第18講 解一元一次方程（二）-去括號與去分母（人教版）（解析版）

第18講解一元一次方程（二）——去括號與去分母

【人教版】

·模塊一利用“去括號”解一元一次方程

·模塊二利用“去分母”解一元一次方程

·模塊三課后作業(yè)

模塊一利用“去括號”解一元一次方程

【考點1利用“去括號”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）補全解方程5(??4)?3(2?+1)=2(1?2?)?1的過程：

解：去括號，得．

移項，得．

合并同類項，得．

系數(shù)化為1，得．

【答案】5??20?6??3=2?4??15??6?+4?=2?1+20+33?=24?=8

【分析】根據(jù)去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1進行解方程即可求解．

【詳解】解：5(??4)?3(2?+1)=2(1?2?)?1，

去括號得，5??20?6??3=2?4??1，

移項得，5??6?+4?=2?1+20+3，

合并同類項得，3?=24，

系數(shù)化為1得，?=8，

故答案為：5??20?6??3=2?4??1，5??6?+4?=2?1+20+3，3?=24，?=8．

【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關鍵．

【例1.2】（2023七年級·海南?？凇て谥校┮阎?1=2(??1)，?2=4?3?，若?1與?2的值互為相反數(shù)，則?等

于（）

A．3B．?3C．2D．?2

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程和相反數(shù)，能正確根據(jù)等式的性質進行變形是解此題的關鍵．根據(jù)互

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為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0得出方程，再根據(jù)等式的性質求出方程的解即可．

【詳解】解：∵?1=2(??1)，?2=4?3?，若?1與?2的值互為相反數(shù)，

∴2(??1)+(4?3?)=0，

∴2??2+4?3?=0，

2??3?=?4+2，

??=?2，

?=2．

故選：C

【例1.3】（2023七年級·福建福州·期中）將?=2??1代入3???=4，去括號后，可得（）

A．3??2?+1=4B．3?+2?+1=4

C．3?+2??1=4D．3??2??1=4

【答案】A

【分析】本題考查代入求值和去括號，把?=2??1整體代入后去括號即可解答．

【詳解】解：將?=2??1代入3???=4得3??(2??1)=4，

去括號得3??2?+1=4，

故選A．

【變式1.1】（2023七年級·河南南陽·階段練習）在解方程2(??1)?3(2??3)=0時，去括號正確的是（）

A．2??1?6?+9=0B．2??2?6??3=0

C．2??2?6??9=0D．2??2?6?+9=0

【答案】D

【分析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出

解．方程去括號得到結果，即可做出判斷．

【詳解】解：將方程去括號，得2??2?6?+9=0．

故選：D

【變式1.2】（2023六年級下·上海浦東新·期中）解方程：2(5??)=33?3(5?+1)．

20

【答案】?=

13

【分析】本題考查的是一元一次方程的解法，先去括號，再移項，合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1

即可．

【詳解】解：2(5??)=33?3(5?+1)，

第2頁共27頁.

去分母得：10?2?=33?15??3，

移項整理得：13?=20，

20

解得：?=．

13

【變式1.3】（2023七年級·全國·課堂例題）當?取什么值時，式子5(?+2)的值比2(1?3?)的值小3？

【答案】?=?1

【分析】根據(jù)題意列一元一次方程，求解即可得到答案．

【詳解】解：由題意得：5(?+2)=2(1?3?)?3，

解得：?=?1，

即當?=?1時，式子5(?+2)的值比2(1?3?)的值小3．

【點睛】本題考查的是解一元一次方程，根據(jù)題意正確列出一元一次方程是解題關鍵．

【考點2去括號解方程的應用】

1

【例2.1】（2023·浙江嘉興·七年級期末）已知物體自由下落的距離可以表示為?=??，?表示物體下落

2底底

的末速度，?表示物體下落的時間，聲音傳播的速度為340米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，7秒后聽到

它落水的聲音，測得?底=60米/秒，設石頭下落的時間為?，則可列得方程（）

A．30?=340×7B．30?=340(7??)

C．30(7??)=340?D．30(7+?)=340×7

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據(jù)題意列出方程式是解題的關鍵．

根據(jù)題意列出方程式即可選出．

【詳解】解：∵聲音傳播的速度為340米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，7秒后聽到它落水的聲音，設

石頭下落的時間為?

