第16講 從算式到方程（人教版）（解析版）

第16講從算式到方程

【人教版】

·模塊一一元一次方程

·模塊二等式的性質(zhì)

·模塊三課后作業(yè)

模塊一一元一次方程

1.方程及方程的解：

（1）方程：含未知數(shù)的等式，叫方程（方程是含有未知數(shù)的等式，但等式不一定是方程）；

（2）方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.

2.一元一次方程：

（1）一元一次方程概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，并且含未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不是零

的整式方程是一元一次方程.

（2）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）.

【考點(diǎn)1方程的概念】

【例1.1】（2023七年級(jí)·吉林長春·期中）下列各式中，是方程的是（）

A．??3=0B．??5C．3+(?2)=1D．7?>5

【答案】A

【分析】本題考查了方程的概念，熟練掌握方程的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)方程的概念求解即可；

【詳解】解：A、??3=0是方程，故本選項(xiàng)符合題意；

B、??5不是等式所以不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、3+(?2)=1不含有未知數(shù)，不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、7?>5不是等式所以不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A．

【例1.2】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）已知式子：①3?4=?1；②2??5?；③1+2?=0；

④6?+4?=2；⑤3?2?2?+1=0．其中的等式是，其中含有未知數(shù)的等式是，

第1頁共29頁.

所以其中的方程是．（填序號(hào)）

【答案】①③④⑤③④⑤③④⑤

【分析】根據(jù)等式的特點(diǎn)：用等號(hào)連接的式子，方程的特點(diǎn)：①含有未知數(shù)，②是等式進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：由題意可得，含有未知數(shù)的等式是方程，

①3?4=?1是等式；

②2??5?是多項(xiàng)式，既不是等式也不是方程；

③1+2?=0既是等式也是方程；

④6?+4?=2既是等式也是方程；

⑤3?2?2?+1=0既是等式也是方程，

故答案為：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．

【點(diǎn)睛】本題考查等式和方程的定義，熟練掌握方程的定義是解題的關(guān)鍵．

?

【例】（六年級(jí)下全國假期作業(yè)）已知下列式子：

1.32023··3+8=3；12??；???=3；?+1=2?+1；3

1

?2=；+5=；≠；=1．其中方程的個(gè)數(shù)為（）

1027??10?

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【分析】本題考查的是方程的定義，根據(jù)方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．

【詳解】解：12??不是等式，所以它不是方程；

2+5=7是等式，但其中不含未知數(shù)，所以它不是方程；

??1≠0不是等式，所以它不是方程；

?1

+8=，=，+1=2?+，?2=，=1都具備方程的兩個(gè)條件，所以都是方程．

33???3?1310?

故選：C．

【變式1.1】（2023七年級(jí)·安徽蚌埠·期中）下列各式中，不是方程的是（）

A．?=0B．2?+3C．2?+1=5D．2(?+1)=2?+2

【答案】B

【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式稱為方程）依次進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)方程的定義可知，A、C、D都是方程，B不是方程，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的定義，深刻理解方程的定義是解題關(guān)鍵．

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【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）判斷下列各式是不是方程，不是方程的說明理由．

(1)4×5=3×7?1；

(2)2?+5?=3；

(3)9?4?>0；

(4)?+5；

(5)??10=3；

(6)5+6=11．

【答案】(1)不是方程，見解析

(2)是方程

(3)不是方程，見解析

(4)不是方程，見解析

(5)是方程

(6)不是方程，見解析

【分析】（1）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；

（2）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；

（3）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；

（4）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；

（5）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；

（6）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得．

【詳解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．

（2）解：是方程．

（3）解：不是方程，理由是：不是等式．

（4）解：不是方程，理由是：不是等式．

（5）解：是方程．

（6）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．

【點(diǎn)睛】本題考查了方程，熟記方程的概念是解題關(guān)鍵．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·山東德州·期末）在①2?5；②1+7?=?8?+3；③?=6；④3?=2??9；

⑤2?>7中，方程共有（）

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A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查方程的定義，掌握方程的定義：含有未知數(shù)的等式是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：在①2?5；②1+7?=?8?+3；③?=6；④3?=2??9；⑤2?>7中②③④是方程．

故選：C．

【考點(diǎn)2一元一次方程的概念】

【例2.1】（2023六年級(jí)下·上?！て谥校┦阶英??2+?=0，②2?+?=0，③2?+1，④4??(3?+2)

