高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)練習(xí)專(zhuān)題26 橢圓（解析版）

專(zhuān)題26橢圓

十年大數(shù)據(jù)*全景展示

年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容

理14橢圓方程橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

2011

文4橢圓的幾何性質(zhì)橢圓離心率的計(jì)算

2012文理4橢圓的幾何性質(zhì)橢圓離心率的計(jì)算

理10橢圓方程直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法

卷

1橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程

文理20橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系

及其幾何性質(zhì)

2013

理20直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系橢圓的方程求法.，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，橢圓最值問(wèn)題的解法

卷2

文5橢圓定義、幾何性質(zhì)橢圓的定義，橢圓離心率的求法

岳1理20橢圓方程及幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系

2014

卷2理20橢圓方程及幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系

卷1理14圓與橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，過(guò)三點(diǎn)圓的方程的求法

2015理20直線(xiàn)與橢圓直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的存在型問(wèn)題的解法

卷2

文20直線(xiàn)與橢圓橢圓方程求法，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定值問(wèn)題的解法

i1理20圓、直線(xiàn)與橢圓橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓、橢圓的位置關(guān)系

2016理20直線(xiàn)與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

卷2

文21直線(xiàn)與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

理20直線(xiàn)與橢圓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問(wèn)題

2017卷1

文12直線(xiàn)與橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

直線(xiàn)與圓,橢圓的幾

卷3文.11理10直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)

何性質(zhì)

理19直線(xiàn)與橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

2018卷1

文4橢圓橢圓的幾何性質(zhì)

卷1理10文12橢圓橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

理8文9橢圓與拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)與橢圓的幾何性質(zhì)

卷

2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的

2019理21橢圓

最值問(wèn)題的解法

文20橢圓橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

卷3文理15橢圓橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

卷1理20文21橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，幃圓定點(diǎn)問(wèn)題

理19橢圓、拋物線(xiàn)橢圓、拋物線(xiàn)方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線(xiàn)的定義

2020卷2

文19橢圓、拋物線(xiàn)橢圓、拋物線(xiàn)方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線(xiàn)的定義

卷3理20文21橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法

大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考

考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)

考點(diǎn)89橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程37次考7次

命題角度：（1）橢圓的定義及應(yīng)用；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

考點(diǎn)90橢圓的幾何性質(zhì)37次考32次程；（3）橢圓的幾何性質(zhì)；（4）直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.

核心素養(yǎng)：直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

考點(diǎn)91直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系37次考35次

十年試題分類(lèi)*探求規(guī)律

考點(diǎn)89橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2019全國(guó)I文12）已知橢圓C的焦點(diǎn)為￡（-1,0），6（1,0）,過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A(yíng),B兩點(diǎn).若

則的方程為

\AF2\=I\F2B\,IABRB/",C

"=1

A.—+y2=1B.

2J32

x22

C.—+^v-=1D.《+匚

4354

【答案】B

【解析】法一：如圖，由己知可設(shè)叵用=〃，則k6|=2鹿，忸用=|明=%,

由橢圓的定義有2=1班|+|%|=4〃,??.|前|=2-|伍|=2/1.

在中，由余弦定理推論得cosNF48=4獷+9獷-9〃一=]_

22八3〃3

在鳥(niǎo)中，由余弦定理得4〃2+4〃2-2?2分2小1=4,解得〃=立.

32

/.2a—4〃=2\/3=5/3,/.b2=a2—c2=3—1=2,.,.所求橢圓方程為土+^—=1,故選B.

32

法二:由已知可設(shè)內(nèi)回二r,M|A^|=2w,|B7*；|=|AB|=3n,

由橢圓的定義有2a=忸+忸閭=4〃，「.|4周=2a伍I=2〃.

4n2+4-2?2〃.2?cosZ.AFF=4?2

在人和△3月鳥(niǎo)中，由余弦定理得?2{

n2+4-2"2cosNB8￡=9n2

又4鳥(niǎo)耳，/36耳互補(bǔ)，:.cosZAF2Fl+COSZBF2F[=0,兩式消去cosNAg^,cosNB^E,得

3/22+6=1In2，解得n=2〃=4〃=2\[3,a=,:.b2=6f2—c2=3—1=2,所求橢圓方程為

2

22

—+^-=1，故選B.

32

2.(2018高考上海13)設(shè)P是橢圓大+t=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為()

53

A.272B.2A/3C.2>/5D.4行

【答窠】C

【解析】由橢圓的定義可知橢圓上任意點(diǎn)尸到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2。=2后，.故選C.