∴從石頭落水時，傳到井口用的時間為7??，

∴從井底到井口的總路程?=340×(7??)，

11

將?=60米/秒，石頭下落的時間為?，代入?=??，得340×=×60?，

2底(7??)2

即30?=340(7??)，

故選B．

【例2.2】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）小軍玩拋硬幣的游戲，規(guī)則是：將一枚硬幣拋起，落下后正面朝

上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小軍一共拋了10次硬幣，結果向前走了52步，有次反面朝

第3頁共27頁.

上．

【答案】2

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)“一共拋了10次硬幣”，可以設有?次反面朝上，則有(10??)

次正面朝上；根據(jù)題意，正面朝上就向前走8步，則正面朝上一共向前走了8(10??)步；反面朝上就后退6

步，則反面朝上一共向后退了6?步；等量關系：正面朝上向前走的步數(shù)?反面朝上向后退的步數(shù)=結果一

共向前走的總步數(shù)，據(jù)此列出方程，并求解．

【詳解】解：設有?次反面朝上，則有(10??)次正面朝上．

由題意可得8(10??)?6?=52

解得：?=2，

有2次反面朝上，

故答案為：2．

【例2.3】（2023六年級下·上海青浦·期末）《孫子算經》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺

五寸：屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺=10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長木，

不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問

長木長多少？設長木長為x尺，則可列方程為．

【答案】?+4.5=2(??1)

【分析】本題考查的是一元一次方程組的應用，設長木長為x尺，則根據(jù)“用一根繩子去度量長木，繩子還

剩余4.5尺”可得繩長為(?+4.5)尺；根據(jù)“將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺”可得繩長為2(??1)尺；

從而可得答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，得?+4.5=2(??1)，

故答案為：?+4.5=2(??1)．

【變式2.1】（2023·安徽合肥·七年級期末）端午節(jié)即將來臨，小明和媽媽打算去超市買粽子，他們購買10

個肉粽和5個素粽共用去70元，已知每個肉粽比素粽多1元，那么每個肉粽多少元?

【答案】5元．

【分析】設每個肉粽?元，則每個素粽(??1)元，利用總價=單價×數(shù)量，即可得出關于?的一元一次方程，

解之即可得出結論．本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關

鍵．

【詳解】解：設每個肉粽?元，則每個素粽(??1)元，

依題意得：10?+5(??1)=70，

第4頁共27頁.

解得：?=5．

答：每個肉粽5元．

【變式2.2】（2023七年級·全國·專題練習）在甲地勞動的有29人，在乙地勞動的有19人．現(xiàn)在從乙地調一

部分人到甲地去支援，使在甲地的人數(shù)為在乙地的人數(shù)的2倍，應從乙地調多少人到甲地去？

【答案】應從乙地調3人到甲地去

【分析】設乙地調?人到甲處，根據(jù)從乙地調一部分人到甲處，使甲處人數(shù)=乙處人數(shù)的2倍，列出方程，

解方程即可．

【詳解】解：設乙地調?人到甲處，根據(jù)題意得：

29+?=2(19??)，

解得：?=3，

答：應從乙地調3人到甲地去．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題目中的等量關系，列出方程．

【變式2.3】（2023·江蘇無錫·七年級期末）我國古代數(shù)學名著《張邱建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟

十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得灑五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10

斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，則清酒斗．

【答案】15

7

【分析】本題考查一元一次方程的應用，設清酒x斗，根據(jù)現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒得：

10?+3(5??)=30，即可解得答案．

【詳解】解：設清酒x斗，則醑酒(5??)斗，

根據(jù)題意得：10?+3(5??)=30，

15

解得?=，

7

15

∴清酒斗．

7

故答案為：15．

7

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023·江蘇鹽城·七年級期末）已知x＝3是關于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么關于x的方

程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝．

【答案】4

【分析】根據(jù)一元一次方程解的定義，把x＝3代入原方程得到關于a的方程，求出a的值，然后解關于x

第5頁共27頁.

