高考數(shù)學(xué)核心突破《專題七 概率與統(tǒng)計(jì)》(含往年真題分析)

專題七概率與統(tǒng)計(jì)

iW）頻考點(diǎn)備考策略

1.排列與組合的實(shí)際應(yīng)用；二項(xiàng)式定理（二項(xiàng)

1.牢記有關(guān)概念，掌握解決問(wèn)題的方法，理

系數(shù)以及二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的求解）

解概念的區(qū)別與聯(lián)系，如：排列與組合、互

2.古典概型、互斥事件、相互獨(dú)立事件，二

斥與對(duì)立等，解題時(shí)重在理解和分析，

項(xiàng)分布和超幾何分布的有關(guān)概念和性質(zhì)，正

2.掌握求分布列的方法、分布列的性質(zhì)以及

態(tài)分布問(wèn)題是熱點(diǎn).

由分布列求期望和方差，

3.離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差的

3.記住一些特殊分布（如二項(xiàng)分布、正態(tài)分布）

計(jì)算問(wèn)題以及在決策時(shí)的應(yīng)用

的概念及相關(guān)公式.

4.統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例中的抽樣方法、頻率分布

4.統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)、圖表要仔細(xì)分析，

直方圖、莖葉圖、回歸分析.

第1講計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理

2年考情回顧

①利用計(jì)數(shù)原理、排列組合求實(shí)際問(wèn)［例］（2017?天津卷，14）（2017.全國(guó)卷II,6）（2017?浙江

設(shè)問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題卷，16）

方式②求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指定項(xiàng)、項(xiàng)的系［例］（2017.全國(guó)卷I,6）（2017.浙江卷，13）（2016.全國(guó)

數(shù)或由條件求參數(shù)卷I,14）

①依據(jù)題設(shè)條件，厘清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，弄清是計(jì)數(shù)原理、排列、組合等不同問(wèn)題.

審題

要點(diǎn)②分析給出多項(xiàng)式的特征及問(wèn)題的要求.

①計(jì)數(shù)問(wèn)題：一確定需要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用對(duì)應(yīng)知識(shí)求解②求解形如（a+b）〃（nGN）

解題

的式子中與特定項(xiàng)（如常數(shù)項(xiàng)、指定項(xiàng)）相關(guān)的量：

模板

利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出展升式的通項(xiàng)T+l=Cra"b,常把字母和系數(shù)分離（注意符號(hào)不要出錯(cuò)）

熱點(diǎn)題型突破

題型一計(jì)數(shù)原理、排列組合問(wèn)題

高考中常從以下角度畬題：

命題（1）有條件限制的排列組合問(wèn)題；

規(guī)律（2）排列與組合的綜合問(wèn)題.多為選擇、填空題，難度中等.

（1）應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的方法：

①在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步

當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理；

②對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象

化、直觀化.

方法

（2）求解排列、組合問(wèn)題的思路：分清排組，明確加乘；有序排列，無(wú)序組合；分

點(diǎn)撥類相加，分步相乘

（3）求解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：

①以元素為主體和；

②以位置為主體和；

③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)。

I突破題組11

1.（2017.貴陽(yáng)模擬）只用2,3,4三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)（可以有重復(fù)數(shù)字），按規(guī)定同一

數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（C）

A.42個(gè)B.36個(gè)

C.24個(gè)D.18個(gè)

突破點(diǎn)撥

應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

解析要求三個(gè)數(shù)字排四位數(shù)，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，所以千位數(shù)字有3種選法，百

位數(shù)字有2種選法，十位數(shù)字有2種選法，個(gè)位數(shù)字有2種選法，所有共有3x2x2x2=24

個(gè)符合要求的四位數(shù)，故選C.