【考點(diǎn)分析】橢圓的定義，考查考生的識(shí)記及基本運(yùn)算能力.

3.(2013廣東文)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(l,0),離心率等于;，則C的方程是

A一+)'_1R片+21—1c1D丁+丁

344V34243

【答窠】D【解析】?:c=l,a=2,b=6故選D.

4.(2015新課標(biāo)1理)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓三+2-=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方

164

程為.

【答案】“一耳)2+、2=彳【解析】由題意圓過(guò)(4,0),(0,2),(0,-2)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓心為3,0),其中。>0,

由4-〃=+4,解得。二|,所以圓的方程為。一|)2+〉2=日.

x.y

5.【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：靛+至=l(a>Z?>0)的焦點(diǎn)為Fi

（-1、0）,F2（1,0）.過(guò)F2作X軸的垂線(xiàn)1,在X軸的上方，1與圓F2：（%-1）2+52=4。2交于點(diǎn)A,

與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AB并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DF1.

口卜5

已知DF尸一.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.

囚為Fi(T,0),F2(l,0),所以FIF2=2,C=1.

又因?yàn)镈F尸g,AF2_Lx軸，所以DF2=、/f>k_Kg2=J(|)2—22="|，

因此2a二DFI+DF2=4,從而a=2.

Sb2=a2-c2,得b?=3.

22

因此，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+E=1.

43

(2)解法一：由(1)知，橢圓C：—+^-=ba=2,

43

因?yàn)锳F2J_x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

將x=l代入圓F2的方程(xT)2+y2=16,解得y=±4.

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(l,4).

又F］（T,0）,所以直線(xiàn)AFi：y=2x+2.

y=2x+2x=l或x=-￡.

由?八22,,,得+6%-11=0,解得

（A-1）+/=16

11I?

將％=一《代入y=2x+2,得y=一《

因此5(-日，一弓).

3

又F2（l,0）,所以直線(xiàn)BF2：y=-（x-V）.

4

y=7（x-1）

413

由，，得7d—6x—13=0,解得％=-1或工==.

7

—+—=1

43

又因?yàn)镋是線(xiàn)段BFz與橢圓的交點(diǎn)，所以x=-l.

33

將代入y=W(x—D，得了=一/.

因此E(—1,—1).

2

解法二：由(1)知，橢圓C：—+^1=1.

43

如圖，連結(jié)EE.

因?yàn)锽Fz=2a,EFi+EF2=2a,所以EF尸EB,

從而NBFiEtNB.

因?yàn)镕2A=F2B,所以NA二NB,

所以NA=NBFIE,從而EFi〃F2A.

因?yàn)锳F2_Lx軸，所以EFi_Lx軸.

fx=-l

3

因?yàn)镕i(-1,0),由<J/，得>=±5

3

又因?yàn)镋是線(xiàn)段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以>=一］.

因此以一1,一手.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓及橢圓的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.

考點(diǎn)90橢圓的幾何性質(zhì)

6.【2019年高考全國(guó)I理】已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(一1,0),g(1,0),過(guò)Fz的直線(xiàn)與C交于A(yíng),B兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\,則C的方程為

f2?X23/,

A.—+y=1DB.—+—=1

232

C.=1D,《+

4354

【答案】B

【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)優(yōu)卻=〃，則|4國(guó)=2〃,|%|=|4邳=3/?.

由橢圓的定義有2〃=忸司+忸用=4〃，/JA用=2〃-|A段二2〃.

.4H24-O/72—9/7~1

在△4月8中，由余弦定理推論得cos/FAB=----------------=-.

22n-3n3

在巴中，由余弦定理得4〃2+4/一2-2分2小1二4,解得〃=立.

32

22

/.2a=4/?=2\/3,/.￡/=y/3，:.b2=a2-c2=3—1=2,.".所求橢圓方程為'+=1?故選B.

32

法二:由已知可設(shè)圖叫=〃,則|A一|=2〃，忸制=|AB|=3九,

由橢圓的定義有2〃=忸N+忸q=4〃，「.|=2〃一|”|二2〃.

