組合變型課件

組合變型

提要：本章在桿件各種基本變形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論在工程實(shí)際中常見的斜彎曲、拉伸(壓縮)與彎曲、偏心壓縮(拉伸)、彎曲與扭轉(zhuǎn)等幾種組合變形時(shí)的強(qiáng)度問題。在疊加原理的基礎(chǔ)上，分析討論了在組合變形情況下對(duì)危險(xiǎn)截面及危險(xiǎn)點(diǎn)的確定方法，進(jìn)而給出了各種組合變形的強(qiáng)度條件。9.1組合變形的概念在前面各章中，分別討論了桿件在拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)、平面彎曲四種基本變形條件下的強(qiáng)度及剛度問題。但在工程實(shí)際中，受力構(gòu)件所發(fā)生的變形往往是由兩種或兩種以上的基本變形所構(gòu)成。例如圖9.1(a)中，機(jī)床立柱在受軸向拉伸的同時(shí)還有彎曲變形；圖(b)機(jī)械傳動(dòng)中的圓軸為扭轉(zhuǎn)和彎曲變形的組合；而圖9.1(c)中的廠房立柱為軸向壓縮及彎曲變形的組合等。我們將這種由兩種或兩種以上的基本變形所組成的變形稱為組合變形(combineddeformation)。構(gòu)件在外力作用下，若在線彈性范圍內(nèi)，且滿足小變形條件，即受力變形后仍可按原始尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算，那么構(gòu)件上各個(gè)外力所引起的變形將相互獨(dú)立、互不影響。

(a)(b)(c)圖9.1幾種組合變形形式立柱為拉彎組合變形；(b)圓軸為彎扭組合變形；(c)廠房立柱為壓彎組合變形9.1組合變形的概念這樣，在處理組合變形問題時(shí)，就可以先將構(gòu)件所受外力簡(jiǎn)化為符合各種基本變形作用條件下的外力系。通過對(duì)每一種基本變形條件下的內(nèi)力、應(yīng)力、變形進(jìn)行分析計(jì)算，然后再根據(jù)疊加原理，綜合考慮在組合變形情況下構(gòu)件的危險(xiǎn)截面的位置以及危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并可據(jù)此對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。但需指出，若構(gòu)件超出了線彈性范圍，或不滿足小變形假設(shè)，則各基本變形將會(huì)互相影響，這樣就不能應(yīng)用疊加原理進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于這類問題的解決，可參閱相關(guān)資料的介紹。而本章所涉及的內(nèi)容，疊加原理均適用。9.1組合變形的概念9.2斜彎曲在第4章的彎曲問題中已經(jīng)介紹，若梁所受外力或外力偶均作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則梁變形后的撓曲線亦在其縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，將這種彎曲稱為平面彎曲。在這種情況下，梁變形后的撓曲線將與外力不在同一縱向平面內(nèi)，將這種彎曲稱為斜彎曲(obliquebending)。但在工程實(shí)際中，也常常會(huì)遇到梁上的橫向力并不在梁的對(duì)稱平面內(nèi)，而是與其縱向?qū)ΨQ平面有一夾角的情況。例如屋頂檁條傾斜安置時(shí)，梁所承受的鉛垂方向的外力并不在其縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其受力簡(jiǎn)圖如圖9.2所示。圖9.2矩形截面受力圖以圖9.3所示矩形截面懸臂梁為例圖9.3懸臂梁斜彎曲受力圖9.2斜彎曲其自由端受一與y軸夾角為

的集中力F作用?？蓪⒘先簡(jiǎn)化為平面彎曲的情況，即將力F沿y軸和z軸進(jìn)行分解，即在分力、作用下，梁將分別在鉛垂縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)(xOy面內(nèi))和水平縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)(xOz面內(nèi))發(fā)生平面彎曲。則在距左端點(diǎn)為x的截面上，由和引起的截面上的彎矩值分別為：若設(shè)，并將式(a)代入式(b)中，則

(b)

(c)

(a)9.2斜彎曲在截面的任一點(diǎn)C(y,z)處，由和引起的正應(yīng)力分別為其中負(fù)號(hào)表示均為壓應(yīng)力。對(duì)于其他點(diǎn)處的正應(yīng)力的正負(fù)可由實(shí)際情況確定。所以，C點(diǎn)處的正應(yīng)力為

