第17講 解一元一次方程（一）-合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)（人教版）（原卷版）

第17講解一元一次方程（一）——合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)

【人教版】

·模塊一利用“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程

·模塊二利用“移項(xiàng)”及“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程

·模塊三課后作業(yè)

模塊一利用“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程

【考點(diǎn)1利用“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）補(bǔ)全下列解方程的過(guò)程：

（1）6???=4．

解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得=4．

系數(shù)化為1，得?=．

（2）?4?+6??0.5?=?0.3．

解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得=?0.3．

系數(shù)化為1，得?=．

【例1.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）解下列方程時(shí)，合并同類(lèi)項(xiàng)不正確的是（）

A．5??4?=1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得?=1

B．3??5?=?2，合并同類(lèi)項(xiàng)，得?2?=?2

C．2??3??4?=1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得?=1

115

D．?+?=2，合并同類(lèi)項(xiàng)，得?=2

236

【例1.3】（2023六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）解方程

3

?=15

(1)8

3

??50%?=

(2)10

【變式1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）解下列方程：

(1)2?+3?+4?=18

(2)13??15?+?=?3

第1頁(yè)共9頁(yè).

(3)2.5?+10??6?=15?21.5

122

(4)???+?=×6?1．

233

【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列方程的求解過(guò)程是否正確，說(shuō)明原因：

(1)?6?+3?=?1?8．

解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得?9?=?9．系數(shù)化為1，得?=1．

(2)5?+4?=18．

解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得9?=18．

1

系數(shù)化為1，得?=．

2

【變式1.3】（2023七年級(jí)·福建廈門(mén)·期中）解方程：

3

(1)7??3?=×8?2

4

(2)2??7=5?+1

第①步驟的名稱(chēng)是___________

第②合并同類(lèi)項(xiàng)

第③系數(shù)化為1這一步驟的依據(jù)是___________．

【考點(diǎn)2列方程解決“總量=各部分量的和”問(wèn)題】

【例2.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）挖一條長(zhǎng)為1200米的水渠，由甲、乙兩隊(duì)從兩頭同時(shí)施工，甲隊(duì)

每天挖150米，乙隊(duì)每天挖90米，需要幾天才能挖好？設(shè)需要x天才能挖好，則列出的方程為（）

A．150?+90?=1200B．150+90?=1200

C．150?+90=1200D．150??90?=1200

第2頁(yè)共9頁(yè).

【例2.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）某商場(chǎng)三個(gè)季度共銷(xiāo)售冰箱2800臺(tái)，第一季度的銷(xiāo)售量是第二季

度的2倍，第三季度的銷(xiāo)售量是第一季度的2倍，此商場(chǎng)第二季度銷(xiāo)售冰箱臺(tái)．

【例2.3】（2023七年級(jí)·福建莆田·階段練習(xí)）甲、乙、丙三位同學(xué)向貧困山區(qū)的希望小學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)，已知

這三位同學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)冊(cè)數(shù)的比是5:8:9，如果他們共捐374本，那么這三位同學(xué)各捐書(shū)多少冊(cè)？

【變式2.1】（2023·四川南充·中考真題）學(xué)校機(jī)房今年和去年共購(gòu)置了100臺(tái)計(jì)算機(jī)，已知今年購(gòu)置計(jì)算

機(jī)數(shù)量是去年購(gòu)置計(jì)算機(jī)數(shù)量的3倍，則今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（）

A．25臺(tái)B．50臺(tái)C．75臺(tái)D．100臺(tái)

【變式2.2】（2023七年級(jí)·河南安陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）學(xué)校要為圖書(shū)室的地面鋪上方磚，如果用邊長(zhǎng)為3分米的

方磚鋪地，需要用600塊，如果改用邊長(zhǎng)為5分米的地磚鋪地，需要多少塊？

【變式2.3】（2023七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）婦人洗碗在河濱，路人問(wèn)他客幾人？答曰：“不知客數(shù)目，

六十五碗自分明，二人共食一碗飯，三人共吃一碗羹，四人共肉無(wú)余數(shù)，請(qǐng)君細(xì)算客幾人？”本題的大意是：

有一名婦人在河邊洗碗，一個(gè)過(guò)路的人問(wèn)她有多少個(gè)客人吃飯，婦人說(shuō)“人數(shù)不知道，一共65個(gè)碗，其中

兩個(gè)人共用一碗飯，三個(gè)人共喝一碗湯，四個(gè)人共吃一碗肉，請(qǐng)你算算一共有多少個(gè)客人？”

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）某水果店運(yùn)來(lái)蘋(píng)果?千克，運(yùn)來(lái)梨的質(zhì)量是蘋(píng)果的1.5倍，該水果

店運(yùn)來(lái)蘋(píng)果和梨一共千克．如果該水果店運(yùn)來(lái)的梨比蘋(píng)果多50千克，那么運(yùn)來(lái)蘋(píng)果千克，運(yùn)

來(lái)梨千克．

【題型2】（2023·安徽六安·七年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中有一問(wèn)題，“今有善行者一百步，不善行者六十步，

今不善行者先行一百步，善行者追之．問(wèn)：幾何步幾之？”其意思是：有一個(gè)善于走路的人和一個(gè)不善于

走路的人．善于走路的人走100步的同時(shí)，不善于走路的人只能走60步，現(xiàn)在不善于走路的人先走100步，

善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？

【題型3】（2023六年級(jí)下·上海青浦·期末）如圖，機(jī)器人淘淘和巧巧分別站在邊長(zhǎng)為15米的正方形道路????