2.（2017?江西重點(diǎn)高中協(xié)作體一模）已知數(shù)列｛an｝共有9項(xiàng)，其中ai=ag=L且對(duì)每個(gè)i

￡[1,2,…，8｝,均4絮仁卜?1?一?，則數(shù)列（an｝的個(gè)數(shù)為（B）

A.729B.491

C.490D.243

突破點(diǎn)撥

令,二生看《七臥則5*小=*=1,因?yàn)?W2.I.一1則b,(1WV8)中有2k個(gè)

n="i｛xj

一!”有2k個(gè)2,其余為1,找k的可能取值，用組合數(shù)計(jì)算，

解析令人二Rl?廣X,則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列｛an｝滿；*口刀=立〒二牛二口，且

U，E1-10,O，

b,e12,I,一斗1?1/8.反之，由符合上述條件的8項(xiàng)數(shù)列｛bn｝可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)

條件的9項(xiàng)數(shù)列｛an｝.記符合條件的數(shù)列｛bn｝的個(gè)數(shù)為N,由題意知b.(tiW8)中有2k

2k個(gè)2,8-4k個(gè)1,且k的所有可能取值為0,12共有l(wèi)+C&C6+C;Cl=491個(gè)，故選B.

解題小結(jié)1

求解排列組合問(wèn)題的策略

(1)優(yōu)先法巧解元素與位置問(wèn)題：

在排列、組合的簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題中，“元素”與“位置”是兩個(gè)非常重要的考點(diǎn)，附加條件多

集中在這兩個(gè)方面，一是考查含有特殊元素或多類元素的排列、組合問(wèn)題；二是考查特

殊位置要求的排列、組合問(wèn)題，

(2)模型化巧解綜合問(wèn)題：

排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用與綜合問(wèn)題類型繁多，如相鄰與不相鄰問(wèn)題、間隔問(wèn)題、至少至

多問(wèn)題、插隊(duì)與分組問(wèn)題等，在高考命題中往往都有兩個(gè)以上的附加條件，此類問(wèn)題的難度

稍大，多位于選擇題或填空題中比較靠后的位置，

題型二二項(xiàng)式定理

高考中常從以下角度命題：

命題(1)利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式的特定項(xiàng)：

規(guī)律

(2)利用二項(xiàng)式性質(zhì)求多項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和等.

多為選擇、填空題，難度中等偏易.

(1)在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定；

②T,+1是展開(kāi)式中的第r+：項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；

方法

③公式中a,b的指數(shù)和為n且a,b不能隨便顛倒位置；

點(diǎn)撥

④對(duì)二項(xiàng)式(a-b)〃展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題.

(2)在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，〃賦值法〃是一種重要方法，是處理組合數(shù)問(wèn)題、系數(shù)問(wèn)

題的經(jīng)典方法.

突破題組

1.⑴Q017.河北石家莊模擬)(x+l)s(x-2)的展開(kāi)式中X2的系數(shù)為(C)

A.25B.5

C.-15D.-20

(2)(2017?福建泉州模擬)已知(ax+b”的展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)分別為135與

-18,則(ax+bF的展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)之和為(D)

A.-lB.1

C.32D.64

突破點(diǎn)撥

⑴先拆成x(x+l)5-2(x+l)5,再分別求x2的系數(shù).

(2)利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分別求出a和b,再用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)和，

解析(l)(x+l)s(x-2)的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為C3?2C3=15.

(2)(ax+b)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

Tr+l=C6a6'b2x6'r.由題意得

C6ab2=15ab2=135,Cba5b=6a5b=-18,解

得A.

b-33T

令x=l,得(ax+b)6=(a+b)6=64.故選D.

2.(1)(2017?湖北八校聯(lián)考)若"序一cmr也.[?-《加展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的

系數(shù)為(A)

63

A.B.

6363

c.D.

R16

(2)(2017?南昌二模)若A,B,C,D四人站成一排照相，A.B相鄰的排法總數(shù)為K,則二

項(xiàng)：式(|一：)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)g_

突破點(diǎn)撥

(1)先求積分確定a的值，再用展開(kāi)式的通項(xiàng)求解.

(2)利用排列知識(shí)求k的值，再用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解之.

解析(-COlXjdl—-BHJT2?一|.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，一土)

令9-2r=3,可得r=3,J選，故含項(xiàng)的系數(shù)為一多.故

(2)先將A,B看成一個(gè)整體，與C,D一起進(jìn)行全排列，有A3種排法，再將A,B進(jìn)行

全排列，有A3種排法，故共有A3XA3=12種排法，故上⑵所以(|一廿二(1一/；二

項(xiàng)：珀-和I'的展開(kāi)式的通項(xiàng)為人7.6(-不令尸2,則二項(xiàng)《I一$｝：的展開(kāi)式中

含x2項(xiàng)的系數(shù)為二三.