的方程即可．

【詳解】解：把x＝3代入方程ax﹣5＝9x﹣a，

得3a﹣5＝27﹣a，

解得a＝8，

把a＝8代入方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a得：

8（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣8，

8（x﹣1）﹣9（x﹣1）＝5﹣8，

﹣（x﹣1）＝﹣3，

x﹣1＝3，

x＝4．

故答案為：4．

【點睛】本題考查了一元一次方程解的定義及解法，熟練掌握一元一次方程解的定義及解法是解題的關鍵．

【題型2】（2023·陜西西安·七年級期末）小嫄每天早上要到距家1000米的學校上學．某一天，小嫄以80

米/分的速度出發(fā)5分鐘后，小嫄的爸爸發(fā)現(xiàn)她忘了帶數(shù)學課本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，

并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多長時間？

【答案】4分鐘

【分析】此題考查了一元一次方程的應用，設小嫄爸爸追上小嫄用了xmin，根據(jù)題意列出方程求解即可

求解．

【詳解】解：設爸爸追上小嫄用了xmin，

依題意有180?=80×(5+?)，

解得?=4．

答：爸爸追上小嫄用了4min長時間．

【題型3】（2023·山東聊城·七年級期末）聊城近幾年城市發(fā)展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是瀝

青，瀝青中含稠環(huán)芳香烴，其中偶數(shù)個苯環(huán)可視為同系物．注：最簡單的稠環(huán)芳香烴是萘，它的分子結構

圖與結構簡式如下：

第6頁共27頁.

若圖(?)和圖(?+1)的分子中共含有242個C原子，則?的值．

【答案】19

【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給結構簡式，發(fā)現(xiàn)?原子的個數(shù)的規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：由所給分子結構圖及結構簡式可知，

圖（1）的分子中含C原子的個數(shù)為：10=1×6+4；

圖（2）的分子中含C原子的個數(shù)為：16=2×6+4；

圖（3）的分子中含C原子的個數(shù)為：22=3×6+4；

…，

所以圖（n）的分子中含C原子的個數(shù)為(6?+4)個．

由圖(?)和圖(?+1)的分子中共含有242個C原子，

6?+4+6(?+1)+4=242，

解得?=19，

所以m的值為19．

故答案為：19．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·福建莆田·階段練習）如圖，點?、?為線段??上兩點，??+??=6，且

4

??+??=??，設??=?，則關于?的方程3??7=??2的解是．

3(??1)(?+3)

【答案】?=5

41

【分析】本題考查了線段之間的和差關系，解一元一次方程，根據(jù)??+??=??+??=??，得出??=

33

??，進而得出2??=??+??，即可推出??=?=3，把?=3代入3??7(??1)=??2(?+3)即可求解．

4

【詳解】解：??+??=??+??=??，

∵3

1

??=??，

∴3

第7頁共27頁.

2

??+??=??，則2??=??+??，

∴3

∵??+??=6，

∴2??=6，

解得：??=?=3，

把?=3代入3??7(??1)=??2(?+3)得：3??7(??1)=3?2(?+3)，

解得：?=5，

故答案為：x=5．

【題型2】（2023·河北邢臺·七年級期末）請根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)求一個暖水瓶與一個水杯的價格分別是多少元？

(2)某商場出售這樣的暖水瓶和水杯，為了迎接新年，商場搞促銷活動，規(guī)定：暖水瓶打八折．若某單位想

要買5個暖水瓶和20個水杯，總共要花多少錢？

【答案】(1)一個暖水瓶的價格20元，一個水杯的價格10元

(2)280元

【分析】本題考查一元一次方程的應用、有理數(shù)四則混合運算的應用，理解題意，找準等量關系并正確列

出方程是解答的關鍵．

（1）設一個暖水瓶的價格為x元，則一個水杯的價格為(30??)元，根據(jù)題意列一元一次方程求解即可；

（2）根據(jù)題意列算式求解即可．

【詳解】（1）解：設一個暖水瓶的價格為x元，則一個水杯的價格為(30??)元，

由題意列方程為3?+4(30??)=100，解得?=20，

∴30??=10，

答：一個暖水瓶的價格20元，一個水杯的價格10元；

（2）解：需花費用為5×20×0.8+20×10=280（元），

（3）答：總共要花280元．

【題型3】（2023七年級·江蘇泰州·階段練習）用“?”規(guī)定一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定

第8頁共27頁.