=?2，⑤2?+1=0中，是一元一次方程有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，一元一次方程指只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且

兩邊都為整式的等式，根據(jù)一元一次方程的定義逐項(xiàng)判斷即可得出答案．

【詳解】解：①2?2+?=0不是一元一次方程；

②2?+?=0不是一元一次方程；

③2?+1不是一元一次方程；

④將4??(3?+2)=?2整理得?=0，是一元一次方程；

⑤2?+1=0是一元一次方程，

故是一元一次方程有④⑤，共2個(gè)，

故選：B．

【例2.2】（2023六年級(jí)下·上?！て谥校┤绻P(guān)于x的方程??+5=2??1是一元一次方程，那么k的值

為．

【答案】?≠2

【分析】本題主要考查的是一元一次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)是1的整

式方程叫一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

先移項(xiàng)得到一元一次方程的一般式，再根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于k的不等式，求出k的值即可．

【詳解】解：∵關(guān)于x的方程??+5=2??1是一元一次方程，

∴(??2)?+6=0，

∴?+2≠0，解得：?≠2．

故答案為：?≠2．

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【例2.3】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）已知關(guān)于?的方程(2??1)?2?(2?+1)?+3=0是一元一次方程，

則?的值為（）

1

A．B．1C．0D．2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義可得2k-1=0，-(2k+1)≠0，據(jù)此進(jìn)行求解即可得.

【詳解】∵關(guān)于?的方程(2??1)?2?(2?+1)?+3=0是一元一次方程，

∴2k-1=0且-(2k+1)≠0，

1

k=，

∴2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，熟練掌握一元一次方程是指含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次

數(shù)為1的整式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2.1】（2023七年級(jí)·吉林長春·期中）下列方程是一元一次方程的是（）

1

．??4?=8．?1=8．?2?3=?．?=0

AB?CD

【答案】D

【分析】本題考查了一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元一次方程的定義．根據(jù)一元一次方程的

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行

判斷即可．

【詳解】解：A、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、不是整式方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、最高次數(shù)是2，不是關(guān)于x的一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、是關(guān)于y的一元一次方程，故該選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）若關(guān)于?的方程2??+1+3=0是一元一次方程，則?的值

是．

【答案】0

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做

一元一次方程，據(jù)此求解即可．

【詳解】解；關(guān)于?的方程2??+1+3=0是一元一次方程，

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∴?+1=0，

∴n=0，

故答案為：

【變式2.3】（2023七年級(jí)·四川南充·期末）關(guān)于x的方程?|?|?3=0是一元一次方程，則?=．

【答案】±1

【分析】根據(jù)又含有一個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為1的整式方程，叫做一元一次方程，進(jìn)

行求解即可．

【詳解】解：由題意，得：|?|=1，

∴?=±1；

故答案為：±1．

【考點(diǎn)3方程的解】

【例3.1】（2023七年級(jí)·湖北孝感·期末）若關(guān)于?的方程?+3?=3?2?的解為?=2，則?=

【答案】?1

【分析】本題考查了利用方程的解求參數(shù)，熟練掌握和運(yùn)用利用方程的解求參數(shù)的方法是解決本題的關(guān)

鍵．把?=2代入方程，解方程即可．

【詳解】解：將?=2代入方程?+3?=3?2?，

得：2+3?=3?2×2，

解得：?=?1，

故答案為：?1．

【例3.2】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）若關(guān)于?的方程2?+?+?=0的解是?=?1，則代數(shù)式2024????

的值為．

【答案】2022

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)方程的解，即可求出(?+?)，即可求出代

數(shù)式的值．

【詳解】解：∵?=?1是方程2?+?+?=0的解，

∴?2+?+?=0，

即?+?=2，

∴2024????=2024?(?+?)=2024?2=2022．

故答案為：2022．

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【例3.3】（2023七年級(jí)·四川宜賓·期中）整式??+?的值隨著?的取值的變化而變化，下表是當(dāng)?取不同的

值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：

??10123

??+??8?4048

則關(guān)于?的方程??+?=8的解是．

【答案】?=3

【分析】此題考查了方程的解，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．

【詳解】根據(jù)題意可得，

當(dāng)?=3時(shí)，??+?=8

∴關(guān)于?的方程??+?=8的解是?=3．

故答案為：?=3．

【變式3.1】（2023七年級(jí)·福建泉州·期中）寫出一個(gè)解為3的一元一次方程．

【答案】?=3（答案不唯一）

【分析】本題考查一元一次方程的定義，一元一次方程的解，根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，

寫出一個(gè)一元一次方程即可．

【詳解】解：由題意，一元一次方程可以為：?=3；

故答案為：?=3．

【變式3.2】（2023·廣西河池·七年級(jí)期末）關(guān)于x的方程2?+?=4的解是?=1，則a的值為（）

A．?8B．0C．2D．8

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意將?=1代入，即可求解．

【詳解】解：依題意，2×1+?=4解得：?=2，

故選：C．

【變式3.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）如果?=1是關(guān)于?的方程3?2??2?=5的解，則代數(shù)式6?2

?4??9=．

【答案】1

【分析】本題考查了一元一次方程的解及代數(shù)式求值，由?=1是關(guān)于?的方程3?2??2?=5的解得到3?2

?2?=5，把代數(shù)式6?2?4??9變形為2(3?2?2?)?9，代入計(jì)算即可求解，把代數(shù)式6?2?4??9變形為2

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(3?2?2?)?9是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵?=1是關(guān)于?的方程3?2??2?=5的解，

∴3?2?2?=5，

∴6?2?4??9=2(3?2?2?)?9=2×5?9=1，

故答案為：1．

【考點(diǎn)4根據(jù)問題中的相等關(guān)系列方程】

【例4.1】（2023七年級(jí)·廣東河源·開學(xué)考試）一個(gè)長方形場(chǎng)地的周長為160米，長比寬的2倍少1米．如果

設(shè)這個(gè)場(chǎng)地的寬為?米，那么可以列出方程為．

【答案】2(?+2??1)=160

【分析】設(shè)這個(gè)場(chǎng)地的寬為?米，則長為(2??1)米，然后根據(jù)長方形的周長公式即可解答．

【詳解】解：設(shè)這個(gè)場(chǎng)地的寬為?米，則長為(2??1)米，

由題意可得：2(?+2??1)=160．

故答案為2(?+2??1)=160．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、設(shè)出未知數(shù)、明確等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

【例4.2】（2023七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）把一些圖書分給某班學(xué)生，如果每人分3本，則余20本；如

果每人分4本，則缺25本．設(shè)有?名學(xué)生，則可列方程為（）

A．3?+20=4??25B．3?+20=4?+25

?+20??25??20?+25

C．=D．=

3434

【答案】A

【分析】根據(jù)圖書的數(shù)量不變，列出等量關(guān)系式，即可求解，

本題考查了列一元一次方程，解題的關(guān)系式：根據(jù)圖書數(shù)量不變，列出等量關(guān)系式．

【詳解】解：根據(jù)題意得：3?+20=4??25，

故選：A．

【例4.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）據(jù)市公園管理中心統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，10月1日至3日，市屬12個(gè)

景點(diǎn)接待市民游客105.23萬人，比去年同期增長了5.7%，求去年同期這12個(gè)景點(diǎn)接待市民游客人數(shù)．設(shè)去

年同期這12個(gè)景點(diǎn)接待市民游客?萬人，則可列方程為．

【答案】(1+5.7%)?=105.23

【分析】根據(jù)增長率的計(jì)算方法，結(jié)合有理數(shù)的混合運(yùn)算即可求解．

【詳解】解：設(shè)去年同期這12個(gè)景點(diǎn)接待市民游客?萬人，

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∴(1+5.7%)?=105.23，

故答案為：(1+5.7%)?=105.23．

【點(diǎn)睛】本題主要考查用方程表示增長率的計(jì)算，掌握增長率的計(jì)算，方程的運(yùn)用，用字母表示數(shù)（或數(shù)

量關(guān)系）的原則是解題的關(guān)鍵．

【變式】（七年級(jí)河南新鄉(xiāng)階段練習(xí)）根據(jù)與的和的倍比的1少列出的方程是（）

4.12023··“x53x32”

??

．．

A3?+5=3?2B3?+5=3+2

??

．．

C3(?+5)=3?2D3(?+5)=3+2

【答案】C

1?

【分析】根據(jù)條件與的和的倍即為3(?+5)，的少即為?2，然后列出等量關(guān)系即可

x53x323

?

【詳解】解：由題意可得：，

3(?+5)=3?2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．

【變式4.2】（2023七年級(jí)·安徽安慶·期末）臨近春節(jié)，商場(chǎng)開展打折促銷活動(dòng)，某商品如果按原售價(jià)的八

折出售，將盈利10元；如果按原售價(jià)的六折出售，將虧損50元．問該商品的原售價(jià)為多少元？設(shè)該商品

的原售價(jià)為x元，則列方程為．

【答案】0.8x-10=0.6x+50

【分析】設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，然后根據(jù)成本不變列出方程即可．

【詳解】解：設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，

根據(jù)題意得：0.8x-10=0.6x+50，

故答案為：0.8x-10=0.6x+50．

【點(diǎn)睛】此題考查了從實(shí)際問題中抽象出一元一次方程，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

【變式4.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·期末）某班學(xué)生分組參加活動(dòng)，原來每組8人，后來重新編組，每組6

人，這樣比原來增加了兩組，這個(gè)班共有多少名學(xué)生？若設(shè)共有x名學(xué)生，可列方程為．

??

【答案】

8+2=6

【分析】設(shè)這個(gè)班學(xué)生共有?人，先表示出原來和后來各多少組，其等量關(guān)系為后來的比原來的增加了2組，

根據(jù)此列方程即可．

【詳解】解：設(shè)這個(gè)班學(xué)生共有?人，

第9頁共29頁.

??

根據(jù)題意得：

8+2=6

??

故答案為：．

8+2=6

【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，其關(guān)鍵是找出等量關(guān)系及表示原來和后來各多少組．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·陜西渭南·期末）若?=?1是關(guān)于?的一元一次方程2(?2???1)=3(?+2)的解，求

?，?的值．

10

【答案】?=1，?=?

3

【分析】本題考查了一元一次方程的定義和一元一次方程的解．只含量有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高

次數(shù)是1次的整理式方程叫一元一次方程．根據(jù)一元一次方程的定義得到：2??=1，由此可以求得?的

值．再根據(jù)一元一次方程的解的意義，把?=?1代入方程，求解即可得n值．

【詳解】解：因?yàn)榉匠?(?2???1)=3(?+2)是關(guān)于?的一元一次方程，

所以2??=1，所以?=1．

將?=?1代入原方程中，得2(?1?1)=3(?+2)，

10

解得?=?．

3

【題型2】（2023七年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，在編寫數(shù)學(xué)謎題時(shí)，“口”內(nèi)要求填寫同一個(gè)數(shù)字，若設(shè)

“口”內(nèi)的數(shù)字為?，則可列出方程．

【答案】5(120+?)=100?+30

【分析】根據(jù)題意可知，第一個(gè)乘數(shù)可以表示為120+?，積可以表示為100?+30，由此列出方程即可．

【詳解】解：由題意得：5(120+?)=100?+30，

故答案為：5(120+?)=100?+30．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

【題型3】（2017七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）先列方程，再估算出方程解．

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甲型鋼筆每支3元，乙型鋼筆每支5元，用40元錢買了兩種鋼筆共10支，還多2元，問兩種鋼筆各買了

多少支？

解：設(shè)買了甲型鋼筆x支，則乙型鋼筆_________支，依題意得方程：_____________________．

這里x＞0，列表計(jì)算：

從表中看出

x(支)12345678

3x＋5(10－x)(元)4846444240383634

x＝____是原方程的解．

【答案】10-x；3x+5（10-x）=38；6.

【詳解】試題分析：設(shè)買了甲型鉛筆x支，則乙型鋼筆10-x支，根據(jù)用40元錢買了兩種鋼筆共10支，還

多2元，列方程解答即可．

試題解析：設(shè)買了甲型鉛筆x支，則乙型鋼筆10-x支，依題意得方程：

3x+5（10-x）=40-2

從表中看出x=6是原方程的解．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）在一次植樹活動(dòng)中，甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%，乙班植樹的

棵數(shù)比甲班的一半多10棵．設(shè)乙班植樹?棵．

(1)列兩個(gè)不同的含?的式子來表示甲班植樹的棵數(shù)；

(2)根據(jù)題意列出含未知數(shù)?的方程；

(3)檢驗(yàn)乙班、甲班植樹的棵數(shù)是不是分別為25棵和35棵．

【答案】(1)甲班植樹的棵數(shù)為(1+20%)?棵、2(??10)棵

(2)(1+20%)?=2(??10)

(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)多20%、一半的含義列出式子即可；

（2）直接列出等式即可；

（3）利用代入法進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

【詳解】（1）根據(jù)甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%，

第11頁共29頁.

得甲班植樹的棵數(shù)為(1+20%)?棵；根據(jù)乙班植樹的棵數(shù)比甲班的一半多10棵，

得甲班植樹的棵數(shù)為2(??10)棵．

（2）(1+20%)?=2(??10)．

（3）把?=25分別代入（2）中方程的左邊和右邊，

得左邊=(1+20%)×25=30，

右邊=2×(25?10)=30．

因?yàn)樽筮?右邊，

所以?=25是方程(1+20%)?=2(??10)的解，

即乙班植樹的棵數(shù)是25棵．

由上面的檢驗(yàn)過程可得甲班植樹的棵數(shù)是30棵，而不是35棵

【點(diǎn)睛】本題考查了列方程解實(shí)際問題的能力，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力．

【題型2】（2023七年級(jí)·全國·單元測(cè)試）根據(jù)實(shí)際問題的意義列出方程：

（1）好馬走15天的路程，劣馬要走30天，已知劣馬每天走150千米，則好馬每天走多少千米？

（2）有宿舍若干間，如果每間住4人還空一間，如果每間住3人就有5人沒有床位，問有多少間宿舍？

【答案】（1）300千米；（2）9間．

【分析】要列方程，首先要找出存在的等量關(guān)系：

（1）好馬走的路程=劣馬走的路程;（2）總?cè)藬?shù)相等.

【詳解】解：（1）設(shè)好馬每天走x千米，則好馬走的路程為15x千米，

已知劣馬每天走150千米，以及劣馬要走30天，即劣馬所走的路程為150×30千米，

根據(jù)路程相等可列方程：15x=30×150；x=300千米；

（2）設(shè)有x間宿舍，由如果每間住4人還空一間可得4（x﹣1），

如果每間住3人就有5人沒有床位可得3x+5，

根據(jù)總?cè)藬?shù)相等的關(guān)系可列方程得：4（x﹣1）=3x+5；解得x=9．

【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵是找出題中存在的等量關(guān)系．

【題型3】（2012·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（）

第12頁共29頁.

82628262

A．?×()?=?×()×(?+5)B．?×()?=?×()×(??5)

2222

C．?×82?=?×62×(?+5)D．?×82?=?×62×5

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.

2

【詳解】解：大量筒中的水的體積為：?×8?，

2

2

小量筒中的水的體積為：?×6×(?+5)，

2

22

86

則可列方程為：?×?=?××(?+5).

22

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式

列出方程即可.

模塊二等式的性質(zhì)

等式及其性質(zhì)

（1）等式：用“=”號(hào)連接而成的式子叫等式；

（2）等式的性質(zhì)：

等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；

等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等.

第13頁共29頁.

【考點(diǎn)1等式的性質(zhì)】

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）已知?+?=?+?，若根據(jù)等式的性質(zhì)可變形為?=?，則?,?滿

足的條件是（）

A．?=2?B．??=?C．?=?D．?,?可以是任意數(shù)或式子

【答案】C

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案．

【詳解】解：當(dāng)?=?時(shí)，?+?=?+?根據(jù)等式的性質(zhì)可變形為?=?，

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了等式的變形，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【例1.2】（2023·云南·七年級(jí)期末）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

??

A．若?=?，則=B．若?=?，則??=??

??

1

．若?2=?2，則?=?．若??=9，則?=?3

CD3

【答案】B

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可求解，掌握不等式的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

??

【詳解】解：A、若?=?，當(dāng)?≠0時(shí)，=；當(dāng)?=0時(shí)，等式無意義；該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

??

B、若?=?，則??=??，該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、若?2=?2，則?=?或?=??，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

1

D、若??=9，則?=?27，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

3

故選：B．

【例1.3】（2023六年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）若等式??=??成立，則下列等式不一定成立的是（）

A．?=?B．???=?2?C．??+?=??+?D．????=????

【答案】A

【分析】此題主要考查了等式的性質(zhì)，應(yīng)用等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)數(shù)時(shí)，只有這個(gè)數(shù)不為0，

等式的變形才能成立．分別根據(jù)等式的性質(zhì)分析得出即可．

【詳解】解：A、當(dāng)?≠0時(shí)，兩邊同時(shí)除以c，得?=?，選項(xiàng)A不一定成立，本選項(xiàng)符合題意；

B、兩邊同時(shí)乘b，得???=?2?，選項(xiàng)B成立，本選項(xiàng)不符合題意；

C、兩邊同時(shí)加a，得??+?=??+?，選項(xiàng)C成立，本選項(xiàng)不符合題意；

第14頁共29頁.