■解題小結(jié)!

解關(guān)于二項(xiàng)式定理問(wèn)題的五種方法

⑴特定項(xiàng)或其系數(shù)等常規(guī)問(wèn)題通項(xiàng)分析法，

(2)系數(shù)和差型賦值法.

(3)近似問(wèn)題截項(xiàng)法.

⑷整除(或余數(shù))問(wèn)題展開(kāi)法，

⑸最值問(wèn)題不等式法.

熱點(diǎn)題源預(yù)測(cè)

排列組合的綜合問(wèn)題

以實(shí)際問(wèn)題為背景，構(gòu)建以排列、組合及計(jì)數(shù)原理

考向

預(yù)測(cè)的綜合問(wèn)題，求計(jì)數(shù)結(jié)果.

(1)分析題設(shè)條件，明確問(wèn)題是否與順序有關(guān)，從而

解題

確定是排列還是組合問(wèn)題.

關(guān)鍵

(2)選擇合適的計(jì)數(shù)公式求解結(jié)果，

(1)把握“順序”、“無(wú)序”的本質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)用對(duì)應(yīng)

失分

防范公式.

(2)分類要不重不漏

【預(yù)測(cè)】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有

()

A.144個(gè)B.120個(gè)

C.96個(gè)D.72個(gè)

思維導(dǎo)航

(1)切入點(diǎn)：兩個(gè)計(jì)算原理的靈活運(yùn)用、排列組合的概念及運(yùn)算，

(2)關(guān)注點(diǎn)：按最高位分兩類處理：①萬(wàn)位為4;②萬(wàn)位為5.

規(guī)范解答

當(dāng)五位數(shù)的萬(wàn)位為4時(shí)，個(gè)位可以是0,2,此時(shí)滿足條件的偶數(shù)共有C2AJ=48(個(gè))；當(dāng)五

位數(shù)的萬(wàn)位為5時(shí)，個(gè)位可以是024,此時(shí)滿足條件的偶數(shù)共有CIA1=72(個(gè))，所以比40000

大的偶數(shù)共有48+72-120(個(gè)),故選民

答案B

【變式考法】(2016.北京海淀二模)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，

且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有題種.

解析記5件產(chǎn)品為A,B,C,D,E,其中A,B相鄰視為一個(gè)元素，先與D,E排列，

有A3A3種方法，再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有A3A3cl=2x6x3=36種不同的擺

法.

點(diǎn)規(guī)范演練

1.(教材回歸)將4個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的黑球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒

子既要有白球，又要有黑球，則不同的放法的種數(shù)為(D)

A.12B.I0

C.6D.18

解析由題意知本題是一個(gè)分步乘法計(jì)數(shù)問(wèn)題，首先把4個(gè)白球用兩塊擋板隔開(kāi)分成三

份，共有C3=3種放法，再把5個(gè)黑球用兩塊擋板分開(kāi)，共有Ci=6種放法，由分步乘法計(jì)

數(shù)原理知共有3x6=18種放法，故選D.

2.（教材回歸）5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，且甲不能站在兩端的排法

總數(shù)是（B）

A.40B.36

C.32D.24

解析5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰，用捆綁法，即甲與乙捆綁在一起當(dāng)

作一個(gè)，再與其他的3人全排列，有A3.A4種，其中甲站在兩端的排法，有2A3種.因此共有

A3.A4-2A3=36種排法.

J卜勺展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為1024,

3.（2017.江西南昌調(diào)研）蘇

則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（C）

A.-270B.270

C.—90D.90

（2一的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和等力停的的展開(kāi)式中所

解析

令x=l,得4”=1024,即n=5.因此當(dāng)n=5時(shí)，3對(duì)

有項(xiàng)的系數(shù)的和4

展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)

-r）+q-0,解得r=3.因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C3x32x（-1產(chǎn)=-90.

-卡）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（A）

4.（書(shū)中淘金）設(shè)＜1=jsin岫，則4

A.-160B.160

C.-20D.20

所斗而#（麗J.其展開(kāi)式的通

解析因?yàn)椤?廣而idi=-cat

看力心1,€?動(dòng)/-｛一打當(dāng)『3時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為（-1）23℃=-160.

5.(x+I)(x-2),的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為（A）

A.-100B.-15

C.35D.220

解析選A.由二項(xiàng)式定理得，（X-2”展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+l=C6（-2）x6-,所以*3的系數(shù)

為C8(?2)3=160,x4的系數(shù)為C6(?2)2=60,所以(x+l)(x-2)6的展開(kāi)式中X，的系數(shù)

為一

16。+6。=-1。。.故選A.

6.（教材回歸）已知隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布N（2,c2）,且“P（>a）=P（S<a）”，則關(guān)于x

的二項(xiàng)：式卜二的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（0

A.2B.-2

C.12D.-12

解析由5?N（2,c2）及P（>a）=P?a）,得a=2..卜一。的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)+1=CS（x2）3

-《一當(dāng)r=2時(shí)，6-3r=0,則常數(shù)項(xiàng)為（-2>C3=12.

7.（2017.吉林二模）某市某公司有五個(gè)不同的部門(mén)，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來(lái)該公司實(shí)習(xí).要

求安排到該公司的兩個(gè)部門(mén)，且每部門(mén)安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（B）

A.40B.60

C.120D.240

解析由題可知，可分兩步完成.先對(duì)4名大學(xué)生分組，分法為女種：然后排到公司五

個(gè)不同部門(mén)的兩個(gè)部門(mén)，排列法有A3種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得=即共有60

種安排方案，

8.（考點(diǎn)聚焦）若二項(xiàng)式（/+；下展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則含x3項(xiàng)的系數(shù)為

20-

解析令x=l,得二項(xiàng)：展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2”=64,???n=6.???

其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)+l=C6（x2）6--X-=Ckx12-3r.令12-3r=3,；.r=3,

的系數(shù)為（，=崇點(diǎn)=20.

9.（2017?浙江卷）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組

成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法（用數(shù)字作答）.

解析用間接法考慮，8人中選正、副隊(duì)長(zhǎng)各1名有A2C6種方法（含2名隊(duì)員）.其中沒(méi)

有女生的選法為A6-Ci.故共有A2-C6-AB-C3=660種不同選法，

10.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂

不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有180種.

解析按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域共有5種顏色可選；

第二步B區(qū)域有4種顏色可選；

第三步C區(qū)域有3種顏色可選；

第四步由于【）區(qū)域可以重復(fù)使用區(qū)域A中已用過(guò)的顏色，故也有3種顏色可選.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有5x4x3x3=180（種）涂色方法.

逐題對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)

（見(jiàn)對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)P7）

1.展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（B）

A.360B.180

C.90D.45

解析展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式總共11項(xiàng)，所以n=10,通項(xiàng)

公式為1口|,0市產(chǎn)'0,8^15—豆，所以『2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為180.

2.A,B,C,D,E,F六人圍坐在一張圓桌周圍開(kāi)會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐

最北面的椅子，B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的

座次有（B）

A.60種B.48種

C.30種D.24種

解析由題知，不同的座次有4A3A3=48種，故選B.

28

3.若（1+X）（1-2X）7=ao+aix+a2t+...+as,則a1+a2+...+a7的值是（C）

A.-2B.-3

C.125D.-131

解析令x=l,則ao+ai+a2+...+ag=-2.

又,；（l-2x）了展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)T+i=C（-l）2x2,ao=C9（-l）°2°=I,as=C3（-1）727

=-128,

ai+a2+...+a7=125.故選C.

4.從正方體ABCD-AiBiCiDi的6個(gè)表面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選

法共

有（B）

A.8種B.12種

C.I6種D.20種

解析事實(shí)上，從正方體的6個(gè)面中任取3個(gè)面，有兩種情況：一種是有2個(gè)面不相鄰，

另一種是3個(gè)面都相鄰，而3個(gè)面都相鄰就是過(guò)同一頂點(diǎn)的3個(gè)面，有8個(gè)頂點(diǎn)，故有8種

取法，而從6個(gè)面中任取3個(gè)面共有C8種選法，因此，有2個(gè)面不相鄰的選法共有C6-8=

12種,故選B.

