專題1.2 有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題1.2有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】................................................................................................................................2

【題型2有理數(shù)的分類】........................................................................................................................................4

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法】........................................................................................................................6

【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】....................................................................................................................8

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】................................................................................................................9

【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】......................................................................................................................11

【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問(wèn)題】..............................................................................................................................12

【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】..........................................................................................................................13

【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問(wèn)題】....................................................................................................................15

知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的相關(guān)概念

1）整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。

1

正分?jǐn)?shù)：像，0.24，50%等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；

3

1

負(fù)分?jǐn)?shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；

2

有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以它們也是分?jǐn)?shù)。

q

3）有理數(shù)：可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為

p

0）。

正有理數(shù)：可以寫(xiě)成正分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)；

負(fù)有理數(shù)：可以寫(xiě)成負(fù)分?jǐn)?shù)的形式的數(shù)為負(fù)有理數(shù)；

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

4）有理數(shù)的兩種分類：

第1頁(yè)共18頁(yè).

【題型1有理數(shù)的相關(guān)概念】

【例1】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù)B．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

C．零是最小的有理數(shù)D．有最小的正整數(shù)，沒(méi)有最大的負(fù)整數(shù)

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)知識(shí)逐一判斷即可．

【詳解】解：A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù)，則A正確，故A選項(xiàng)符合題意；

B．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)以及0統(tǒng)稱為有理數(shù)，則B錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)不符合題意；

C．沒(méi)有最小的有理數(shù)，則C錯(cuò)誤，故C選項(xiàng)不符合題意；

D．1是最小的正整數(shù)，?1是最大的負(fù)整數(shù)，則D錯(cuò)誤，故D選項(xiàng)不符合題意，

故選A．

【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A．所有整數(shù)都是有理數(shù)B．所有小數(shù)都是有理數(shù)

C．所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)D．?不是有理數(shù)

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的概念．熟練掌握有理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行判斷作答即可．

【詳解】解：由題意知，所有整數(shù)都是有理數(shù)，A正確，故不符合要求；

有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，B錯(cuò)誤，故符合要求；

所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，C正確，故不符合要求；

?不是有理數(shù)，D正確，故不符合要求；

故選：B．

【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·廣西賀州·期末）下列關(guān)于有理數(shù)的說(shuō)法正確的是（）

A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩大類

B．正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合

C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分?jǐn)?shù)

D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)的分類及定義，根據(jù)有理數(shù)的分類及定義逐項(xiàng)判斷即可．

第2頁(yè)共18頁(yè).

【詳解】解：A、有理數(shù)可分為正有理數(shù)，0和負(fù)有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、正整數(shù)集合，0與負(fù)整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、0是整數(shù)，但不是分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，正確，符合題意；

故選：D．

【變式1-3】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中：

①0是最小的整數(shù)；

②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；

③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；

④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；

?

不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；

⑤?2

⑥帶“?”號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；

⑦無(wú)限小數(shù)不都是有理數(shù)；

⑧正數(shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)；

其中錯(cuò)誤的說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A．7個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的定義以及有理數(shù)的分類進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．

【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)小于0，0不是最小的整數(shù)，故①是錯(cuò)誤的；

因?yàn)?是有理數(shù)，但0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故②是錯(cuò)誤的；

因?yàn)檎麛?shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故③是錯(cuò)誤的；

因?yàn)榉秦?fù)數(shù)包括0和正數(shù)，故④是錯(cuò)誤的；

?

因?yàn)椴皇怯欣頂?shù)，故是錯(cuò)誤的；

?2⑤

因?yàn)閹А?”號(hào)的數(shù)可以是?0，但?0=0，0不是負(fù)數(shù)，故⑥是錯(cuò)誤的；

因?yàn)闊o(wú)限小數(shù)包括無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，故⑦是正確的；

因?yàn)檎龜?shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)，故⑧是正確的；

其中錯(cuò)誤的說(shuō)法的個(gè)數(shù)為6個(gè)，

故選：B．

第3頁(yè)共18頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的定義以及有理數(shù)的分類，難度較??；正數(shù)比0大，0比負(fù)數(shù)大；有理數(shù)的分類

有兩種，第一種是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，第二種是正有理數(shù)，0，負(fù)有理數(shù)．