23

4n+4-2?2〃?2?cosZ.AF2Fi=4n

在△川；巴和△3月用中，由余弦定理得《

22

n+4-2-w-2-cosZ.BF2FX=9n

又NA66,23鳥(niǎo)耳互補(bǔ)，:.cosZAF2Fl+COSZ.BF2F{=0,兩式消去8§乙464，,得

3/22+6=1In2，解得n=—?2a=4n=2\/3,a=百，二.b2=a2—c2=3—1=2,所求橢圓方程為

2

22

工+工=1，故選B.

32

7.【2019年高考北京理】已知橢圓=1（a>b>0）的離心率為則

72

A.a2=2b2B.3a2=4b2

C.a=2bD.3a=4b

【答案】B

【解析】橢圓的離?心率6=￡=!，。2=/一/，化簡(jiǎn)得3/=破,

a2

故選B.

8.12018?全國(guó)I文】已知橢圓C：三+二=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則C的離心率為

a24

TD普

【答案】c

【解析】由題可得c=2,因?yàn)閺?4，所以a2=〃+c2=8，即4=2底，所以橢圓。的離心率

2

故選C.

2日一2

9.【2018唾?lài)?guó)II文】已知耳，鳥(niǎo)是橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是。上的一點(diǎn)，若尸耳,尸乙，且/「工耳=60°,

則C的離心率為

A.1—@B.2-6

2

C.D.73-1

2

【答案】"D

【解析】在△耳％中,N耳析苞=90。,/尸/￡=60。，設(shè)忸閭=加,則2c=1周=2聞咫卜鬲,

2c_hn

又由橢圓定義可知24=怛4|+伊巴卜（6+1）機(jī)，則e=?=6-1,

2。一（肉1）掰故選D.

Y*V

10.（2018上海理）設(shè)尸是橢圓一+L=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）

53

A.2x/2B.2GC.2x/5D.4x/2

【答案】C【解析】由題意/=5,。=石.由橢圓的定義可知，P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為

2a=2^5>故選C.

22

11.12017嗓國(guó)I文】設(shè)A,B是橢圓C：L+2_=l長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足NAMB=I2O。,

3m

則m的取值范圍是

A.(0,l]U[9,+oo)B.(0,百]U[9,+oo)

C.(0,l]U[4,+a))D.(0,6]U[4,+8)

【答案】A

【解析】當(dāng)0＜mv3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C」:存在點(diǎn)M滿(mǎn)足NAA78=12(y，則，Ntan60=6,

b

Gr

即半得0＜機(jī)＜1；

yjm

當(dāng)加＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足ZAMB=120°，則fNtan6(T=百，即乎2G,

b6

得相29,故機(jī)的取值范圍為(0,1]1][9,”)，故選A.

22

12.12017?浙江卷】橢圓工+匕=1的離心率是()

94

A.半B.

3

25

C.一D.

39

【答案】B

,2

【解析】橢圓土+二=1的離心率省二±=故選B.

9433

13.（2015新課標(biāo)1文）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為:，E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C：V=8x的

焦點(diǎn)重合，43是。的準(zhǔn)線(xiàn)與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|A同=

A.3B.6C.9D.12

【答案】B【解析】??,拋物線(xiàn)C：產(chǎn)二舐的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,準(zhǔn)線(xiàn)/的方程為“=-2①，設(shè)橢圓E的方

x221廠(chǎng)

程為彳+4v=1（。＞匕＞°），所以橢圓E的半焦距c=2,又橢圓的離心率為一，所以〃=41=26,橢

a-b-2

22

圓E的方程為三+上=1②，聯(lián)立①②，

1612

解得A（-2,3）,8（-2,—3）或4一2-3）,8（-2,3）,所以[40=6,故選B.

22

14.（2015廣東文）已知橢圓|^+?=1（加＞0）的左焦點(diǎn)為￡（T,0）,則機(jī)二

A.2B.3C.4D.9

【答案】B【解析】由題意得：m2=25-42=9,因?yàn)閙＞0,所以m=3,故選C.

2

15.（2014福建文理）設(shè)P,Q分別為V+（y—6）2=2和橢圓:+＞2=1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離

是

A.5啦B.V46+V2C.7+V2BD.65/2

【答窠】D【解析】由題意可設(shè)Q（J15cosa,sina）,圓的圓心坐標(biāo)為C（0,6）,圓心到Q的距離為

\CQ|=7（＞A0cosa）2+（sina-6）2=,50—9（sina+|yW回=5J5,當(dāng)且僅當(dāng)sina=—|時(shí)取等

號(hào)，所以|尸。|3瑪。。|皿+r=5&+應(yīng)=6后，所以P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是6人?