???＝??2+2??+?．如：1?3=1×32+2×1×3+1=16

(1)求2?(?1)的值；

(2)若(?+1)?3=32，求a的值；

(3)若?=2??,?=1??3（其中x為有理數(shù)），試比較m、n的大?。?/p>

4

【答案】(1)0

(2)1

(3)?>?

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，解一元一次方程，整式的加減運算．掌握新定義的運算法則，是解

題的關鍵．

（1）根據(jù)新運算的法則，列出算式計算即可；

（2）根據(jù)新運算的法則，列出方程計算即可；

（3）根據(jù)新運算的法則，列出代數(shù)式，作差法比較大小即可．

【詳解】（1）解：2?(?1)=2×(?1)2+2×2×(?1)+2=2?4+2=0；

（2）(?+1)?3=32?(?+1)+2×3(?+1)+(?+1)=32，

整理，得：16?+16=32，

解得：?=1；

（3）?=2??=2?2+2×2?+2=2?2+4?+2，

111

?=1??3=32??+2×3??+?=4?，

4444

∴???=2?2+4?+2?4?=2?2+2≥2>0，

∴?>?．

模塊二利用“去分母”解一元一次方程

【考點1解含分母的一元一次方程】

1??3

【例1.1】（2023七年級·四川遂寧·期中）解方程?=1下面去分母正確的是（）

23

A．1?(??3)=1B．3?2(??3)=6C．2?3(??3)=6D．3?2(??3)=1

【答案】B

第9頁共27頁.

【分析】本題考查解一元一次方程——去分母，注意方程兩邊同時乘以最簡公分母，不要漏乘項，分子是

多項式時，要看做一個整體加括號．運用等式的性質，方程兩邊同時乘以6，計算即可．

【詳解】解：方程兩邊同時乘以6，得

3?2(??3)=6，

故選：B．

?+22?+3

【例1.2】（2023七年級·全國·課堂例題）將方程=的兩邊乘可得到3=2，

23(?+2)(2?+3)

這步變形叫，其依據(jù)是．

【答案】6去分母等式的性質

【分析】方程兩邊同乘最小公倍數(shù)，去掉分母，利用的是等式的性質．

?+22?+3

【詳解】解：將方程=的兩邊乘6，可得到3=2，這步變形叫去分母，其依據(jù)是等

23(?+2)(2?+3)

式的性質．

故答案為：6，去分母，等式的性質．

【點睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握去分母的方法，是解題的關鍵．

?2??1

【例1.3】（2023六年級下·上海青浦·期末）解方程：?=1

64

9

【答案】?=?

4

【分析】本題考查了解一元一次方程，按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟求解

即可．

【詳解】解：去分母，得2??3(2??1)=12，

去括號，得2??6?+3=12，

移項、合并同類項，得?4?=9，

9

系數(shù)化為1，得?=?．

4

??12??1

【變式1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）解方程=3?，去分母時，方程兩邊乘各分母的最小公

64

倍數(shù)（）

A．10B．12C．24D．6

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質，進行計算即可解答．

??12??1

【詳解】解：解方程=3?，去分母時，方程兩邊乘最簡公分母12，

64

第10頁共27頁.

故選：B．

【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．

【變式1.2】（2023七年級·福建漳州·期中）下面是一位同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問

題．

??1??4

解方程：?=1

23

解：去分母，得3(??1)?2(??4)=1，……第一步

去括號，得3??3?2?+8=1，……………第二步

______，得3??2?=1+3?8，……………第三步

合并同類項，得?=?4．……第四步

(1)請補充完整題目中的橫線部分，這一步的解題依據(jù)是______；

(2)這位同學從第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是______；

(3)求解此方程．

【答案】(1)移項，等式的基本性質1

(2)一，去分母時右邊的1沒有乘以6

(3)?=1

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：移項，等式的基本性質1；

（2）一，去分母時右邊的1沒有乘以6；

??1??4

（3）?=1，

23

去分母，得3(??1)?2(??4)=6，

去括號，得3??3?2?+8=6，

移項，得3??2?=6?8+3

合并同類項，得?=1．

【變式1.3】（2023七年級·全國·專題練習）解方程：

2??1??2

(1)=1?

34

??1?+3

(2)1?=

32

第11頁共27頁.

?+22??3

?=1

(3)35

【答案】(1)?=2

1

?=?

(2)5

(3)?=4

【分析】

本題考查了解一元一次方程；

（1）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟求解即可；

（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟求解即可；

（3）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟求解即可．

【詳解】（1）解：去分母得：4(2??1)=12?3(??2)，

去括號得：8??4=12?3?+6，

移項得：8?+3?=12+6+4，

合并同類項得：11?=22，

系數(shù)化為1得：?=2；

（2）解：去分母得：6?2(??1)=3(?+3)，

去括號得：6?2?+2=3?+9

移項得：?2??3?=9?6?2

合并同類項得：?5?=1

1

系數(shù)化為得：?=?；

15

（3）解：去分母得：5(?+2)?3(2??3)=15，

去括號得：5?+10?6?+9=15，

移項得：5??6?=15?10?9，

合并同類項得：??=?4

系數(shù)化為1得：?=4．

【考點2去分母解方程的應用】

【例2.1】（2023七年級·江蘇宿遷·期中）明代程大位所著的數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有一道僧分饅頭問題：

“一百饅頭一百僧，大和三個更無爭，小和三人分一個，大和小和得幾?。俊币馑际?00個和尚分100個饅頭，

第12頁共27頁.

大和尚1人吃3個饅頭，小和尚3人吃1個饅頭，問大、小和尚各有幾人？如果設大和尚有?人，則可列出

一元一次方程為．

100??

【答案】3?+=100

3

【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是利用“大、小和尚一共100人以及饅頭大和尚一人分

3個，小和尚3人分一個，饅頭一共100個”列方程即可．

【詳解】解：設大和尚有?人，則可列出一元一次方程為

100??

3?+=100，

3

100??

故答案為：3?+=100．

3

【例2.2】（2023七年級·吉林長春·期中）為慶祝校運會開幕，七（2）班學生接受了制作小旗的任務，原計

劃一半的同學參加制作，每天制作面，完成了1以后，全班同學一起參加，結果比原計劃提前一天半完成

403

任務，假設每人制作效率相同，問共制作小旗多少面？

【答案】共制作小旗180面

【分析】本題考查了一元一次方程的實際問題，解答時根據(jù)實際比計劃提前一天半完成任務為等量關系建

?

立方程是關鍵．設共制作小旗面，則原計劃的時間為天，再根據(jù)條件求出實際完成任務的時間，由實際

x40

比計劃提前一天半完成任務建立方程，求出其解即可；

【詳解】解：設共制作x面，

?1?2?3

由題意得?(3+3)=，

4040802

解得：?=180，

答：共制作小旗180面．

【例2.3】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）兩地相距3600米，甲、乙兩人同時從這兩地相向而行，15分鐘

相遇．如果甲將自己的速度提高2，乙將自己的速度降低1，再從兩地同時相向出發(fā)，則兩人分鐘相

51012

遇．那么乙單獨行完全程需要多少分鐘？

【答案】50分鐘

【分析】本題可用列方程解決問題，關鍵是逐步分析，找到速度如何變化以及速度、路程和時間三者之間

的關系．

根據(jù)速度和＝路程和÷相遇時間，用3600÷15即可求出原來兩人的速度和，也就是240米/分；用3600÷12

即可求出變化后的速度和，也就是300米/分，假設乙原來每分鐘行x米，則甲原來每分鐘行(240??)米；

第13頁共27頁.

2

如果甲將自己的速度提高，也就是甲現(xiàn)在的速度是原來的1+2，把甲原來的速度看作單位“1”，根據(jù)分

55

1

數(shù)乘法的意義，可知甲變化后的速度是(240??)×1+2；如果乙將自己的速度降低，也就是乙現(xiàn)在的速

510

度是原來的1?1，把乙原來的速度看作單位“1”，根據(jù)分數(shù)乘法的意義，可知乙變化后的速度是?×

10

1?1，甲現(xiàn)在的速度＋乙現(xiàn)在的速度＝300米/分，據(jù)此可列方程為(240??)×1+2+?×1?1

10510

=300，然后解出方程即可，進而求出用全程除以乙的速度，即可求出乙單獨行完全程需要的時間．

【詳解】解：3600÷15=240（米/分）

3600÷12=300（米/分）

設乙每分鐘行x米，則甲每分鐘行(240??)米．

21

(240??)×1++?×1?=300

510

79

(240??)×+?=300

510

779

240×??×+?=300

5510

79

336??+?=300

510

79

336??+?=300

510

79

336??+?=300

510

97

336+=300+?

10?5

79

336=300+???

510

79

336?300=???

510

1

36=?

2

1

?=36

2

1

?=36÷

2

?=36×2

?=72

3600÷72=50（分）

答：乙單獨行完全程需要50分鐘．

第14頁共27頁.

【變式2.1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）甲、乙兩班的學生于上午8：00出發(fā)，到距學校27千米的一個

動物園參觀．現(xiàn)有一輛汽車，每次只能坐一個班的學生，為了使兩個班同時到達，合理安排步行和乘車．若

步行速度為4千米/時，汽車速度為60千米/時，那么兩個班最早幾時幾分同時到達？

【答案】9時9分

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，熟練的運用速度、時間、路程之間的數(shù)量關系找到等量關

系是解決問題的關鍵．

設學校到甲班下車的地方的距離是x千米，甲班下車后，汽車開回去接乙班，并將乙班送到動物園時正好

甲班也到達動物園．甲乙兩班步行的距離都是千米，所以甲乙步行的時間都是27??小時．汽車行駛

(27??)4

的距離則是[?+27?2×(27??)]千米．根據(jù)乙班步行的時間等于車子從出發(fā)到與乙相遇的時間列方程可求

得x的值，再確定所用時間即可．

【詳解】解：設學校到甲班下車的地方的距離是x千米，

27???+27?2(27??)

由題意可得：=，解得：?=24；

460

所用時間：24÷60+(27?24)÷4=0.4+0.75=1.15（小時）；

8時＋1.15小時＝8時＋（1時＋0.15×60分）＝8時＋（1時＋9分）＝9時9分．

答：兩個班最早9時9分同時到達．

【變式2.2】（2023七年級·吉林長春·期末）榆樹市某中學七年一班全體學生參加社團活動進行分組，原來

每組8人，后來重新編組，每組12人，這樣就比原來減少2組，請問七年一班共有多少人？

【答案】48人

【分析】設七年一班共有?人．根據(jù)題意列一元一次方程，解方程即可求解．

【詳解】解：設七年一班共有?人．

??

由題意得：

8?12=2

?＝48．

經檢驗，符合題意．

答：七年一班共有48人．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．

【變式2.3】（2023·河北石家莊·七年級期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，卷七“盈不足”中有題譯

文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多

少？甲、乙兩人所列方程如下，下列判斷正確的是（）

第15頁共27頁.

甲：設人數(shù)為?人，可列方程5?+45=7?+3，

?+45?+3

乙：設羊價為?元，可列方程為=．

57

A．只有甲對B．只有乙對C．甲、乙都對D．甲、乙都錯

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設

??45??3

人數(shù)為?人，可列方程5?+45=7?+3，如果設羊價為?元，可列方程=，然后即可作答．

57

【詳解】設人數(shù)為?人，可列方程5?+45=7?+3，

??45??3

如果設羊價為?元，可列方程=，

57

則甲對，乙錯．

故選：A．

【規(guī)律方法綜合練】

0.1??22+3?

【題型】（六年級下上海楊浦期中）解方程：??=

12023··0.30.6

10

【答案】?=

13

【分析】本題考查了解一元一次方程，先將分子、分母化為整數(shù)，再根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同

類項、系數(shù)化為1，可得方程的解．掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關鍵．注意：去分母時都乘以

分母的最小公倍數(shù)，分子要加括號．

??2010+15?

