人教版八年級數學上冊軸對稱《最短路徑問題》示范公開課教學課件

13.4課題學習最短路徑問題目錄課前導入新課精講學以致用課前導入情景導入如圖，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求證AC＝AB.證明：過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，則∠AEB＝90°.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.∴∠AEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD(AAS)．∴BE＝CA.∴AC＝12AB.新課精講探索新知1．如圖，小紅要從一間房的A點出發(fā)到河岸打水后再送到另一間房的B點，請通過作圖替小紅找出最短路線．1類型“兩點一線”型的應用解：作法：作A點關于河岸的對稱點A′，連接A′B，交河岸于點O，則點O就是小紅的打水點，連接AO，如圖，此時小紅走的路線A→O→B就是最短路線．探索新知2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD

上的一個動點，則下列線段的長度等于BP＋EP的最小值的是(

)A．BCB．CEC．ADD．ACB探索新知3．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分別是BC，DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為(

)A．50°B．60°C．70°D．80°D2類型“兩線一點”型的應用探索新知4．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm.求∠AOB的度數．解：分別作點P關于直線OB，OA的對稱點C，D，連接CD，分別交OA，OB于點M，N，連接OC，OD，PM，PN，如圖所示．此時△PMN的周長最小．∵點P關于直線OA的對稱點為D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.∵點P關于直線OB的對稱點為C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD.∵△PMN周長的最小值是5cm.∴PM＋PN＋MN＝5cm，∴DM＋CN＋MN＝5cm，即CD＝5cm＝OP.∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等邊三角形．∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.探索新知5．茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上．請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短．3類型“兩點兩線”型的應用(2)連接C1D1，分別交OA，OB于點P，Q，連接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．解：如圖所示．作法：(1)作C點關于OA的對稱點C1，D點關于OB的對稱點D1；探索新知6．如圖，荊州護城河在CC′處直角轉彎，河寬均為5m，A，B到外河岸的距離都為5m，從A處到達B處，需經兩座橋：DD′，EE′(橋寬不計)．設護城河及兩座橋都是東西、南北方向的，如何架橋可使路程最短？解：如圖所示．分別由A，B向外河岸作垂線，垂足分別為F，G.連接GF，與內河岸相交于點E′，D′.分別由E′，D′向外河岸引垂線段E′E，D′D，連接AD，BE，則DD′，EE′即為橋．沿A→D→D′→E′→E→B的路線行走路程最短．探索新知7．如圖，村莊A，B位于一條小河的兩側，若河岸a，b彼此平行，現在要建一座與河岸垂直的橋CD.問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最短？解：(1)過點A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的寬度；(2)連接A′B交b于點D；(3)過點D作DC∥AA′交a于點C.則CD即為橋的位置．圖略．學以致用小試牛刀1.甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，

不是軸對稱圖形的是(

)D2.觀察圖①～④中的左右兩個圖形，它們是否成軸對稱？如果是，請

畫出其對稱軸．解：題圖①②③中的左右兩個圖形成軸對稱，題圖④中的左右兩個圖形不成軸對稱(畫對稱軸略)．小試牛刀3.如圖，將長方形紙片ABCD沿AE向上折疊，使點B落

在DC邊上的點F處．若△AFD的周長為24cm，△ECF

的周長為8cm，求長方形紙片ABCD的周長．解：由題意可知，△ABE和△AFE關于直線AE成軸對稱，∴AB＝AF，BE＝FE.∵△AFD的周長為24cm，△ECF的周長為8cm，即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，∴長方形紙片ABCD的周長為：AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．小試牛刀4.在△ABC中，AB＝AC，D為直線BC上一點，E為直

線AC上一點，AD＝AE，設∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如圖，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________；②求α，β之間的關系式．20°10°設∠ABC＝x，∠ADE＝y(tǒng)，則∠ACB＝x，∠AED＝y(tǒng).在△DEC中，y＝β＋x；在△ABD中，α＋x＝y(tǒng)＋β，∴α＝2β.小試牛刀(2)是否存在不同于以上②中的α，β之間的關系式？若

存在，求出這個關系式(求出一個即可)；若不存在，

請說明理由．存在．如圖：當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上時，設∠ABC＝x，∠ADE＝y(tǒng)，則∠ACB＝x，∠AED＝y(tǒng).在△ABD中，x＋α＝β－y；在△DEC中，x＋y＋β＝180°，小試牛刀5.如圖，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證△ABE≌△DCE；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等邊三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS