專題2.10 有理數(shù)中的規(guī)律探究【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.10有理數(shù)中的規(guī)律探究【八大題型】

【人教版2024】

【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】....................................................................................................................................1

【題型2四則運算中的規(guī)律探究】........................................................................................................................3

【題型3乘方中的規(guī)律探究】................................................................................................................................6

【題型4周期中的規(guī)律探究】................................................................................................................................9

【題型5遞進中的規(guī)律探究】..............................................................................................................................12

【題型6表格中的規(guī)律探究】..............................................................................................................................14

【題型7圖形中的規(guī)律探究】..............................................................................................................................18

【題型8新定義中的規(guī)律探究】..........................................................................................................................22

【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】

【例1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）觀察一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，2，4，8，16，…，則第2024

個數(shù)是（）．

A．22024B．22024?1C．22023D．以上答案都不對

【答案】C

【分析】根據(jù)1，2，4，8，16，…，得出第?個數(shù)為2??1，把?=2024代入即可作答．

【詳解】解：觀察所給的數(shù)據(jù)，

得第?個數(shù)為2??1，

當?=2024時，2??1=22024?1=22023，

故選：C．

【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵找出第?個數(shù)為2??1，難度較?。?/p>

【變式1-1】（23-24七年級·陜西商洛·期末）觀察下面一列數(shù)：

第1組第2組第3組第4組第5組……

(1,?1)(2,4)(3,?9)(4,16)(5,?25)

按照此規(guī)律第9組的兩數(shù)之和為．

【答案】?72

第1頁共24頁.

【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并靈活運用規(guī)律解題是關(guān)鍵．由條件歸納可

得：每一組的第一個數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，第二個數(shù)奇次項為負數(shù)，偶次項為正數(shù)，其絕對值是第一個的

數(shù)的平方，從而可得答案．

【詳解】解：由條件歸納可得：

每一組的第一個數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，

第二個數(shù)奇次項為負數(shù)，偶次項為正數(shù)，其絕對值是第一個的數(shù)的平方，

∴第9組數(shù)為(9,?81)，

∴9+(?81)=?72，

故答案為：?72．

13579

【變式1-2】（23-24七年級·山東濱州·階段練習）一組按規(guī)律排列的數(shù)?，，?，，?…第9個數(shù)

49162536

是．

17

【答案】?

100

【分析】直接根據(jù)題意找出規(guī)律作答即可．

11×2?11×2?1

【詳解】解：?=×=?，

4(?1)22(1+1)2

32×2?12×2?1

=(?1)2×=，

932(2+1)2

53×2?13×2?1

?=(?1)3×=?，

1642(3+1)2

……，

?2??1

第n個數(shù)是(?1)(?+1)2，

9×2?117

第個數(shù)是(?1)9=?，

9(9+1)2100

17

故答案為：?．

100

?2??1

【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是得到第n個數(shù)是(?1)(?+1)2．

【變式1-3】（23-24七年級·廣西崇左·期末）如圖，在各正方形中的四位數(shù)之間有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得

出a，b的值分別為（）.

第2頁共24頁.

A．16,257B．16,91C．10,101D．10,161

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)字規(guī)律分別得出?=16，?=10，再由運算方法求解即可．

【詳解】解：分析正方形中的四個數(shù)：

四個大正方形中第一行從左往右第一個數(shù)分別為1，3，5，7；

第二個數(shù)分別為：2，4=22，8=23，16=24；

∴?=16；

第二行第一個數(shù)分別為：4，6，8，10，

∴?=10，

第二行第二個數(shù)分別為：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，?=??+1=160+1=161，

故選D．

【點睛】題目主要考查數(shù)字規(guī)律探索及有理數(shù)的乘方運算，找出相應的規(guī)律是解題關(guān)鍵．

【題型2四則運算中的規(guī)律探究】

11111111111

【例2】（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知：=1?，=?，=?，=?，…

1×222×3233×4344×545

(1)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

2222

(2)按照上面算式的規(guī)律計算：+++?+的值．

1×22×33×42017×2018

111

【答案】(1)=?

n(n+1)nn+1

2017

(2)1009

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律類問題，探尋數(shù)列規(guī)律認真計算觀察聯(lián)想是解決這類問題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)已知的算式拆項計算，觀察規(guī)律即可得到答案；

（2）先根據(jù)得出的規(guī)律拆項展開，再合并，最后求出即可

11

【詳解】（1）=1?，

∵1×22

111

=?，

2×323

111

=?，

3×434

111

=?，

4×545

第3頁共24頁.

……，

111

第n個等式為：=?；

∴n(n+1)nn+1

111

故答案為：=?；

n(n+1)nn+1

2222

（2）+++?+

1×22×33×42017×2018

1111

＝2×（+++?+）

1×22×33×42017×2018

1111111

＝2×（1?+?+?+?+?）

2233420172018

＝（﹣1）

2×12018

＝2017

2×2018

＝2017．

1009

231352

【變式2-1】（2024·安徽合肥·模擬預測）觀察以下等式：第1個等式：?=；第2個等式?=；第3個

122263

473594

等式?=；第4個等式?=；……；按照以上規(guī)律，解決下列問題：

31244205

(1)寫出第6個等式；

(2)寫出你猜想的第?個等式（用含?的等式表示）.

7136

【答案】(1)?=

6427

?+12?+1?

?=

(2)??(?+1)?+1

【分析】（1）根據(jù)上述等式可知，減數(shù)的分母是被減數(shù)分母分子的乘積，分子是被減數(shù)分子分母的和，即

可得到第六個等式；

（2）根據(jù)上述等式的規(guī)律，求解等式的左邊等于等式的右邊，即可．

231

【詳解】（1）第1個等式：?=，

∵122

352

第2個等式?=，

263

473

第3個等式?=，

3124

594

第4個等式?=，

4205

……

第4頁共24頁.

7136

第6個等式為：?=．

∴6427

7136

故答案為：?=．

6427

?+12?+1?

（）由（）得，第?個等式：?=，

21??(?+1)?+1

【點睛】本題考查有理數(shù)和整式的知識，解題的關(guān)鍵是觀察等式，得到規(guī)律，進行解答．

【變式2-2】（23-24七年級·寧夏銀川·期中）觀察下列各式：

131318241153512446

1?==×；1?==×；1?==×；1?==×；…．

2242232933421644522555

1(????)(????)(????)

(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1?==×；

1021001010

(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1?1×1?1×1?1×?×1?1．

223221002

【答案】(1)見解析

101．

(2)200

【分析】本題考查了有理數(shù)乘法的規(guī)律探究，關(guān)鍵找到規(guī)律寫出分數(shù)相乘的形式．

（1）根據(jù)等式規(guī)律寫出分數(shù)相乘的形式計算結(jié)果．

（2）按規(guī)律寫出分數(shù)相乘形式，再根據(jù)分數(shù)乘法進行約分求解．

1199911

【詳解】（）解：1?=1?==×；

11021001001010

（2）解：1?1×1?1×1?1×?×1?1

223221002

=××××××?××

223344100100

1101

=×

2100

101

=．

200

【變式2-3】（2024七年級·安徽·專題練習）研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

…

第5頁共24頁.

(1)請你找出規(guī)律并計算7×9+1==()2

(2)用含有?的式子表示上面的規(guī)律：．

(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題：

11111

計算：(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+)=．

1×32×43×54×69×11

【答案】(1)64,8

(2)?(?+2)+1=?2+2?+1=(?+1)2

20

(3)

11

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運算，數(shù)字規(guī)律問題，對于（1）和（2），通過觀察發(fā)現(xiàn)一個正整數(shù)乘

以比這個正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個正整數(shù)加1的平方，依此得到7×9+1=64=82；含有?的式

子表示的規(guī)律．

111×3+12×4+1222233

對于（3），由(1+)(1+)=()()=2×3=×××，

1×32×41×32×41×32×41324

利用此規(guī)律計算．

【詳解】（1）7×9+1=64=82．

故答案為：64，82；

（2）上述算式有規(guī)律，可以用?表示為：?(?+2)+1=?2+2?+1=(?+1)2．

故答案為：?(?+2)+1=?2+2?+1=(?+1)2；

22334499101020

（3）原式×××××???×××=．

13243581091111

故答案為：20．

11

【題型3乘方中的規(guī)律探究】

【例3】（23-24七年級·山東青島·階段練習）如圖，觀察由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：

如圖①中：共有1個小立方體，0個看不見；如圖②中：共有8個小立方體，1個看不見；如圖③中：共

有27個小立方體，8個看不見；…，則第⑥個圖中看得見的有個．

第6頁共24頁.

【答案】91

【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，由題意可知，共有小立方體個數(shù)為序號數(shù)×序號數(shù)×序號數(shù)，

看不見的小正方體的個數(shù)=序號數(shù)?1×序號數(shù)?1×序號數(shù)?1，看得見的小立方體的個數(shù)為共有小

立方體個數(shù)減去看不見的小正方體的個數(shù)．

【詳解】解：第①時，共有小立方體的個數(shù)為1個，看不見的小立方體的個數(shù)為0個；

第②時，共有小立方體的個數(shù)為2×2×2=8（個），看不見的小立方體的個數(shù)為(2?1)×(2?1)×(2?1)=1

（個）；

第③時，共有小立方體的個數(shù)為3×3×3=27（個），看不見的小立方體的個數(shù)為(3?1)×(3?1)×(3?1)

=8（個）；

……

第⑥個圖時，共有小立方體的個數(shù)為：6×6×6=216（個），

看不見的小立方體的個數(shù)為(6?1)×(6?1)×(6?1)=125（個），

∴看得見的立方體數(shù)為：216?125=91（個）．

故答案為：91．

【變式3-1】（23-24七年級·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運算，得出了一種新的運算，如下表是兩種運算

對應關(guān)系的一組實例：

乘方運算21=222=423=8…31=332=932=27…

新運算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根據(jù)上表規(guī)律，某同學寫出了三個式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正確的

是．

【答案】①③/③①

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、新定義，根據(jù)題中的新定義法則判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解題

中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則．

第7頁共24頁.

【詳解】解：∵24=16，

∴l(xiāng)og216=4，故①計算正確，符合題意；

∵52=25，

∴l(xiāng)og525=2，故②計算錯誤，不符合題意；

∵43=64，

∴1og464=3，故③計算正確，符合題意；

綜上所述，正確的有①③，

故答案為：①③．

【變式3-2】（23-24七年級·河北秦皇島·階段練習）觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74

=2401，75=16807，76=117649，…，根據(jù)其中的規(guī)律，可得71+72+73+74?+72020的結(jié)果的個位

數(shù)字與71+72+73+74?+72022的結(jié)果的末尾數(shù)字之和是（）

A．0B．1C．6D．8

【答案】C

【分析】觀察可知7?的個位數(shù)字分別是7，9，3，1，四個為一組循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此分別求出兩個式子的個位

數(shù)字即可得到答案．

【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，

∴7?的個位數(shù)字分別是7，9，3，1，四個為一組循環(huán)出現(xiàn)，

∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，505×(7+9+3+1)=10100，10100+7+9=10116，

∴71+72+73+74?+72020的結(jié)果的個位數(shù)字為0，71+72+73+74?+72022的結(jié)果的末尾數(shù)字為6，

∴71+72+73+74?+72020的結(jié)果的個位數(shù)字與71+72+73+74?+72022的結(jié)果的末尾數(shù)字之和是

0+6=6，

故選C．

【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【變式3-3】（23-24七年級·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個圖中，?????的值是

（）

第8頁共24頁.

A．?512B．?514C．510D．512

【答案】B

【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律．觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)各部分數(shù)字變化的規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：觀察所給圖形可知，

左上角的數(shù)字依次為：?2，4，?8，16，…，

所以第n個圖形中左上角的數(shù)字可表示為：(?2)?．

右上角的數(shù)字比同一個圖形中左上角的數(shù)字大2，

所以第n個圖形中右上角的數(shù)字可表示為：(?2)?+2．

下方的數(shù)字為同一個圖形中左上角數(shù)字的1，

2

(?2)?

所以第n個圖形中下方的數(shù)字可表示為：．

2

當?=10時，

(?2)?=(?2)10=1024，

(?2)?+2=1026，

(?2)?

=512，

2

所以a?b?c=1024?1026?512=?514．

故選：B．

【題型4周期中的規(guī)律探究】

【例4】（2024·北京西城·七年級期末）將1，2，3，4，5，…，37這37個連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入37個

空格中．要求：從左至右，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，第1個數(shù)與第2個數(shù)之和是第3個數(shù)的倍數(shù)，第

1，2，3個數(shù)之和是第4個數(shù)的倍數(shù)，…，前36個數(shù)的和是第37個數(shù)的倍數(shù)．若第1個空格填入37，則

第2個空格所填入的數(shù)為，第37個空格所填入的數(shù)為．

37

【答案】119

【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運算的應用，熟練掌握四則運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)第1個數(shù)是第2

個數(shù)的倍數(shù)可得第2個空格所填入的數(shù)；先得出這37個數(shù)的和也是第37個數(shù)的倍數(shù)，再求出這37個數(shù)的

和，由此即可得．

【詳解】解：∵第1個空格填入37，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，

第9頁共24頁.

∴第2個空格所填入的數(shù)為1，

∵前36個數(shù)的和是第37個數(shù)的倍數(shù)，

∴這37個數(shù)的和也是第37個數(shù)的倍數(shù)，

又∵1+2+3+?+37

=(1+37)+(2+36)+?+(18+20)+19

=38×18+19

=703

=37×19，

∴第37個空格所填入的數(shù)為19，

故答案為：1，19．

【變式4-1】（23-24七年級·浙江·期中）從大拇指開始，按照大拇指→食指→中指→無名指→小指→無名指

→中指→食指→大拇指→食指……的順序，依次數(shù)整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，……當數(shù)到2022時，對應

的手指為；當?shù)趎次數(shù)到食指時，數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．

【答案】無名指8(??1)+2或8(??1)+8

【分析】先探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：如題意可知，八次為一個循環(huán)體重復出現(xiàn)，

2022÷8=252……6，

當數(shù)到2022時，對應的手指與第6次對應的一樣為：無名指；

第一個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(1?1)+2，8(1?1)+8；

第二個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(2?1)+2，8(2?1)+8；

第三個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(3?1)+2，8(3?1)+8；

…

當?shù)趎次數(shù)到食指時，數(shù)到的數(shù)是8(??1)+2，8(??1)+8，

故答案為：無名指，8(??1)+2或8(??1)+8．

【點睛】本題考查規(guī)律型數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是從一般到特殊探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律

解決問題，屬于中考?？碱}型．

【變式4-2】（23-24七年級·安徽黃山·期中）觀察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，

36=729，37=2187，38=6561，…，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32023的個位數(shù)字是．

【答案】7

第10頁共24頁.

【分析】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

解決問題．通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵．

從運算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個數(shù)字一循環(huán)，用2023除以4，余數(shù)是幾就和第幾個數(shù)字相同，

由此解決問題即可．

【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為3，

32=9，末位數(shù)字為9，

33=27，末位數(shù)字為7，

34=81，末位數(shù)字為1，

35=243，末位數(shù)字為3，

36=729，末位數(shù)字為9，

37=2187，末位數(shù)字為7，

38=6561，末位數(shù)字為1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)，

又2023÷4=505?3，

所以32023的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是7．

故答案為：7．

【變式4-3】（23-24七年級·河南開封·期中）如圖所示，在一個電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標有

五個數(shù)字點的圓周上跳動，游戲規(guī)則：若電子青蛙，停在奇數(shù)點上，則它下次沿順時針方向跳兩個點；若

電子青蛙停在偶數(shù)點上，則它下次沿逆時針方向跳一個點．現(xiàn)在電子青蛙若從4這點開始跳，則經(jīng)過2022

次后它停的點對應的數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】D

【分析】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵，本題先計算前5次跳動后停時

對應的點對應的數(shù)，再總結(jié)規(guī)律可得答案．

【詳解】解：由題知，

第11頁共24頁.

因為青蛙從4這點開始跳，

所以經(jīng)過1次后它停的點對應的數(shù)為3；

經(jīng)過2次后它停的點對應的數(shù)為5；

經(jīng)過3次后它停的點對應的數(shù)為2；

經(jīng)過4次后它停的點對應的數(shù)為1；

經(jīng)過5次后它停的點對應的數(shù)為3；

…，

由此可見，青蛙停的點對應的數(shù)字按3，5，2，1循環(huán)出現(xiàn)，

又因為2022÷4=505???2，

所以經(jīng)過2022次后它停的點對應的數(shù)為5；

故選：D．

【題型5遞進中的規(guī)律探究】

【例5】（23-24七年級·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上?，?兩點的距離為3，一動點?從點?出發(fā)，按以下

規(guī)律跳動：第1次跳動到??的中點?1處，第2次從?1跳動到?1?的中點?2處，第3次從?2點跳動到?2?的

中點?3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點?4,?5,?6,…,??（?≥3,?是整數(shù)）處，那么線段???的長度為（）

3333

A．B．C．D．

2??22??12?2?＋1

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，數(shù)軸上的動點問題，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．通過前三

3

次的跳動情況發(fā)現(xiàn)，第?次動點?從?點跳動到??的中點?處時，??=，即可得出答案．

??1??1??2?

【詳解】解：由題意可知，??=3，

133

第1次動點?跳動到??的中點?處時，??=??==；

112221

133

第2次動點?從?跳動到??的中點?處時，??=??==；

112221422

133

第3次動點?從?點跳動到??的中點?處時，??=??==；

223322823

……

第12頁共24頁.

3

觀察可知，第?次動點?從?點跳動到??的中點?處時，??=；

??1??1??2?

故選：C

【變式5-1】（2024·山西太原·二模）觀察圖中給出的四個點陣，按照圖中點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n

個點陣中點的個數(shù)為個．（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】(2??1)

【分析】根據(jù)圖形得到規(guī)律從第二個開始逐漸增加2點即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

圖形從第二個開始在前一個是增加2點，

∴第n個圖形點數(shù)為：1+(??1)×2=2??1，

故答案為：2??1；

【點睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是看懂圖形中前后兩個圖形的變量與固定量．

【變式5-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）如圖所示的點陣圖中，圖①中有3個點，圖②中有7個點，

圖③中有13個點，圖④中有21個點，按此規(guī)律，圖⑩中有個點．

【答案】111

【分析】本題考查了數(shù)與形的規(guī)律，能總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．列出給出的幾幅圖的點數(shù)依次為3，7，

13，21，?，分析這些數(shù)我們可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，?據(jù)此總結(jié)規(guī)律求解

即可．

【詳解】觀察題圖可知：

圖①中點的個數(shù)為3=1+2=1×2+1；

圖②中點的個數(shù)為7=1+2+4=2×3+1；

圖③中點的個數(shù)為13=1+2+4+6=3×4+1；

圖④中點的個數(shù)為21=1+2+4+6+8=4×5+1；

圖n中點的個數(shù)為1+2+4+6+8+?+2?=?(?+1)+1；

第13頁共24頁.