(d)將式(c)代入上式可得9.2斜彎曲由上面分析及式(9.1)可知，梁上固定端截面上有最大彎矩，且其頂點(diǎn)D1和D2點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，分別有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。而拉壓應(yīng)力的絕對(duì)值相等，可知危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)均為單向應(yīng)力狀態(tài)，所以，梁的強(qiáng)度條件為：

(9.1)

(9.2)9.2斜彎曲

圖9.4橫截面中性軸位置圖同平面彎曲一樣，危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)在離截面中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處。而對(duì)于這類具有棱角的矩形截面梁，其危險(xiǎn)點(diǎn)的位置均應(yīng)在危險(xiǎn)截面的頂點(diǎn)處，所以較容易確定。但對(duì)于圖9.4所示沒有棱角的截面，要先確定出截面的中性軸位置，才能確定出危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。9.2斜彎曲因?yàn)橹行暂S上的正應(yīng)力必為0，若設(shè)截面中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為()，且由式(9.1)可得所以，中性軸的方程式為由上式可知，它是一條通過截面形心的斜直線。設(shè)它與z軸的夾角為

，可得

(9.4)

(9.3)9.2斜彎曲

由截面中性軸與z軸的夾角即可確定其位置。由式(9.3)、式(9.4)可知，截面中性軸主要有以下特點(diǎn)：中性軸通過截面形心。(2)其位置只取決于外力F與z軸的夾角及截面形狀和幾何尺寸，而與外力的大小無關(guān)。(3)當(dāng)外力F在第一、三象限時(shí)，中性軸必在第二、四象限內(nèi)；當(dāng)外力F在第二、四象限時(shí)，中性軸必在第一、三象限內(nèi)。(4)當(dāng)截面的時(shí)，，即中性軸不垂直于外力F，而截面的撓曲線所在平面與中性軸垂直，所以撓曲線與外力作用面不在同一平面內(nèi)，故稱為斜彎曲；9.2斜彎曲

反之，若截面的時(shí)，則，即不論為何值，中性軸都會(huì)與外力F垂直，即梁只會(huì)發(fā)生平面彎曲，例如圓、正方形、正多邊形等截面均為此類截面。如圖9.4所示，在確定了中性軸的位置后，作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點(diǎn)，其分別為截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。梁在斜彎曲時(shí)的撓度也可利用疊加原理進(jìn)行計(jì)算。

如圖9.5為圖9.3所示懸臂梁的自由端截面

9.2斜彎曲

圖9.5斜彎曲撓度計(jì)算示意圖9.2斜彎曲由彎曲變形公式可知由、引起的兩方向上的撓度值分別為：所以總撓度值為：9.2斜彎曲設(shè)撓度f與z軸夾角為

，則

由上式及式(9.4)可知，，即撓曲線所在平面始終與截面的中性軸垂直，并且當(dāng)截面的時(shí)，，由圖9.5可知梁變形后的撓曲線與外力F作用面不在同一縱向平面內(nèi)，會(huì)發(fā)生斜彎曲；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為平面彎曲；當(dāng)時(shí)，，表明撓曲線所在縱向平面比外力所在縱向平面的傾角要大。當(dāng)比值越大，即橫截面越狹長(zhǎng)時(shí)，即使值很小，也會(huì)引起彎曲平面很大的傾角，其危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力亦會(huì)顯著增大。9.2斜彎曲計(jì)算表明，若矩形截面高寬比，外力F的傾角時(shí)，其，說明，此時(shí)橫截面上的最大正應(yīng)力較時(shí)的正應(yīng)力將增大約30%。對(duì)于高而狹的梁來講，若能在平面彎曲下工作，對(duì)強(qiáng)度是有利的，但若，則會(huì)由于斜彎曲的影響而使梁產(chǎn)生側(cè)向失穩(wěn)并造成事故。所以，不能片面采用高而狹的橫截面來提高梁的強(qiáng)度。9.2斜彎曲【例9.1】圖9.6為一屋頂結(jié)構(gòu)圖，已知屋面坡度為1∶2，二桁架間的距離為3m，木檁條的間距為1.5m，屋面及檁條重為0.6N/M；木檁條為的矩形截面，其彈性模量為E=10GPa，許用應(yīng)力，許用撓度，試校核木檁條的強(qiáng)度和剛度。圖9.6例9.1圖9.2斜彎曲分析：屋面的重量是通過檁條傳給桁架的。檁條由桁架所支承，可設(shè)其為兩端鉸支。所以檁條的計(jì)算簡(jiǎn)圖可簡(jiǎn)化為圖9.6(b)所示，其跨度l=3cm，所受均布荷載為由于屋面坡度為1∶2，則在圖9.6(c)中，即。若檁條所受分布荷載通過其截面形心且鉛垂向下，則檁條應(yīng)為斜彎曲變形。解：(1)確定危險(xiǎn)截面及其上的內(nèi)力。由檁條的受力狀態(tài)可知，其中點(diǎn)截面上應(yīng)有最大彎矩，故該截面為危險(xiǎn)截面，且其在兩形心主慣性平面xy、xz內(nèi)的彎矩分別為9.2斜彎曲

9.2斜彎曲(2)強(qiáng)度校核。由斜彎曲的強(qiáng)度條件：且截面的幾何性質(zhì)：9.2斜彎曲所以故滿足強(qiáng)度要求。

所以，總撓度為可見其滿足剛度要求(3)剛度校核。經(jīng)分析可知其最大撓度也發(fā)在中點(diǎn)，且其在y、z兩方向的撓度值分別為9.2斜彎曲

【例9.2】圖9.7工字鋼截面簡(jiǎn)支梁l=4cm，在中點(diǎn)受集中荷載F=7KN作用，荷載F通過截面形心，與鉛垂軸夾角，若材料的，試選擇工字鋼的型號(hào)。圖9.7例9.2圖9.2斜彎曲

所以梁中間截面為危險(xiǎn)截面，且其上D1、D2點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，并分別有大小相等的最大拉、壓應(yīng)力。由其強(qiáng)度條件分析：根據(jù)梁的受力特點(diǎn)，可知其將發(fā)生斜彎曲變形。應(yīng)先通過受力分析確定危險(xiǎn)截面及危險(xiǎn)點(diǎn)，再由相應(yīng)公式選擇截面。解：因?yàn)槠渲悬c(diǎn)截面上有最大彎矩值為9.2斜彎曲

所以因上式中均為待定參數(shù)，所以需采用試算法?？上燃僭O(shè)試算，則9.2斜彎曲

查表試選用No.18工字鋼，其，。所以因?yàn)椴牧系?，所以截面選得過大。若選用No.16工字鋼，其，，則該值與材料的許用應(yīng)力較為接近，且其，所以選用No.16工字鋼較為9.2斜彎曲

另外，若外力F與鉛垂軸夾角，則梁上最大正應(yīng)力為可見，斜彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力為平面彎曲時(shí)的3.2倍之多。9.2斜彎曲9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

由桿件的基本變形可知，軸向拉壓時(shí)桿件所受外力的合力作用線必須通過軸線；而在彎曲時(shí)所受外力則須與桿件軸線垂直。但當(dāng)桿件受到軸向力和橫向力共同作用時(shí)，或外力的合力作用線不通過軸線時(shí)，桿件都將產(chǎn)生拉伸(或壓縮)與彎曲的組合變形。例如圖9.8(a)所示一懸臂吊車的橫梁AB，其在受到壓縮的同時(shí)還受到彎曲變形，即為壓彎組合變形。另外當(dāng)梁發(fā)生橫力彎曲時(shí)，若還受到軸向力作用也可構(gòu)成拉彎(或壓彎)組合變形，如圖9.8(b)所示。但需注意，若要利用疊加原理，則桿件須滿足應(yīng)用的條件，即材料在線彈性范圍內(nèi)，且符合小變形假設(shè)。例如圖9.8(b)中只有當(dāng)梁的彎曲剛度EI較大，即其撓度較小且可由其原始尺寸計(jì)算時(shí)，疊加原理才是適用的。(a)(b)圖9.8梁受拉彎組合變形圖(a)起重架AB梁為拉彎組合；(b)懸臂梁受拉彎組合

q

F

9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形以圖9.9(a)所示矩形截面等直桿其自由端受一集中力F作用為例，來說明拉(壓)彎組合變形時(shí)的分析方法和強(qiáng)度計(jì)算問題。圖9.9懸臂梁受拉彎組合圖9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