D、兩邊同時(shí)減b，得????=????，選項(xiàng)D成立，本選項(xiàng)不符合題意．

故選：A．

【變式1.1】（2023七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知等式3?+4=2??2，依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，可以得到

的是（）

3?2

A．2?=3??6B．3?=2?+6C．?=+3D．?=??3

23

【答案】C

【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)判斷即可．

【詳解】解：∵3?+4=2??2，

∴依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，可得：

3?2

2?=3?+6，3?=2??6，?=+3，?=??2，

23

故A、B、D錯(cuò)誤，C正確，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，掌握等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)代數(shù)式，結(jié)果仍得等式；等式兩

邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．

【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如果?=?，根據(jù)等式的性質(zhì)填空．

?+5=?+??=???

1

?×=?×?÷=?÷0.5

5

1

【答案】0.5

5m5

【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵；

根據(jù)等式的性質(zhì)直接填空：（1）等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；

（2）等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），等式仍然成立．即可得到答案．

【詳解】?+5=?+5；

???=???；

11

?×=?×；

55

?÷0.5=?÷0.5．

1

故答案為：，，，0.5．

5m5

31

【變式1.3】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）若3?+2?=24，則??5+?的值是．

42

第15頁共29頁.

【答案】1

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．把3?+2?=24等號(hào)兩邊同時(shí)除以4得出

31

?+?=6，等號(hào)兩邊再同時(shí)減去5即可得答案．

42

【詳解】解：3?+2?=24，

31

等號(hào)兩邊同時(shí)除以4得：?+?=6，

42

31

所以?+??5=6?5=1，

42

31

所以??5+?的值是1．

42

【考點(diǎn)2利用等式的性質(zhì)解方程】

1

【例2.1】（2023七年級(jí)·吉林·期中）利用等式的性質(zhì)解方程：??+6=9．

4

【答案】?=?12

【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，利用等式的基本性質(zhì)直接解答即可求解，掌握等式的基本性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵．

1

【詳解】解：等式兩邊同時(shí)減6得，??+6?6=9?6，

4

1

即??=3，

4

1

等式兩邊同時(shí)乘以?4得，??×=3×，

4(?4)(?4)

即?=?12．

2

【例】（七年級(jí)全國課后作業(yè)）將方程??=1的系數(shù)化為時(shí)，下列做法正確的是（）

2.22023··31

．方程兩邊同時(shí)加上1．方程兩邊同時(shí)減去2

A3B3

22

．方程兩邊同時(shí)除以?．方程兩邊同時(shí)乘以?

C3D3

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．

2

根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊都除以?即可．

3

2

【詳解】??=1，

3

22

方程兩邊同時(shí)除以?，得??÷?2=1÷?2，

3333

第16頁共29頁.

3

解得：?=?，

2

故選：C．

【例2.3】（2023七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）小紅做了四道方程變形題，出現(xiàn)錯(cuò)誤的有（）

71

下列方程變形為：（1）??2=3，?=3+2；（2）7?=4，?=；（3）3+?=5，?=5+3；（4）?=

44

11

，?=．

28

A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）

（4）

【答案】C

【分析】本題考查了等式性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．

【詳解】解：（1）??2=3，

變形為?=3+2，正確；

（2）7?=4，

4

變形為?=，原說法錯(cuò)誤；

7

（3）3+?=5，

變形為?=5?3，原說法錯(cuò)誤；

11

（4）?=，

42

11

變形為?=÷=2，原說法錯(cuò)誤；

24

故選：C

4

【變式】（六年級(jí)下上海階段練習(xí)）把方程??=8變形為?=?6，是在方程兩邊都（）

2.12023··3

4343

A．乘以?B．乘以?C．除以?D．除以?

3434

【答案】B

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

43

【詳解】解：根據(jù)等式的性質(zhì)??=8變形為?=?6，是在方程兩邊都乘以?．

34

故選：B．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解方程．

(1)4??6=?10；

第17頁共29頁.

(2)?5?=?15；

(3)10?=5??3；

(4)7??6=8?．

【答案】(1)?=?1

(2)?=3

3

?=?

