/⑶不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?，(?=/一2\+1=(..1尸20,所以/(.?)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/。)不存在極值點(diǎn)，故選項(xiàng)B與C

正確：

因?yàn)閒(l)=g-l+l>。，/(-1)=-^-1+1<0,又在R上單調(diào)遞增，且/(0)=0,

所以/(“)僅有一個(gè)零點(diǎn)0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.已知拋物線UV=6x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交。于M,N兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.|MN|的最小值是6B.若點(diǎn)則|幽+河的最小值是4

C.春|+房廠3D.若附小加6=18,則直線MN的斜率為±1

【答案】ABD

【分析】A,根據(jù)|MN|=N+/+P結(jié)合基本不等式即可判斷；B,由拋物線定義知當(dāng)RM,A三點(diǎn)共線時(shí)

\MF\+\MP\.C,D,設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理即可求解.

【詳解