16.（2012新課標(biāo)文理）設(shè)6、乃是橢圓E：J+與=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)，尸為直線(xiàn)1二二上

a-b-2

一點(diǎn),AF?PF\是底角為30"的等腰三角形，則E的離心率為

33

【答案】C【解析】△鳥(niǎo)尸耳是底角為.30。的等腰三角形=|P曰=優(yōu)用=2q〃-0）=200?=5c=彳,

故選C.

17.12019金國(guó)HI文】設(shè)耳，鳥(niǎo)為橢圓C：二+《=l的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△加大工

3620

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3,后）

【解析】由已知可得"=36,從=20,，/=42一從=16,，。=4,

...|崢|=忻閭=2<?=8,??]〃聞=4.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（毛，為乂毛>0,%>0），則S△峭F2=；M周?%=4%，

又Sag=3x4x182-2?=4厲，..4%=4后,解得％=延，

.片?（婀解得/=3（%=-3舍去），\M的坐標(biāo)為（3,、/療）.

"3620

18.【2019?浙江卷】已知橢圓《十二=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在橢圓上且在工軸的上方，若線(xiàn)段尸尸的

95

中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|0耳為半徑的圓上，則直線(xiàn)Pb的斜率是.

【答案】岳

【解析】方法1：如圖，設(shè)B為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知|OF|=|OM|=c=2,

由中位線(xiàn)定理可得|P￡|=2|OM|=4,設(shè)尸位,y),可得(1”了+產(chǎn)=6

與方程《+￡=1聯(lián)立，可解得工二-3,R=21(舍),

9522

方法2：(焦半徑公式應(yīng)用)由題意可知|0F|=|0M|=c=2,由中位線(xiàn)定理可得|尸制=2|OM|=4,即

a-exp=4=>xp=--|,從而可求得P一，所以左?卜二彳一二而.

2

22

19.(2012江西文理)橢圓*■+表■=l(〃>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A3,左、右焦點(diǎn)分別是6,鳥(niǎo).若

1|,|￡名耳目成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為.

【答案】乎【解析】由橢圓的性質(zhì)可知：|A￡|=a—c，閨周=2c,忱邳=a+c.又已知|A￡|,忻閭,

|耳卻成等比數(shù)列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,^a2-c2=4c2,

則。2=5。2.故e=￡=@.即橢圓的離心率為正.

a55

20.（2011浙江文理）設(shè)《，鳥(niǎo)分別為橢圓彳"+V=i的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A8在橢圓上，若RA=5且B；

則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

【答案】（0,±1）【解析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（刑,〃）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（c,d）.

尺（~訴,0）產(chǎn)2（板,0），可得不5=（m+血,〃），率=gO,d）,

之（,〃+6虛）2

???前=5臣，工C=空誓,dg又點(diǎn)A,B在橢圓上，??.q+〃2=i,——1——+（y）2=l,

解得由=0,〃=±1,???點(diǎn)4的坐標(biāo)是（0:1）.

r2v2

21.【2019年高考全國(guó)H文】已知耳，久是橢圓C：r+斗■=1（。>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O

ab~

為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若△POK為等邊三角形，求c的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P,使得尸耳_LP居，且鳥(niǎo)的面積等于16,求人的值和4的取值范圍.

【答案】（1）J5—1；（2）b=4,a的取值范圍為［4&,+8）.

【解析】（1）連結(jié)尸片，由△PO6為等邊二角形可知在△片夕鳥(niǎo)中，NF"=90。，仍用=°，|=6c,

于是為=|尸耳|+|%|=（G+l）c,故C的離心率是e=?=G-l.

（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P（x,y）存在.當(dāng)且僅當(dāng)!|y|-2c=16,1——工-=-1,「+馬=1,

2x+cx-cab

即小1=16,①

x2+y2=c2,②

r2v2

-+TT=^③

a~b~

tAizs2

由②③及儲(chǔ)=從+/得y2=」,又由①知了2=?故匕=4.

c~c~

由??得％2=9卜2—/），所以/之后，從而/=/+。22%2=32,故GN4上.

當(dāng)力=4，a時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，所以6=4，。的取值范圍為［4形,+8）.

22

22.（2015安徽理）設(shè)橢圓E的方程為*■+專(zhuān)■=1（。＞匕＞0）,點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。，0）,

點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，滿(mǎn)足忸M|=2|M4|,直線(xiàn)。M的斜率為.哥.