(3)5

(4)?=?6

【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)1、2求解，再檢驗(yàn)即可；

（2）根據(jù)等式性質(zhì)2求解，再檢驗(yàn)即可；

（3）根據(jù)等式性質(zhì)1、2求解，再檢驗(yàn)即可；

（4）根據(jù)等式性質(zhì)1、2求解，再檢驗(yàn)即可．

【詳解】（1）解：方程兩邊加上6得：?=?10+6，即4?=?4，

方程兩邊除以4得：?=?1，

則?=?1是方程的解；

（2）解：方程兩邊除以?5得：?=3，

則?=3是方程的解；

（3）解：方程兩邊減去5?得：10??5?=?3，即5?=?3，

3

兩邊除以得：?=?，

55

3

則?=?是方程的解；

5

（4）解：方程兩邊減去7?得：7??6?7?=8??7?，即?=?6，

則?=?6是方程的解．

【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用等式性質(zhì)解方程，熟練掌握等式性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5?+4??15??5

【變式2.3】（2023七年級(jí)·北京延慶·期末）下面的框圖是解方程+=2?的流程：

3412

第18頁共29頁.

在上述五個(gè)步驟中，依據(jù)是“等式的基本性質(zhì)2”的步驟有．（只填序號(hào)）

【答案】①⑤/⑤①

【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式基本性質(zhì)．

【詳解】解：等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的數(shù)或式，兩邊依然相等；

若?=?，

那么有??=??，

??

或=，

??(?≠0)

所以依據(jù)等式的性質(zhì)2的步驟是①⑤．

故答案為：①⑤．

【規(guī)律方法綜合練】

△□

【題型】（七年級(jí)四川南充期末）已知=，其中，分別表示兩個(gè)不同的數(shù)，則下列式子

12023··34“△”“□”

一定成立的是（）

A．△×□=12B．4+△=3+□C．3×△=4×□D．4×△=3×□

【答案】D

【分析】本題考查等式的性質(zhì)．等式兩邊同乘以12，即可得出結(jié)果．

第19頁共29頁.

△□

【詳解】解：=，

∵34

△□

12×=12×，

∴34

∴4×△=3×□；

故選D．

【題型2】（2023七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）若4??3?=7，3?+2?=19，則14??2?是（）

A．48B．52C．58D．60

【答案】B

【分析】本題考查代數(shù)式求值，等式的基本性質(zhì)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)得7???=26是解決問題得關(guān)鍵．

【詳解】解：∵4??3?=7，3?+2?=19，

∴(4??3?)+(3?+2?)=7+19，即：7???=26，

∴14??2?=2(7???)=2×26=52，

故選：B．

【題型3】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如果△+△+△+△+□=270，□+△+△+△+□=290，那么，

□+△=．

【答案】120

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，利用代換的方式把其中一個(gè)數(shù)用另一個(gè)數(shù)表示，兩個(gè)未知數(shù)就成了一個(gè)未

知數(shù)，進(jìn)一步解決問題即可，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先利用第二個(gè)式子減去第一個(gè)式子得出□

和△的關(guān)系，用其中一個(gè)表示另一個(gè)，再代入任何一個(gè)式子求出一個(gè)，進(jìn)一步求出另一個(gè)，計(jì)算加法即可

解決問題．

【詳解】△+△+△+△+□=270①

□+△+△+△+□=290②

所以②－①得：□?△=290?270=20，

□=△+20，③

把③代入①得：△+△+△+△+△+20=270，

所以△=50，

所以□=△+20=70，

所以□+△=50+70=120．

故答案為：120

第20頁共29頁.

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023·安徽·七年級(jí)期末）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，滿足?+?+?≠0，?2+?2=?2，?2=?2+

?2，則下列結(jié)論正確的是（）

A．?=0B．?=0C．?=??D．?=?

【答案】D

【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確記憶等式的性質(zhì)并正確做出判斷是解題的關(guān)鍵．

利用?2+?2=?2,?2=?2+?2得到?=0，再推出?=?即可．

【詳解】∵?2+?2=?2,?2=?2+?2，

∴2?2=0，

∴?=0，

∴?2=?2，

∵?+?+?≠0，

∴?+?≠0，

∴?=?，

故選：D．

【題型2】（2023七年級(jí)·廣西欽州·階段練習(xí)）假設(shè)“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天

平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”的個(gè)數(shù)是個(gè)．

【答案】4

【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)題意推出即可得到答案．

【詳解】解：由題意得，2●=▲+■，▲=●+■，

∴，

∴，

∴“？”處應(yīng)放“■”的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故答案為：4．

31

【題型】（安徽亳州七年級(jí)期末）設(shè)?,?,?為互不相等的實(shí)數(shù)，且?=?+?，則下列結(jié)論正確的是

32023··77

第21頁共29頁.