【題型2有理數(shù)的分類】

9

【例2】（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）對(duì)于下列各數(shù)：?5，0，，?0.2，10%，8，其中說(shuō)法錯(cuò)誤的是

2

（）

9

A．?5，0，8都是整數(shù)B．分?jǐn)?shù)有，?0.2，10%

2

9

C．正數(shù)有，10%，8D．?0.2是負(fù)有理數(shù)，但不是分?jǐn)?shù)

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)分類的知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解并掌握有理數(shù)分類的相關(guān)知識(shí)．根據(jù)有理數(shù)

分類的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即可．

【詳解】解：A.?5，0，8都是整數(shù)，該說(shuō)法正確，不符合題意；

9

B.分?jǐn)?shù)有，?0.2，10%，該說(shuō)法正確，不符合題意；

2

9

C.正數(shù)有，10%，8，該說(shuō)法正確，不符合題意；

2

D.?0.2是負(fù)有理數(shù)，也是分?jǐn)?shù)，本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，符合題意．

故選：D．

【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出一個(gè)數(shù)-107.987及下列判斷：

①這個(gè)數(shù)不是分?jǐn)?shù)，但是有理數(shù)；

②這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，也是分?jǐn)?shù)；

③這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)；

④這個(gè)數(shù)是負(fù)小數(shù)，也是負(fù)分?jǐn)?shù).

其中正確判斷的序號(hào)是．

【答案】②④

【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和分類即可作出判斷.

【詳解】解：-107.987是一個(gè)負(fù)有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；這個(gè)數(shù)也是一個(gè)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，故②④正確，①錯(cuò)誤；

故答案為②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)）；也可以分為：正數(shù)、0、負(fù)數(shù).

解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的分類.

第4頁(yè)共18頁(yè).

π22

【變式】（七年級(jí)上四川南充階段練習(xí)）在?，3.1415，0，?0.333…，?，2.010010001…中，

2-223-24··37

非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的定義，解題的管計(jì)劃司掌握非負(fù)數(shù)的定義．根據(jù)“零和整數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)”，即

可求解．

【詳解】解：非負(fù)數(shù)有：3.1415，0，2.010010001…，共3個(gè)，

故選：B．

【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：?7，3.5，?3.14，

131

?，0，，0.03，?3，10，25%．

172

正有理數(shù)集合{…}；

非負(fù)整數(shù)集合{…}；

整數(shù)集合{…}；

正分?jǐn)?shù)集合{…}．

1313

【答案】，，0.03，，25%；，；?7，，；，，0.03，25%

3.517100100103.517

【分析】

本題考查了有理數(shù)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)，注

意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．根據(jù)正有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)，整數(shù)，正分?jǐn)?shù)的定義可得

出答案．

13

【詳解】解：正有理數(shù)集合3.5，，0.03，，25%，；

{1710…}

非負(fù)整數(shù)集合{0，10，…}；

整數(shù)集合{?7，0，10，…}；

13

正分?jǐn)?shù)集合3.5，，0.03，25%，．

{17…}

1313

故答案為：3.5，，，，25%；，；?7，，；3.5，，，25%．

170.0310010010170.03

知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)軸

1）數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素．

第5頁(yè)共18頁(yè).

原點(diǎn)將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負(fù)半軸。

2）數(shù)軸的畫(huà)法

①畫(huà)一條水平的直線（一般畫(huà)水平的數(shù)軸）；

②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；

③確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；

④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫(huà)出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。

3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)。

②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如π也可以在數(shù)軸上表示，但π并不是有理數(shù)。

③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊。

④與原點(diǎn)的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。

注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。

【題型3數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法】

【例3】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】本題考查的是數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸定義：規(guī)定了正方向、原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，我們一般

規(guī)定，數(shù)軸向右為正方向，單位長(zhǎng)度必須一致，依據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)判斷即可．

【詳解】解：A、不正確，錯(cuò)誤原因：數(shù)軸單位長(zhǎng)度不一致；

B、正確；

C、不正確，錯(cuò)誤原因：缺少正方向；

D、不正確，錯(cuò)誤原因：缺少了原點(diǎn)．

故選：B．

【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直

線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（）

A．?dāng)?shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn)

B．?dāng)?shù)軸采用向北為正方向

第6頁(yè)共18頁(yè).

5

C．小剛所在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)有可能是?

3

D．小穎和小紅間的距離為7

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義：包含原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線叫做數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，數(shù)軸上兩

點(diǎn)之間距離：右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù)，即可判斷．

【詳解】解：A.小明所在的位置表示數(shù)0，故此項(xiàng)結(jié)論正確；

B.四人自南向北，且由南向北表示的數(shù)越來(lái)越大，所以向北為正方向，故此項(xiàng)結(jié)論正確；

5

C.小剛所在的之位置對(duì)應(yīng)的數(shù)在?3與?2之間，而?在?2與?1之間，故此項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

3

D.小穎和小紅間的距離為2?(?5)=7，故此項(xiàng)結(jié)論正確；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的定義，在數(shù)軸上比較兩數(shù)大小，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，理解定義，能根

據(jù)圖形提供的信息解題是解題的關(guān)鍵．

【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）有關(guān)數(shù)軸的畫(huà)法，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A．原點(diǎn)位置可以是數(shù)軸上任意一點(diǎn)

B．一般情況下，取從左到右的方向?yàn)閿?shù)軸的正方向

C．?dāng)?shù)軸的單位長(zhǎng)度可根據(jù)實(shí)際需要任意選取

D．?dāng)?shù)軸上每?jī)蓚€(gè)刻度之間的長(zhǎng)度都等于1cm

【答案】D

【分析】數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可以任意確定，單位長(zhǎng)度也可以任意確定，取右方向?yàn)檎较颍灰罁?jù)上述知識(shí)，

對(duì)給出的選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．

【詳解】解：數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可以任意確定，單位長(zhǎng)度也可以任意確定，取右方向?yàn)檎较颍?/p>

故選項(xiàng)D不正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，掌握數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式3-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖1，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分

別對(duì)應(yīng)的數(shù)為?5，b，3，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B

對(duì)應(yīng)刻度2.4cm，點(diǎn)C對(duì)齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為．

第7頁(yè)共18頁(yè).

【答案】?2

【分析】由??長(zhǎng)度是6.4厘米求出數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是0.8厘米，再由??的長(zhǎng)度是2.4cm，即可求解．

【詳解】解：∵6.4÷[3?(?5)]=0.8cm，

∴數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是0.8厘米，

∵2.4÷0.8=3，

∴在數(shù)軸上?,?的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為?5+3=?2．

故答案為：?2．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的概念，關(guān)鍵是確定數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度是多少厘米．

【題型4用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)】

【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離大于2，寫(xiě)出一個(gè)點(diǎn)P表示的負(fù)

數(shù)：．

【答案】?3

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，根據(jù)“點(diǎn)P在數(shù)軸上，且到原點(diǎn)的距離

大于2，還是負(fù)數(shù)”這三個(gè)條件，寫(xiě)出一個(gè)即可作答．答案不唯一

【詳解】解：依題意，當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸的負(fù)半軸上，即點(diǎn)P表示為?3，滿足“到原點(diǎn)的距離大于2，還是負(fù)

數(shù)”

故答案為：?3

【變式4-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，??=??，則點(diǎn)B表示的數(shù)是

（）

11

．．?2024．．?

A2024BC2024D2024

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸的定義求解即

可．

第8頁(yè)共18頁(yè).

【詳解】解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2024，??=??，

∴??=2024，

∴點(diǎn)B表示的數(shù)是?2024，

故選：B．

【變式4-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖，比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是（）

A．?1B．0C．1D．2

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法計(jì)算，根據(jù)題意可得點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，再根據(jù)有

理數(shù)加法計(jì)算法則求解即可．

【詳解】解：由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，

∴比數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)大1的數(shù)是?1+1=0，

故選：B．

【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么?=．

【答案】±4

【分析】本題考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)；根據(jù)數(shù)軸特點(diǎn)可直接得出答案．

【詳解】解：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是4，那么?=±4，

故答案為：±4．

【題型5利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】

【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A．?<0B．?>0C．?>0D．?<?

【答案】C

【分析】本題考查利用數(shù)軸判斷有理數(shù)的大小，根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，以及數(shù)軸上的數(shù)右邊比左邊的大，

進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：由圖可知：?<?1<0<?<1；

故選C．

【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）比較大?。河欣頂?shù)?在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則?

第9頁(yè)共18頁(yè).

0．

【答案】<

【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)有理數(shù)?在數(shù)軸上的位置可以直接判斷．

【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)?在數(shù)軸上的位置，可知?<0，

故答案為：<．

【變式5-2】（2024七年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號(hào)連接下列各數(shù)．

1

?3，+1，2，?1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：．

1

【答案】（1）見(jiàn)解析；?3<?1.5<+1<2；（2）負(fù)有理數(shù)

2

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，比較數(shù)的大小，掌握數(shù)軸上的

點(diǎn)表示數(shù)是解題的關(guān)鍵．

（1）首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)，然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的

數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“<”號(hào)連接起來(lái)即可；

（2）根據(jù)數(shù)軸的特征，在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示負(fù)有理數(shù)．

【詳解】解：（1）數(shù)軸表示如下：

．

1

?3<?1.5<+1<2．

∴2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：負(fù)有理數(shù)．

故答案為：負(fù)有理數(shù)．

【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)?表示的數(shù)可能是（）

7531

A．?B．?C．?D．?

2222

【答案】B

第10頁(yè)共18頁(yè).

【分析】本題考查數(shù)軸，根據(jù)點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置即可求解．

【詳解】解：由數(shù)軸可知點(diǎn)?表示的數(shù)在?3和?2之間，

7531

∵?<?3<?<?2<?<?，

2222

5

∴四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)只有?在?3和?2之間，

2

故選B．

【題型6數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離】

【例6】（2024·陜西漢中·二模）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，??=7，則點(diǎn)B

表示的數(shù)為．

【答案】4

【分析】根據(jù)平移規(guī)律計(jì)算，?3+7=4，解答即可，本題考查了數(shù)軸上的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題

的關(guān)鍵．

【詳解】根據(jù)平移規(guī)律，得，?3+7=4，

故點(diǎn)B表示的數(shù)是4，

故答案為：4．

【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（）

A．5B．?5C．10D．?10

【答案】A

【分析】本題考查的是數(shù)軸，根據(jù)數(shù)數(shù)軸上表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：數(shù)軸上表示?5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5．

故選：A．

【變式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如圖，點(diǎn)?、?在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是?2和3，則??的長(zhǎng)度為．

【答案】5

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟記距離公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算

解題．

【詳解】解：??=3+2=5，

第11頁(yè)共18頁(yè).

故答案為：5．

【變式6-3】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）正方形????的邊長(zhǎng)??=2，其頂點(diǎn)A在數(shù)軸上且表示的

數(shù)為?1，若點(diǎn)E也在數(shù)軸上且??=??，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

A．?3B．3C．?3或1D．?3或3

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離．分類討論，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表

示的數(shù)即可．

【詳解】解：由題意得??=??=2，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左邊時(shí)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為?1?2=?3，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊時(shí)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為?1+2=1，

故選：C．

【題型7數(shù)軸上的整點(diǎn)問(wèn)題】

【例7】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）小明寫(xiě)作業(yè)時(shí)不慎將墨水滴在數(shù)軸上，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)值，判

斷墨跡蓋住部分的整數(shù)有個(gè)．

【答案】9

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，知墨跡蓋住的范圍有兩部分，即大于?6而小于?1，大于0而小于6，再寫(xiě)

出其中的整數(shù)即可解答．

【詳解】解：由數(shù)軸可知比?6大比?1小的整數(shù)有?5，?4，?3，?2，

比0大比6小的整數(shù)有1，2，3，4，5，

∴墨跡蓋住部分的整數(shù)有9個(gè)．

故答案為：9．

【點(diǎn)睛】考查了數(shù)軸．理解整數(shù)的概念，能夠首先結(jié)合數(shù)軸得到被覆蓋的范圍，進(jìn)一步根據(jù)整數(shù)這一條件

求解是解題關(guān)鍵．

【變式7-1】（23-24七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）在數(shù)軸上表示2.5和?1.13之間的整數(shù)有（）

A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法解答．根據(jù)題意找出滿足條件的

第12頁(yè)共18頁(yè).

