人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)軸對(duì)稱《第13章 軸對(duì)稱-章末復(fù)習(xí)》示范公開課教學(xué)課件

整理與復(fù)習(xí)第13章

軸對(duì)稱人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

1．在現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的軸對(duì)稱現(xiàn)象，你能舉出一些例子嗎？成軸對(duì)稱的圖形有什么特點(diǎn)？

2．在我們學(xué)過的幾何圖形中，有哪些是軸對(duì)稱圖形？它們的對(duì)稱軸與這個(gè)圖形有怎樣的位置關(guān)系？

3．對(duì)于成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段與對(duì)稱軸有什么關(guān)系？如何作出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形？請(qǐng)你帶著下面的問題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！請(qǐng)你帶著下面的問題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

4．在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？請(qǐng)舉例說明．

5．利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，我們發(fā)現(xiàn)了它的哪些性質(zhì)？你能通過全等三角形加以證明嗎？等邊三角形作為特殊的等腰三角形，有哪些特殊性質(zhì)？考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

例1下列各圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）．

A．B．

C．D．A考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別根據(jù)圖形的特征，嘗試找到一條直線，沿這條直線對(duì)折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就能確定這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；否則，這個(gè)圖形就不是軸對(duì)稱圖形．判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形的方法考點(diǎn)二軸對(duì)稱的性質(zhì)

例2

如圖，△ABC

和△ADE

關(guān)于直線

l

對(duì)稱，已知

AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B

的度數(shù)及

BC，AD

的長度．

解：∵△ABC

和△ADE

關(guān)于直線

l

對(duì)稱，∴

AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．

又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．ABCDEl考點(diǎn)二軸對(duì)稱的性質(zhì)

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形，它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．考點(diǎn)二軸對(duì)稱的性質(zhì)

1．如圖，在△ABC

中，點(diǎn)

D

在

BC

上，將點(diǎn)

D

分別以

AB，AC

所在直線為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)

E，F(xiàn)，并連接

AE，AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，∠EAF

的度數(shù)為（

）．

A．113°

B．124°

C．129°

D．134°DABCDEF62°51°

解析：連接AD，如圖．考點(diǎn)二軸對(duì)稱的性質(zhì)∵點(diǎn)

D

分別以

AB，AC

為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD．∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°－62°－51°＝67°，∴∠EAF＝2∠BAC＝134°．ABCDEF62°51°ABCDEF考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定

例3

如圖，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，D

是

AB

上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)

D

作

AB

的垂線交

AC

于點(diǎn)

E，CD

交

BE

于點(diǎn)

F．求證：BE

垂直平分

CD．證明：∵BD＝BC，∴點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上．又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°．ABCDEF考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定在Rt△EBC

與Rt△EBD中∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）．

∴EC＝DE．

∴點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上．

∵兩點(diǎn)確定一條直線，∴BE垂直平分CD．考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定（1）存在兩點(diǎn)：直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)．（2）兩對(duì)距離相等：兩點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別相等．根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，推導(dǎo)出這兩個(gè)點(diǎn)所在的直線就是這條線段的垂直平分線．證明一條直線是某條線段的垂直平分線的條件考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定

2．如圖，△ABC

中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，F(xiàn)G

分別為

AB，AC

的垂直平分線，E，G

分別為垂足．

（1）求∠DAF

的度數(shù)；

（2）若△DAF

的周長為10，求

BC

的長．EABCDFGEABCDFG考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定

解：（1）∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－30°－50°＝100°．

∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠ABC＝30°.

∵FG是AC的垂直平分線，∴FA＝FC，

∴∠FAC＝∠ACB＝50°.

∴∠DAF＝∠BAC－(∠DAB＋∠FAC)＝20°.考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)三線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定EABCDFG解：（2）∵△DAF的周長為10，

∴AD＋DF＋FA＝10．

∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋FA＝10．考點(diǎn)四軸對(duì)稱的相關(guān)作圖

例4如圖，作已知圖形關(guān)于直線l

對(duì)稱的圖形．

llD′考點(diǎn)四軸對(duì)稱的相關(guān)作圖

例4如圖，作已知圖形關(guān)于直線l

對(duì)稱的圖形．

lA′B′C′

作法：（1）如圖，取點(diǎn)A，B，C，D，O，分別作出點(diǎn)A，B，C，D關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)A′，B′，C′，D′；（2）順次連接OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原圖形關(guān)于直線l