當?=10時，圖中點的個數(shù)有1+2+4+6+?+20=10×11+1=111（個）點，

故答案為：111．

【變式5-3】（23-24七年級·寧夏銀川·期末）生物課題研究小組對附著在物體表面的三個微生物（課題組成

員把他們分別標號為1，2，3）的生長情況進行觀察記錄，這三個微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微

生物（依次被標號為4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個微生物一分為二，

形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形進行形象的記錄），那么標號為1000的微生物會出現(xiàn)在第

（）

A．第7天B．第8天C．第9天D．第10天

【答案】B

【分析】由圖和題意可知，第一天產(chǎn)生新的微生物有6個標號，第二天產(chǎn)生新的微生物有12個標號，以此

類推，第三天、第四天、第五天產(chǎn)生新的微生物分別有24個，48個，96個，192個，384個，768個，…

進而求出答案．

【詳解】解：第一天產(chǎn)生新的微生物有6個標號，

第二天產(chǎn)生新的微生物有12個標號，

以此類推，第三天、第四天、第五天…產(chǎn)生新的微生物分別有24個，48個，96個，192個，384個，768

個，…

前七天所有微生物的標號共有3+6+12+24+48+96+192+384=765個，

所以標號為1000的微生物會出現(xiàn)在第8天．

故選：B．

【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的變化規(guī)律和運算方法，利用規(guī)律和方法解決問題．

【題型6表格中的規(guī)律探究】

【例6】（23-24七年級·安徽蕪湖·期中）下列表格中的四個數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）

第14頁共24頁.

A．139B．209C．109D．259

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給表格，發(fā)現(xiàn)表格中四個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

觀察表格中四個數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：觀察所給表格可知，

4÷2?1=1，

6÷2?1=2，

8÷2?1=3，

10÷2?1=4，

所以?=20÷2?1=9．

又因為左下方的數(shù)比左上方的數(shù)大1，

則?=?+1=10

又因為2×4+1=9，

3×6+2=20，

4×8+3=35，

5×10+4=54，

所以?=10×20+9=209．

故選：B．

【變式6-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）把1～9這9個數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列

及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”，它源于我國古代的“洛書”(圖1)，“洛書”

是世界上最早的“幻方”，圖2是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則其中?的值為()．

A．1B．3C．6D．9

第15頁共24頁.

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算；根據(jù)任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，可

得①，②，③表示的數(shù)，即可求出?的值．

【詳解】解：如圖，

∵任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，

∴對角線上①處數(shù)字與5，2的和為15，

∴①處的數(shù)字為：15?5?2=8，

又中間一列②處數(shù)字與7，5的和為15，

∴②處上的數(shù)字為：15?7?5=3

最正面一行數(shù)字之和為15

∴③處數(shù)字為15?8?3=4

最后一列之和為15，

∴?=15?2?4=9，

故選：D．

【變式6-2】（23-24七年級·河南南陽·期末）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，干

支是天干和地支的總稱．干支紀年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，

每個組合代表一年，60年為一個循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號．天干的計算方

法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為

例：天干為：(2022?3)÷10=201??9；地支為：(2022?3)÷12=168??3；對照天干地支表得出，2022

年為農(nóng)歷壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

請你依據(jù)上述規(guī)律推斷2024年為農(nóng)歷年．

【答案】甲辰

【分析】本題考查有理數(shù)運算的實際應用．根據(jù)題意，列出算式進行計算后，判斷即可．掌握天干，地支

第16頁共24頁.

的確定方法，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意，得：天干為：(2024?3)÷10=202??1，地支為：(2024?3)÷12=168??5，

∴2024年為農(nóng)歷甲辰年；

故答案為：甲辰．

【變式6-3】（23-24七年級·湖北黃岡·期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

圖形標號①②③④⑤…

火柴棒根數(shù)5913____________…

(1)按圖示規(guī)律完成表格

(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？

(3)搭第2024個圖形需要多少根火柴棒？

【答案】(1)17,21

(2)4?+1

(3)8097根火柴棒

【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形分析出其規(guī)律；

（1）根據(jù)所給的圖形進行分析即可得出結(jié)果；

（2）由（1）進行總結(jié)即可；

（3）根據(jù)（2）所得的式子進行解答即可．

【詳解】（1）第1個圖形的火柴棒根數(shù)為：5，

第2個圖形的火柴棒根數(shù)為：9=5+4=5+4×1，

第3個圖形的火柴棒根數(shù)為：13=5+4+4=5+4×2，

第4個圖形的火柴棒根數(shù)為：17=5+4+4+4=5+4×3，

第5個圖形的火柴棒根數(shù)為：21=5+4+4+4+4=5+4×4，

故答案為：17,21；

（2）由（1）得：搭第?個圖形需要火柴棒根數(shù)為：5+4(??1)=4?+1．

第17頁共24頁.

答：第?個圖形需要火柴棒根數(shù)為：4?+1；

（3）當?=2024時，4?+1=4×2024+1=8097，所以搭第2022個圖形需要8097根火柴棒．

【題型7圖形中的規(guī)律探究】

1

【例7】（23-24七年級·山東濰坊·期中）如圖，把面積為1的正方形進行分割，觀察其規(guī)律，可得算式+

2

23478

11111

+++…++再加上（）后，結(jié)果就是1．

22222

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算、規(guī)律性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的特點，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解答．

??

1234

根據(jù)圖形可知+1+1+1…+1+1=1

222222

【詳解】解：由圖可知，

234788

1111111

+++…++在加上后，結(jié)果就是1

2222222

故選：D

【變式7-1】（23-24七年級·山西臨汾·期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4

個圖形中字母“H”的個數(shù)是．

【答案】10

【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．

第18頁共24頁.

【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，

第2個圖中H的個數(shù)為4+2=6，

第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2=8，

則：第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3=10，

故答案為：10．

【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一

個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．

【變式7-2】（23-24七年級·浙江金華·期末）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第10個

圖形中正方形的個數(shù)是……（）

A．110B．330C．440D．572

【答案】C

【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出正方形個數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的變化歸納正方形個數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系即可．

【詳解】解：由圖知，第1個圖形有2個正方形：2=1×2，

第2個圖形有8個正方形：8=1×2+2×3，

第3個圖形有20個正方形：20=1×2+2×3+3×4，

第4個圖形有40個正方形：40=1×2+2×3+3×4+4×5，

…，

第10個圖形正方形個數(shù)為：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×

11=440

故選：C．

【變式7-3】（23-24七年級·山西晉中·期中）閱讀與探索：

問題情境：

通過學習“探索與表達規(guī)律”讓我們感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的規(guī)律是一件十分有趣的事情．用簡潔的語言表達變

第19頁共24頁.

化規(guī)律應該從簡單入手，經(jīng)過熟悉、認知、思考、總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請你用自己學到的方法探索并表

達下列規(guī)律：

（1）如圖，搭1個小正方形需要4根火柴棒，搭2個小正方形需要7根火柴棒，搭3個小正方形需要10

根火柴棒……，如果用?表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭?個這樣的小正方形需要__________根火柴棒（用?

的代數(shù)式表示）．

類比探索：

（2）如圖，是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第?個圖案需要__________根火柴棒（用

?的代數(shù)式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小

等邊三角形圍成2個小菱形，．．．．．．．若按此規(guī)律拼下去，則第?個圖案需要火柴棍的根數(shù)為__________

（用含?的式子表示）．

拓展應用：

（4）觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是__________個．

【答案】（1）(3?+1)；（2）(4?+1)；（3）6?+6；（4）3035

【分析】（1）第一個圖形需要4根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多3根，據(jù)此找到規(guī)律列出代

數(shù)式；

（2）第一個圖形需要5根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多4根，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；

（3）第①個圖形需要4個等邊三角形，共12根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多2個等邊三角

形，多6根火柴棒，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；

第20頁共24頁.