設(shè)力F與桿軸線在自由端截面上相交且夾角為?？上葘⒘分解為沿軸線和垂直于軸線方向的兩個(gè)分力Fx和Fy，其大小分別為由圖9.9(b)可知，桿件為軸向拉伸，橫截面上的正應(yīng)力為均勻分布，如圖9.10(a)所示，其截面上各點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)，最大正應(yīng)力為由圖9.9(c)可知，桿件為平面彎曲，因?yàn)楣潭ǘ私孛嫔蠌澗刈畲?，所以其截面上、下邊緣各點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)，橫截面上的正應(yīng)力為線性分布，如圖9.10(b)所示，最大正應(yīng)力的大小為9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

利用疊加原理，將拉伸及彎曲正應(yīng)力疊加后，危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力沿截面高度的變化情況如圖9.10(c)所示，仍為線性分布。所以，危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力為應(yīng)當(dāng)注意，圖9.10(c)是當(dāng)時(shí)的情況，這時(shí)為拉應(yīng)力，為壓應(yīng)力。而當(dāng)時(shí)，、均為拉應(yīng)力，所以，截面上的應(yīng)力分布情況要根據(jù)實(shí)際受力狀態(tài)來確定。9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

由上分析可知，危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)為單向應(yīng)力狀態(tài)，所以可將截面上的與材料的許用應(yīng)力相比較而建立其強(qiáng)度條件：對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力不相等的材料，且危險(xiǎn)截面上同時(shí)存在最大拉、壓應(yīng)力時(shí)，則須使桿內(nèi)的最大拉、壓應(yīng)力分別滿足桿件的拉、壓強(qiáng)度條件。

(9.5)9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

【例9.3】圖9.11(a)所示起重架最大起重量G=4KN，結(jié)構(gòu)自重不計(jì)，橫梁AB由兩根槽鋼組成，跨長(zhǎng)為l=3.5m，其，。試求：(1)選擇槽鋼型號(hào)。(2)若拉桿BC為b×h=10mm×40mm的鋼條，材料與AB梁相同。當(dāng)載荷G作用于梁AB的中點(diǎn)時(shí)，計(jì)算該點(diǎn)的鉛垂位移。分析：應(yīng)先作出AB梁的受力圖，以便確定其變形形式。再進(jìn)一步確定其危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)，以此進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算。9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

圖9.11例9.3圖9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

解：(1)AB梁的受力簡(jiǎn)圖如圖9.11(b)所示，可知其應(yīng)為壓彎組合變形。且當(dāng)載荷G移動(dòng)到梁中點(diǎn)時(shí)，橫梁處于最危險(xiǎn)狀態(tài)。其彎矩及軸力圖如圖9.11(c)、(d)所示，可判斷出危險(xiǎn)截面應(yīng)為梁的中點(diǎn)截面，其內(nèi)力分量為：因?yàn)樵谖ｋU(xiǎn)截面的上邊緣有最大壓應(yīng)力，所以應(yīng)以此點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

由強(qiáng)度條件進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。因?yàn)槭街蠥、Mz均為待定參數(shù)，故不能直接求出?？上扔蓮澢鷱?qiáng)度選擇截面，然后再考慮軸向力進(jìn)行校核，則有因截面由兩個(gè)槽鋼組成，所以應(yīng)由查表。可選用No.18號(hào)槽鋼，其相關(guān)截面參數(shù)為，，。9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

所以橫梁最大的壓應(yīng)力的值為：雖然，但即超過許用應(yīng)力不足5%，故可認(rèn)為滿足強(qiáng)度要求。9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

(2)求載荷作用點(diǎn)的鉛垂位移。因材料受力在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形，故也可由疊加原理進(jìn)行計(jì)算。其變形幾何關(guān)系如圖9.11(e)所示，當(dāng)僅有軸向力作用時(shí)，因?yàn)?.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形

所以由軸向力引起的荷載作用點(diǎn)的位移為：由彎矩引起的荷載作用點(diǎn)的位移為：所以荷載作用點(diǎn)的鉛垂位移為：9.3拉伸(壓縮)與彎曲組合變形9.4偏心壓縮與偏心拉伸

當(dāng)桿件受到一與桿軸線平行但不重合的外力作用時(shí)，將會(huì)使桿產(chǎn)生偏心壓縮(eccentriccompression)或偏心拉伸(eccentrictension)現(xiàn)象。例如圖9.1(a)所示的機(jī)床的立柱及圖9.1(c)所示的廠房立柱分別就為偏心拉伸和偏心壓縮?，F(xiàn)以一矩形截面等直桿受到一距離截面形心O為e的偏心壓力F作用為例，來分析在偏心壓縮(拉伸)時(shí)，桿件的強(qiáng)度計(jì)算問題。如圖9.12(a)所示，設(shè)偏心壓力F的作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(ey、ez)，根據(jù)力系的等效原理，可先將力F向截面形心O點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系，如圖9.12(b)所示，于是就將原來的偏心壓力F轉(zhuǎn)化為：

軸向壓力F作用于xOz面內(nèi)的力偶矩作用于xOy面內(nèi)的力偶矩在上述各力的作用下，將分別使桿發(fā)生軸向壓縮和兩個(gè)在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的純彎曲，即壓、彎、彎組合變形。且由圖9.12(b)可知，在桿件任一橫截面上的內(nèi)力，即軸力和彎矩均保持不變，它們的大小分別為：則上述三種內(nèi)力在任一截面上的任一點(diǎn)B(y、z)處所產(chǎn)生的正應(yīng)力分別為9.4偏心壓縮與偏心拉伸

式中，A、Ix、Iy分別為桿件橫截面的面積及截面對(duì)其形心主慣性軸y、z軸的慣性矩。一般情況下，每一種內(nèi)力在截面上某一點(diǎn)處所產(chǎn)生的應(yīng)力的正、負(fù)均可由受力圖直接判斷出來。如圖9.12(a)所示情況，、、均為壓應(yīng)力，故在上式中均以負(fù)號(hào)表示。所以，根據(jù)疊加原理可得B點(diǎn)處的正應(yīng)力為：

(a)

9.4偏心壓縮與偏心拉伸

圖9.12矩形截面偏心受力示意圖(a)偏心受力示意圖；(b)力向形心簡(jiǎn)化示意圖9.4偏心壓縮與偏心拉伸

由式(a)可知，在圖9.12(b)中任一橫截面上角點(diǎn)C將產(chǎn)生最大壓應(yīng)力；若橫截面上有拉應(yīng)力的話，則最大拉應(yīng)力必發(fā)生在截面的角點(diǎn)D處。即C、D兩點(diǎn)為其危險(xiǎn)點(diǎn)，且兩點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)均為單向應(yīng)力狀態(tài)，所以，偏心壓縮(拉伸)的強(qiáng)度條件可表示為：

(9.6)

對(duì)于沒有明顯凸出棱角的橫截面，如圖9.13所示形狀的截面，只有先確定出截面的中性軸位置，才可進(jìn)一步確定出危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。9.4偏心壓縮與偏心拉伸

圖9.13中性軸位置示意圖9.4偏心壓縮與偏心拉伸

設(shè)偏心壓力的作用點(diǎn)為A點(diǎn)，且中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為()，因?yàn)橹行暂S上的應(yīng)力為0，所以由式(a)可得：引入慣性半徑為：

(b)

則式(b)又可寫為：

(9.7)

9.4偏心壓縮與偏心拉伸

由式(9.7)及式(9.8)可知，偏心壓縮(拉伸)時(shí)的中性軸有以下特點(diǎn)：中性軸不通過截面形心。(2)中性軸的位置僅取決于外力作用點(diǎn)的位置即偏心矩e值和橫截面的形狀與幾何尺寸，而與外力大小無關(guān)。上式即為偏心壓縮時(shí)中性軸的方程。若設(shè)其在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為ay、az，則由式(9-7)可知其值分別為

(9.8)

9.4偏心壓縮與偏心拉伸(3)外力作用點(diǎn)A與中性軸分別處于截面形心的相對(duì)兩邊。(4)當(dāng)外力作用點(diǎn)A分別在截面對(duì)稱軸y、z軸上時(shí)，則中性軸將分別與z、y軸平行，即為單向偏心壓縮(拉伸)。在確定了截面的中性軸的位置后，分別作與中性軸平行的兩直線，并使其與截面外邊緣相切于C、D兩點(diǎn)，如圖9.13所示。該兩點(diǎn)分別就是產(chǎn)生最大壓、拉應(yīng)力的危險(xiǎn)點(diǎn)。9.4偏心壓縮與偏心拉伸

【例9.4】矩形截面短柱承受載荷，作用，且P1的偏心距，柱高，其他幾何尺寸如圖9.14(a)所示。已知材料的許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力，試校核短柱強(qiáng)度并確定危險(xiǎn)截面中性軸的位置。9.4偏心壓縮與偏心拉伸圖9.14例9.4圖

(壓)分析：由短柱的受力狀態(tài)可知，其應(yīng)為偏心壓縮變形，且固定端截面為危險(xiǎn)截面。解：危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力分量為9.4偏心壓縮與偏心拉伸危險(xiǎn)截面上A、C兩點(diǎn)將分別產(chǎn)生最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其大小可由式(9.6)可得

9.4偏心壓縮與偏心拉伸

所以短柱滿足強(qiáng)度條件。欲確定危險(xiǎn)截面中性軸的位置，可設(shè)中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為()，則有即所以可得中性軸方程9.4偏心壓縮與偏心拉伸

分別令，，可得中性軸主y、z在軸上的截距分別為中性軸位置如圖9.14(b)所示。9.4偏心壓縮與偏心拉伸

我們知道，中性軸將截面分成了拉、壓兩個(gè)應(yīng)力區(qū)域。由式(9.8)還可看出，當(dāng)外力偏心距ey、ez愈小時(shí)，中性軸的截距ay、az就愈大，即中性軸離截面形心就越遠(yuǎn)，甚至?xí)频浇孛嬉酝馊?。這樣，對(duì)于偏心壓縮而言其截面上就只會(huì)產(chǎn)生壓應(yīng)力而沒有拉應(yīng)力。所以，當(dāng)偏心壓力作用在截面形心附近的某個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，中性軸就將在截面以外或與截面周邊相切，而使整個(gè)截面不出現(xiàn)拉應(yīng)力。將這個(gè)只使截面產(chǎn)生壓應(yīng)力的外力作用的范圍稱為該截面的截面核心(coreofsection)。在土建工程中常用的磚、石、混凝土等一類建筑材料，其抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，在對(duì)這類構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，為安全起見，一般最好不讓截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力，以免出現(xiàn)拉裂破壞。對(duì)于這類問題，截面核心這個(gè)概念將具有重要的意義。9.5截面核心

在確定任一形狀截面的截面核心邊界時(shí)，應(yīng)先確定截面的形心主慣性軸。如圖9.15所示截面，設(shè)y、z軸為其形心主慣性軸。作一與截面邊界相切的直線1-1，可將其作為中性軸，其在y、z軸上的截距為ay、az，由式(9.8)可得圖9.15任意截面核心示意圖

(9.9)

9.5截面核心

由此可確定一個(gè)點(diǎn)1的位置，其坐標(biāo)為(ey、ez)，該點(diǎn)即為與中性軸1-1所對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)，它也是截面核心邊界上的一個(gè)點(diǎn)。同理，可以作出與截面邊界相切的一系列中性軸，并由式(9.9)確定出對(duì)應(yīng)的截面核心的各邊界點(diǎn)，將這些點(diǎn)依序連接起來即可得一封閉的曲線，該曲線即為截面核心的邊界，由該曲線所圍成的面積即為圖形的截面核心，如圖9.15中帶陰影線的面積。當(dāng)確定較規(guī)則的多邊形的截面核心時(shí)，可將其某一截面邊界線作為中性軸并確定其所對(duì)應(yīng)的截面核心的邊界點(diǎn)。如圖9.15中截面的AB、BC邊，當(dāng)分別以AB、BC邊(即直線2-2、直線3-3)作為中性軸時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的截面核心邊界點(diǎn)(即外力作用點(diǎn))分別為2、3點(diǎn)。但過截面的頂點(diǎn)B可作出一系列不同斜率的且不與截面相交的中性軸，例如直線4-4即為其中一條。9.5截面核心

因?yàn)锽點(diǎn)為中性軸上的一點(diǎn)，可將其坐標(biāo)(yB、zB)代入中性軸方程(9.7)中，可得由于在上式中yB、zB及慣性半徑都為常數(shù)，所以它即為表示外力作用點(diǎn)的坐標(biāo)ey、ez之間關(guān)系的直線方程。也就是說，當(dāng)直線4-4中性軸繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)4必然是在一條連接2、3點(diǎn)的直線上移動(dòng)。所以在這種情況下，只需確定以多邊形邊界作為中性軸所對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)，再將其以直線連接即可確定其截面核心的邊界。但應(yīng)注意，對(duì)于周邊有凹進(jìn)部分的截面，在確定截面核心邊界時(shí)，不能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸，因?yàn)樵撝本€將與橫截面相交。這樣，截面上將有拉應(yīng)力的存在。9.5截面核心

如圖9.16所示在工程中常見的矩形截面，欲確定其截面核心，可分別取截面邊界AB、BC、CD、AD為中性軸，并確定出各中性軸所對(duì)應(yīng)的截面核心的邊界點(diǎn)，再將這些點(diǎn)依次用直線連接即可得到截面核心的范圍?，F(xiàn)取AB為中性軸，其在y、z兩軸上的截距分別為因?yàn)榫匦谓孛娴膽T性半徑為9.5截面核心

由圓截面的對(duì)稱性可知，其截面核心的邊界也應(yīng)為一圓，且其直徑為。所以，圓截面的截面核心是一直徑為的同心圓，如圖9.17中陰影線面積。由式(9-9)可得與AB為中性軸所對(duì)應(yīng)的截面核心邊界點(diǎn)1的坐標(biāo)為9.5截面核心

圖9.16矩形截面截面核心圖9.17圓截面截面核心9.5截面核心

【例9.5】試確定圖9.18所示No.20號(hào)槽鋼截面的截面核心。分析：再由式(9.9)求出相應(yīng)的外力作用點(diǎn)的位置，再依次連接所確定的各點(diǎn)即可得到相應(yīng)截面的截面核心。圖9.18例9.5圖9.5截面核心

解：查表可知No.20號(hào)槽鋼的慣性半徑為當(dāng)分別以AD、AB、BC、CD為中性軸時(shí)，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距ay、az，再由式(9.9)得。即可得其所對(duì)應(yīng)的荷載作用點(diǎn)的坐標(biāo)(ey、ez)，依次連接各點(diǎn)即可得所求截面的截面核心，如圖9.18所示。具體計(jì)算見表9-1。9.5截面核心

表9-1例9.5計(jì)算結(jié)果中性軸編號(hào)ADCDBCAB中性軸的截距(cm)ay10∞-10∞az∞5.55∞-1.95對(duì)應(yīng)的截面核心界上的點(diǎn)1234截面核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)值(cm)-5.8405.8400-0.78702.249.5截面核心

【例9.6】如圖9.19所示，欲建造一矩形截面混凝土擋水壩，水的高度為h。若水和混凝土的容重分別為、，且。若要求壩底的拉應(yīng)力為0，試設(shè)計(jì)壩的寬度b。分析：取單位長(zhǎng)度的壩體考慮。壩體受到靜水壓力和自重作用，故在其底面上為偏心受壓與受剪的組合，但剪力不導(dǎo)致拉應(yīng)力，所以仍按偏心受壓處理。若要使壩底截面上拉應(yīng)力為0，則所受合力作用點(diǎn)必須通過截面核心的邊緣。圖9.19例9.6圖9.5截面核心

解：由矩形截面的截面核心幾何關(guān)系及圖9.19可知： 且所以 得9.5截面核心

9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形在基本變形中我們研究了圓軸受扭時(shí)的強(qiáng)度和剛度問題。而在工程實(shí)際中，桿件在受到扭轉(zhuǎn)變形的同時(shí)，往往還會(huì)受橫力彎曲的作用。而當(dāng)這種彎曲變形不能忽略時(shí)，桿件所發(fā)生的變形就應(yīng)是扭轉(zhuǎn)和彎曲共同作用的彎扭組合變形。如圖9.20所示折桿在其自由端受一鉛垂方向的集中力作用下，桿件BC段只發(fā)生橫力彎曲變形，而AB段所發(fā)生的變形就為扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。現(xiàn)以圖9.21(a)所示傳動(dòng)軸為例，來說明彎扭組合變形條件下構(gòu)件的強(qiáng)度問題。設(shè)傳動(dòng)軸在傳動(dòng)輪上所受的水平方向的集中力F及工作阻力偶Me作用下而處于平衡狀態(tài)，且傳動(dòng)輪的半徑為R，構(gòu)件的自重不計(jì)。

為明確傳動(dòng)軸的基本變形形式，首先將力F向軸心簡(jiǎn)化，可得到一力F和附加力偶Me的等效力系，如圖9.21(b)所示。由其受力簡(jiǎn)圖可知傳動(dòng)軸應(yīng)為彎扭組合變形。根據(jù)軸的受力狀態(tài)可分別作出其彎矩圖和扭矩圖(剪力忽略不計(jì))，如圖9.21(c)、(d)所示。圖9.20拐軸受力示意圖9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