（I）求E1的離心率e；

7

（II）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-。），N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)A8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為］,求E

的方程.

【解析】⑴由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2又k°M=理從而==更，進(jìn)而得

33102a10

L______）R

a=＞J5b,c=\/a2—b1=2Z?,故e=—=----.

a5

（2）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線(xiàn)AB的方程為名+?=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（且4-’份，

y/5bb22

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)A8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為&,工），則線(xiàn)段NS的中點(diǎn)7的坐標(biāo)為（乎"*?又

點(diǎn)T在直線(xiàn)A8匕且々NS?心s=T，從而有17I，解得力=3,所以b=3jL

故橢圓E的方程為三+二=1.

459

X2V2

23.（2013安徽文理）如圖，耳，K分別是橢圓C：與+彳=1的左、右焦點(diǎn)，4是橢圓C的

?a2b2

頂點(diǎn)，。是直線(xiàn)AF2與橢圓。的另一個(gè)交點(diǎn)，AF2=6Q°.

（I）求橢圓C的離心率；

（II）已知4A片8的面積為40后，求小b的值.

【解析】（I）N￡A鳥(niǎo)=60"oa=2coe=￡=2

a2

（11）設(shè)忸閭=加；則忸耳|=2a—機(jī)，在△叫鳥(niǎo)中，忸國(guó)丁忸周2+忻司2-2忸用x忻用xcosl20。

<=>（2a-機(jī)產(chǎn)=m2+a2+am<=>加=［。，

11q/o

面積S=gx|招用x|AB|xsin60"=5x4x（。+ja）x^-二40Goa=10,c=5,b=5G.

考點(diǎn)91直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

24.12018高考全國(guó)2理12］已知耳，鳥(niǎo)是橢圓。：0+卷=1（°>8>0）的左、右焦點(diǎn)，4是。的左頂點(diǎn),

點(diǎn)尸在過(guò)A且斜率為由的直線(xiàn)上，

△PRK等腰三角形，Z^^P=I2O\則。的離心率為（）

6

2111

A.-B.-C.-D.一

3234

【答案】D

【解析】試題分析：先根據(jù)條件得尸乙=2。，再利用正弦定理得。關(guān)系，即得離心率.

試題解析：因?yàn)榈が敒榈妊切危?6層尸=120。，尸瑪=6鳥(niǎo)=25

由AP斜率為立得，tanNPAE=￡,.?.sinN尸=」，.?.cos/PAR=圾，由正弦定理得

66V13V13

11

PF、sinN尸A居2c右右2彳,1

—"=------------9??-------=-----7---------------\~7=—7=：-------------=-,??a=4c,??e=一故選D.

AF2sinNAPKa+c.（n\x/3>/121154，取也

132J2V132V13

22

25.（2017新課標(biāo)HI文理）已知橢圓C：*+==1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為Aj4,且以線(xiàn)段4兒

為直徑的圓與直線(xiàn)法一做+2皿=0相切，則。的離心率為（）

73V2

D.

3V3

【答案】A【解析】以線(xiàn)段AA為直徑的圓是/+、2=。2,直線(xiàn)反一?+勿活=0與圓相切，所以圓心到

直線(xiàn)的距離"二12ab=a,整理為。2=3必，即42=3（〃-。2）=%2=3。2,即弓=2,

e=—=^~,故選A.

a3

26.[2016?新課標(biāo)1文數(shù)】直線(xiàn)1經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到1的距離為其短軸長(zhǎng)的/

則該橢圓的離心率為()

1123

(A)§(B)2(C)’(D)彳

【答案】B

【解析】如圖，在橢圓中，OF=c,OB=b,OD=、2b=Lb,

42

在中，|OF|x|O8|=|BF|x|Or>|,且/=從+c?,代入解得

a2=4c2,所以橢圓的離心率為e,故選B.

2

22

27.(2016年全國(guó)HI文理)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓C：0+上7=1(〃>8>0)的左焦點(diǎn)，A,5分

ab~

別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF_Lx軸.過(guò)點(diǎn)4的直線(xiàn)I與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)0￡的中點(diǎn)，則。的離心率為

3

D.-

4

【答案】A

［解析］由題意設(shè)直線(xiàn)I的方程為y=k{x+a),分別令x=-c與x=0得|五M|=\k\(a-c),\OE\=\k\a,

設(shè)0E的中點(diǎn)為H,由△OBHS0BM,得復(fù)!，」=毆1,即―業(yè)—=—,整理得￡=2，

\FM\\BF\2\k\（a-c）a+ca3

所以橢圓離心率為e=,，故選A.