【詳解】解：整理得：??=，

33

去分母得：3??(??20)=10+15?，

去括號得：3???+20=10+15?，

移項得：3????15?=10?20，

合并得：?13?=?10，

10

系數(shù)化為得：?=．

113

【題型2】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）暑假里，學校進行校園部分設施維修，如果甲隊單獨做，需要20

天，如果乙隊單獨做，需要25天．甲隊先單獨做了若干天后，被叫去參加另外一個工程的緊急搶修，剩下

的維修工作由乙隊單獨做完．兩隊一共用了22天完工，甲、乙兩隊各做了多少天？

【答案】甲、乙兩隊分別做了12天和10天

【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，假設這個工程的總量為“1”．甲隊單獨做，需要20天，則甲隊

第16頁共27頁.

的工作效率為1．乙隊單獨做，需要天，則乙隊的工作效率為1．根據(jù)工作效率工作時間＝工作總量，

202525×

據(jù)此可以假設甲隊做了x天，則乙隊做了(22??)天，甲隊工作的天數(shù)×工作效率＋乙隊工作的天數(shù)×工作效

率＝工作總量，據(jù)此列方程，并解答即可．

【詳解】解：設甲隊做了x天，則乙隊做了(22??)天，則

11

?+(22??)=1

2025

1221

?+??=1

202525

12212222

?+???=1?

2025252525

113

???=

202525

543

???=

10010025

13

?=

10025

?=12；

則乙隊：22?12=10（天）

答：甲、乙兩隊分別做了12天和10天．

?

【題型】（七年級山西呂梁階段練習）已知關于的一元一次方程的解為

32023··x9024?15=2024?+?

2

2??2

?=?6，則關于y的一元一次方程3+15=20242??+?的解為．

21243

【答案】?=12

【分析】

2

本題考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步驟和換元法是解題的關鍵．令?=2??，則

3

2

2??2?2

3+15=20242??+?可化為?15=2024?+?，從而得到?=2??=?6，繼而得解．

2124390243

【詳解】

2

解：令?=2??，

3

2

2??2?

則3+15=20242??+?可化為?15=2024?+?，

212439024

?

關于的一元一次方程的解為，

∵x9024?15=2024?+??=?6

?

的解為，

∴9024?15=2024?+??=?6

第17頁共27頁.

2

?=2??=?6，

∴3

解得：?=12，

故答案為：?=12．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

2??1?+?

【題型】（七年級江蘇揚州階段練習）小明解方程=?3，由于粗心大意，在去分母時，方

12023··32

程右邊的?3沒有乘6，由此求得的解為?=2，試求?的值，并求出原方程的解．

【答案】?=1，?=?13

【分析】本題主要考查解方程，熟悉相關的解題步驟是解題的關鍵，先根據(jù)錯誤的做法：“方程右邊的?3沒

有乘以6”而得到?=2，代入錯誤方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正確的解．

【詳解】解：去分母時方程右邊的?3漏乘了6；

此時變形為2(2??1)=3(?+?)?3；

將?=2代入，得2(2×2?1)=3(2+?)?3；

解得：?=1；

2??1?+1

則原方程應為：=?3；

32

去分母得：2(2??1)=3(?+1)?18；

去括號得：4??2=3?+3?18，

解得：?=?13．

【題型2】（2023七年級·江西新余·期中）設[?]表示不小于a的最小整數(shù)，例如：[1.6]=2，?21=?2，

4

[7]=7．

(1)求?33?[2.1]+[?3]的值；

5

3

(2)設{?}=[?]??，?={?2.8}+54?41，?=?33?[2.1]+[?3]，解方程???1=???．

5454

【答案】(1)?9

20

?=?

(2)17

【分析】（1）先根據(jù)新定義確定每項的值，再按加減法法則計算；

（2）先根據(jù)新定義求出b，c的值，然后代入方程求解即可．

【詳解】（1）解：原式=(?3)?3+(?3)

第18頁共27頁.

=?9．

413

（2）解：由題知：{?2.8}=?2?(?2.8)=，54=6，41=5?4=，

55444

43121

b=+6?=．

∴5420

∵?=?33?[2.1]+[?3]=?3?3?3=?9，

5

1213

原方程化為：??1=?9??，

∴204

20

解得：?=?．

17

【點睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的減法，以及解一元一次方程，理解新定義的含義是解答本題的關鍵．

【題型3】（2023七年級·廣東廣州·期中）解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個

?

值就是方程的解（）．已知：關于的方程．

solution?2???=3+2

?