（4）根據(jù)前幾個圖形的規(guī)律，找到當n為奇數(shù)時和當n為偶數(shù)時需要的黑色正方形個數(shù)，繼而代入計算即

可．

【詳解】解：（1）搭1個小正方形需要4根火柴棒，

搭2個小正方形需要4+3×1=7根火柴棒，

搭3個小正方形需要4+3×2=10根火柴棒，

…

搭n個小正方形需要4+3×(??1)=(3?+1)根火柴棒；

（2）擺1個五邊形需要5根火柴棒，

擺2個五邊形需要5+4×1=9根火柴棒，

擺3個五邊形需要5+4×2=13根火柴棒，

…

擺n個五邊形需要5+4×(??1)=(4?+1)根火柴棒，

（3）第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12=3×4，

第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18=3×6，

第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24=3×8，

…，

∴第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為：3(2?+2)=6?+6．

（4）第1個圖形中黑色正方形的數(shù)量是2個，

第2個圖形中黑色正方形的數(shù)量是3個，

第3個圖形中黑色正方形的數(shù)量是5個，

第4個圖形中黑色正方形的數(shù)量是6個，

第5個圖形中黑色正方形的數(shù)量是8個，

…

當n為奇數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為?+1+?，

2

當n為偶數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為?+?，

2

2023+1

第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是+2023=3035個．

∴2

【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律．

第21頁共24頁.

【題型8新定義中的規(guī)律探究】

【例8】（23-24七年級·江蘇蘇州·期末）定義一種關(guān)于整數(shù)?的“?”運算：（1）當?是奇數(shù)時，結(jié)果為

??

，（）當為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中是正整數(shù)，且使得為奇數(shù)）；并且運算重復進行．例如：

3?+52?2??2??=12

時，第一次經(jīng)“?”運算的結(jié)果是3，第二次經(jīng)“?”運算的結(jié)果是14，第三次經(jīng)“?”運算的結(jié)果是7，第四次經(jīng)

“?”運算的結(jié)果是26……．若?=58，則第2024次經(jīng)“?”運算的結(jié)果是（）

A．29B．92C．23D．74

【答案】B

【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算得到數(shù)字的基本規(guī)律．根據(jù)題中所給

新定義運算進行求解，即當?=58時，則第一次“?”運算的結(jié)果為29，第二次“?”運算的結(jié)果為92，第三次

“?”運算的結(jié)果為23，第四次“?”運算的結(jié)果為74，第五次“?”運算的結(jié)果為37，第六次“?”運算的結(jié)果為

116，第七次“?”運算的結(jié)果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“?”運算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116

循環(huán)，據(jù)此問題可求解．

【詳解】解：由題意得：

當?=58時，則第一次“?”運算的結(jié)果為29，第二次“?”運算的結(jié)果為92，第三次“?”運算的結(jié)果為23，第

四次“?”運算的結(jié)果為74，第五次“?”運算的結(jié)果為37，第六次“?”運算的結(jié)果為116，第七次“?”運算的結(jié)

果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“?”運算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116循環(huán)下去，

∵2024÷6=337…..2；

∴第2024次“?”運算的結(jié)果為92；

故選：B．

3×25×4×36×5×4×3

【變式8-1】（23-24七年級·廣西欽州·期末）已知?2==3，?3==10，?4==15，?，

31×251×2×361×2×3×4

23

觀察以上計算過程，尋找規(guī)律計算?4+?7=．

【答案】41

【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察分母是從1到?的?個數(shù)相乘，分子是從?開始乘，依次減1,?個數(shù)相

乘是解題的關(guān)鍵．

?

根據(jù)已知的三個等式得．對于??(?<?)來講，等于一個分式，其中分母是從1到?的?個數(shù)相乘，分子是從?

開始乘，依次減1,?個數(shù)相乘．

3×25×4×36×5×4×3

【詳解】解：∵?2==3,?3==10,?4==15，

31×251×2×361×2×3×4

第22頁共24頁.

4×3