5.一種團(tuán)體競(jìng)技比賽的積分規(guī)則是：每隊(duì)勝、平、負(fù)分別得2分、1分、0分.已知甲

球隊(duì)已賽4場(chǎng)，積4分.在這4場(chǎng)比賽中，甲球隊(duì)勝、平、負(fù)（包括順序）的情況共有（D）

A.7種B.13種

C.18種D.19種

解析分類：（1）2次勝，2次負(fù)，Ci=6種；

（2）1次勝，1次負(fù)，2次平,CiA2=12種；

（3）4次平，1種

???共有C+CiA2+l=19種.

6.已知X8=ao+ai(x-l)+a2(x-1)斗...+a8(x-1)°,貝Ua7三8

解析x8=[l+(x-l)]8二C8(x-1)°+Ck(x-1),+C8(x-1)2+?+C8(x-l)z+C8(x-l)°,/.

ar=C8=8.

7.(2017?重慶一模8乂-丫)(*+2丫+2)6的展開(kāi)式中，x2y%2的系數(shù)為⑶

解析(x?y)(x+2y+z)6=x(x+2y+z)6-y(x+2y+z)6,其中含x2y3z2的項(xiàng)為x.Cbx

?C

(2y)3C3z2-yC6x2,Ci(2y)2C3z2=120x2y32,/.x2y3z2的系數(shù)為120.

8.用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2,…，9的9個(gè)小正方形（如圖），使得任意

相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為1,5,9的小正方形涂相同的顏色，則

符合條件的所有涂法共有」108種.

解析把區(qū)域分為三部分，第一部分1,5,9,有3種涂法，第二部分4,7,8,當(dāng)5,7同色時(shí)，

4,8各有2種涂法，共4種涂法；當(dāng)5,7異色時(shí)，7有2種涂法，4,8均只有1種涂法，故第二

部分共4+2=6種涂法，第三部分與第二部分一樣，共6種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可

得共有3x6x6=108種涂法.

9.（2017.湖北武漢華師一附中模擬）若?#r=a,則（II力'（1一號(hào)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)

是20

解析:廣

?.（1-洶一5,一心

易知（x-1產(chǎn)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)+l=Cx"-（-1）,

令6-r=3,得r=3,則（x-l/的展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C（-1）3=-20,

???“一1-；『的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為20

10.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、

乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法的種數(shù)為.8（用數(shù)字作答）.

解析甲、乙不能分在同一個(gè)班，則不同的分組有甲單獨(dú)一組，只有1種；甲和丙或丁兩

人一組，共2種；甲、丙、丁一組，也是1種，然后再把這兩組分到不同班級(jí)里，則共有（1

+2+l）A2=8種分法.

11.在一次游戲中，三個(gè)人采用擊鼓傳花的方式?jīng)Q定最后的表演者，三個(gè)人互相傳遞，

每人每次只能傳一下，由甲開(kāi)始傳，經(jīng)過(guò)五次傳遞后，花又被傳回給甲，則不同的傳遞方式

有10種（用數(shù)字作答）.

解析設(shè)這三人為甲、乙、丙，列舉可知前四次的傳遞結(jié)果為：（乙，丙，甲，乙），（乙，

丙，甲，丙）,（乙，丙，乙，丙）,（乙，甲，乙，丙）,（乙，甲，丙，乙）,（丙，甲，乙，丙），

（丙，甲，丙，乙），（丙，乙，甲，乙），（丙，乙，甲，丙），（丙，乙，丙，乙），共10種.

12.三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在兩端，任意兩名女生都不相鄰，則

不同的排法種數(shù)是一120,

解析依題意，得不同的排法種數(shù)是A3Ai-2A3A3=120.

第2講概率、隨機(jī)變量及其分布

（見(jiàn)學(xué)牛用書(shū)P7*）

2年考情回顧

［例］（2017.北京卷，17（1））（2016?全國(guó)卷1,4）

①求古典概型或幾何概型的概率

（2016.全國(guó)卷H,8）

②求解相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

設(shè)問(wèn)［例］（2017?天津卷，16）（2016?全國(guó)卷11,18）

的相關(guān)問(wèn)題

方式（2016?北京卷，16）

③求隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，［例］（2016.全國(guó)卷I,19）（2016.全國(guó)卷II,

并解決實(shí)際問(wèn)題18（3））

審題①理解題設(shè)條件，明確概念，②吃透待求概率的事件內(nèi)涵.

要點(diǎn)③明確題設(shè)信息，分清分布的形態(tài).④將新的情境轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.

①求古典概型的概率：

依據(jù)題設(shè)條件確定其屬古典概型求出事件總數(shù)及滿足所求概率所包含的事件數(shù)

列出古典概型公式求概率

②求幾何概型的概率：

明確概型的特征（長(zhǎng)度、面積、體積）

解題

模板探求試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域由幾何概型求出概率

③利用期望與方差進(jìn)行決策：

確定變量：確定隨機(jī)變量的所有可能的取值

求概率：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率

得分布列：列出離散型隨機(jī)變量的分布列求均值求方差決策

熱點(diǎn)題型突破

題型?古典概型與幾何概型

高考中常從以下角度命題：

(1)求解與長(zhǎng)度、面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題

命題(2)求解簡(jiǎn)單古典概型的概率

規(guī)律(3)求與古典概型、幾何概型有關(guān)的交匯問(wèn)題.

一般以選擇、填空題形式呈現(xiàn)，多為中等偏易難度.

(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)犍是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基

本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí).

(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包

含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的致性.

方法

(3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何

點(diǎn)撥

概型求解.

(4)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋

找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域

注］當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮其對(duì)立事件的概率.

突破題組

1.(1)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中

任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(B)

Aio

AA21Bn2i

C.4D.l

(2)(2017?重慶二模)五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有

人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人

繼續(xù)坐著，那么，沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為(C)

突破點(diǎn)撥

(1)根據(jù)古典概型的概率公式求解.

(2)翻轉(zhuǎn)5枚硬幣的所有可能結(jié)果有25,而后分類求出適合題設(shè)的事件數(shù),

解析（1）從15個(gè)球中任取2個(gè)球共有Cis種取法，其中有1個(gè)紅球，1個(gè)白球的情況有

Clo?C5=50（種）.所以—=存=義.故選B.

L14-I

（2）翻轉(zhuǎn)五枚硬幣所有可能的結(jié)果有25=32種。記“沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)”為事件

M,M包含三類情形：①都不站起來(lái)，只有1種結(jié)果；②只有1人站起來(lái)，可以是五人中任

意1人站起來(lái)，有5種結(jié)果；③有2人站起來(lái)，若設(shè)五個(gè)人座次為A,B,C,D,E,則可以

為AC,AD,BD,BE,CE,有5種結(jié)果，，事件M共包含11種結(jié)果，???門(mén)”）=9.故選C.

2.（1）（2017.全國(guó)卷1）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)

切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此

點(diǎn)取自黑色部分的概率是（B）

A

18

c5D.5

⑵Q017.山西太原模擬）正如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲

線C的方程為x2-y=0）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（B）

A.5000B.6667

C.7500D.7854

突破點(diǎn)撥

⑴用對(duì)稱性求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式求解。

（2）先求陰影部分圖形的面積，代入幾何概型概率公式求解.

解析（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則圓半徑為1,則正方形的面積為2x2=4、圓的面積為兀X1?

x

=兀,圖中黑色部分的概率力*則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為:?故選民

（2）題圖中正方形內(nèi)的空白部分的面積與廣「&=*：：=；,?,?題圖中正方形內(nèi)陰影部分的

面積屏.由幾何概型的概率計(jì)算公式得|（皿）《6667故選B.,

解題小結(jié)！

利用古典概型、幾何概型求概率的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)

(1)利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn)

①關(guān)鍵：正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常常用到排列、組合

的有關(guān)知識(shí)：

②注意點(diǎn)：對(duì)于較復(fù)雜的題目計(jì)數(shù)時(shí)要不重不漏分類，

(2)幾何概型的適用條件及應(yīng)用關(guān)鍵

①適用條件：當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮

使用幾何概型求解：

②關(guān)鍵：構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵，有時(shí)需要設(shè)出變

量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.

題型二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

高考中常從以下角度命題：

(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；

命題(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)下某事件恰好發(fā)生k次的概率；

規(guī)律

(3)相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與期望、方差交匯.多為解答題，有時(shí)也會(huì)以選擇、

填空題呈現(xiàn)，中等難度.

