第09講 一起串起有理數(shù)（人教版）（原卷版）

第09講一起串起有理數(shù)

【人教版】

·模塊一有理數(shù)與數(shù)軸

·模塊二相反數(shù)與數(shù)軸

·模塊三絕對值與數(shù)軸

·模塊四利用數(shù)軸探究問題

·模塊五課后作業(yè)

模塊一有理數(shù)與數(shù)軸

【例1.1】（2023七年級·遼寧大連·階段練習）下列說法中，正確的是()

A．數(shù)軸上一個點可以表示兩個不同的有理數(shù)

B．數(shù)軸上兩個不同的點可以表示同一個有理數(shù)

C．有的有理數(shù)不能表示在數(shù)軸上，如－0.00005

D．任何一個有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到和它對應的唯一的一個點

【例1.2】（2023七年級·山西太原·階段練習）在方框中畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：2.5，4，?3，

1

?1，，回答問題：

20

(1)這5個數(shù)中表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點之間相距________個單位；

(2)將上面各數(shù)用“<”連接．

【例】（七年級浙江嘉興期中）如圖，圓的半徑為2個單位長度．數(shù)軸上每個數(shù)字之間的距離為

1.32023··π1

個單位長度，在圓的4等分點處分別標上點A，B，C，D．先讓圓周上的點A與數(shù)軸上表示-1的點重合．

(1)圓的周長為多少？

(2)若該圓在數(shù)軸上向右滾動2周后，則與點A重合的點表示的數(shù)為多少？

(3)若將數(shù)軸按照順時針方向繞在該圓上，（如數(shù)軸上表示-2的點與點B重合，數(shù)軸上表示-3的點與點C重

合…），那么數(shù)軸上表示-2018的點與圓周上哪個點重合？

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【變式1.1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）閱讀理解：數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點表示的數(shù)進行減

法運算得到，如圖，線段??=2=3?1；線段??=3=1?(?2)．

問題：

(1)數(shù)軸上點M、N代表的數(shù)分別為10和3，則線段??=___________；

(2)數(shù)軸上點E、F代表的數(shù)分別為3和?1，則線段??=___________；

(3)數(shù)軸上的兩個點之間的距離為5，其中一個點表示的數(shù)為12，求另一個點表示的數(shù)．

【變式1.2】（2023七年級·遼寧大連·階段練習）數(shù)軸上有一點Q，若一只螞蟻從點Q出發(fā)，爬了3個單位

長度到了原點，則點Q所表示的數(shù)是（）

A．3B．?3C．±3D．±6

【變式1.3】（2023七年級·上海·專題練習）（1）在數(shù)軸上標出下列各數(shù)，并用小于號連接下列各數(shù)．

1

?3，+1，2，?1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點左邊的點表示什么樣的有理數(shù)？答：．

模塊二相反數(shù)與數(shù)軸

【例2.1】（2023·甘肅隴南·三模）如圖，數(shù)軸上點A的相反數(shù)是（）

A．?2B．?1C．1D．2

【例2.2】（2023七年級·福建福州·期末）如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上的四個點，已知a，b均為有理數(shù)，

且?+?=0，則它們在數(shù)軸上的位置不可能落在（）

A．線段??上B．線段??上C．線段??上D．線段??上

【例2.3】（2023七年級·陜西商洛·期末）如圖，數(shù)軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知

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點A表示?4，點?表示8．

(1)點?表示的有理數(shù)是______，表示原點的是點______．

(2)圖中哪些點表示的有理數(shù)互為相反數(shù)？

(3)圖中的數(shù)軸上另有點?到A點，點?距離之和為13，求點?表示的有理數(shù)．

【變式2.1】（2023七年級·陜西西安·期中）小明在一張紙面上畫了一條數(shù)軸（原點未標出），有理數(shù)a，

b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，表示數(shù)a的點與表示數(shù)c的點到原點的距離相等，表示數(shù)b與??的點相距

個單位長度，若表示數(shù)的點與原點的距離是表示數(shù)的點與原點距離的1，則的值為（）

30ab3c

A．?2B．?10C．?6D．?5

【變式2.2】（2023七年級·河南鄭州·階段練習）如圖，四個有理數(shù)?，?，?，?在數(shù)軸上對應的點分別為

?，?，?，?，若?+?=0，則?，?，?，?四個數(shù)中負數(shù)有（）個

A．1B．2C．3D．4

【變式2.3】（2023七年級·江蘇無錫·階段練習）若表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點A、B在數(shù)軸上的距離為

16個單位長度，點A沿數(shù)軸先向右運動2秒，再向左運動5秒到達點C，設點A的運動速度為每秒2個單

位長度，則點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為．

模塊三絕對值與數(shù)軸

【例3.1】（2023七年級·江西南昌·期中）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且|a|<|b|，

則該數(shù)軸的原點位置不可能().

A．在a的左邊B．在a、c之間.

C．在c、b之間D．在b的右邊

【例3.2】（2023七年級·江蘇徐州·階段練習）我們知道在數(shù)軸上，點M，N分別表示數(shù)m，n，則點M，N

2

之間的距離為|???|．已知，，，在上分表示，，，，|???|=|???|=|???|=1，則線段??

ABCDabcd3

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的長度為．

【例3.3】（2023七年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）在數(shù)軸上，點A、B表示的數(shù)分別是?7和5，點P表示

的數(shù)為x，點P到B的距離是點P到A距離的3倍，則點P到表示?1的點的距離為．

【變式3.1】（2023七年級·江蘇南京·階段練習）如圖，將實數(shù)?、?表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是

（）

A．|?|=?B．|?|=??C．|???|=???D．|?+?|=?+?

【變式3.2】（2023七年級·河北保定·期末）如圖，數(shù)軸上點?、點?、點?分別對應數(shù)?,?,?，則在

?+??1,?+?,???,|?|??,|?|?|??1|中，正數(shù)共有（）．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式3.3】（2023七年級·江蘇蘇州·階段練習）如圖，已知A，B兩點在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為?10，

??=2??，點M以每秒1個單位長度的速度從點A向右運動．點N以每秒3個單位長度的速度從點B向

左運動（點M、N點同時出發(fā)），經(jīng)過秒，點M、點N分別到原點O的距離相等．

模塊四利用數(shù)軸探究問題

【例4.1】（2023七年級·江蘇揚州·階段練習）數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1cm，

若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為2023cm的線段，則該線段蓋住的整點的個數(shù)是．

【例4.2】（2023七年級·山西晉中·期中）數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．數(shù)軸幫

助我們把數(shù)和點對應起來，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，借助它可以解決我們數(shù)學中的許多問題，請同學們和“創(chuàng)

新小組”的同學一起利用數(shù)軸進行以下探究活動：

(1)如圖1，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是______，點B表示的數(shù)是______，A，B兩點的距離是______；

(2)在數(shù)軸上，若將點B移動到距離點A兩個單位長度的點C處，則移動方式為______；

(3)如圖2，小明將刻度尺放在了圖1的數(shù)軸下面，使刻度尺上的刻度0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)此時點B對

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應刻度尺上的刻度4.8cm，點E對應刻度1.2cm，則數(shù)軸上點E表示的數(shù)是______．

【例4.3】（2023七年級·河南平頂山·期末）綜合與探究

數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結合．請借助數(shù)軸，結合具體情境解答下列問題：

(1)平移運動

一機器人從原點O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，

第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當它跳完5次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是；當它跳完2024

次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是．

(2)翻折變換

①若折疊數(shù)軸所在紙條，表示?1的點與表示3的點重合，則表示5的點與表示的點重合．

②若數(shù)軸上D、E兩點經(jīng)折疊后重合，兩點之間的距離為2024（D在E的左側，且折痕與①折痕相同），

則D點表示，E點表示．

③一條數(shù)軸上有點M、N、P，其中點M、N表示的數(shù)分別是?17、8，現(xiàn)以點P為折點，將數(shù)軸向右對折，

若點M對應的點?′落在點N的右邊，并且線段?′?的長度為3，請直接寫出點P表示的數(shù)．

【變式4.1】（2023七年級·河北滄州·期末）操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．

折疊紙面，使?3表示的點與1表示的點重合，回答以下問題：

①2表示的點與數(shù)表示的點重合；

②若數(shù)軸上?、?兩點之間距離為9（?在?的左側），且?、?兩點經(jīng)折疊后重合，則?點表示的數(shù)為：?．

【變式4.2】（2023七年級·山西晉中·期中）綜合與探究：

數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，利用數(shù)軸可以解決很多問題，班里三個小組分別設計了三

個問題，請你與他們共同解決：

11

勤奮小組：在圖所示的數(shù)軸上，把數(shù)?2，，，?，表示出來，并用將它們連接起來．

(1)3422.5“<”

(2)勵志小組：折疊數(shù)軸，使表示1的點與表示3的點重合，在這個操作下回答下列問題：

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①表示?2的點與表示______的點重合；

②若數(shù)軸上A，B兩點間的距離為7（A在B的左側），且折疊后A，B兩點重合，則點A表示的數(shù)為

_____．

(3)攀登小組：假如在原點處放立一擋板（厚度不計），有甲、乙兩個小球（忽略球的大小，可看成一點），

小球甲從表示數(shù)?2的點處出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，同時小球乙從表示數(shù)4的點處