所有整數(shù)即可求解．

【詳解】解：如圖所示：

在數(shù)軸上表示2.5和?1.13兩點(diǎn)之間的整數(shù)有?1，0，1，2，共4個(gè)．

故選：A．

【變式7-2】（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·開(kāi)學(xué)考試）如圖，一滴墨水灑在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值判

斷墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)的表示求解即可．

【詳解】解：由數(shù)軸可知，墨跡蓋住的整數(shù)有?2、?1、0，共3個(gè)，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上有理數(shù)的表示，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示是解題關(guān)鍵．

【變式7-3】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖所示的數(shù)軸被墨跡蓋住了一部分，則被遮住的所

有整數(shù)個(gè)數(shù)為．

【答案】13

【分析】根據(jù)題意得到被蓋住的整數(shù)為?10,?9,?8,?7?6,?5,7,8,9,10,11,12,13，再相加即可求解．

【詳解】解：根據(jù)題意得：被蓋住的整數(shù)為?10,?9,?8,?7?6,?5,7,8,9,10,11,12,13，

∴被蓋住的整數(shù)的個(gè)數(shù)為13，

故答案為：13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵

【題型8數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)】

【例8】（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從A點(diǎn)（A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的

數(shù)是1）沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周后到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）

第13頁(yè)共18頁(yè).

A．2?B．2?+1C．2??1D．4?

【答案】B

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離計(jì)算，A、B兩點(diǎn)的距離即為半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓的周長(zhǎng)，

據(jù)此得到??=2?，再由A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，可得點(diǎn)B表示的數(shù)是2?+1．

【詳解】解：∵半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓滾動(dòng)一周所走的距離為2π，

∴??=2?，

∵A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，

∴點(diǎn)B表示的數(shù)是2?+1，

故選：B．

【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)是1，則點(diǎn)?表示的數(shù)是．

【答案】2

【分析】本題考查數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)數(shù)軸，可以理解為點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位，再向右運(yùn)

動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，列式計(jì)算即可得到點(diǎn)B表示的數(shù)．

【詳解】解：由圖可以理解為點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，

∵點(diǎn)?表示的數(shù)是1，

∴1?2+3=2，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)是2，

故答案為：2．

【變式8-2】（23-24七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)是9

（1）若將點(diǎn)N先向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)N表示的數(shù)為．

（2）若將點(diǎn)M在數(shù)軸上移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)是．

【答案】75或13

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的距離確定原來(lái)點(diǎn)N表示的數(shù)；

第14頁(yè)共18頁(yè).

（2）分兩種情況根據(jù)平移求得現(xiàn)在點(diǎn)表示的數(shù)．

【詳解】（1）解：9?6+4=7，

（2）當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸上向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)是9?4=5；

當(dāng)點(diǎn)M在數(shù)軸上向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)是9+4=13；

故答案為：7；5或13．

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)的平移，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)在數(shù)軸上平移的規(guī)則“左減右

加”．

【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·河北唐山·期中）點(diǎn)?在數(shù)軸上距原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，若將

點(diǎn)A向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)?表示的數(shù)是．

【答案】0

【分析】由數(shù)軸的概念，即可解決問(wèn)題．

【詳解】解：∵點(diǎn)?在數(shù)軸上距原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)是?4，

∴將點(diǎn)?向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度后表示的數(shù)是+1，

∴再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度后點(diǎn)表示的數(shù)是0．

故答案為：0．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的概念，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素．

【題型9應(yīng)用數(shù)軸解決實(shí)際問(wèn)題】

【例9】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向西騎行3km到達(dá)A村，繼續(xù)

向西騎行2km到達(dá)B村，然后向東騎行若干千米到達(dá)C村，最后回到郵局，已知C村與B村關(guān)于郵局對(duì)稱．

(1)以郵局為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，一個(gè)網(wǎng)格的長(zhǎng)度表示1km建立數(shù)軸，請(qǐng)?jiān)趫D中的數(shù)軸上標(biāo)出A、

B、C三個(gè)村莊的位置，并求出C村離A村有多遠(yuǎn)？

(2)郵遞員一共騎行了多少千米？

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，C村離A村有8km

(2)郵遞員一共騎行了20千米；

第15頁(yè)共18頁(yè).

【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)的加法，數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的實(shí)際應(yīng)用；

（1）根據(jù)已知條件在數(shù)軸表示出三點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可解答；

（2）列出加法算式計(jì)算即可；

【詳解】（1）解：如下圖：

??=5?(?3)=8km

答：C村離A村有8km；

（2）解：3+2+(5+5)+5=20km，

答：郵遞員一共騎行了20千米

【變式9-1】（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了2km，到達(dá)小剛家，繼

續(xù)向東走了3km到達(dá)