3

28.（2016江蘇理）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是橢圓］+1=1（。＞6＞0）的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=g

與橢圓交于氏C兩點(diǎn)，且/哥C=90。，則該橢圓的離心率是.

【答案】手【解析】由題意得尸（c,0）,直線(xiàn)y=g與橢圓方程聯(lián)立可得，-與,，，C（亭,，，由

ZBAC=90°可得麗?方=0,BF=|c+^,--LCF=|c--則/一3/十,從=o,由

2

I2）122）44

b2=a2一/可得2c2=-a2,

42

29.（2015福建文）已知橢圓上：■+=V-=1（〃＞人＞0）的右焦點(diǎn)為尸.短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,宜線(xiàn)

ab

/:3x—4y=0交橢圓E于兩點(diǎn),若|AF|+忸丹=4,點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離不小于;則橢圓E的

離心率的取值范圍是

【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為6,半焦距為c,連結(jié)Ab-BF「則四邊形A"8戶(hù)為平行四邊形,

所以|A￡|+|BEI=|A"+|BF|=4,根據(jù)橢圓定義,

有|A用+|4尸|+|86|+|3/|=4〃，所以8=而，解得4=2.因?yàn)辄c(diǎn)/到直線(xiàn)/：3x+4y=0的距離

不小于？4，即4b4空所以從21,

555

所以/一0221,4-0221,解得0＜。＜石，所以0〈￡?立，所以橢圓的離心率的取值范圍為（0,且].

a22

22

30.（2013新課標(biāo)1文理）已知橢圓rX+=y=1（。＞。＞°）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng).B

a~b~

兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則E的方程為

X?y2x*y2x2y2D.金+E=I

A-布+36=1B.石+27=1C.近+]8=l

【答案】D【解析】設(shè)4（不凹）,3（%，%），則％+七=2:，乂+必=-2,

可+4=1①4+4=1②

a~b-a-b~

①—②得a+巧）裂-巧）+a+%）?「％）=°,...一一一必一加3+々）_從,_011

KAB2/、，'乂K

a"b々（乂+必）aAli3-1

1L21

=—＞—7=—?X9=c2=a2—b2,解得從=9,a2=18,：?橢圓方程為々+與~=1,故選D.

2a22189

22

xv

31.[2020年高考上海卷10]己知橢圓C:---1---=1,直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸，交橢圓。于尸，。兩

43

點(diǎn)（點(diǎn)尸在第二象限），若0關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為。‘，且滿(mǎn)足PQ_LF。'，則直線(xiàn)/的方程為_(kāi)________.

【答案】y=-x+1

【解析】由條件可知△FQQ'是等腰直珀三角形，所以直線(xiàn)/的傾斜角是135”,所以直線(xiàn)/的斜率是

tan135°=—1,且過(guò)點(diǎn)尸（1,0）,得到直線(xiàn)）的方程為y=—（x—l）,即y=—3+l.故答案為：y=-x+l.

32.（2018浙江理）已知點(diǎn)P（0,l）,橢圓一+＞2=m上兩點(diǎn)A,8滿(mǎn)足A尸=2PB,則當(dāng)m=_

4"

時(shí)，點(diǎn)5橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

【答案】5

【解析】設(shè)A（%,y）,B（x2fy2）,由Q=2而得F=2々，1一%=2（%T）,所以一，1=2%-3,

因?yàn)锳，B在橢圓上，所以去+才=相，今+￡=6，所以呼_十（2%—3）2=相，

2

所以？+（y22=i,與菅+式=相對(duì)應(yīng)相減得％二°—,x?=--（m-10w+9）＜4,

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=5時(shí)取最大值.

YC

33.（2018浙江文）已知點(diǎn)P（0,l）,橢圓一+丁=7〃（m＞i）上兩點(diǎn)A,B滿(mǎn)足AP=2PB,則當(dāng)加三

4*

時(shí)，點(diǎn)3橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

【答案】5【解析】設(shè)A（再,弘）,8（々,）2），由Q=2而,得尸二2?

[l-y1=2（y2-l）

粵+(3-/)?=〃?

i3

即玉二-2/，y=3—2%.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上，所以，，得必=-m+-,所

244