出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左運動，兩個小球在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向

運動，設運動的時間為?秒．

①當?=3時，求甲、乙兩個小球之間的距離；

②用含t的代數(shù)式表示甲、乙兩個小球之間的距離．

【變式4.3】（2023七年級·河南周口·階段練習）李老師善于通過知識遷移，對問題進行拓展探究，培養(yǎng)同

學們用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界的能力．下面李老師在“數(shù)軸的實際應用”主題下設計的問題，請你解答．

(1)知識回顧

如圖1，數(shù)軸上有一個表示數(shù)a的點M，已知點M在數(shù)軸上向右移動3個單位長度后表示的數(shù)是5，那么a

的值是；

(2)探究遷移

如圖2，有一根木尺??放置在數(shù)軸上，它的兩端P，Q分別落在A、B兩點處．將木尺在數(shù)軸上水平移動，

當點P移動到點B時，點Q所對應的數(shù)為24；當點Q移動到點A時，點P所對應的數(shù)為6（單位：

cm）．利用所學知識求出點A、點B所表示的數(shù)及木尺??的長；

(3)拓展應用

一天，小明去問爺爺?shù)哪挲g．爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，

我已經(jīng)是116歲了！”請你利用（2）的方法，請直接寫出小明和爺爺?shù)哪挲g．

模塊五課后作業(yè)

1．（2023七年級·湖南長沙·階段練習）把有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖所示，那么則下列說法正確的是

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（）

A．?>0B．?<0C．?>?D．?>?

2．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）數(shù)軸上，若?，?表示互為相反數(shù)的兩個點，?在?的左邊，并且

這兩點的距離為6，則點?所表示的數(shù)是（）

A．?3B．3C．6D．?6

3．（2023·河北石家莊·二模）如圖，數(shù)軸上被遮擋住的整數(shù)的絕對值是（）

A．1B．?3C．?1D．0

4．（2023七年級·浙江·期中）如圖，四個數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對應的點分別為M，N，P，Q，若

?+?=0，則下列說法正確的是（）

A．?+?>0B．??<0C．???<0D．|?|<?

5．（2023七年級·遼寧鞍山·期中）若有理數(shù)a，b在一條不完整的數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式：

11?

?=2?；?>0；3>3；<0；?<??<0<?<??．其中正確的有（）

①|?+?||???|②??③??④?⑤

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．（2023·陜西榆林·三模）如圖，數(shù)軸的單位長度為1，若點?表示的數(shù)與點?表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點?

表示的數(shù)是．

7．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數(shù)軸上?、?兩點對應數(shù)分別為?2，4，?為數(shù)軸上一動點，

對應數(shù)為?，若?點到?、?距離和為12，則?的值為.

8．（2023七年級·福建廈門·階段練習）數(shù)軸上的點?和點?所表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點?對應的數(shù)是?2，

?是到點?或點?距離為3的數(shù)軸上的點，則所有滿足條件的點?所表示的數(shù)的和為．

9．（2023七年級·內蒙古呼和浩特·期末）有理數(shù)a、b所表示的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a、b、|?|、

??按從大到小的順序排列，并用“>”號連接，結果為．

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13

10．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）已知實數(shù)a滿足=，若a對應如圖所示的數(shù)軸上A，B，C三點

|??2|2

中的一個點表示的數(shù)，則這個點是．

11．（2023七年級·全國·課堂例題）在如圖所示的數(shù)軸上用字母?,?,?,?,?分別表示出以下各數(shù)：

1

2.5,4,?3,?1，，并回答問題：在這個點中，表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點之間相距多少個單位長度？

205

12．（2023七年級·貴州遵義·期中）以1厘米為1個單位長度用直尺畫數(shù)軸時，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的點

A和點B剛好對著直尺上的刻度2和刻度8．

(1)點A表示的數(shù)為________，點B表示的數(shù)為________；

(2)在數(shù)軸上有一點P，它到??中點的距離為8，則點P表示的數(shù)的倒數(shù)為________．

13．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）如圖：

(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是___________；

(2)若點C與點O(原點記為點O)的距離記為|??|，有|??|=5，則|??|=___________；

(3)若數(shù)軸上M，N兩點所表示的數(shù)分別為x，y，則|??|=___________(結果不含絕對值符號)．

14．（2023七年級·河北滄州·期中）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點A，B，C把數(shù)軸分成

①②③④四部分，點A，B，C對應的數(shù)分別是a，b，c，已知??<0．

(1)請直接