的頂點(diǎn)D、B處，他們開(kāi)始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩凶撸?dāng)淘淘

和巧巧第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處時(shí)，經(jīng)過(guò)了多少秒？（）

第3頁(yè)共9頁(yè).

A．30秒B．60秒C．90秒D．120秒

【拓廣探究創(chuàng)新練】

11

【題型1】（2023七年級(jí)·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）水果店共運(yùn)進(jìn)102筐水果，香蕉筐數(shù)的占梨的，梨筐數(shù)的

34

11

占蘋(píng)果的，則蘋(píng)果筐．

25

【題型2】（2023七年級(jí)·江西贛州·期末）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中，有這樣的一首歌謠，叫做浮屠增

級(jí)歌：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增．共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”這首古詩(shī)描述的這個(gè)寶塔，

其古稱(chēng)浮屠，本題說(shuō)它一共有七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，則這個(gè)塔頂有（）盞燈．

A．1B．2C．3D．7

【題型3】（2023·浙江·七年級(jí)期末）學(xué)校要制作一塊廣告牌，請(qǐng)來(lái)兩名工人，已知甲單獨(dú)完成需4天，乙

單獨(dú)完成需6天，若先由乙做1天，再兩人合作，完成任務(wù)后共得到報(bào)酬900元，若按各人的工作量計(jì)算

報(bào)酬，則分配方案為（）

A．甲360元，乙540元B．甲450元，乙450元

C．甲300元，乙600元D．甲540元，乙360元

模塊二利用“移項(xiàng)”及“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程

移項(xiàng):

把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng).

【考點(diǎn)1利用“移項(xiàng)”及“合并同類(lèi)項(xiàng)”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級(jí)·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）下列移項(xiàng)正確的是（）

A．從12?2?=?6，得到12?6=2?

B．從?8?+4=?5??2，得到8?+5?=?4?2

C．從5?+3=4?+2，得到5??2=4??3

D．從?3??4=2??8，得到8?4=2??3?

【例1.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，框圖表示解這個(gè)方程的流程：其中，“移項(xiàng)”這一步驟的依

據(jù)是，“合并同類(lèi)項(xiàng)”這一步驟的依據(jù)是，“系數(shù)化為1”這一步驟的依據(jù)是．

第4頁(yè)共9頁(yè).

【例1.3】（2023七年級(jí)·江西宜春·期中）解方程：

(1)3??1=2?；

1

(2)2??=??3．

2

1

【變式1.1】（2023·廣東佛山·七年級(jí)期末）小明做作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3?+=2?+■電話(huà)詢(xún)

2

問(wèn)老師后知道：方程的解?=1且被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)．則該常數(shù)是（）

3311

．B．?C．D．?

A2222

【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）補(bǔ)全解方程5??8=?3??2的過(guò)程：

解：移項(xiàng)，得5?+___=?2______．

合并同類(lèi)項(xiàng)，得________________=____________．

系數(shù)化為1，得?=________________．

【變式1.3】（2023六年級(jí)下·上海松江·期中）若???表示?的5倍與?的一半的差，已知??(2?10)=3，則

?=．

【考點(diǎn)2根據(jù)“表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同的式子相等”列方程解應(yīng)用題】

【例2.1】（2023七年級(jí)·福建南平·期中）某汽車(chē)隊(duì)運(yùn)送一批貨物，若每輛汽車(chē)裝4t，則還剩下8t裝不下；

若每輛汽車(chē)裝4.5t，則恰好裝完．該車(chē)隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車(chē)共有多少輛？設(shè)該車(chē)隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車(chē)共有x輛，

則可列方程為．

【例2.2】（2023七年級(jí)·內(nèi)蒙古通遼·期末）幾個(gè)人共同種一批樹(shù)苗，如果每人種6棵，則少4棵樹(shù)苗；如

果每人種5棵，則剩下3棵樹(shù)苗未種，若設(shè)參與種樹(shù)的人數(shù)為x人，可列方程．

【例2.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）七年級(jí)某班學(xué)生在會(huì)議室看錄像，每排坐13人，則有1人無(wú)處坐，

每排坐14人，則空12個(gè)座位，求這間會(huì)議室共有多少排座位．

【變式2.1】（2023·陜西西安·七年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買(mǎi)

羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)，問(wèn)合伙人數(shù)是多少？

第5頁(yè)共9頁(yè).