可知軸的中間截面，即傳動(dòng)輪所在截面為危險(xiǎn)截面，且其內(nèi)力值，即彎矩M和扭矩T的大小分別為：由內(nèi)力狀態(tài)可作出危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力分布圖，如圖9.21(e)所示。可知危險(xiǎn)截面上的最大彎曲拉、壓正應(yīng)力發(fā)生在水平直徑的前、后兩點(diǎn)，即k、k′處；而最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在圓截面周邊上的各點(diǎn)處。所以，綜合以上情況可知k、k′點(diǎn)應(yīng)為危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)。該兩點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖9.21(f)所示，均為平面應(yīng)力狀態(tài)。且危險(xiǎn)點(diǎn)處的正應(yīng)力和切應(yīng)力的大小分別為：(a)9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

圖9.21圓軸受彎扭組合應(yīng)力計(jì)算示意圖(a)圓軸受彎扭組合示意圖；(b)圓軸受彎扭計(jì)算簡(jiǎn)圖；(c)彎矩圖；(d)扭矩圖；(e)橫截面應(yīng)力分布圖；(f)單元體9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相同的材料，這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是一樣的。所以，可任取一點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度分析。現(xiàn)取k點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，由于危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，故不能用建立基本變形強(qiáng)度條件的方法來解決其強(qiáng)度問題，而需要應(yīng)用強(qiáng)度理論來解決。由主應(yīng)力的計(jì)算公式可得危險(xiǎn)點(diǎn)k的三個(gè)主應(yīng)力為(b)對(duì)于塑性材料而言，應(yīng)采用第三或第四強(qiáng)度理論來進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形若采用第三強(qiáng)度理論，則其相當(dāng)應(yīng)力為所以其強(qiáng)度條件為

若將式(a)代入式(9.10)中，并考慮到圓截面的慣性矩和極慣性矩的關(guān)系，則可得式(9.10)的另一表達(dá)式為(9.10)(9.11)9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

同理，可得第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為或(9.13)(9.12)所以，對(duì)于圓截面受彎扭組合變形的桿件，只要確定出其危險(xiǎn)截面上的彎矩M和扭矩T，即可由式(9.11)或式(9.13)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。另外，若圓軸受到拉(壓)、彎、扭組合變形的作用，9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

關(guān)于上式的分析過程讀者可自行考慮。及(9.15)(9.14)則危險(xiǎn)點(diǎn)k的正應(yīng)力將由拉伸(壓縮)、彎曲變形共同產(chǎn)生，這時(shí)第三和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力可表示為：9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

應(yīng)該指出，對(duì)于上述圓軸受彎扭組合變形的問題，我們是在假設(shè)圓軸處于靜止平衡狀態(tài)下而進(jìn)行分析和討論的。但實(shí)際上一般機(jī)械傳動(dòng)中的圓軸應(yīng)處于均速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，這時(shí)圓軸截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力處于周期性交替變化狀態(tài)中，我們將這種狀態(tài)下所產(chǎn)生的應(yīng)力稱為交變應(yīng)力。而在交變應(yīng)力狀態(tài)下，構(gòu)件往往是在最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于靜載時(shí)的強(qiáng)度指標(biāo)的情況下而發(fā)生突然的破壞。關(guān)于交變應(yīng)力問題將在第12章中進(jìn)行介紹。9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

【例9.7】水平薄壁圓管AB，A端固定支承，B端與剛性臂BC垂直連接，且l=800m，a=300mm，如圖9.22所示。圓管的平均直徑D。=40mm

，壁厚。材料的，若在C端作用鉛垂載荷P=200N，試按第三強(qiáng)度理論校核圓管強(qiáng)度。分析：應(yīng)先經(jīng)受力分析并作出桿的受力圖，以確定其變形形式。解：桿AB的受力簡(jiǎn)圖如圖9.22(b)所示，可知其為彎扭組合變形。其M、T圖如圖9.22(c)、圖9.22(d)所示，可知其危險(xiǎn)截面為固定端A截面，9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

9.22例9.7圖其上的內(nèi)力為9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

由式(9.11)第三強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件所以抗彎截面系數(shù)為且截面慣性矩為9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形故AB桿滿足強(qiáng)度條件。9.6彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形

【例9.8】某精密磨床砂輪軸如圖9.23所示，已知電動(dòng)機(jī)功率P=3kW，轉(zhuǎn)速n=1400rpm，轉(zhuǎn)