(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此

互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概

率公式求解.

方法

(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求

點(diǎn)撥

解.對(duì)于“至少"、"至多"等問(wèn)題往往用這種方法求解.

(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生

兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(4)牢記公式Pn(k)=Cp(l-p)"-"，k=0,1,2,…，n,并深刻理解其含義.

I突破題組

1.(1)(2017.湖南十三校一模)甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每

射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為:和p,且

甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為盤(pán).假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則p的值

為(C)

A.；B.-

c21

4D4

(2)(2017.湖北黃岡一模)甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍.若比賽為“三局兩勝”制，

甲在每局比賽中獲勝的概率頭尾,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽

進(jìn)行了3局的概率為(B)

A1B.s

c

-ID.：

突破點(diǎn)撥，(1)若AB表示甲、乙各射擊一次命中目標(biāo)這一事情，則由題意知：RAB)

+代工用2解方程可求p.

(2)依題意知，本題為條件概率，則需求P(A)和P(AB).

解析(1)記甲、乙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)分別為事件A,B.由題意知A,B相互獨(dú)立，

3——91

KHA)F，P(B戶p.的B)+RA仍加=而.即不?一〃)+；尸記,；?〃=；,故選C.,(2)

甲獲得冠軍的概率鳥(niǎo)痣+今91?等其中比賽進(jìn)行了3局的概率力—9；+

{*彳故所求概率：*耶=3

2.(1)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A="4個(gè)

人去的景點(diǎn)不相同”，事件13="小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)=(A)

A-QB-3

C&D2

j9u.9

(2)(2017.河南考前適應(yīng))袋中有大小質(zhì)地完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，不放回地摸出

兩球，設(shè)“第一次摸得紅球”為事件A,“摸得的兩球同色”為事件B,則概率巧耳川=」_.

突破點(diǎn)撥，分別求P(A),P(B)和P(AB),(1)中HA|初二(2)中八加川二與平

解析(1)小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有4個(gè)景點(diǎn)可選，剩下三個(gè)人只能在小趙剩下的三個(gè)

景點(diǎn)中選擇，可能結(jié)果為3x3x3=27種，所以獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能結(jié)果為4x3x3x3=

108種.因?yàn)槿齻€(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能結(jié)果為4x3x2x1=24種，所以凡川川=］故

11V

選A.

(2)由科A刖=：乂&土.根據(jù)條件概率可知R屬4)=^^=與=；.

4

■解題小結(jié)

,(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，一般直接利用概率公式求解，當(dāng)正面計(jì)算比較復(fù)雜

或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手求解.,(2)條件概率的求法：①定義法：先求P(A)和P(AB),

再求A餌M-g乎;②基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的事件數(shù)n(A),

再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得唔1

題型三離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望

高考中常常從以下三個(gè)角度命題：

(D已知離散型隨機(jī)變量符合某條件，求其均值與方差：

命題(2)已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值

規(guī)律(3)已知離散型隨機(jī)變量滿足兩種方案，試作出判斷.

多為解答題，少許涉及概念的選擇、填空題，難度中等.

求解離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體

方法

點(diǎn)撥事件，然后綜合應(yīng)用各類暇率公式求概率，

(2)求隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列.若隨機(jī)變量服從二

項(xiàng)分布，則可直接使用公式法求解

突破題組

1.設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車單程所需時(shí)間為T(mén),T只與道路場(chǎng)通狀況有關(guān)，對(duì)其容

量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

17分鐘25303540

頻數(shù)/次20304010

(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望E(T);,(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50

分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)

120分鐘的概率.

突破點(diǎn)撥

⑴d數(shù)據(jù)I核單搟率-口^|列T期望-1-II

(2)||不超過(guò)120分鐘It畬杷時(shí)間不超過(guò)70分鐘分情，L計(jì)算第率話里一||

解析⑴由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為

T(分鐘)25303540

頻率0.20.30.40.1

以頻率估計(jì)概率得T的分布列為

T25303540

P0.20.30.40.1

從而E(T)=25X0.2+30X0.3+35X0.4+40X0.1,=32(分鐘)

(2)設(shè)Ti/G分別表示往、返所需時(shí)間，Ti,T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.