（）

A．?>?>?B．?>?>?C．???=6(???)D．???=3(??2?)

【答案】D

【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)得到7?=3?+?，則???=3??6?，據(jù)此可判斷D；

例如當(dāng)?=2，?=3，?=5時(shí)，滿足7?=3?+?，據(jù)此可判斷A、C；例如當(dāng)?=?1，?=2，?=?13，滿

足7?=3?+?，據(jù)此可判斷B．

31

【詳解】解：?=?+?，

∵77

∴7?=3?+?，

∴???=3??6?，即???=3(??2?)，故D結(jié)論正確，符合題意；

例如當(dāng)?=2，?=3，?=5時(shí)，滿足7?=3?+?，故A結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

∴此時(shí)???=?1，6(???)=?12，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

例如當(dāng)?=?1，?=2，?=?13，滿足7?=3?+?，故B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：D．

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級(jí)·河南周口·期中）下列式子中，是一元一次方程的有（）

A．?+6=3?B．?2?9=?2+8

C．5??3D．???=7

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】解：A．?+6=3?是一元一次方程，故A符合題意；

B．?2?9=?2+8，不是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；

C．5??3屬于代數(shù)式，不是方程，故C不符合題意；

D．???=7含有兩個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，不是一元一次方程，故D不符合題意．

故選：A．

2．（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）?=6是下列（）方程的解．

A．12??=0B．?+3=9C．0.2?=6D．?÷10=1.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了方程解的定義，根據(jù)方程的解的定義，把?=6代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

第22頁共29頁.

【詳解】A．把?=6代入方程，左邊=6，右邊=0，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B．把?=6代入方程，左邊=9，右邊=9，左邊=右邊，故選項(xiàng)正確；

C．把?=6代入方程，左邊=1.2，右邊=3，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D．把?=6代入方程，左邊=0.6，右邊=1.5，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故答案為：B．

3．（2023七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）已知方程3??4?=6，用含y的式子表示x為（）

6?4?6+4?6?3?6+3?

A．?=B．?=C．?=D．?=

3344

【答案】B

【分析】本題考查了用代數(shù)式表示字式，以及等式的基本性質(zhì)．移項(xiàng)，再把x的系數(shù)化為1即可求解，掌

握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】方程3??4?=6，

3?=6+4?，

6+4?

所以：?=．

3

故選：B．

4．（2023七年級(jí)·河北·階段練習(xí)）“?的4倍與3的差比?的2倍多5”可列等式表示為（）

A．4??3=2(?+5)B．4??3=2?+5C．4(??3)=2(?+5)D．4(??3)

=2?+5

【答案】B

【分析】根據(jù)文字描述，直接列出等式即可．

【詳解】解：由題意，得4??3=2?+5

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系．

5．（2023七年級(jí)·湖南湘潭·期末）若(??3)?|?|?2=5是一元一次方程，則?的值是（）

A．3B．?3C．3或?3D．1

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義“只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是

整式，這樣的方程叫做一元一次方程”，熟記定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義可得??3≠0,|?|

?2=1，由此即可得．

第23頁共29頁.

【詳解】解：∵(??3)?|?|?2=5是一元一次方程，

??3≠0，

∴|?|?2=1

解得?=?3，

故選：B．

6．（2023六年級(jí)下·上海浦東新·期中）若?=?1是方程??+2=9的解，則?=．

【答案】?7

【分析】本題考查了方程的解，把?=?1代入方程計(jì)算即可求解，掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵?=?1是方程??+2=9的解，

∴??+2=9，

∴?=?7，

故答案為：?7．

7．（2023七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）寫出一個(gè)解為?=?2，且未知數(shù)的系數(shù)為2的一元一次方程．

【答案】2?+4=0（答案不唯一）

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，一元一次方程指只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且

兩邊都為整式的等式，結(jié)合題干給出的條件寫出方程即可．

【詳解】解：解為?=?2，且未知數(shù)的系數(shù)為2的一元一次方程有無數(shù)個(gè)，例如：2?+4=0，

故答案為：2?+4=0（答案不唯一）．

8．（15-16七年級(jí)·河南·階段練習(xí)）下列各式中，①-2+5=5；②③；④；

⑤；⑥⑦⑧哪些是方程，