對(duì)稱的圖形．ABCDOABC考點(diǎn)四軸對(duì)稱的相關(guān)作圖

例4如圖，作已知圖形關(guān)于直線l

對(duì)稱的圖形．

（2）連接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即為所求．

作法：（1）如圖，取點(diǎn)A，B，C，分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)A′，B′，C′；A′B′C′l考點(diǎn)四軸對(duì)稱的相關(guān)作圖同一個(gè)圖形，因?qū)ΨQ軸不同會(huì)得到不同的對(duì)稱圖形，所以畫圖時(shí)要先確定對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱軸畫出對(duì)稱圖形．畫軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸位置很關(guān)鍵考點(diǎn)五關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

例5

已知點(diǎn)A（a＋2，b－1）與B（b＋3，a－2）關(guān)于x

軸對(duì)稱，求點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)．解：∵點(diǎn)A（a＋2，b－1）與B（b＋3，a－2）關(guān)于x

軸對(duì)稱，∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．解得a＝2，b＝1．∴點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（2，1）.考點(diǎn)五關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（1）關(guān)于x

軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y

軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同．考點(diǎn)六等腰三角形

例6

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)

D

是

BC

邊上一點(diǎn)，DE∥AB，交

AC

于點(diǎn)

E，連接

DE，過點(diǎn)

E

作

EF⊥BC

于點(diǎn)

F．求證：點(diǎn)F

為線段

CD

的中點(diǎn)．EABCDF

證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角）．

∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠B．EABCDF

∴∠EDC＝∠C．

∴ED＝EC（等角對(duì)等邊）．

∵EF⊥BC，

∴點(diǎn)

F

為線段

CD

的中點(diǎn)（三線合一）．考點(diǎn)六等腰三角形性質(zhì)1：等邊對(duì)等角，它是證明兩角相等的常用方法．性質(zhì)2：三線合一，它可以證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，還可以證明兩條線段之間的垂直關(guān)系．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)六等腰三角形

3．如圖，已知等邊三角形

ABC

中，點(diǎn)D

是

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是BC

延長線上的一點(diǎn)，且

CE＝CD，DM⊥BC，垂足為

M，求證：點(diǎn)M是

BE

的中點(diǎn)．DABECM

證明：如圖，連接

BD．考點(diǎn)六等腰三角形

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°．

∵在等邊三角形

ABC

中，點(diǎn)D

是

AC

的中點(diǎn)，DCM

∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．

∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，

∴∠E＝30°．

∴∠DBC＝∠E＝30°．

∴BD＝ED，△BDE

為等腰三角形．

又∵DM⊥BC，

∴點(diǎn)M

是

BE

的中點(diǎn)．考點(diǎn)六等腰三角形ABE考點(diǎn)七最短路徑問題

例7

如圖，已知點(diǎn)

D，點(diǎn)

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點(diǎn)，AD＝5，點(diǎn)

F

是

AD

邊上的動(dòng)點(diǎn)，則

BF＋EF

的最小值為__________．BEDACFBEDF

例7

如圖，已知點(diǎn)

D，點(diǎn)

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點(diǎn)，AD＝5，點(diǎn)

F

是

AD

邊上的動(dòng)點(diǎn)，則

BF＋EF

的最小值為__________．BEDACF解析：∵點(diǎn)B

和點(diǎn)C

關(guān)于直線AD

對(duì)稱，∴BF＝CF，若BF＋EF

最小，只需CF＋EF

最小．由兩點(diǎn)之間，線段最短可知：線段CE

的長即為BF＋EF

的最小值．考點(diǎn)七最短路徑問題BEDACF

∵點(diǎn)D，E是等邊△ABC中BC，AB的中點(diǎn)，∴△ADB≌△CEA．

∴CE＝AD＝5．即BF＋EF

的最小值為5．

例7

如圖，已知點(diǎn)

D，點(diǎn)

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點(diǎn)，AD＝5，點(diǎn)

F

是

AD

邊上的動(dòng)點(diǎn)，則

BF＋EF

的最小值為__________．考點(diǎn)七最短路徑問題5（1）如果兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，那么直接連接兩點(diǎn)交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)就是要求的點(diǎn)；（2）如果兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，那么先作一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)就是要求的點(diǎn)．“一線＋兩點(diǎn)”型最短距離求解方法考點(diǎn)七最短路徑問題MNAOA″A′

例8如圖，點(diǎn)A

是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON

上各求作一點(diǎn)B，