【變式2.2】（2023七年級(jí)·北京房山·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問(wèn)題：“一

條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，

用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，則符合

題意的方程是（）

A．2?+5=?+5B．2??5=??5

11

C．?+5=?+5D．?+5=??5

22

【變式2.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購(gòu)買(mǎi)的蔬菜包由

志愿者統(tǒng)一派送．若每位志愿者派送8個(gè)蔬菜包，則少5個(gè)蔬菜包；若每個(gè)志愿者派送5個(gè)蔬菜包，則剩下4

個(gè)未送，則安排派送的志愿者有（）

A．4人B．3人C．2人D．1人

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·河北石家莊·期末）如果單項(xiàng)式3?2??3與單項(xiàng)式?5?6????是同類(lèi)項(xiàng)，則????=

（）

A．?7B．?6C．?5D．?4

【題型2】（2023七年級(jí)·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)都為1，把由四個(gè)小三角形組成

的邊長(zhǎng)為2的大三角形稱(chēng)為一個(gè)“成達(dá)小區(qū)域”．現(xiàn)將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這十個(gè)數(shù)分別填入圖

中的十個(gè)小三角形中，使得圖中的每個(gè)“成達(dá)小區(qū)域”中的四個(gè)數(shù)之和都是23．并且5，6，9，?這四個(gè)數(shù)已

填入圖中，位置如圖所示，則?表示的數(shù)是（）

A．3B．4C．7D．8

【題型3】（2023七年級(jí)·貴州·期末）先看例子，再解類(lèi)似的題目．

例子：解方程：|x|+1=3．

解法一：當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為x+1=3，解方程，得x=2；當(dāng)x<0時(shí)，原方程化為-x+1=3，解方程，得

x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2．

解法二：移項(xiàng)，得|x|=3-1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得|x|=2．由絕對(duì)值的意義，知x=±2．所以原方程的解為x=±2．

問(wèn)題：用上面的兩種方法解方程2|x|-3=5．

第6頁(yè)共9頁(yè).

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·甘肅武威·階段練習(xí)）某數(shù)的5倍加上3等于這個(gè)數(shù)的7倍減去5，這個(gè)數(shù)是

（）．

A．4B．－10C．10D．－4

【題型2】（2023·安徽合肥·七年級(jí)期末）安徽省加快“縣城通高速”步伐，實(shí)現(xiàn)了高速公路“縣縣通”，有力

促進(jìn)縣域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展．僅去年一年就通過(guò)新建或擴(kuò)建開(kāi)通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的長(zhǎng)

度是擴(kuò)建的2倍少45公里，求去年新建和擴(kuò)建高速公路各多少公里？

【題型3】（2023七年級(jí)·河北石家莊·期末）小明在某月的日歷中圈出相鄰的四個(gè)數(shù)，算出這4個(gè)數(shù)的和是

42，那么這4個(gè)數(shù)在日歷上的位置可能是（）

A．B．C．D．

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）由方程3x–5=2x–4變形得3x–2x=–4+5，那么這是根據(jù)（）變形的．

A．合并同類(lèi)項(xiàng)法則B．乘法分配律

C．移項(xiàng)D．等式性質(zhì)2

2．（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）對(duì)方程5??3?+?=4合并同類(lèi)項(xiàng)正確的是（）

A．?=4B．2?=4C．3?=4D．?3?=4

3．（14-15七年級(jí)·黑龍江伊春·期末）下列移項(xiàng)中，正確的是（）

A．6?+5=7?+2，移項(xiàng)得6??7?=2+5

B．7??21=6?+13，移項(xiàng)得7?+6?=13+21

C．18??40=7?+40，移項(xiàng)得18??7?=40+40

D．?24?+18?=?20??11，移項(xiàng)得24?+20?+18?=11

1

4．（2023七年級(jí)·四川內(nèi)江·期中）下面是一個(gè)被墨水污染過(guò)的方程：2??=3??，答案顯示此方程

2

的解是?=?1，被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（）

11

A．1B．?1C．?D．

22

5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·七年級(jí)期末）定義新運(yùn)算“※”，規(guī)定：?※?=2???，則方程?※(?2)=6的解為

（）

A．?=?10B．?=?3C．?=2D．?=4

第7頁(yè)共9頁(yè).

．（七年級(jí)湖南衡陽(yáng)階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：?+?(?≥0)，若，則

62023··???=???(?<0)??(?3)=?2?

?=．

7．（2023六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）小亮在解方程3?+?=7時(shí)，由于粗心錯(cuò)把+?看成了??，結(jié)果解得

?=2，則?的值為．

8．（2023七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）小明在解關(guān)于?的方程5???=12時(shí)，誤把??寫(xiě)成了+?，從而求得

此時(shí)方程的解為?=7，則原來(lái)方程的解為．

9．（2023七年級(jí)·江蘇宿遷·期末）若?2?+1?3與?2?3?3?+1是同類(lèi)項(xiàng)，則代數(shù)式2?+6?的值是．

10．（2023七年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖是一個(gè)運(yùn)算程序框圖，認(rèn)真觀察框圖并計(jì)算，當(dāng)輸出結(jié)果是7時(shí)，

輸入x的值為．

11．（2023七年級(jí)·四川遂寧·期中）解方程：3??2=5?+6．

12．（2023七年級(jí)·天津·期中）解方程：

411

(1)?8?=3??；

32

(2)7??2.5?+3×6=1.5??15×4?3?．

13．（2023·河北滄州·七年級(jí)期末）