設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事

件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”.

方法一P(A)=P(Ti+T2<70)=P(Ti=25,且T2^45)+P(Ti=30>且T2<40)+P(Ti=35,

KT2<35)+P(Ti=40,且T2W30尸0.2X1+0.3X1+0.4X0.9+0.1X0.5=0.91.

方法二P(A)=P(Ti+T2>70)=P(Ti=35,T2=40)+P(Ti=40,T2=35)+P(Ti=4O,T2

=40)=0.4X0.1+0.1X0.4+0.1X0.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.

2.某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B

中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)。由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相

當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).

(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；

(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

突破點(diǎn)撥

(1)利用古典概型概率公式和芯立事件概率公式求解.

(2)利用超幾何分布的概率公式求解，

解析(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中

學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為給■焉.因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概

率為1一而=而

(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3..Ax-b-TT-；,ax?2)■善?*，P(X=3)

I

所以x的分布列為

X123

3

5

因此，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3),=lx5+2X

3XJ-2.

解題小結(jié)1

求解離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路

(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值.

(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值。，(3)根據(jù)分布列和數(shù)

學(xué)期望、方差公式求解，

熱點(diǎn)題源預(yù)測(cè)

概率與分布列的綜合問(wèn)題

孝而以實(shí)際問(wèn)題為背景將概率的計(jì)算、分布列的求解、期望方差的計(jì)算以及實(shí)際問(wèn)題的

考向

預(yù)測(cè)決策綜合設(shè)計(jì)考題.

(1)明確問(wèn)題中的概型特征.

解題(2)分清題設(shè)條件中的隱含因素.

關(guān)犍

(3)仔細(xì)計(jì)算不同條件下的概率.

.八(1)注意題設(shè)條件中的限制.

失分

防范(2)防止弄混分布的形式，亂套公式

(3)求解概率計(jì)算要準(zhǔn)確.

【預(yù)測(cè)】學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙

箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨

機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲后將球放回原箱).

(1)求在1次游戲中：①摸出3個(gè)白球的概率；②獲獎(jiǎng)的概率，

(2)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

思維導(dǎo)航

審題視點(diǎn)：(1)①在1次游戲中，摸出3個(gè)白球只能是在甲箱里摸2個(gè)白球，在乙箱中摸

1個(gè)白球.②“獲獎(jiǎng)“這一事件包括摸出2個(gè)白球和3個(gè)白球.⑵利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ颓?/p>

解.

解題程序：第一步：求摸出3個(gè)白球的概率.

第二步：求在1次游戲中獲獎(jiǎng)的概率.

第三步：求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列.

第四步：求X的數(shù)學(xué)期望.

解后啟迪：(1)第(1)問(wèn)是將一個(gè)要求的事件分成若干個(gè)基本事件的“積”或“和”，再用

概率加法或乘法公式即可解決問(wèn)題，

(2)第(2)問(wèn)是以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景的分布列和期望問(wèn)題，求出分布列后利用其性質(zhì)進(jìn)行

檢驗(yàn)尤為重要.

規(guī)范解答

⑴①設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件A,(i=0,1,2,3),則自小)有泊：.

②設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則B二A2UA3.

…概+等能,且A2八3互斥，

M以R8).P[A1)+

(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.

所以x的分布列是

X012

92149

Pmn女mn

X的數(shù)學(xué)期望￡U)?OX得+1X2+2X齋=?.

【變式考法】一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢

驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都

為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)

品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)，假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品

率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都反，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；

(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)

量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A,第一次取出的4件產(chǎn)品

中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C,第二次取出的1件產(chǎn)

品是優(yōu)質(zhì)品為事件D,這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件E,根據(jù)題意有E=(AC)U(BD),且AC與

BD互斥,

.?.P(E)=P(AC)+P(BD)=P(A)P(CA)+P(B)P(D|B)

?⑥中曲+朋＜發(fā).

(2)X的可能取值為400,500,800,并且

-硒)T-Clgh卜伊T.

???X的分布列為

X400500800

III1

p記I

B（JO-400X^500XT7-F800X7=50625.

IO4

對(duì)點(diǎn)規(guī)范演練

1.（教材回歸）箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放

I可箱子，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為（B）

智