若是方程的解，則的值為；

(1)?=32???=3+2?

?

若關于的方程的解比方程的解小，求的值；

(2)?2???=3+22???=4?1?

2???3??????+1?

(3)若關于?的方程??=??與?=均無解，求代數(shù)式6?+4??2(??1)的值．

23346(?+1)

【答案】(1)5

(2)?=1

(3)9

【分析】本題考查的是求解代數(shù)式的值，一元一次方程的解法，方程無解的含義，理解題意是關鍵．

?

（）把代入方程，再建立方程求解即可；

1?=32???=3+6

?

（）分別解給定的兩個方程，再根據(jù)關于的方程的解比方程的解小，建立新的

2?2???=3+22???=4?1

方程求解即可；

（3）先把已知方程變形求解?,?的值，再代入代數(shù)式計算即可．

?

【詳解】（）解：把代入方程，

1?=32???=3+6

得：2??3=7，

解得?=5

故答案為5．

第19頁共27頁.

?

（），

2∵2???=3+6

4

?=2??6，

∴3

3??9

?=

∴2

∵2???=4?，

得?=?2?

3??9

根據(jù)題意：+1=?2?，

2

解得：?=1

∴?的值是1．

2???3?

（3）??=??，

23

方程兩邊同時乘以6，得3(2???3)?6?=2??6?

整理得：(6??8)?=9?6?

∵此方程無解，

4

∴6??8=0，即?=，

3

?????+1?

?=，

346

方程兩邊同時乘以12，得4(????)?3(?+1)=2?

整理得：(2?4?)?=3?+3

∵此方程無解，

1

∴2?4?=0，即?=，

2

41

把?=，?=代入上式得：

32

6?+4??2(??1)(?+1)

4141

=6×+4×?2×(?1)×+1

3232

13

=8+2?2××

32

=9，

答：代數(shù)式的值是9．

模塊三課后作業(yè)

第20頁共27頁.

1．（2023七年級·云南昆明·期末）解方程5?2(?+3)=0，去括號正確的是（）

A．5?2??3=0B．5+2??3=0C．5?2?+6=0D．5?2??6=0

【答案】D

【分析】本題主要考查了解一元一次方程．根據(jù)去括號法則進行判斷即可．

【詳解】解：5?2(?+3)=0，

去括號：5?2??6=0，故D正確．

故選：D．

??12?+1

2．（2023七年級·山西長治·階段練習）解方程=1?，去分母后正確的是（）

26

A．3(??1)=1?(2?+1)B．3(??1)=6?(2?+1)

C．3??1=1?(2?+1)D．3(??1)=6?2?+1

【答案】B

【分析】

本題考查了解含分母的一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握去分母的法則等式兩邊同時乘以所有分母的

最小公倍數(shù)，根據(jù)等式的法則解答即可

??12?+1

【詳解】解：=1?

26

兩邊同時乘以6，去分母得：3(??1)=6?(2?+1)，

故選：B

3．（2023七年級·河南洛陽·期中）已知?=2?+1，?=5??4，若A比B小1，則x的值為（）

A．2B．?2C．3D．?3

【答案】A

【分析】根據(jù)A比B小1，即可列方程，解方程求得?的值．

【詳解】解：∵?=2?+1，?=5??4，A比B小1，

∴(5??4)?(2?+1)=1，

解得?=2．

故選：A．

【點睛】本題考查了解一元一次方程，正確的解方程是解題的關鍵．

2+??

．（六年級上山東淄博期末）有一關于的方程=??1，已知該方程的解為?=?1，那么的

42023··x3m

值是()

第21頁共27頁.

A．?2B．3C．6D．8

【答案】D

【分析】本題考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元一次方程的

2+??

解．將?=?1代入方程=??1即可求解．

3

2+??

【詳解】解：將?=?1代入方程=??1得：

3

2??

=?1?1，

3

解得：?=8

故選：D

5．（2023七年級·浙江臺州·期末）一項任務，由甲單獨做需16天完成，由乙單獨做需24天完成，現(xiàn)在乙先

做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成這項工程的規(guī)定時間，假設完成這一項工程的規(guī)定時間

為?天，則下列方程正確的是（）

???9??9???9?+9??+9

A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1